Caracterização do Problema Proposto com Diferentes Projetos de Experimentos

O primeiro teste realizado visou à caracterização da influência dos erros de modelagem sobre o desempenho do controlador, utilizando diferentes projetos de experimentos para a variável manipulada . A duração total dos testes foi de 155 minutos, que é superior a 5 vezes o tempo de estabilização do processo, sendo os 30 minutos iniciais destinados à inicialização. Em todos os testes, os degraus aplicados à variável foram sempre unitários. Foram testadas 4 possibilidades para o projeto de experimentos (Figura 4.7):

- Teste 1: 4 degraus unitários igualmente espaçados, sendo um a cada 30 minutos. Neste teste, o intervalo entre cada degrau é maior que o tempo de estabilização do processo, o que faz com que a variável atinja o estado estacionário entre cada degrau. Este projeto de testes explora o maior número de degraus em , de modo que a variável atinja o estado estacionário dentro do tempo total de teste estipulado;

- Teste 2: 6 degraus unitários igualmente espaçados, sendo um a cada 15 minutos. Durante este teste, um novo degrau é aplicado em antes que a resposta da variável estabilize devido a um degrau anterior em . A variável só atinge o estado estacionário após o último degrau aplicado, até que complete o tempo total de teste;

- Teste 3: 2 degraus unitários igualmente espaçados, sendo um a cada 60 minutos. Neste teste, assim como no teste 1, os degraus são aplicados em intervalos maiores do que o tempo de estabilização do processo. Porém, no teste 3 os intervalos

50 são ainda maiores, o que faz com que a variável fique mais tempo em estado estacionário após um degrau e com que menos degraus possam ser aplicados à variável

dentro do tempo total de teste;

- Teste 4: projeto de experimentos GBN, com degraus unitários e probabilidade de chaveamento de 0.9. Neste teste, os degraus são aplicados aleatoriamente durante todo o tempo de teste. Esta aleatoriedade depende da definição da probabilidade de chaveamento; ou seja, da probabilidade de aplicação de um novo degrau, que pode ser considerada como um parâmetro de sintonia desta modalidade de teste.

Teste 1 Teste 2

Teste 3 Teste 4

Figura 4.7. Testes realizados para identificação do modelo dinâmico no Estudo de Caso 2.

Cada projeto de teste foi aplicado 500 vezes ao processo representado pela Figura 4.6 e o modelo de resposta ao degrau foi identificado em cada caso através de um procedimento de estimação de parâmetros, conforme descrito na Seção 2.3.3. Com isso, para cada projeto de teste, foram identificados 500 modelos diferentes, o que permitiu construir a região de confiança do modelo identificado em cada caso. O conjunto de todos os modelos identificados para cada projeto de teste pode ser observado na Figura 4.8 em termos da resposta de a um degrau unitário em em duas escalas diferentes, para melhor visualização.

51 Figura 4.8. Região de confiança dos modelos de resposta ao degrau identificados a

partir de diferentes projetos de testes no Estudo de Caso 2.

Visualmente, as regiões de confiança dos modelos estimados utilizando diferentes projetos de teste parecem suficientemente próximas. Ainda assim, pode-se notar que foi possível obter a região mais estreita ao utilizar o projeto de teste 4, enquanto a região mais larga foi obtida quando se utilizou o projeto de teste 2. Os resultados podem ser analisados também sob o ponto de vista da matriz de correlação dos parâmetros em cada caso.

Como foi identificado um modelo de resposta ao degrau com 30 coeficientes, cada modelo é composto por 30 parâmetros “ ” que podem ser analisados por meio das respectivas matrizes de correlação (Figuras 4.9, 4.10, 4.11 e 4.12). Na matriz de covariâncias, a diagonal principal representa a variância de cada parâmetro e os demais valores representam a covariância de cada par de parâmetros. Para melhor visualização, os valores diferentes de zero das matrizes de correlação e de covariâncias foram destacados em azul.

