3.1 – Value at Risk – VAR
Há pelo menos cinco motivos, segundo Saunders (2000: 178), pelos quais a mensuração de risco é importante:
1 – Informação Gerencial: Fornece informação à alta administração a respeito da exposição a risco assumida pelos operadores.
2 – Fixação de limites: Permite o estabelecimento de limites economicamente válidos de posição por operador em cada área.
3 – Alocação de recursos: Compara resultados a riscos de mercado em diferentes áreas de operação, o que permite identificar áreas com maior potencial de retorno por unidade de risco.
4 – Avaliação de desempenho: Permite o cálculo do quociente entre retorno e risco dos operadores, possibilitando a implantação de um sistema racional de premiação.
5 – Regulamentação: O Banco Internacional para Compensações (BIS) propõe regulamentar o mercado por meio de exigências de capital.
Segundo Marins (2004: 283), ao avaliar diferentes alternativas de investimentos ou de aplicação de recursos, é de fundamental importância que se avaliem os retornos esperados, os riscos e as incertezas das alternativas disponíveis.
O retorno pode ser definido como o aumento do capital investido ou aplicado. Geralmente, há incertezas quanto ao retorno a ser obtido, existindo mais de um valor possível para o retorno. Quando a incerteza é mensurada, ou seja, quando se estimam probabilidades de ocorrências de eventos futuros, a incerteza passa a ser chamada de risco.
Quando um administrador de uma carteira de investimentos financeiros utiliza o
“Nós temos X por cento de certeza que nós não iremos perder mais que V dólares nos próximos N dias”.
A variável V é o VAR da carteira. Ela é uma função de parâmetros, tais como: N, horizonte de tempo, X, o nível de confiança, o tamanho da carteira e o risco de cada ativo que compõe a carteira.
Silva Neto (2002: 232-233) define o VAR como o valor monetário das perdas a que uma operação, ou carteira, está sujeita, dado determinado intervalo de confiança e de tempo.
Jorion (2003: 19) define o Value at Risk como um número que sintetiza a maior ou pior perda esperada dentro de determinados períodos de tempo e intervalo de confiança.
Graficamente, o VAR pode ser definido da seguinte forma:
FIGURA 2: Definição Gráfica de VAR
Fonte: Hull (2003: 347)
A figura acima representa a distribuição de retornos de um ativo ou uma carteira e a área pintada representa o conjunto de retornos negativos em que estão os X% dos piores retornos da carteira.
Por exemplo, suponha que é preciso calcular o VAR de uma carteira de R$ 100 milhões para um horizonte de 10 dias e um nível de confiança de 99%. Serão
- marcar a mercado a carteira, no exemplo, R$ 100 milhões;
- medir a variabilidade dos fatores de risco ( por exemplo, σ = 15% ao ano);
- determinar o horizonte temporal ou período de manutenção em carteira (por exemplo, ajustar para 10 dias úteis);
- determinar o nível de confiança (por exemplo, 99%, o que gera um fator de 2,33 para a distribuição normal);
- reportar a pior perda.
VAR (10dias, 99%) = R$ 100.000.000 * 15% * 252 10 * 2,33 VAR (10dias, 99%) = R$ 7.000.000
Provavelmente, a maior vantagem do VaR esteja no fato de resumir em um único número, de fácil compreensão, a exposição total ao risco de mercado de uma instituição. Indubitavelmente, isso explica por que o VaR se tornou rapidamente uma ferramenta essencial para que a alta gerência, diretores e acionistas sejam informados sobre os riscos existentes nas operações de uma empresa.
3.2 – As principais formas de cálculo de VAR
De acordo com Schwatz e Smith (1997: 268-271), são três as formas mais comuns de se mensurar o VAR:
• Simulação Histórica;
• Estimação da média e variância da carteira e • Simulação de Monte Carlo.
3.2.1 – Simulação Histórica
A metodologia da simulação histórica consiste em recuar no tempo e aplicar a ponderação vigente dos ativos a uma série temporal de seus retornos históricos.
Há necessidade de uma grande amostra de preços para instrumentos financeiros individuais que compõem a carteira para que seja construída uma série de tempo dos preços reais, dos últimos 500 ou mais dias úteis. Essa amostra histórica de preços pode ser transformada em mudanças de preços percentuais ou taxa de retorno.
Dada uma distribuição histórica de retornos para um dado horizonte de tempo, simula-se o futuro assumindo-se que esse será semelhante ao passado e que os padrões de volatilidades e correlações se repetirão no futuro.
Jorion ( 2003:203) mostra que a fórmula geral para a simulação histórica é dada por:
∑
==
n i k i t i k pw
R
R
1 , , , onde k =1,..,t em que: t iw, : São os pesos ou ponderação dos ativos na carteira;
k i
R, : Retornos históricos dos ativos e
k p
R , : Retorno da carteira.
