Para os sistemas que ser˜ao descritos a partir daqui, algumas considerac¸˜oes, definic¸˜oes e conceitos importantes ser˜ao apresentados nesta sec¸˜ao.
4.1.1 Modelo do Sistema
Considere o sistema com M n´os usu´ario, denotados por 1, 2, ..., M, e o n´o destino (destino comum) denotado por M + 1. A informac¸˜ao recebida pelo n´o j, transmitida pelo n´o i ´e dada por
yj,i= s Pi dα i, j hi, jxi+ ni, j (4.1)
onde Pi ´e a potˆencia de transmiss˜ao, di, j ´e a distˆancia entre os n´os i e j, α ´e o expoente de perda de percurso [37], e xi∈ CN e yj,i∈ CNs˜ao a informac¸˜ao complexa em banda base transmitida e os pacotes de informac¸˜ao recebidos de comprimento N, respectivamente. O ru´ıdo AWGN com m´edia zero e variˆancia No
2 por dimens˜ao ´e representado por ni, j∈ C N. h
i, jcorresponde ao coeficiente de desvanecimento e assume-se que este tenha distribuic¸˜ao Gaus- siana complexa independente e identicamente distribuida (i.i.d.), atrav´es do espac¸o e do tempo, com variˆancia unit´aria por dimens˜ao, equivalente a um modelo de desvanecimento em bloco Rayleigh onde o canal ´e constante du- rante N amostras.
Para uma entrada Gaussiana i.i.d. xi, a informac¸˜ao m´utua entre xie yj,i ´e dada por [23, 24]
Ii, j= 1
Mlog2(1 + SNRi, j|hi, j|
4.1 Considerac¸˜oes iniciais 45
na qual o termo M1 ´e o fator de compartilhamento dos recursos do canal entre os M n´os usu´ario, e a relac¸˜ao sinal-ru´ıdo (do inglˆes, signal-to-noise (SNR)) ´e dada por SNRi, j= Pi dα i, jNo . (4.3)
O link entre os n´os i e j, `i, j, ´e dito estar em outage quando sua informac¸˜ao m´utua Ii, j ´e menor do que uma dada taxa de informac¸˜ao Ri. Ma- nipulando os termos em (4.2), um evento de outage para o link `i, j pode ser descrito como Oi, j= {|hi, j|2< Hi, j}, (4.4) onde Hi, j= (2Ri− 1) SNRi, j . (4.5)
A probabilidade de tal evento ´e denominada de probabilidade de ou- tage. Para desvanecimento de Rayleigh, ela ´e dada por [37]
Pr{Oi, j} = 1 − e−Hi, j ≈ Hi, j, (4.6) onde a aproximac¸˜ao ´e v´alida para regi˜oes de alta SNR. Para facili- tar a manipulac¸˜ao das equac¸˜oes nas pr´oximas sec¸˜oes, ser´a considerado Pe= Pr{Oi, j,t}.
Cada um dos M usu´arios possui uma informac¸˜ao independente para transmitir ao n´o destino: os pacotes I1, ..., IM, sendo que os ´ındices repre- sentam o n´o fonte. A probabilidade de pelo menos um desses pacotes de informac¸˜ao n˜ao ser recuperado pelo n´o destino ´e considerada a probabilidade de outage do sistema como um todo, e ´e dada por [37]
Po= Pr (M [ i=1 Fi ) , (4.7)
onde Fi´e o evento no qual o pacote Iin˜ao pode ser recuperado pelo n´o destino. A ordem de diversidade total D ´e ent˜ao definida por [37]
D, lim
SNR→∞
− log Po
46 4 C ´ODIGOS DE REDE EM SISTEMAS COOPERATIVOS
4.1.2 Matriz de Transferˆencia do Sistema
Partindo agora para a ´area de teoria da codificac¸˜ao, uma representac¸˜ao que ser´a utilizada nas pr´oximas sec¸˜oes ser´a a matriz geradora do sistema. Esta ´e capaz de fornecer informac¸˜oes a respeito das operac¸˜oes de codificac¸˜ao, como por exemplo para um c´odigo de bloco de Hamming, cujas palavras c´odigos s˜ao obtidas a partir de combinac¸˜oes lineares das linhas da matriz G[38] G= 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 .
