BNC e DNC Propostos em [26] - Definição da Matriz B para os Códigos BNC e DNC

5.2 PRIMEIRA ABORDAGEM

5.2.1 Definição da Matriz B para os Códigos BNC e DNC

5.3.1.1 BNC e DNC Propostos em [26]

Seja i = 1, ..., M a linha e j = 1, ..., 2M a coluna da matriz B, k = 1, ..., M o ´ındice que indica o nó fonte, l = 1, ..., M + 1 o ´ındice que indica o nó destino, m = 1, 2 a etapa de transmissão (1 para difusão e 2 para cooperação) e M é o número de usuários do sistema. Para os esquemas propostos em [26], Figuras 5.2(a) e 5.2(b), os elementos Bi, jpodem ser definidos como

Bi, j= 1, para j ≤ i; ou j = M + 1, ..., 2M | j − i ≤ M Wm0 m=1 Wn

k=iβk,l,m, para todos os outros

, (5.11)

onde o s´ımbolo ∨ representa o operador lógico “OU”. As variáveis m0, l e n em (5.11), assim como a variável auxiliar o, são dadas por

o= j − i , (5.12) m0= 1, para o≤ M − 1 2, para o> M − 1 , (5.13) l= j, para j ≤ M

j− M, para todos os outros , (5.14)

n= ( o , para j ≤ M | n ≥ k, se n < k, n = k j j M k

, para todos os outros . (5.15)

Após o desenvolvimento da equação (5.11), se em algum termo β o ´ındice k for diferente do ´ındice i do elemento B, substitui-se o termo β em questão por

βk,l,m= β(k−1),(l−1),(m−1)∨ β(k−1),(l−1),m ∧ βk,l,m0 , para k 6= i , (5.16) onde β0representa um padrão de falha dependente de uma combinação linear da informação do nó k com a informação recebida do nó k − 1. Assim sendo,

68 5 COMUNICAC¸ ˜AO COOPERATIVA COM TOPOLOGIA EM LINHA em (5.16)

β(k−1),(l−1),(m−1)= 0 , para (m − 1) < 1 . (5.17) Na equação (5.16), o s´ımbolo ∧ representa o operador lógico “E”. Com todos os betas calculados, resta ainda fazer uma verificação. Devido à abordagem adotada, descrita no in´ıcio desta seção, a matriz B é dependente da matriz G, ou seja, a matriz de combinação de falhas depende do código projetado. A equação (5.10) pode ser reescrita como

V = I · ((BG◦ G) · D), (5.18)

onde o ´ındice G da matriz B revela a dependência desta matriz em relação ao código projetado. A dependência da matriz B para os esquemas BNC e DNC é verificada apenas para alguns betas, ou seja, apenas para aqueles que serão usados em combinações lineares. Portando, a dependência da matriz de combinação de falhas em relação à matriz do código projetado é dada por

βk,M,(k−1)=  



βk,M,(k−1)00 , para Gi,k= Gi,(k+1)| βk,M,(k−1)⊆ Bi, j| j ≤ M; ou para Gi,k= Gi,(k+M+1)| βk,M,(k−1)⊆ Bi, j| j > M 0, para todos os outros

, (5.19)

sendo que esta condição também é válida para β_k,M,(k−1)0 . E ainda,

βk,M,k=

βk,M,k00 , para Gi,(k+M)= Gi,(k+M+1), sendo que βk,M,k⊆ Bi, j| j > M;

0, para todos os outros , (5.20) sendo que esta condição também é válida para β_k,M,k0 . Para ambas equações, i= 1, 2, M = 3 e k = 2. O termo β00representa o padrão de falha composto por uma combinação linear que pode ser retransmitido por um outro nó usuário sem que o pacote de informação seja alterado.

Então, a partir da equação (5.11), temos que a matriz B para os esquemas BNC e DNC é, inicialmente, dada por

B=   1 B1,2 B1,3 1 B1,5 B1,6 1 1 B2,3 1 1 B2,6 1 1 1 1 1 1  . (5.21)

Continuando os cálculos dos elementos Bi, jrestantes, iniciaremos pelos termos da matriz do esquema BNC. Para obter B1,2, primeiramente encontra-se os valores das equações (5.12), (5.13), (5.14) e (5.15). Logo, para o termo

5.2 Primeira Abordagem 69

B_1,2(BNC), o = 1, m0= 1, l = 2 e n = 1. Substituindo estes valores acima na equação (5.11), o elemento B_1,2(BNC)é

B_1,2(BNC) = 1 _ m=1 1 _ k=1 βk,l,m (5.22) = β1,2,1.

