4.1 – Opções
Uma opção é um tipo de derivativo que confere ao investidor o direito de comprar ou vender uma quantidade predeterminada de um ativo-objeto a um preço fixo, denominado preço de exercício ou strike price, até ou na data de vencimento da opção. O investidor decidirá na data acordada, de acordo com seu interesse, o exercício ou não de sua opção, dependendo do preço de mercado à vista do ativo-objeto.
Esses derivativos podem ser de compra ou call ou de venda ou put. Em opções de compra, o detentor da opção, também chamado de titular, adquire o direito de, se assim desejar, comprar do lançador ou o vendedor da opção, até uma data fixada, o ativo relativo à opção. Já nas opções de venda, o direito do titular é de poder vender o ativo ao lançador sob condições também preestabelecidas.
As opções podem ser americanas, que são aquelas que podem ser exercidas a qualquer momento até a data de vencimento da opção ou européias, que só podem ser exercidas na data de vencimento da opção.
De acordo com Cavalcante e Misumi (2001: 113-116), o mercado de opções mais conhecido no Brasil é o de ações, negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo - BOVESPA e que tem seu jargão próprio:
- Lançador: É quem vende a opção. Assume obrigação de vender ou comprar determinada quantidade da ação-objeto, a um preço fixado, até o vencimento da opção em data determinada.
- Titular: É quem compra a opção. Adquire os direitos vinculados a ela.
- Ação-Objeto: Ação a ser comprada ou vendida no dia de vencimento da opção. - Dia de Exercício: Dia de vencimento do contrato. Titulares devem instruir seus corretores para exercer ou não a opção em tempo hábil.
- Preço de Exercício: Preço pelo qual a opção será exercida. - Prazo: Tempo entre o dia de lançamento e dia de exercício. - Lançamento: Operação que origina as opções negociadas.
- Fechamento: Operação em que o lançador e/ou titular reduz ou encerra suas obrigações ou direitos. Consiste na realização da operação inversa à original.
- Prêmio: preço da opção, no lançamento ou durante o prazo.
- Série: Opções com mesmo preço e dia de exercício, envolvendo a mesma ação- objeto.
Na Bovespa, as séries de opção autorizadas são identificadas pelo símbolo do ativo-objeto associado a uma letra e a um número. A letra identifica se é uma opção de compra ou de venda e o mês de vencimento (ver quadro a seguir), e o número indica um determinado preço de exercício.
TABELA 8: Códigos das opções de ações na BOVESPA Opção Vencimento Compra Venda A M Janeiro B N Fevereiro C O Março D P Abril E Q Maio F R Junho G S Julho H T Agosto I U Setembro J V Outubro K W Novembro L X Dezembro Fonte: www.investshop.com.br
4.1.1 – Ganhos e Perdas com Opções
De acordo com Silva (1996: 20-27), o titular de uma opção de compra espera que o ativo-objeto aumente de preço, ou ele deseja se proteger contra o aumento de preço daquele ativo.
O gráfico de retorno do titular de uma opção de compra tem o seguinte formato na data de exercício da opção:
GRÁFICO 2: Gráfico de Rentabilidade de um comprador de opção de compra
Fonte: Marins (2004: 524)
De acordo com Marins (2004: 516-517), o lançador de uma opção de compra recebe o valor do prêmio e caso a opção não dê exercício, ou seja, caso o ativo-objeto fique com o preço abaixo do preço de exercício, esse lucra o prêmio. Por outro lado, a perda é ilimitada caso o preço do ativo-objeto comece a subir.
Para o vendedor da opção de compra, o gráfico é exatamente o oposto do titular da call, como pode ser visto a seguir:
X
Preço do ativo- Lucro/Prejuizo
GRÁFICO 3: Gráfico de Rentabilidade de um lançador (vendedor) de opção de compra
Fonte: Marins (2004: 516)
Para as puts, ou seja, opções de venda, o comprador ou titular de uma opção de
venda tem a expectativa de que o preço do ativo-objeto baixe ou ele pode ter comprado proteção contra a queda nos preços do ativo-objeto.
