4 O USO DE OPÇÕES REAIS NA AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS E DE
4.6 Ótica das Opções Reais
4.6.1 Avaliação de Opções Reais pelo Modelo Binomial
O Modelo Binomial de avaliação de opções baseia-se num processo simplificado de formação do preço de um ativo, no qual o tempo é uma variável discreta e em cada período o preço pode subir ou descer numa determinada porcentagem (NEVES: 2002, p. 323). O modelo binomial utiliza apenas matemática elementar e apresenta um procedimento simples e eficiente de avaliação de opções onde o exercício prematuro pode ser desejável. Num caso limite especial, o binomial aproxima-se do modelo Black-Scholes (COX, ROSS e RUBINSTEIN: 1978, p. 01).
O Modelo Binomial possibilita, ainda, uma formatação mais facilitada em computador, tornando-o acessível a executivos e profissionais não familiarizados com cálculos estocásticos - base do modelo Black-Scholes (COPELAND e ANTIKAROV: 2002, p. 03).
Para melhor entendimento, considere o exemplo seguinte:
Suponha como $10,00 o valor presente de um determinado investimento que, daqui a um ano, tem idêntica probabilidade de estar cotado a $12,50 ou $8,50. Você tem a opção de comprá-lo por $11,50, daqui a um ano. O problema pode ser demonstrado da seguinte maneira:
Generalizando, temos que, segundo o modelo binomial, o preço do ativo subjacente pode assumir dois valores possíveis:
Onde:
S0 = valor atual do ativo
u = movimento ascendente
d = movimento descendente
q = probabilidade subjetiva de ocorrência
A figura anterior é denominada “Árvore de Eventos”, utilizada para modelar a incerteza que influencia o valor do ativo e entender como o valor presente evolui ao longo do tempo. Segundo Copeland e Antikarov (2002, p. 221), ainda não há flexibilidade na análise, uma vez que uma árvore de eventos não incorpora decisões. Apenas quando da determinação das decisões gerenciais a serem tomadas nos nós das árvores de eventos é que teremos uma “Árvore de Decisões”.
A árvore de decisões mostra os retornos das decisões ótimas, condicionadas às situações que se apresentam. Portanto, seus retornos são os que resultariam da opção, ou opções, que estamos tentando valorar (COPELAND e ANTIKAROV: 2002, p.223).
Já os valores da opção, em função da evolução dos preços do ativo subjacente, são representados da seguinte maneira:
Onde:
Cu = valor da opção de compra, no caso de o preço do ativo subjacente subir para u. S0.
Cd = valor da opção de compra, no caso de o preço do ativo subjacente descer para d. S0.
X = preço de exercício da opção.
4.6.1.1 A Abordagem do Portfólio Replicado na Valoração de Opções Reais
A idéia por trás da abordagem do Portfólio Replicado é encontrar um “ativo gêmeo” ativamente negociado e que tenha fluxos de caixa perfeitamente correlacionados com aqueles do investimento em ativos reais que se quer avaliar (mesmo risco, portanto). Um portfólio de “m” unidades do ativo gêmeo e “B” títulos de dívida sem risco é formado para reproduzir os retornos do projeto de investimento.
Representando por Cu o valor da opção na situação de preços ascendentes e por Cd o seu
retorno na situação de preços descendentes, temos, para o cálculo de “m”:
Onde:
Su = valor do ativo subjacente na situação de preços ascendentes;
Sd = valor do ativo subjacente na situação de preços descendentes;
Verifica-se que o número de unidades, “m”, do ativo gêmeo é um coeficiente de hedge entre o valor incremental da opção (Cu – Cd) e a variação do seu ativo gêmeo (Su – Sd). O número de
unidades calculado garante o mesmo valor da carteira ao final do período, independentemente do percurso que seguir o valor do ativo subjacente. Dado que tal carteira está “imunizada”, atualiza-se seu valor para a data presente à taxa livre de risco:
O valor atualizado da opção pode ser dado por:
C0 = m.S0 – B0
Entretanto, como afirmam Copeland e Antikarov (2002, p. 95):
O lado frustrante da abordagem do ativo gêmeo é que é praticamente impossível encontrar um ativo com preço de conhecimento público que seja perfeitamente correlacionado com os do projeto em pauta. Portanto, é quase impossível encontrar ativos subjacentes sujeitos a risco com preços publicamente divulgados.
As primeiras aplicações da análise de opções reais utilizavam os preços de commodities mundiais como ativos subjacentes sujeitos a risco, mas pressupunham algo arbitrariamente que a volatilidade do projeto sem flexibilidade considerado seria igual à volatilidade observada da commodity em pauta. A volatilidade do preço do ouro, por exemplo, era considerada igual à volatilidade do valor de uma mina de ouro cuja abertura pudesse ser diferida, o que, se sabe, não é a mesma coisa.
Copeland e Antikarov (2002, p. 96) sugerem que, ao invés de procurar alternativas nos mercados financeiros, deve-se utilizar o valor presente do próprio projeto, sem flexibilidade, como ativo subjacente sujeito a risco – o ativo gêmeo.
Estamos dispostos a considerar a hipótese de que o valor presente dos fluxos de caixa do projeto sem flexibilidade (isto é, o VPL tradicional) é a melhor estimativa não tendenciosa do valor de mercado do projeto, se este fosse um ativo negociado. Chamamos esta hipótese de Negação do Ativo Negociado (COPELAND e ANTIKAROV: 2002, p.96)
4.6.1.2 A Abordagem Probabilística Neutra em Relação ao Risco na Valoração de Opções Reais
A abordagem probabilística neutra em relação ao risco é intuitiva e mais fácil de empregar na avaliação de opções reais. Segundo Neves (2002, p. 327), o valor da opção de compra pode ser calculado substituindo-se “m” pelo hedge de cobertura, resultando em:
Em que:
p = probabilidade neutra em relação ao risco, variando entre zero e um.
As probabilidades neutras em relação ao risco não são probabilidades subjetivas em que se pensa geralmente ao estimar a probabilidade de um evento acontecer. São, simplesmente, convenções matemáticas destinadas a ajustar os fluxos de caixa, de modo que possam ser descontados a uma taxa livre de risco.
Cox, Ross e Rubinstein (1978, p. 09) sustentam que uma das vantagens desse método é que a “probabilidade q” (subjetiva) não aparece na fórmula, significando que mesmo que diferentes investidores tenham diferentes probabilidades subjetivas acerca dos movimentos ascendentes e descendentes do valor do ativo, eles ainda concordarão com o relacionamento entre C, S e
Rf.
Segundo Neves (2002, p.330), existem diversas formas de construção de árvores binomiais. Em cada modelo, a distinção fundamental está na forma de estimar os coeficientes de subida,
u, e de descida, d, do valor do ativo subjacente em cada nódulo da árvore binomial (uma das maiores dificuldades de avaliação de opções reais, segundo o autor), e na forma como é estimada a taxa de juro periódica. No modelo Black-Scholes, admite-se que o valor do ativo tenha certa volatilidade, σσσσ. Cox, Ross e Rubinstein (1978, p. 29) fizeram uma aproximação do modelo binomial ao modelo de Black e Scholes e concluíram que os coeficientes u e d
u = e
σσσσ(∆∆∆∆t)½ d = 1/u Onde: σ σ σ σ= a volatilidade anual; ∆ ∆ ∆∆t = intervalo de tempo que decorre entre dois nódulos consecutivos da árvore binomial, ou seja, sendo n o número de subperíodos em que se vai dividir o período até a maturidade, T, tem-se ∆∆∆∆t = T/n;