Calculando agora o termo B1,3(BNC), as variáveis auxiliares encontradas são o = 2, m0= 1, l = 3 e n = 2. Substituindo estes valores acima na equação (5.11), o elemento B_1,3(BNC)é dado por

B_1,3(BNC) = 1 _ m=1 2 _ k=1 βk,l,m (5.23) = β1,3,1∨ β2,3,1.

No entanto, no termo β2,3,1 o ´ındice k é diferente de i. Logo, aplicando a substituição da equação (5.16) na equação (5.23), temos

B1,3(BNC)= β1,3,1∨ ((β1,2,0∨ β1,2,1) ∧ β2,3,10 ) , e aplicando a equação (5.17) para o termo β1,2,0, já que (m − 1) < 1

B1,3(BNC) = β1,3,1∨ ((0 ∨ β1,2,1) ∧ β2,3,10 ) (5.24) = β1,3,1∨ (β1,2,1∧ β2,3,10 ) .

Por fim, é realizada a verificação da equação (5.19) para o termo β_2,3,10 . Como na matriz (5.2) o termo G_1,2(BNC)= G_1,3(BNC) e G_2,2(BNC)= G_2,3(BNC), o termo β_2,3,10 é substitu´ıdo na equação (5.24) por β_2,3,100 . Portanto, o elemento B1,3 é dado por

B_1,3(BNC)= β1,3,1∨ (β1,2,1∧ β2,3,100 ) . (5.25) Para o termo B_2,3(BNC), as variáveis auxiliares encontradas são o = 1, m0= 1, l = 3 e n = 1. Substituindo estes valores acima na equação (5.11), o termo B_2,3(BNC)é

70 5 COMUNICAC¸ ˜AO COOPERATIVA COM TOPOLOGIA EM LINHA B_2,3(BNC) = 1 _ m=1 2 _ k=2 βk,l,m (5.26) = β2,3,1.

Como a verificação da equação (5.19) já foi realizada para o termo β_2,3,10 na equação (5.24), a mesma é válida para o termo β2,3,1. Portanto, substituindo o valor encontrado na equação (5.25) para β_2,3,10 na equação (5.26), B2,3(BNC) é dado por

B_2,3(BNC)= β_2,3,100 . (5.27)

Calculando o termo B_1,5(BNC), as variáveis auxiliares encontradas são o= 4, m0= 2, l = 2 e n = 1. Substituindo estes valores acima na equação (5.11), o termo B_1,5(BNC)é dado por

B_1,5(BNC) = 2 _ m=1 1 _ k=1 βk,l,m (5.28) = β1,2,1∨ β1,2,2.

Para o termo B1,6(BNC), os valores das variáveis auxiliares são o = 5, m0= 2, l = 3 e n = 2. Substituindo estes valores acima na equação (5.11), o termo B_1,6(BNC)é dado por

B_1,6(BNC) = 2 _ m=1 2 _ k=1 βk,l,m (5.29) = β1,3,1∨ β2,3,1∨ β1,3,2∨ β2,3,2.

No entanto, nos termos β2,3,1e β2,3,2o ´ındice k é diferente de i. Logo, aplicando a substituição da equação (5.16) na equação (5.29)

5.2 Primeira Abordagem 71

e aplicando a equação (5.17) para o termo β1,2,0, já que (m − 1) < 1

B_1,6(BNC)= β1,3,1∨(β1,2,1∧β2,3,10 ) ∨ β1,3,2∨((β1,2,1∨β1,2,2) ∧ β2,3,20 ). (5.30) Para o termo B_1,6(BNC), resta ainda fazer a verificação da dependência com a matriz G. Para β_2,3,10 , a verificação será refeita, pois agora j > M. Logo, como G_1,2(BNC)= G_1,6(BNC)e G_2,2(BNC)= G_2,6(BNC), substitui-se β_2,3,10 por β_2,3,100 . Utilizando agora a equação (5.20) para o termo β_2,3,20 , como G1,5(BNC)= G1,6(BNC) e G2,5(BNC)= G2,6(BNC), substitui-se na equação (5.30) o termo β_2,3,20 por β_2,3,200 . Portanto, o elemento B1,6(BNC)é dado por

B1,6(BNC)= β1,3,1∨ (β1,2,1∧ β2,3,100 ) ∨ β1,3,2∨ ((β1,2,1∨ β1,2,2) ∧ β2,3,200 ) (5.31) Finalizando a matriz BBNC, o termo B2,6(BNC)tem como variáveis auxiliares o = 4, m0= 2, l = 3 e n = 2. Substituindo estes valores encontrados na equação (5.11), o termo B_2,6(BNC)é

B_2,6(BNC) = 2 _ m=1 2 _ k=2 βk,l,m (5.32) = β2,3,1∨ β2,3,2.