Note-se que os pesos
w
t são mantidos iguais a seus valores correntes. O retorno não representa uma carteira real, mas reconstrói o histórico de uma carteira hipotética, utilizando a posição atual. A abordagem é, às vezes, chamada de bootstrapping, pois implica o uso da atual distribuição de dados históricos recentes (sem reposição).FIGURA 3: Fluxograma de cálculo de VAR Histórico
Fonte: Jorion (2003: 203)
De modo geral, a avaliação plena requer um conjunto completo de preços, como curvas de juros, em vez de apenas retornos. Preços futuros hipotéticos para o cenário k são obtidos aplicando, no nível atual de preços, as mudanças históricas dos preços:
Si,k = Si,0 + ∆Si,k i = 1,...,N
0 ,
i
S : preço atual do ativo;
k i
S,
∆ : mudança histórica do preço e
k i
S, : Preço projetado.
Um novo valor para a carteira V*p,k é, então, calculado, a partir do conjunto de
preços hipotéticos, incorporando, talvez, relações não lineares V*p = V (S*i,k). Observe-se
que, para capturar o risco de vega, devido a mudanças de volatilidade, o conjunto de preços pode, também, incorporar medidas de volatilidade implícita. Esse processo gera o retorno hipotético, correspondente à simulação k:
Rp,k = (V*k – V0)/V0;
k p
R , : Retorno hipotético e V*k e V0: volatilidades implícitas.
O VAR é obtido a partir da distribuição de retornos hipotéticos, em que se atribui a cada cenário histórico o mesmo peso(1/t).
A simulação histórica pode ser resumida em três passos principais, segundo Crouhy et al. (2004: 186):
- Seleção de uma amostra de mudanças diárias efetivas no valor dos fatores de risco ao longo de um período de tempo dado;
- Aplicação dessas mudanças diárias ao valor corrente dos fatores de risco e reavaliação da carteira atual quantas vezes for o número de dias na amostra histórica;
- Construção do histograma de valores da carteira e identificação do VAR que isola o primeiro percentil da distribuição na cauda da esquerda, supondo um nível de confiança.
3.2.2 – Modelo Paramétrico ou Estimação da média e variância da carteira
O modelo paramétrico parte do pressuposto de que, se ativos ou instrumentos financeiros que compõem uma carteira são normalmente distribuídos, então, a carteira também será normalmente distribuída.
A metodologia do RiskMetrics assume um distribuição normal dada por sua média e desvio-padrão. Se tal for o caso, utiliza-se uma função de distribuição de probabilidades normal.
Se o retorno da carteira é normalmente distribuído, então, a média e a variância da carteira são completamente descritas pela distribuição de retornos. Nesse caso, determinar esses dois parâmetros é tudo o que é necessário para calcular o VAR.
Amman e Reich (2001) definem o modelo através da seguinte equação:
( )
t T Z(
w w) (
T t)
PF( )
tVARα , = α∗ '∗∑∗ ∗ − ∗
em que:
∑: matriz de variância e covariância das posições individuais ou ativos; Zα: representa o α-quantil da distribuição normal padrão;
w: vetor com as ponderações da carteira; (T-t): horizonte de tempo e
PF(t) é o valor atual da carteira.
FIGURA 4: Cálculo do VAR de uma carteira com dois ativos
De acordo com Jorion (2003: 124), o método não se restringe a um percentual determinado mas abrange a distribuição por inteira já que todas as observações são levadas em consideração e o modelo assume uma distribuição normal dos retornos da carteira.
3.2.3 - Simulação de Monte Carlo
Tanto a simulação histórica quanto a simulação de Monte Carlo são metodologias conhecidas por avaliação plena ou full valuation, uma vez que o valor da carteira é totalmente recalculado.
As simulações de Monte Carlo cobrem grande quantidade de possíveis valores das variáveis financeiras e dão conta, por completo, das correlações. Conforme Jorion (2003: 263-268), o método é desenvolvido em duas fases:
-Na primeira, o administrador de risco especifica um processo estocástico para as variáveis financeiras, bem como os parâmetros desse processo. O modelo habitualmente utilizado é o movimento browniano geométrico (MBG), que serve de base para grande parte da teoria de precificação de opções. O modelo pressupõe que as inovações no preço do ativo não são autocorrelacionadas e que pequenas oscilações nos preços podem ser descritas por:
dSt = µtStdt + σtStdz
em que dz é uma variável aleatória normalmente distribuída, com média zero e variância dt. Essa variável condiciona os choques aleatórios sobre o preço e não depende de informações passadas.
A variável é browniana, no sentido de que sua variância diminui continuamente com o tempo e o processo, é geométrica porque todos os parâmetros são multiplicados pelo preço atual St.