As perdas e ganhos do comprador de uma put podem ser visualizados no gráfico a seguir:
GRÁFICO 4: Gráfico de Rentabilidade de um comprador de opção de venda
Fonte: Marins (2004: 532)
De acordo com o gráfico, o titular da put, ou o comprador da opção de venda, perde no máximo o prêmio pago p. Quando o preço do ativo-objeto cai abaixo de X, a put começa a entrar na zona de exercício da opção, e o comprador da opção pode vender ao preço X um ativo que estará sendo negociado a um valor inferior ao preço de exercício X. O gráfico do retorno para o vendedor ou lançador da opção de venda é exatamente o inverso do gráfico do titular, como pode ser visualizado a seguir:
X
Preço do ativo- Lucro/Prejuizo
GRÁFICO 5: Gráfico de Rentabilidade de um vendedor de opção de venda
Fonte: Marins (2004: 530)
O vendedor recebe o prêmio à vista, porém, suas perdas são ilimitadas, bastando para isso que o preço do ativo-objeto caia. Caso o preço do ativo-objeto suba além do preço de exercício, o vendedor ganha o prêmio.
4.1.2 – Fatores que afetam os preços das opções
Silva (1996: 63-64) afirma que há seis fatores que afetam o preço de uma opção de ação:
1 – o preço do ativo subjacente ou ativo-objeto: é o preço do ativo sobre o qual a opção de compra ou de venda é referenciada;
3 – o tempo para o vencimento,: é a data de vencimento da opção, ou seja, a data até a qual o comprador da opção pode exercer seu direito;
4 – a volatilidade do preço da ação: é a incerteza quanto ao nível de preço de mercado do ativo-objeto para uma determinada data no futuro;
5 - a taxa de juro livre de risco;
6 – os dividendos esperados durante a vida da opção.
A relação entre o preço da ação e o preço de exercício da opção é grande na determinação do preço da opção. Se a opção for exercida em algum momento futuro, o retorno da opção de compra será o valor pelo qual o preço da ação excede o preço de exercício. As opções de compra têm mais valor quando aumenta o preço da ação e menos valor quando aumenta o preço de exercício. Para uma opção de venda, o retorno do exercício é o valor pelo qual o preço de exercício excede o preço da ação. Então, as opções de venda tornam-se mais valiosas quando aumenta o preço de exercício ou diminui o preço da ação.
As opções de compra e venda européias não se tornam, necessariamente, mais valiosas à medida que aumenta o tempo para o vencimento. Isso porque não é verdade que o titular de uma opção européia de longa duração tenha as mesmas oportunidades de exercício que o titular de uma européia de curta duração. Caso se imagine que um dividendo muito grande seja esperado num curto espaço de tempo e que ele cause queda no preço da ação, é provável que isso faça com que a opção de curto prazo tenha maior valor.
A volatilidade é a medida da incerteza quanto aos movimentos futuros em seu preço. Conforme aumenta a volatilidade, maior a possibilidade de a ação ter um desempenho muito bom ou muito ruim e, portanto, os valores das opções crescem com o aumento da volatilidade.
A expansão das taxas de juros na economia tende a aumentar a taxa de crescimento esperada para o preço da ação. Todavia, diminui o valor presente de quaisquer fluxos de caixa a serem recebidos pelo titular da opção no futuro. Para uma
opção de venda, tende a diminuir seu valor. Para uma opção de compra, tende a aumentar.
Os dividendos possuem o efeito de reduzir o preço da ação na data ex-dividendo, o que é bom para opções de venda e ruim para opções de compra.
4.1.3 – Principais formas de cálculo dos preços das opções de ações A - Black e Scholes
As principais premissas do modelo de precificação de opções de Black e Scholes são:.
1. O comportamento do preço da ação corresponde ao modelo lognormal, com µ e σ constantes;
2. não há custos operacionais nem impostos durante a vida da opção; 3. a ação não receberá dividendos durante a vida da opção;
4. não há oportunidades de arbitragem sem risco; 5. a negociação com títulos é contínua;
6. os investidores podem captar ou emprestar à mesma taxa de juro livre de risco;
7. a taxa de juro de curto prazo, r, é constante.
A fórmula de Black e Scholes
A fórmula de Black e Scholes para preços de opções de compra e venda européias de ações sem dividendos é:
( )d1
Xe
( )d2
SN
c
=
−
−rt : Preço de uma call em que:( )
(
σ
2)
+
( )
(
)
T
d
T
T
r
X
S
d
σ
σ
σ
−
=
−
+
=
ln
2
1
2
2 sendo:( )
xN : é a função probabilidade acumulada de uma variável normal padronizada; S : preço à vista do ativo-objeto;
X: preço de exercício;
r : taxa de juros livre de risco e
T: tempo entre a data atual e a data de exercício da opção, em geral, por dias úteis.