As verificações da dependência dos termos β2,3,1e β2,3,2já foram realizadas para o elemento B1,6(BNC). Portando, o elemento B2,6(BNC)é dado por

B2,6(BNC)= β2,3,100 ∨ β 00

2,3,2. (5.33)

Substituindo os valores encontrados nas equac¸˜oes (5.22), (5.25), (5.27), (5.28), (5.31), e (5.33) na matriz (5.21), tem-se a matriz BBNCcom todos os seus elementos definidos.

Iniciando o cálculo dos termos Bi, j da matriz BDNC, os elementos B_1,2(DNC), B_1,3(DNC), B_2,3(DNC)e B_1,5(DNC)serão iguais aos da matriz BBNC. Para os elementos B_1,6(DNC) e B_2,6(DNC), o equacionamento é o mesmo feito para os elementos B_1,6(BNC)e B_2,6(BNC), o que difere é o resultado da verificação de dependência com a matriz G, devido ao maior número de coeficientes que este código pode assumir, como será visto a seguir. Para o elemento B1,6(DNC), o desenvolvimento é igual ao B1,6(BNC) até a equação

72 5 COMUNICAC¸ ˜AO COOPERATIVA COM TOPOLOGIA EM LINHA (5.30). Logo,

B1,6(DNC)= β1,3,1∨ (β1,2,1∧ β2,3,10 ) ∨ β1,3,2∨ ((β1,2,1∨ β1,2,2) ∧ β2,3,20 ) . (5.34)

Porém, a partir da equação (5.19), para β_2,3,10 e j > M, como G_1,2(DNC)= G1,6(DNC)mas G2,2(DNC)6= G2,6(DNC), substitui-se β2,3,10 por zero. Utilizando agora a equação (5.20) para o termo β_2,3,20 , como G_1,5(DNC)= G_1,6(DNC) e G_2,5(DNC)= G_2,6(DNC), substitui-se na equação (5.34) o termo β_2,3,20 por β_2,3,200 . Portanto, o elemento B_1,6(DNC)é dado por

B_1,6(DNC)= β1,3,1∨ β1,3,2∨ ((β1,2,1∨ β1,2,2) ∧ β2,3,200 ). (5.35) A partir do elemento B_2,6(BNC), temos que o desenvolvimento deste mesmo elemento para o esquema DNC é igual até a equação (5.32). Logo

B_2,6(DNC)= β2,3,1∨ β2,3,2. (5.36)

Portanto, como a vericação da dependência para os termos β2,3,1e β2,3,2foi realizada para o elemento B1,6(DNC), na equação (5.36) substitui-se β2,3,1por zero e β2,3,2por β_2,3,200 . Logo, o elemento B2,6(DNC)é dado por

B2,6(DNC)= β2,3,200 . (5.37)

Substituindo os valores acima nas equações (5.22), (5.25), (5.27), (5.28), (5.35),e (5.37) na matriz (5.21), a matriz BDNC é definida como

BDNC =    1 _β1,2,1 _{β1,3,1 ∨ (β1,2,1 ∧ β}_2,3,100 ) 1 _{β1,2,1 ∨ β1,2,2} _{β1,3,1 ∨ β1,3,2 ∨ ((β1,2,1 ∨ β1,2,2) ∧ β}_2,3,200 ) 1 1 β_2,3,100 1 1 β_2,3,200 1 1 1 1 1 1   . (5.38)

Uma ilustração didática deste algoritmo é apresentada na Figura 5.4 a seguir para facilitar o entendimento e funcionamento deste.

5.2 Primeira Abordagem 73

Figura 5.4: Ilustração didática do algoritmo para obtenção da matriz de combinação de falhas para os esquemas BNC e DNC propostos em [26].

5.3.1.2 GDNC

Para o esquema proposto em [27], Figura 5.2(c), os elementos Bi, jda matriz BGDNCpodem ser definidos como

Bi, j=    1, para j ≤ M; ou j = M + 1, ..., 2M; | i = j − M βk,l,m para j = M + 1

βk,l,m∨Wl−1_k0₌₁βk0_,l,m+1 para todos os outros .

