Autocorrelação espacial

Escolhida a matriz de ponderação espacial, o intuito passa a ser o de verificar a presença de dependência espacial, através da utilização de alguns indicadores estatísticos apropriados. Nessa seção, será discutido o índice de Moran, tanto local quanto global, para captar a autocorrelação espacial como proxy para a dependência espacial. Além disso, outro indicador de autocorrelação espacial a ser apresentado, trata-se do Gi local.

3.3.1 Índice de Moran Global

O primeiro deles, o índice de Moran, é uma espécie de coeficiente de autocorrelação espacial entre indivíduos em relação a uma determinada variável, tendo por base a matriz de ponderação espacial (W) escolhida previamente, uma medida de autocovariância e uma de variância dos dados. Ou seja, é a razão da autocovariância do tipo produto cruzado pela variância total dos dados (ALMEIDA, 2012).

A interpretação do I de Moran é similar à do coeficiente de correlação de Pearson, ou seja, seus valores variam entre -1 e 1, sendo que valores positivos implicam autocorrelação espacial positiva, e valores negativos, autocorrelação espacial negativa. Esse índice se diferencia do de Pearson pelo fato de não estar centrado em zero, ou seja, caso não haja padrão espacial nos dados, o seu valor esperado é – [1/(n − 1)] (ALMEIDA, 2012). Além disso, valores tanto quanto mais próximos do módulo de 1, mais forte é a autocorrelação espacial. Matematicamente, esse índice é expresso por:

𝑰 = 𝑛 𝑆0 ∑ ∑ 𝑤𝑖 𝑗 𝑖𝑗𝑧𝑖𝑧𝑗 ∑𝑛 𝑧_𝑖2 𝑖=1 (3) Onde,

n → é o número de observações. Neste estudo, a quantidade de municípios;

𝑧_𝑖 = (𝑦_𝑖 − 𝑦̅) → 𝑧_𝑖 é o valor da variável 𝑦_𝑖 padronizada. 𝑦_𝑖 é o valor da variável y (métrica de gasto público com saúde) no município i;

𝑧_𝑗 = (𝑦_𝑗 − 𝑦̅) → 𝑧_𝑗 é o valor da variável 𝑦_𝑗 padronizada. 𝑦_𝑗 é o valor da variável y (métrica de gasto público com saúde) no município j;

𝑦̅ → é a média geral da variável y (métrica de gasto público com saúde); 𝑤_𝑖𝑗 → representa um elemento do município i e do município j;

𝑆0 = ∑ ∑ 𝑤𝑖 𝑗 𝑖𝑗 → fator de padronização que corresponde à soma de todos os elementos da matriz W.

Nesse trabalho, quando o I de Moran for positivo, implica concluir que quando um município aumenta seus gastos com saúde, os municípios vizinhos tendem também a aumentar seus gastos. O valor negativo para o I de Moran representa o inverso, ou seja, enquanto um determinado município aumenta seus gastos, os seu vizinhos diminuem.

3.3.2 Autocorrelação espacial local

Todavia, o índice de Moran, conforme especificado anteriormente, não consegue identificar padrões de dependências espaciais característica de regiões específicas, limitando- se a fornecer uma visão global do fenômeno espacial estudado. Para resolver esse problema, foram desenvolvidas ferramentas que captassem a dependência espacial local, ficando conhecidas como indicadores LISA (Local Indicator of Spatial Association).