B - Arvore Binomial
Segundo Hull (1998: 212-222), pode-se dividir a vida de uma opção num número maior de pequenos intervalos de tempo de extensão ∆t. A cada intervalo de tempo, o preço da ação sai de seu valor inicial S, para um entre dois valores Su e Sd e a probabilidade da ação subir é dada por p e de cair 1-p.
FIGURA 6: Árvore Binomial de Passo Único
Fonte: Hull (1998: 215)
Su
p
S
Qualquer título dependente do preço de uma ação pode ser avaliado a partir do pressuposto de um mundo neutro ao risco. Para uma avaliação de uma opção isso significa que:
- O retorno esperado de todos os títulos negociados é a taxa de juro livre de risco; - os fluxos de caixa futuros podem ser avaliados mediante o desconto de seus valores esperados à taxa de juro livre de risco.
Os parâmetros p, u e d devem dar valores corretos para a média e a variância de preço das mudanças no preço da ação num intervalo de tempo de extensão ∆t. Como o mundo é neutro ao risco, o retorno esperado para a ação é a taxa de juro livre de risco, r. Logo, o valor esperado para o preço da ação no final do intervalo de tempo de extensão ∆t é Ser∆t. Assim:
Ser∆t = pSu + (1-p)Sd er∆t = pu + (1-p)d
Utiliza-se a relação u = 1/d para computar-se o preço da ação a cada nó da arvore binomial. A arvore binomial ficaria com a seguinte forma:
As opções são avaliadas do fim ao começo da árvore. O valor da opção é conhecido no instante T. Por exemplo, uma opção de venda vale Máximo (X-ST, 0) e
uma opção de compra Maximo (ST -X,0) descontado à taxa r, em que ST é o preço da
ação no instante T, X é o preço de exercício e r é a taxa de juros livre de risco.
C - Simulação de Monte Carlo
A simulação de Monte Carlo pode ser definida, segundo Alexander (2005: 297), como a simulação dos movimentos dos ativos subjacentes e dos fatores de risco a partir de hoje até algum ponto no futuro. Tomando-se os valores correntes como ponto de partida, milhares de possíveis valores dos ativos subjacentes dos próximos n dias podem ser gerados pela Simulação de Monte Carlo.
De acordo com Jackson e Staunton (2001: 197-199), no centro da Simulação de Monte Carlo para a avaliação do preço de uma opção está o processo estocástico que gera o preço da ação. A equação estocástica para o preço da ação no momento T quando a opção vence é dado por:
(
T T)
T
Se
Se
S
t=
Y=
µ +εσem que ε é uma variável randômica e tem uma distribuição normal, denotada por N(0,1).
A variável randômica YT é normalmente distribuída com média µT = (µ – 0,5σ2)T e
desvio-padrão σT =σ√T, em que µ é a taxa de retorno da ação e σ é a volatilidade. O
fluxo de caixa da opção depende da expectativa de ST num mundo neutro ao risco.
A Simulação de Monte Carlo consiste em gerar randomicamente uma amostra de possíveis valores para o preço terminal da ação, St. A maioria dos programas de
computador incorpora rotinas para a obtenção de amostras de um número aleatório entre 0 e 1.
Quando um número suficiente de amostras foi gerado, a distribuição de valores de fluxos de caixa é resumido, geralmente calculando a média e o desvio-padrão. A média aritmética estima a expectativa da distribuição de fluxos de caixa, que devem ser descontadas à taxa livre de risco para a avaliação do preço da opção.
A figura, a seguir, ilustra uma planilha com exemplo de apreçamento de uma opção de compra a partir de 36 simulações. O preço à vista do ativo-objeto é de R$ 42,80 e o preço de exercício de R$ 44. A taxa de juros livre de risco é de 16% ano e o prazo para o vencimento da opção é de 20 dias úteis.
Os preços (St) são calculados a partir do preço á vista:
diaria vol normal dist inv t
S
e
S
=
*
_ _ * _Os pay-offs são definidos como sendo o maior valor entre a diferença do preço do ativo-objeto simulado (St) menos o preço de exercício R$ 44,00 e zero.