, (5.39)

Para a equação (5.39), considera-se que os ´ındices que representam as linhas e as colunas da matriz BGDNC assumam os valores i = 1, ..., M e j = M + 1, ..., 2M, respectivamente. O ´ındice k0= 1, 2 representa o nó fonte dos termos que serão dependentes da matriz G, assim como os demais ´ındices do termo β representam o n ó fonte, nó destino e etapa de transmissão, respectivamente, e são definidos como

74 5 COMUNICAC¸ ˜AO COOPERATIVA COM TOPOLOGIA EM LINHA

l= j − M, (5.41)

m= 1. (5.42)

Assim como para os esquemas BNC e DNC, para o GDNC a matriz BGDNCtambém é dependente da matriz G. Portanto, a equação (5.18) é válida para este esquema. No entanto, como a matriz GDNC é sistemática, ou seja, possui uma matriz identidade para a etapa de difusão da informação, a dependência da matriz B em relação a matriz G será relacionada a betas diferentes daqueles utilizados na seção anterior para BNC e DNC. Portanto, a dependência da matriz de combinação de falhas em relação ao código projetado é dada por

βm,(M−1),(m+1)=

β_{m,(M−1),(m+1)}0 , para Gi,m+M= Gi,m+(M+1)

0 , para todos os outros . , (5.43)

βm,M,(m+1)=

β_m,M,(m+1)0 , para Gi,m+M= Gi,m+(M+2)

0 , para todos os outros . , (5.44)

β_{(m+1),M,(m+1)}=

β_{(m+1),M,(m+1)}0 , para G_i,m+(M+1)= G_i,m+(M+2)

0 , para todos os outros . . (5.45)

A partir da equação (5.39), a matriz BGDNCé inicialmente

BGDNC=   1 1 1 1 B1,5 B1,6 1 1 1 B2,4 1 B2,6 1 1 1 B3,4 B3,5 1  . (5.46)

Com os valores obtidos em (5.40), (5.41) e (5.42), calcula-se os termos restantes da matriz (5.46) ainda com base na equac¸˜ao (5.39). Calculando os elementos da quarta coluna ( j = 4) da matriz BGDNC, temos que

5.2 Primeira Abordagem 75

B_3,4(GDNC)= β3,1,1. (5.48)

Para os demais elementos da matriz BGDNC, os padr˜oes de falhas encontrados foram

B1,5(GDNC)= β1,2,1∨ β1,2,2. (5.49)

Porém, dada a equação (5.43), como G1,4(GDNC)6= G1,5(GDNC), G2,4(GDNC)6= G2,5(GDNC) e G3,4(GDNC)6= G3,5(GDNC), o termo β1,2,2 na equação (5.49) é substitu´ıdo por zero. Logo,

B_1,5(GDNC)= β1,2,1. (5.50)

Da mesma forma que para o elemento B_3,5(GDNC), onde

B_3,5(GDNC)= β3,2,1∨ β1,2,2, (5.51)

a substituição feita para o termo β1,2,2no elemento B1,5(GDNC) é válida aqui também. Portanto,

B_3,5(GDNC)= β3,2,1. (5.52)

Por fim, os elementos da sexta coluna ( j = 6) da matriz BGDNCs˜ao

B1,6(GDNC)= β1,3,1∨ β1,3,2∨ β2,3,2 (5.53) e

B_2,6(GDNC)= β2,3,1∨ β1,3,2∨ β2,3,2. (5.54) Porém, a partir da equação (5.44), como G_1,4(GDNC) 6= G_1,6(GDNC), G_2,4(GDNC) 6= G_2,6(GDNC) e G_3,4(GDNC) 6= G_3,6(GDNC), o termo β1,3,2 nas equações (5.53) e (5.54) é substitu´ıdo por zero. E, dada a equação (5.45), como G_1,5(GDNC) 6= G_1,6(GDNC), G_2,5(GDNC) 6= G_2,6(GDNC) e G_3,5(GDNC)6= G_3,6(GDNC), o termo β2,3,2nas equações (5.53) e (5.54) também será substitu´ıdo por zero. Portanto, os elementos B_1,6(GDNC)e B_2,6(GDNC)são iguais a

76 5 COMUNICAC¸ ˜AO COOPERATIVA COM TOPOLOGIA EM LINHA e

B_2,6(GDNC)= β2,3,1. (5.56)

Logo, substituindo os valores encontrados em (5.47), (5.48), (5.50), (5.52), (5.55) e (5.56) na matriz BGDNC, a matriz de combinação de falhas de é igual a BGDNC=   1 1 1 1 β1,2,1 β1,3,1 1 1 1 β2,1,1 1 β2,3,1 1 1 1 β3,1,1 β3,2,1 1  . (5.57)

Uma ilustração didática deste algoritmo é apresentada na Figura 5.5 a seguir para facilitar o entendimento e funcionamento deste.