A primeira delas é o Gi local, proposto pioneiramente por Getis e Ord, em 1992, que tem como intuito identificar bolsões localizados de concentração espacial, hot spots e cool spots (GETS; ORD, 1992). A denominação hot spots é utilizada para designar clusters espaciais com altos valores, enquanto que clusters com baixos valores são nominados de cool spots

(ALMEIDA, 2012). Alem disso, esse indicador consegue capturar apenas a autocorrelação espacial positiva. Essa estatística é tratada pela seguinte fórmula:

G𝑖 =

∑ 𝑤𝑗 𝑖𝑗𝑦𝑗 ∑ 𝑦𝑗 𝑗

, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 ≠ 𝑖 (4)

Assim, o somatório em j, ao calcular o numerador da equação 3, implica em considerar apenas os vizinhos do indivíduo i, de acordo com o critério de vizinhança dado pela matriz de ponderação espacial W. Por outro lado, o denominador da equação supracitada resulta na soma de todos os valores da variável de interesse, exceto quando i = j (ALMEIDA, 2012).

Outra medida, que capta localmente a dependência espacial, é o I de Moran local, o qual identifica quatro clusters, indivíduo com baixo valor localizado próximo a vizinhos com altos valores (baixo-alto), indivíduo com alto valor localizado próximo a vizinhos com baixos valores (alto-baixo), indivíduo com alto valor localizado próximo a vizinhos com alto valor (alto-alto) e indivíduo com baixo valor localizado próximo a vizinhos com baixo valor (baixo-baixo). Essa estatística contribui para os achados do Gi local e a seguinte estrutura:

I_𝑖 = 𝑧_𝑖∑ 𝑤_𝑖𝑗𝑧_𝑗 𝑗=1

(5)

Uma outra ferramenta utilizada para se observar a autocorrelação espacial é por meio do diagrama de dispersão de Moran, figura 3, que apresenta no eixo das abscissas o valor da variável de interesse e no eixo das ordenadas a defasagem espacial da variável de interesse (ALMEIDA, 2012). Entende-se por defasagem espacial, nesse contexto, a média dos vizinhos de um indivíduo em relação à variável de interesse. Tal diagrama é composto por quatro quadrantes, onde cada quadrante apresenta uma configuração quanto a relação existente entre o valor de uma variável para um elemento específico e o valor médio dessa mesma variável para os elementos de sua vizinhança.

Nessa perspectiva, o primeiro quadrante apresenta os indivíduos que são possuidores de altos valores, em uma dada variável, que são rodeados por vizinhos também com valores altos para essa mesma variável. Logo, seguindo esse mesmo raciocínio, no segundo quadrante são aqueles indivíduos com valores baixos rodeados por uma vizinhança de valores altos. No terceiro, encontram-se os indivíduos de valores baixos rodeados de valores também baixo. Por fim, no quarto, estão presentes aqueles indivíduos de valores altos rodeados de indivíduos com valores baixos.

Em relação a análise local dos gastos com saúde, o índice I de Moran e o Gi de Gets e

Ord (1992) identificam quatro padrões e dois, respectivamente, conforme quadro 6.

Quadro 6 – Padrões dos índices locais I de Moran e o Gi.

I de Moran Gi

alto-alto alto gasto se localiza próximo de alto gasto alto Clusters de alto gasto

alto-baixo alto gasto se localiza próximo de baixo gasto baixo Clusters de baixo gasto

baixo-alto baixo gasto se localiza próximo de alto gasto baixo-baixo baixo gasto se localiza próximo de baixo gasto Fonte: Adaptado de Moreira (2012).

Além disso, na figura 3, aponta-se que os indivíduos constantes do primeiro e terceiro quadrantes apresentam entre si autocorrelação positiva. Por outro, no segundo e quatro quadrante estão os indivíduos que possuem entre si uma autocorrelação negativa.

Figura 3 – Agrupamentos da dispersão de Moran univariado.

Fonte: Adaptado de Almeida (2012).

Os locais alto-alto e baixo-baixo que representam autocorrelação espacial local positiva são tipicamente denominadas como clusters espaciais, enquanto que os locais alto-baixo e baixo-alto que representam autocorrelação espacial local negativa são denominados de outliers espaciais (ANSELIN, 2005).

As duas estatísticas apresentadas anteriormente contribuem para se identificar associações espaciais entre o gasto público em saúde, nos municípios brasileiros.