52 Figura 4.9. Matrizes de correlação e covariâncias dos parâmetros estimados no Estudo

53 Figura 4.10. Matrizes de correlação e covariâncias dos parâmetros estimados no Estudo

54 Figura 4.11. Matrizes de correlação e covariâncias dos parâmetros estimados no Estudo

55 Figura 4.12. Matrizes de correlação e covariâncias dos parâmetros estimados no Estudo

56 Considerando a qualidade dos parâmetros estimados, os melhores resultados foram obtidos com o projeto de testes 4, que apresentou menor variância dos parâmetros, apesar da correlação entre parâmetros não ser exatamente zero. Neste caso, os valores de correlação foram muito pequenos e não chegaram a prejudicar a estimação. O projeto de testes 1 também apresentou resultado satisfatório, embora com maior variância dos parâmetros, quando comparado ao projeto de testes 4. No caso do projeto de testes 1, a matriz de correlação foi diagonal, não havendo correlação entre os parâmetros, o que é uma característica desejável. O projeto de testes 1 possui esta propriedade em função dos intervalos entre os degraus aplicados à variável terem sido maiores do que o tempo de estabilização do processo, o que permitiu a estimação de cada parâmetro adequadamente. No entanto, a variação de frequências no projeto de testes 4 permite a estimação mais precisa dos parâmetros do modelo.

Os modelos obtidos com o projeto de teste 2 apresentaram forte correlação entre os pares de parâmetros _1! e _16!, _2! e _17!, ..., _8! e _23!, ..., _15! e _30!, como pode ser observado na Figura 4.13. Isto foi devido ao curto intervalo igualmente espaçado entre os degraus aplicados à variável neste teste, o que fez com que a resposta do processo em termos da variável fosse pobre em algumas frequências, provocando a correlação observada entre os parâmetros. Graficamente, uma comparação entre os resultados dos parâmetros 8! e 23! para os 4 projetos de teste é apresentada na Figura 4.13 e confirma o resultado obtido. Portanto, parece claro que a boa identificação dos parâmetros do modelo impõe a excitação independente das frequências do processo.

Teste 1 Teste 2

Teste 3 Teste 4

Figura 4.13. Correlação entre os parâmetros 8! e _23! do modelo de resposta ao degrau identificado a partir de diferentes projetos de testes no Estudo de Caso 2.

57 Uma vez obtidos modelos utilizando diferentes projetos de testes, a etapa seguinte consistiu em verificar o comportamento de cada um destes modelos, quando utilizados em um controlador preditivo. Para montar a região de confiança das ações de controle, em cada uma das vezes em que o projeto de testes foi aplicado ao processo foi identificado um modelo e este modelo foi utilizado em um controlador preditivo sem restrições. Este procedimento está representado no diagrama da Figura 4.14. Além disso, para permitir a comparação dos resultados, o procedimento foi executado também considerando um controlador baseado em modelo perfeito; ou seja, um modelo idêntico ao da planta. Neste caso, a região de confiança obtida foi a menor possível, sendo resultado apenas do erro existente na medição da variável controlada durante a aplicação do algoritmo de controle preditivo.

Figura 4.14. Procedimento utilizado para determinar a região de confiança para cada projeto de testes no Estudo de Caso 2.

As Figuras 4.15 a 4.19 mostram os resultados individuais obtidos para as regiões de confiança, considerando os diferentes projetos de testes propostos e mantendo inalterados os parâmetros de sintonia ( _{= 1} e _{= 0,1}). A Figura 4.20 mostra todos os resultados das regiões de confiança obtidas nos projetos de teste propostos em um mesmo gráfico para melhor comparação.

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Teste 1

Figura 4.15. Regiões de confiança das variáveis manipulada e controlada com modelo identificado a partir do projeto de teste 1 no Estudo de Caso 2.

Teste 2

Figura 4.16. Regiões de confiança das variáveis manipulada e controlada com modelo identificado a partir do projeto de teste 2 no Estudo de Caso 2.

Teste 3

Figura 4.17. Regiões de confiança das variáveis manipulada e controlada com modelo identificado a partir do projeto de teste 3 no Estudo de Caso 2.

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Teste 4

Figura 4.18. Regiões de confiança das variáveis manipulada e controlada com modelo identificado a partir do projeto de teste 4 no Estudo de Caso 2.

Modelo Perfeito

Figura 4.19. Regiões de confiança das variáveis manipulada e controlada com modelo perfeito e erro em Y durante a simulação do controlador no Estudo de Caso 2.

Figura 4.20. Regiões de confiança das variáveis manipulada e controlada com modelo identificado com dados obtidos a partir de diferentes projetos de teste no Estudo de Caso 2.