5.3.1.3 BNC e DNC na Forma Sistem´atica

Para o esquema BNC na forma sistem´atica, Figura 5.2(d), a matriz BBNCS ´e definida por

Bi, j= 1 , ∀ i, j . (5.58)

Isto porque, as duas submatrizes 3 × 3 que se tem na matriz (5.4) são matrizes identidades. Portanto, esses elementos que estão na diagonal, terão relação apenas com a matriz D.

Para o esquema DNC na forma sistem´atica, Figura 5.2(e), a matriz BDNCS ´e definida por

Bi, j=    1 para j ≤ M ; j − M ≤ i ; e j − M < 2i W2 m=1βk,l,m∨ β(k+1),l,(k+1) para j − M ≥ M W2

m=1βk,l,m para todos os outros

, (5.59)

dado que k = i e l = j − M. A dependência da matriz BDNCS em relação à

matriz GDNCS é semelhante à definida para o esquema GDNC. Porém, como

será visto a seguir, tem algumas considerações diferentes. Considere m = 1, i= 1, 2 e M = 3. Então

βm,(M−1),(m+1)=

β_{m,(M−1),(m+1)}0 , para Gm,m+M= Gm,m+(M+1); ou Gm,m+M= 1

5.2 Primeira Abordagem 77

Figura 5.5: Ilustração didática do algoritmo para obtenção da matriz de combinação de falhas para o esquema GDNC.

βm,M,(m+1)=

β_m,M,(m+1)0 , para Gm,m+M= Gm,m+(M+2); ou Gm,m+M= 1

0, para todos os outros . , (5.61)

β(m+1),M,(m+1)=

β_{(m+1),M,(m+1)}0 , para Gi,m+(M+1)= Gi,m+(M+2)

0 , para todos os outros . . (5.62)

A partir da equação (5.59), a matriz BDNCS é inicialmente

BDNCS=   1 1 1 1 B1,5 B1,6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  . (5.63)

78 5 COMUNICAÇ ÃO COOPERATIVA COM TOPOLOGIA EM LINHA Calculando os elementos restantes, ainda a partir da equação (5.59), temos que

B_1,5(DNC_S₎= β1,2,1∨ β1,2,2, (5.64)

e, como G_1,4(DNC_S) 6= G1,5(DNCS) mas G1,4(DNCS)= 1, a partir da equac¸˜ao

(5.60), o termo β1,2,2 na equação (5.64) é substitu´ıdo por β1,2,20 . Portanto, o elemento B1,5(DNCS) é dado por

B1,5(DNCS)= β1,2,1∨ β

1,2,2. (5.65)

Por fim, o elemento B_1,6(DNC

S)´e dado por

B_1,6(DNC

S)= β1,3,1∨ β1,3,2∨ β2,3,2. (5.66)

Porém, dada a dependência com a matriz GDNCS, o termo β1,3,2 é subs-

titu´ıdo por β_1,3,20 na equação (5.66), de acordo com a equação (5.61), já que G_1,4(DNC

S)= 1. O termo β2,3,2, no entanto, de acordo com a equac¸˜ao (5.62),

ser´a substitu´ıdo por zero, j´a que G_1,5(DNC

S)= G1,6(DNCS) mas G2,5(DNCS)6=

G_2,6(DNC_S₎. Logo, o elemento B_1,6(DNC_S₎ ´e dado por

B_1,6(DNC_S)= β1,3,1∨ β1,3,20 . (5.67) Substituindo os valores encontrados em (5.65) e (5.67) na matriz (5.63), a matriz BDNCS ´e dada por

BDNCS=   1 1 1 1 β1,2,1∨ β_1,2,20 β1,3,1∨ β_1,3,20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  . (5.68)

Uma ilustração didática deste algoritmo é apresentada na Figura 5.6 a seguir para facilitar o entendimento e funcionamento deste.

5.3 SEGUNDA ABORDAGEM

Nesta abordagem será considerado que os nós usuários são capazes de realizar decodificação de rede, ou seja, o pacote de informação recebido pode ser decodificado para que novas combinações sejam feitas antes da retrans- missão. Dado o exemplo da Figura 5.7, o nó usuário 3 recebe os pacotes I1e

5.3 Segunda Abordagem 79

Figura 5.6: Ilustração didática do algoritmo para obtenção da matriz de combinação de falhas para o esquema DNC sistemático.

I1 I2. Na abordagem anterior, Seção (5.3), o nó 3 poderia apenas transmitir o pacote I1 I2adicionando a sua própria informação, sendo que os coeficientes que multiplicam I1e I2não poderiam ser alterados. No entanto, nesta segunda abordagem isto será poss´ıvel.