Os parâmetros µt e σt representam o desvio e a volatilidade instantânea no
Na prática, o processo de incremento infinitesimalmente pequeno dt, é aproximado por meio de incrementos discretos de tamanho ∆t.. Como antes, define-se t como a data atual, T como a data de interesse e τ = T – t como o horizonte do VAR. Para gerar uma série de variáveis aleatórias St+1 ao longo do intervalo τ, divide-se primeiro τ em n
incrementos, com ∆t = τ /n..
Integrando-se dS/S para um intervalo finito, tem-se, aproximadamente:
(
t
t)
S
S
t=
t∆
+
t∆
∆
−1*
µ
σ
ε
em que Є é uma variável aleatória normal padrão.
- Na segunda, são simuladas trajetórias fictícias de preço para todas as variáveis de interesse. Para cada horizonte considerado, a carteira é marcada a mercado por meio da avaliação plena como no caso da simulação histórica, Vk* = V(Sik*).
O primeiro componente essencial de um gerador de números aleatórios é uma distribuição uniforme sobre o intervalo [0,1], que produz uma variável aleatória x. o próximo passo consiste em transformar o número aleatório com distribuição uniforme na distribuição desejada, por meio da inversa da função da distribuição normal. Por definição, a função de distribuição de probabilidade cumulativa N(y) está sempre entre 0 e 1.
Cada uma dessas realizações é utilizada para a geração de uma distribuição de retornos, a partir da qual o VAR poderá ser extraído. O método pode ser resumido da seguinte forma:
FIGURA 5: Fluxograma de cálculo do VAR Simulação de Monte Carlo
Fonte: Jorion (2003: 206)
3.3 – Componentes para gestão do risco de mercado
Conforme Securato (1999: 387-394), são três os principais componentes para uma boa gestão de risco de mercado:
- Exposição: é o valor exposto às oscilações do fator de risco. Nos modelos mais tradicionais, essa variável é conhecida como descasamento, sendo considerada a própria medida de risco. A exposição por si só não é capaz de predizer o risco. Tomando-se como exemplo uma mesma exposição em valores monetários em taxa de câmbio distintos, têm-se riscos distintos, pois, por exemplo, num país pratica-se a paridade fixa e no outro a paridade livre, portanto, apesar da mesma exposição, os riscos são distintos.
- Sensibilidade: é o quanto o valor se altera com relação ao fator de risco; por exemplo, taxas de juros prefixadas, oscilações do valor do dólar, oscilações de preços de
ações e commodities. No caso das opções, há os efeitos das gregas, o delta, gama, Rhô, vega e theta, que serão vistos com maiores detalhes em capítulos posteriores.
- Variação, ou risco: é mensurado pelo desvio-padrão; se não ocorrer a variação de preços dos ativos financeiros, não há variação no resultado da organização.
O risco a que a instituição incorre depende, então, da combinação desses três fatores: exposição, sensibilidade e variação.
Importante lembrar que os dois primeiros fatores são geridos pela instituição e o fator de variação é característica do ativo.
A variação ocorre devido às fontes de risco financeiro. Segundo Jorion (2004: 71- 75), são quatro os tipos distintos de risco financeiro:
- Taxas de juros: para ativos de renda fixa, a exposição às taxas de juros é chamada de duration;
- Taxas de câmbio;
- ações, essa exposição é chamada de risco sistemático ou de beta (β) e - commodities.
Um modelo de controle de riscos deve atender os seguintes requisitos:
- Quantificação de riscos: O modelo deve ter um medida objetiva e mensurável de risco que possibilite sua apuração independente de julgamentos subjetivos e que possa ser autônoma e concomitantemente por diversas áreas sem problemas de consistência.
- Unidade de medida única: Todos os riscos devem ser expressos numa única unidade de medida para que seja possível a comparação e realizar movimentações para aumentar, reduzir ou transferir para outra carteira.
- Interação entre mercados: O modelo deve considerar interações e correlações entre os diversos mercados em que se possui exposição.
- Reflexo da situação atual dos mercados.
- Efeito da liquidez do mercado: deve ser considerada a facilidade ou não de se desfazer de uma posição.
- Simulação de situações específicas: o impacto de mudanças bruscas das situações de mercados, também conhecido como cenários de stress.
- Apuração de efeito no valor da instituição: A medida de risco deve explicitar os efeitos que o risco incorrido pode acarretar no valor da empresa.
- Controle e avaliação do modelo (backtesting): Deve permitir, ao longo do tempo, acompanhar os resultados gerados pelo modelo para avaliar sua adequação e eficácia.
- Resultado ajustado ao Risco (RAROC): O modelo deve possibilitar o ajuste dos resultados das diversas áreas operacionais aos riscos em que eles incorreram.
3.4 – Cálculo do VAR para alguns ativos do mercado brasileiro 3.4.1 – VAR de Ações
O VAR de Ações pode ser calculado da seguinte forma, segundo Ammann e Reich (2001):