60 Com base nos resultados apresentados nas Figuras 4.15 a 4.20, o projeto de teste executado para a identificação do modelo a ser utilizado em um controlador preditivo é capaz de afetar o desempenho final do sistema de controle. Nos casos simulados, quanto maior foi a precisão do modelo utilizado pelo controlador, menor foi a região de confiança obtida, como era esperado, indicando a menor variabilidade do processo. Nas condições do exemplo simulado, apenas o projeto de teste 4 foi capaz de resultar em uma região de confiança com ausência de instabilidade. Esta foi a resposta que mais se aproximou da resposta obtida com um modelo perfeito. Os piores resultados foram os obtidos a partir dos projetos de testes 2 e 3, o que já poderia ser esperado, uma vez que estes também foram os piores projetos de testes em termos de variância (maior variância dos parâmetros) e correlação dos parâmetros do modelo estimado. Isso parece estabelecer uma vez mais o vínculo entre o problema de controle e o problema de identificação. Deve ser observado, em particular, que a Figura 4.8 indica que os desempenhos de todos os modelos identificados podem ser considerados excelentes, o que indica a enorme sensibilidade do controlador a pequenas incertezas de modelagem no cenário proposto neste estudo de caso.

É interessante notar que, neste exemplo, o desempenho do sistema de controle utilizando diferentes projetos de teste seguiu o comportamento esperado, tendo em vista os resultados obtidos para a variância e a correlação dos parâmetros do modelo estimado em cada caso. No entanto, é importante ressaltar que foi fixada a sintonia do controlador e que a única fonte de erro deste exemplo foi o erro na variável controlada , não havendo características como a existência de perturbações não medidas ou a presença de não linearidades que exigissem idealmente uma estrutura de modelo mais complexa. É surpreendente que modelos tão similares na identificação resultem em desempenhos tão distintos no controle, reforçando observações de VEGA et al. (2008) e a necessidade de avaliar o problema de modelagem com o máximo rigor.

4.2.2 Influência da Sintonia

Outro ponto verificado foi a influência dos parâmetros de sintonia do controlador sobre a região de confiança das variáveis manipulada e controlada. Para isto, foi utilizado o projeto de testes 1, que apresentou resultados adequados, embora não tenham sido os melhores resultados descritos na Seção 4.2.1. O parâmetro de

61 sintonia que pondera a variável controlada ( ) foi modificado, conforme mostra a Tabela 4.2, mantendo-se o parâmetro de sintonia ( ) fixo. O mesmo foi feito em relação ao parâmetro de sintonia que pondera a variável manipulada , também denominado parâmetro de supressão de movimento ( ), como mostrado na Tabela 4.3. O procedimento da Figura 4.14 foi, então, realizado para cada um dos casos de diferentes sintonias avaliados. Os valores dos parâmetros mostrados nas Tabelas 4.2 e 4.3 foram escolhidos arbitrariamente de modo que fossem testados cenários com sintonias mais rápidas e mais lentas quando comparadas com a sintonia base adotada na Seção 4.2.1. Os resultados da análise da influência da sintonia na forma proposta são apresentados nas Figuras 4.21 e 4.22.

Tabela 4.2. Variação do parâmetro de sintonia no Estudo de Caso 2.

SINTONIA _{¼ ½} Sintonia 1 0.1 0.1 Sintonia 2 0.5 0.1 Sintonia 3 1 0.1 Sintonia 4 2 0.1 Sintonia 5 10 0.1

Tabela 4.3.Variação do parâmetro de sintonia no Estudo de Caso 2.

SINTONIA _{¼ ½} Sintonia 1 1 0.01 Sintonia 2 1 0.05 Sintonia 3 1 0.1 Sintonia 4 1 1 Sintonia 5 1 10

Figura 4.21. Regiões de confiança das variáveis manipulada e controlada utilizando diferentes valores do parâmetros de sintonia (Tabela 4.2) no Estudo de Caso 2.

62 O primeiro caso testado consistiu em variar o parâmetro de sintonia , que pondera a variável controlada , de acordo com a Tabela 4.2. De acordo com a Figura 4.21, o parâmetro de ponderação das variáveis controladas apresenta forte influência sobre as regiões de confiança estudadas. Assim, dependendo do valor adotado para o parâmetro , é possível obter resultados de regiões de confiança que apresentem instabilidades ou não, para um mesmo projeto de testes. Os resultados obtidos mostram que, como era esperado, quanto mais rápida é a sintonia (com valores altos de ), maior é a tendência à instabilidade e, portanto, mais espalhada é a região de confiança. O resultado confirma a sensibilidade do desempenho do sistema em relação à dinâmica do controlador, justificando implementações conservadoras.