Para ilustrar esta nova abordagem, considere ainda o exemplo da Fi- gura 5.7. O nó usuário 3 poderá agora realizar a operação lógica XOR para os pacotes recebidos I1e I1 I2, e como resultado ele obtém I2. Sendo assim, o nó 3 agora possui ambas informações independentes, I1recebido do nó usuário 1, e I2resultado da decodificação de rede realizada por este nó. Portanto, para formar o seu pacote de paridade, o nó 3 é capaz de realizar qualquer combinação linear dos pacotes recebidos, que para o exemplo da Figura 5.7 é 2I1 3I2 3I3.

80 5 COMUNICAÇ ÃO COOPERATIVA COM TOPOLOGIA EM LINHA pazes de realizar decodificação de rede, os elementos Bi, j das matrizes de combinação de falhas de cada código, tendem a ter um maior número de termos β nesta combinação. Ou seja, diminui a probalidade de apagamento daquele termo da matriz (sua substituição por zero). O efeito deste aumento de termos β na composição dos elementos Bi, jda matriz de combinação de falhas será analisado nas simulações.

2 3 3 2 4 4 2 3 4 1 1 1

Figura 5.7: Nós intermediários capazes de realizar decodificação de rede.

Para esta abordagem, não foi desenvolvido um algoritmo para determi- nar os elementos Bi, jda matriz de combinação de falhas B. A determinação da matriz B foi feita manualmente, analisando todos os poss´ıveis padrões de falhas a partir de cada cenário definido nesta dissertação, Figura 5.2, e as matrizes B resultantes desta análise serão dadas a seguir.

No esquema BNC, Figura 5.2(a), para a atual abordagem a matriz de combinação de falhas será idêntica à matriz BBNC da abordagem anterior, Seção (5.2). Portanto, esta matriz não será redefinida aqui, sendo a matriz BBNCválida para ambas as abordagens no momento de realizar as simulações. Para o esquema DNC, Figura 5.2(b), a matriz BDNC, assim como na Seção (5.2), é definida como

BDNC=   1 B1,2 B1,3 1 B1,5 B1,6 1 1 B2,3 1 1 B2,6 1 1 1 1 1 1  , (5.69)

5.3 Segunda Abordagem 81

anterior, s˜ao definidos como

B_1,2(DNC)= β1,2,1, (5.70) B_1,3(DNC)= β1,3,1∨ (β1,2,1∧ β2,3,1) , (5.71) B2,3(DNC)= β2,3,1, (5.72) B1,5(DNC)= β1,2,1∨ β1,2,2, (5.73) B_1,6(DNC)= β1,3,1∨ β1,3,2∨ ((β1,2,1∨ β1,2,2) ∧ β2,3,2) , (5.74) e B_2,6(DNC)= β2,3,2∨ ((β1,3,1∨ β1,3,2) ∧ β2,3,1) . (5.75) Assim como para o esquema DNC, a matriz de combinação de falhas BGDNC também parte da mesma definição da seção anterior, matriz (5.46), que é dada por

BGDNC=   1 1 1 1 B1,5 B1,6 1 1 1 B2,4 1 B2,6 1 1 1 B3,4 B3,5 1  . (5.76)

Mas nesta abordagem, diferentemente da seção anterior, os elementos Bi, j restantes são dados por

B1,5(GDNC)= β1,2,1∨ (¬β3,1,1∧ β1,2,2) ∨ (β3,1,1∧ β3,2,1∧ β1,2,2) , (5.77) B_1,6(GDNC)= β1,3,1∨ (¬β2,1,1∧ β1,3,2) ∨ (β2,1,1∧ β1,3,2∧ β2,3,1) ∨ (β2,3,2∧ (β1,2,1∨ (¬β3,1,1∧ β1,2,2) ∨ (β3,1,1∧ β3,2,1)) ∧ β2,3,1) , (5.78) B2,4(GDNC)= β2,1,1, (5.79) B2,6(GDNC)= β2,3,1∨ (β2,1,1∧ β1,3,2∧ β1,3,1) ∨ ((β1,2,1∨ (β1,2,2β3,2,1∧ β3,1,1)∨ (¬β3,1,1∧ β1,2,2)) ∧ β2,3,2∧ (β1,3,1∨ (¬β2,1,1∧ β1,3,2))) , (5.80)

82 5 COMUNICAC¸ ˜AO COOPERATIVA COM TOPOLOGIA EM LINHA

B_3,4(GDNC)= β3,1,1, (5.81)