Dessa forma, o preço encontrado para essa opção é a média dos pay-offs trazida a valor presente pela taxa de juros livre de risco. Importante destacar que esse é um exemplo didático, o ideal seria utilizar maior número de simulações para se obter um preço para a opção mais adequado.
FIGURA 8 : Exemplo de apreçamento de opção de compra pela Simulação de Monte Carlo
4.1.4 – Gregas
Uma instituição financeira que vende uma opção para um cliente no mercado de balcão está diante de um problema de gerenciamento de risco. Essa instituição poderia neutralizar o risco dessa opção comprando uma nas mesmas condições mas é muito difícil encontrar alguém querendo fazer essa operação. Quanto mais customizada for a operação, mais difícil é encontrar uma contraparte.
As letras gregas, segundo Hull (1998: 337-367), são uma alternativa a este problema. Cada grega mensura uma dimensão diferente de uma opção.
A - Delta
O delta (∆) de uma opção, segundo Silva Neto (2002: 166), é definido como sendo a taxa de mudança, ou sensibilidade do preço da opção em relação ao preço do ativo- objeto. Caso se imagine um delta de 0,6, isso significa que quando o preço da ação tem uma pequena mudança, o preço da opção muda cerca de 60% desse valor. Em geral, o delta de uma call é:
∆ = ∂c / ∂S, em que c é o preço da call e S é o preço da ação.
Por exemplo, uma ação que vale R$ 100 e a opção de compra R$ 10. O delta dessa opção vale 0,6 e o investidor vendeu 20 opções de compra, ou seja, opções para comprar 2.000 ações. Essa posição pode ser protegida comprando 0,6 * 2.000 = 1.200 ações. Se as opções gerarem um ganho, as ações geram uma perda numa proporção parecida. Se for imaginado que a ação subiu R$ 1,00, geraria um ganho de R$ 1.200,00 nas ações. As opções tenderiam a ter uma perda de 0,6 * R$ 1,00 = R$ 0,6, como se tem 2.000 opções, resultaria uma perda de R$ 1.200,00.
O delta de uma opção de compra européia sem pagamento de dividendos e´: ∆ = N(d1)
∆ = N(d1) – 1, o delta é negativo e pode ser protegido por uma posição comprada
no ativo-objeto.
B - Gama
Como o delta é muito importante para medir e administrar o risco de derivativos, principalmente para aqueles que possuem um comportamento similar ao das opções, e como ele pode não ter uma relação linear com o movimento do preço do ativo-objeto, foi necessário desenvolver e utilizar o conceito de gama.
O gama de uma carteira de opção em um ativo-objeto, Г, é a taxa de mudança do delta da carteira em relação ao ativo-objeto. Ela é a segunda derivada parcial:
2 2
S
c
∂
∂
=
Γ
O gama mede o risco do delta variar. Para gamas pequenos, o delta muda , lentamente; para gamas grandes, o delta varia mais rapidamente.
O gama para opções européias é calculado por:
( )
T
S
d
N
σ
1
'
=
Γ
em que:( )
2 2*
2
1
'
xe
x
N
−=
π
C - Theta
O risco de theta, θ, ou perda do valor com o tempo – time decay, está muito ligado aos derivativos que se comportam como opções ou possuem esses instrumentos embutidos, como as debêntures conversíveis em ações ou como uma cesta de indexação. Ele expressa a perda de valor dessa classe de derivativos pela simples passagem de tempo.
Para uma opção de compra européia, theta é dado por:
)
(
2
)
(
'
2 1d
N
rXe
T
d
SN
−
−rt−
=
σ
θ
Para uma opção de venda européia, theta é dado por:
)
(
2
)
(
'
2 1d
N
rXe
T
d
SN
+
rt−
−
=
σ
−θ
D - VegaO risco de volatilidade está muito ligado às opções e esta variável muda ao longo da vida da opção.
Silva Neto (1994: 81) define volatilidade da seguinte forma: “Em certo sentido, a volatilidade é uma medida da velocidade do mercado. Mercados que se movem lentamente são mercados de baixa volatilidade; mercados que se movem velozmente em qualquer um dos sentidos, são mercados de alta volatilidade”.