Figura 4.22. Regiões de confiança das variáveis manipulada e controlada utilizando diferentes valores do parâmetros de sintonia no Estudo de Caso 2.

Em um segundo estudo, foi feita a análise de sensibilidade ao parâmetro de sintonia , que pondera a variável manipulada , de acordo com a Tabela 4.3. Resultado similar ao obtido pela variação do parâmetro foi obtido com a variação do parâmetro . Da mesma forma, foi possível verificar forte efeito sobre as regiões de confiança analisadas. Quanto mais rápida foi a sintonia (com valores baixos de ), maior foi a tendência de instabilizar o processo (Figura 4.22).

Estes resultados também estão de acordo com os resultados esperados, segundo a interpretação proposta por OGUNNAIKE (1986), já que, quanto maiores forem os valores de , menores devem ser os números de condicionamento da matriz ( ' ₊

), que aparece na Equação (2.4). Com isso, menor deve ser a influência dos erros em sobre as ações de controle _{∆ $!} resultantes (OGUNNAIKE, 1986). Na verdade, no

63 caso SISO os parâmetros de sintonia e são correlacionados, de forma que o resultado da aplicação do controlador depende da relação _/ .

Como os resultados da sensibilidade das regiões de confiança aos parâmetros de sintonia foram bastante significativos, optou-se por realizar estudos em que um projeto de testes de qualidade superior foi utilizado com uma sintonia rápida (sintonia 5 da Tabela 4.2 ou sintonia 2 da Tabela 4.3) e um projeto de testes de qualidade inferior foi utilizado com uma sintonia lenta (sintonia 1 da Tabela 4.2 ou sintonia 5 da Tabela 4.3). Os resultados são apresentados nas Figuras 4.23 e 4.24.

Figura 4.23. Regiões de confiança com projetos de teste 1 (superior) e 2 (inferior) e sintonias 5 (rápida) e 1 (lenta) em relação a no Estudo de Caso 2.

Figura 4.24. Regiões de confiança com projeto de teste 1 (superior) e 2 (inferior) e sintonias 1 (rápida) e 5 (lenta) em relação a no Estudo de Caso 2.

As Figuras 4.23 e 4.24 mostram que, ao utilizar um projeto de teste considerado adequado com sintonia rápida, é possível obter um desempenho final de controle pior do que quando se utiliza um projeto de testes não tão bom, porém com uma sintonia mais lenta. É importante ressaltar que, nesta análise, o desempenho está sendo medido

64 visualmente pelo volume da região de confiança e, por isso, afirma-se que nos exemplos estudados um projeto de teste pior com sintonia mais lenta apresentou desempenho melhor do que um projeto de teste melhor com sintonia mais rápida. No entanto, podem haver outros critérios para medir o desempenho do sistema. Dessa forma, embora o projeto de testes afete sobremaneira o desempenho do processo, a sintonia adequada do controlador pode de alguma forma compensar o mau desempenho da etapa de identificação, estando a ela correlacionada.

Outro aspecto importante a ser considerado é que este exemplo envolve um caso do tipo SISO e que, portanto, os parâmetros de sintonia ponderam as parcelas da função objetivo, mas não têm a função adicional de ponderar a importância relativa entre diferentes variáveis controladas ou manipuladas. Além disso, como foi citado, no caso SISO os parâmetros de sintonia e se comportam como um único parâmetro. Sendo assim, a abordagem de um caso MIMO pode introduzir considerável complexidade adicional à análise.

O principal ponto desta análise é mostrar que a sensibilidade em relação aos parâmetros de sintonia é tão importante que pode até mesmo fazer com que um modelo pior do ponto de vista de aderência ao modelo real e da variância dos parâmetros apresente comportamento superior a de outros modelos melhores. Apesar de utilizar uma formulação bastante simples, este estudo de caso mostrou que o desempenho do controlador pode ser consideravelmente diferente, a depender dos erros de modelagem e da sintonia adotada, motivando o desenvolvimento de novas teorias e metodologias capazes de quantificar estas relações.