B_3,5(GDNC)= β3,2,1∨ (β3,1,1∧ β1,2,2∧ β1,2,1) . (5.82) Nas equações acima, o s´ımbolo ¬ representa o operação lógica “negação”. Para o esquema BNC na forma sistemática, Figura 5.2(d), assim como ocor- reu com o esquema BNC proposto por Girnyk et al. em [26], a matriz BBNCS

nesta abordagem permanece igual à matriz definida na Seção (5.2). Por fim, para o esquema DNC na forma sistemática, Figura (5.2(e)), a matriz BDNCS

parte da mesma definição da Seção (5.2), e é dada por

BDNCS =   1 1 1 1 B1,5 B1,6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  . (5.83)

onde os elementos Bi, jrestantes s˜ao definidos como B_1,5(DNC

S)= β1,2,1∨ β1,2,2, (5.84)

B_1,6(DNC_S₎= β1,3,1∨ β1,3,2∨ ((β1,2,1∨ β1,2,2) ∧ β2,3,2∧ β2,3,1) . (5.85)

5.4 SIMULAC¸ ˜OES

Nas simulações, os cinco cenários da Figura 5.2 foram implementa- dos, assim como as duas abordagens citadas, Seções 5.2 e 5.3. Os resultados, que serão discutidos na próxima seção, serão comparados em termos da probabilidade de outage do sistema como um todo.

As matrizes de combinações de falhas, definidas nas seções anteriores, foram importantes para analisar o comportamento de cada sistema, sendo que todos os poss´ıveis padrões de falhas foram simulados. Ou seja, cada βk,l,m poderia assumir dois valores (0 ou 1), e um vetor β com 12 elementos foi testado para os esquemas BNC, DNC, BNC na forma sistemática e DNC na forma sistemática, o que nos dá 212= 4.096 padrões poss´ıveis de falhas, cujos valores foram substitu´ıdos na matriz B de cada sistema. Para o esquema GDNC, são 216_{= 65.536 padrões poss´ıveis de falhas, devido aos links que} estão entre o nó fonte e os nós que estão posicionados antes do nó fonte na

5.5 Resultados 83

topologia da rede.

Além dos padrões de falhas, as distâncias entre os nós foram levadas em consideração nas simulações. Como a topologia da rede adotada é em linha, em algumas simulações as distâncias foram arbitradas da seguinte forma: começando pelo nó mais próximo do destino comum, a distância entre o nó usuário 3 e o nó destino 4 é definida como d, assim como a distância entre dois nós usuário adjacentes também é d. Ou seja, d1,2= d2,3= d. A distância entre o nó usuário 2 e o destino comum foi considerada como 2d, enquanto que a distância entre o nó usuário 1 e o destino comum foi considerada como 3d, conforme a equação (5.1). A distância d poderia ser um valor qualquer, mas nesta dissertação foi arbitrado o valor d = 0, 5.

5.5 RESULTADOS

Nesta seção, serão discutidos os resultados das simulações. Inici- ando pela Figura 5.8, o cenário analisado considera distâncias iguais entre todos os nós usuário e o nó destino, assim como o modelo proposto em [26]. Para os esquemas BNC, DNC e GDNC com propagação apenas para frente, não houve ganhos em termos de ordem de diversidade entre esses esquemas (D = 2). Houve apenas um pequeno ganho de SNR, sendo que para uma probabilidade de outage do sistema como um todo em torno de 10−3, o GDNC com propagação para frente atinge este valor com uma SNR menor, cerca de 1dB a menos quando comparado ao DNC, e 2dB a menos quando comparado ao BNC.

Esta adaptação do esquema GDNC com propagação apenas para frente, cuja matriz de transferência é dada por

BGDNCp f =   1 0 0 4 1 5 0 1 0 0 1 3 0 0 1 0 0 7  , (5.86)

foi simulada para verificar se o bom desempenho deste código estaria apenas relacionado aos links entre o nó fonte e os nós usuário posicionados atrás (nas figuras são os nós posicionados à esquerda) do nó fonte, já que para os esquemas BNC e DNC estes links não são utilizados, dada a caracter´ıstica da matriz de transferência de cada sistema, como já mencionado na Seção 5.1.