O autor (1994: 137) complementa a definição de volatilidade como uma medida das variações esperadas dos preços futuros, tanto para mais como para menos, com base nas variações verificadas no passado, ou seja, qual deverá ser a variação média dos preços de determinado ativo, caso o mercado repita as variações anteriores. A
O vega, √, é, então, definido como a taxa de mudança do valor da carteira em relação à volatilidade do ativo-objeto.
σ
ν
∂
∂
=
c
Para uma opção de compra ou de venda européia, vega é dado por:
)
(
'
d
1N
T
S
=
ν
E - RhôO Rho de uma carteira é a taxa de mudança da carteira em relação à taxa de juros.
r
c
Rho
∂
∂
=
Para uma opção de compra européia, ela é dada por:
( )d2
N
XTe
Rho
=
−rtPara uma opção de venda européia:
(
d2)
N
XTe
4.1.5 – In, At e Out-of-the-money
Quando há uma grande série de opções lançadas, como é o caso da Telemar, há opções in-the-money, at-the-money e out-of-the money.
De acordo com Costa (1998: 37-39), o parâmetro que ajuda a diferenciar as três categorias é o delta. Para as opções de compra, esse parâmetro varia de 0 a 1. Um delta de 0,5, significa que se o preço do ativo-objeto variar R$ 1,00 a opção varia R$ 0,50.
Em geral, considera-se que opções de compra com delta menor que 0,5 é out-of-
the-money; opções com delta ao redor de 0,5 é at-the-money e opções com delta maior
que 0,5 é in-the-money.
Opções out-of-the-money têm maior probabilidade de não ser exercida, opções at-
the-money têm cerca de 50% de chance de ser exercida e opções in-the-money têm
chance maior que 50% de ser exercida.
Neste trabalho, foi utilizado o critério verificado em Barbedo et al.(2003): A divisão
in, at e out-of-the-money baseou-se na razão entre o preço à vista do ativo-objeto e o
valor presente do preço de exercício, ou seja, o preço de exercício trazido a valor presente pelas taxas de juros livres de risco. Quando essa razão era inferior a 0,95, ganhou a classificação de fora-do-dinheiro (out of the money). Quando a razão situou-se igual ou maior que 0,95 e menor ou igual 1,05, no-dinheiro (at the money) e quando superior a 1,05, dentro do dinheiro (in the money). Esse critério foi preferido porque pareceu ser mais objetivo quanto aos limites entre as classificações.
4.2 – Metodologias de cálculo de VAR de Opções
As calls e as puts variam de forma não linear em decorrência das alterações nos
preços dos ativos-objeto. Devido a essa não linearidade, os VARs das opções devem ser calculados utilizando-se de técnicas específicas.
4.2.1 – Delta-Gama
A relação entre a variação do preço da opção e o preço de seu ativo-objeto é o delta (∆), ou seja, é quanto varia o preço da opção dada a variação de uma unidade no preço do ativo-objeto. O problema na utilização do delta é que ele não é constante para a variação do ativo-objeto. Opções muito dentro do dinheiro possuem um delta próximo de um e quando muito fora do dinheiro, possuem um delta igual a zero. O delta altera- se de forma não linear para alterações no valor do ativo-objeto.
Incorporando o gama na fórmula do VAR, ajusta-se o delta para variações não lineares. O Gama é a segunda derivada do valor da opção em função do preço do ativo- objeto.
O VAR da opção , segundo Silva Neto (2002: 241), é dado por:
(
)
2[
2 2]
22
1
σ
σ
αS
S
Z
VAR
opção=
∆
+
Γ
4.2.2 – Delta-Gama-ThetaDe acordo com Barbedo et al. (2003), o prêmio da opção perde valor com o decorrer do tempo, então, a inclusão do Theta melhora o desempenho dessa metodologia, que passa a ser DELTA-GAMA-THETA:
(
S
)
[
S
]
HP
Z
VAR
opção*
2
1
2 2 2 2σ
θ
σ
α∆
+
Γ
−
=
em que θ, negativo para opções de compra, é a mudança do preço devido à variação do tempo, e HP (holding period, em inglês) é o período de cálculo do VAR.
4.2.3 – Simulação de Monte Carlo – Full Simulation
Conforme Jackson e Staunton (2001: 197-199), o método de Monte Carlo tenta