Uma outra forma de interpretar a matriz G, no cen´ario de cooperac¸˜ao com codificac¸˜ao de rede, ´e a matriz de transferˆencia/transmiss˜ao do sistema, ou seja, a matriz capaz de fornecer informac¸˜oes a respeito da combinac¸˜ao linear que cada usu´ario transmite. O exemplo a seguir ajudar´a a esclarecer esta interpretac¸˜ao. Considere a matriz de transferˆencia:
G= 1 0 | 1 2 0 1 | 2 1 I1 I2 . (4.9)
Analisando (4.9), primeiramente podemos observar que a matriz G est´a divi- dida em duas partes, associadas `as etapas de difus˜ao e cooperac¸˜ao. As linhas da matriz indicam o pacote que est´a sendo transmitido, ou seja, a primeira linha se refere ao pacote I1, e a segunda linha, o pacote I2. O n´umero to- tal de linhas representa a quantidade de usu´arios do sistema que possuem informac¸˜ao pr´opria para transmitir.
J´a as colunas indicam o usu´ario que est´a transmitindo e em que etapa, isto ´e, as colunas na cor vermelha representam o Usu´ario 1, e as colunas na cor azul representam o Usu´ario 2. As duas colunas da parte esquerda indicam transmiss˜oes de difus˜ao, e as duas da direita indicam transmiss˜oes na etapa de cooperac¸˜ao. Assim, para a coluna 4 da matriz G, por exemplo, temos que o Usu´ario 2 na fase de cooperac¸˜ao transmite um pacote composto pela combinac¸˜ao linear 2I1 I2, na qual o s´ımbolo representa a operac¸˜ao de adic¸˜ao de coeficientes n˜ao bin´arios.
4.1 Considerac¸˜oes iniciais 47
4.1.3 Apagamentos
Com base na teoria da codificac¸˜ao, um apagamento pode ser definido como um erro, sendo que a posic¸˜ao deste erro ´e conhecida, por´em o seu valor, n˜ao [38, 39]. Como ser´a visto no pr´oximo cap´ıtulo, nos cen´arios adotados, os enlaces entre os n´os estar˜ao sujeitos a falhas, de tal modo que uma matriz de combinac¸˜ao de falhas ser´a definida.
Para a topologia de rede adotada, topologia em linha que ser´a apre- sentada na Sec¸˜ao 4.5, as falhas nos enlaces (ou links) em outage podem ocor- rer nos canais interusu´ario ou nos canais diretos, entre usu´ario e destino co- mum [27]. Quando as falhas ocorrem nos canais interusu´ario, as posic¸˜oes correspondentes na matriz de transferˆencia do sistema ser˜ao substitu´ıdas por zero. Por exemplo, considere a matriz em (4.10) como sendo a matriz de transferˆencia de um sistema com topologia em linha com dois usu´arios, sendo que cada um possui uma informac¸˜ao independente para transmitir a um des- tino comum. Gexemplo= 1 0 1 0 0 1 1 1 . (4.10)
Suponha que durante a transmiss˜ao da informac¸˜ao do usu´ario 2 para o usu´ario 1, segunda coluna da matriz (4.10), tenha ocorrido uma falha no link interusu´ario. O usu´ario 1, portanto, n˜ao ser´a capaz de inserir a informac¸˜ao do usu´ario 2 na combinac¸˜ao linear que ser´a transmitida na etapa de cooperac¸˜ao, terceira coluna da matriz (4.10). Tem-se ent˜ao uma nova matriz de trans- ferˆencia do sistema, G0exemplo, substituindo o termo correspondente ao link em outage por zero na matriz Gexemplo, como pode ser visto a seguir
G0exemplo= 1 0 1 0 0 1 0 1 . (4.11)
No entanto, quando as falhas ocorrem nos links diretos, ocorre um apagamento de uma coluna inteira da matriz de transferˆencia [27]. Tomando como exemplo ainda a matriz (4.10), se o link do usu´ario 2 para o destino final na etapa de difus˜ao da informac¸˜ao falhar, a segunda coluna da matriz (4.10) ser´a inteiramente apagada. Logo, a matriz de transferˆencia do sistema com apagamento, ´e dada por
G00exemplo= 1 0 1 0 0 0 1 1 . (4.12)
48 4 C ´ODIGOS DE REDE EM SISTEMAS COOPERATIVOS Entretando, o n´o destino ainda pode receber a informac¸˜ao do usu´ario 2, que est´a contida na combinac¸˜ao linear transmitida pelo usu´ario 1 na etapa de cooperac¸˜ao, terceira coluna da matriz (4.12). Isto porque, no exemplo em (12), o apagamento ocorre no link direto, e n˜ao no canal interusu´ario entre o n´o 2 e o n´o 1.