Diferentemente, o esquema GDNC proposto em [27] e aqui analisado para a topologia em linha, faz uso dos links entre nó fonte e os nós usuário

84 5 COMUNICAC¸ ˜AO COOPERATIVA COM TOPOLOGIA EM LINHA −2 0 2 4 6 8 10 12 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 SNR (dB)

Probabilidade de Outage do Sistema como um Todo

BNC em [26] DNC em [26] GDNC s/ Dec. Rede GDNC c/ Dec. Rede

GDNC c/ Dec. Rede e propagação p/ frente GDNC s/ Dec. Rede e propagação p/ frente DNC c/ Dec. Rede

Figura 5.8: Resultado da simulação assumindo que todos os nós estão igualmente distantes um do outro.

posicionados à esquerda do nó fonte, conforme mencionado na Seção 5.1. É observado para o GDNC um aumento na ordem de diversidade do sistema sob as mesmas condições (distâncias iguais entre todos os nós), sendo então D= 4. A abordagem que considera que os nós usuário são capazes de realizar decodificação de rede trouxe pouco ou nenhum benef´ıcio, lembrando que k2= 1 para a abordagem GDNC, em termos de desempenho para os três sistemas simulados.

Na simulação seguinte, Figura 5.9, partiu-se de um cenário mais próximo do encontrado na prática, que corresponde ao modelo proposto nesta dissertação. A Figura 5.9 apresenta resultados mais interessantes. Os esquemas simulados foram os mesmos da Figura 5.8, porém nesta simulação as distâncias entre os nós usuário e o nó destino são diferentes, conforme definido na Seção (5.1).

Como pode-se observar, as diversidades dos esquemas BNC e DNC permaneceram iguais, D = 2, mas o desempenho dos sistemas em termos de probabilidade de outage do sistema como um todo piorou, e a diferença de desempenho entre o BNC e o DNC aumentou. No cenário anterior, Figura 5.8, a diferença entre esses dois esquemas era de 1dB, sendo o DNC o esquema com melhor desempenho entre os dois. No cenário atual, para atingir um mesmo valor de probabilidade de outage do sistema como um todo, o esquema BNC necessita de uma SNR muito maior do que o DNC, aumen-

5.5 Resultados 85 −2 0 2 4 6 8 10 12 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 SNR (dB)

Probabilidade de Outage do Sistema como um Todo

BNC em [26] DNC em [26] GDNC s/ Dec. Rede GDNC c/ Dec. Rede

GDNC c/ Dec. Rede e propagação p/ frente GDNC s/ Dec. Rede e propagação p/ frente DNC c/ Dec. Rede

Figura 5.9: Resultado da simulação assumindo que a distância di, j= |i− j|d, onde

i, j = 1, 2, ..., M + 1 e d = 0, 5 é o valor da distância de referência.

tando assim a diferença de desempenho entre os dois esquemas. O esquema GDNC apresentou apenas uma pequena piora no desempenho quando comparado ao cenário anterior, enquanto que o esquema GDNC com propagação apenas para frente dobrou sua ordem de diversidade (D = 4), e praticamente igualou-se ao GDNC com propagação em ambos os sentidos.

Um fato bastante interessante é que tanto o esquema GDNC com propagação apenas para frente quanto o DNC e o BNC têm distância m´ınina dmin= 2, e apenas o GDNC apresentou ordem de diversidade D = 4. Isto pode ser explicado pela teoria de códigos com proteção desigual de erro (UEP codes, do inglês unequal error protection codes), a qual afirma que alguns bits de uma palavra código podem ter um n´ıvel maior de proteção em relação aos erros sofridos, do que outros bits da mesma palavra código [41, 42].

Para ilustrar esta teoria, na Figura 5.10 temos diversas palavras código, cada uma composta por 6 bits. Logo, tomando como exemplo a palavra código 101100, podemos observar que as palavras código mais próximas a esta são diferentes em algumas posições de bits, mas as posições 1 e 4 (da esquerda para direita) são sempre iguais, com valor 1. Ou seja, mesmo que haja erro durante a transmissão e que uma outra palavra código seja recebida no destino, o erro não atinge os bits nas posições 1 e 4. Para que estes bits sejam afetados, é necessário um erro na transmissão que faça com que esta palavra código seja confundida com outras palavras código muito distantes

86 5 COMUNICAC¸ ˜AO COOPERATIVA COM TOPOLOGIA EM LINHA

Figura 5.10: Exemplo de proteção desigual de erros entre bits de uma mesma palavra código.

da palavra código transmitida, como pode ser visto na figura, o que é menos provável de acontecer. Portanto, isto faz com que os bits nas posições 1 e 4 tenham um n´ıvel de proteção contra erros ou apagamentos maior do que os demais bits da mesma palavra.

Para os códigos analisados nesta dissertação, apenas o DNC e o

No documento Análise de códigos de rede para sistemas cooperativos multiusuário com topologia de rede em linha (páginas 67-93)