CAPÍTULO 6 ESTUDOS ANALÍTICOS 2 – CÁLCULO E ANÁLISE DOS POLOS
6.6 Proposta de Índice
Alguns índices propostos foram monitorados nos exemplos analisados ao longo deste trabalho. Em especial, foi verificado que um dos índices, o us›U4, além de fornecer uma informação mais rigorosa quanto à estabilidade do sistema, parece ser capaz não só de avaliar a estabilidade, mas também o desempenho do sistema em malha fechada. Foi observado que o valor do índice us›U4 é maior do que 1 quando o comportamento do controlador é instável, menor do que 1 quando é o sistema apresenta comportamento estável e igual a 1 quando o controlador é extremamente lento.
Pode-se interpretar o comportamento em malha fechada como uma composição da resposta orientada por cada um dos polos. No caso de um sistema de MPC aplicado a um processo, já foi mostrado por meio da Equação (6.17) que o número de polos seria numericamente igual ao horizonte de predição, podendo ser bastante grande.
Sabe-se também que basta um polo fora do círculo unitário para que o sistema apresente comportamento instável e que, por outro lado, se todos os polos estiverem dentro do círculo unitário, o sistema é estável. Como o índice us›U4 é igual ao maior polo em módulo, basta realmente verificar se o seu valor é maior ou menor do que 1 para definir a condição de estabilidade do sistema.
É interessante notar que, quando o controlador está lento demais, foi observado que o valor de us›U4 é igual a 1 e também que não só o módulo do polo é igual a 1,
158 mas que, nestas condições, existe um polo real com valor igual a 1. Ao analisar as respostas correspondentes a cada polo quanto às suas posições relativas ao círculo unitário, tem-se que um polo real com valor igual a 1 resultaria em um comportamento em que as variáveis permaneceriam constantes; ou seja, a variável controlada não iria para o setpoint e a variável manipulada não receberia as ações de controle necessárias para tal.
De fato, se a sintonia for excessivamente lenta, o comportamento observado poderia ser próximo deste, já que controlador estaria tão lento, que ficaria praticamente sem ação, fazendo com que o sistema continuasse inerte. Ou seja, as ações de controle seriam ínfimas e a variável controlada não atingiria o setpoint desejado.
Ao variar a sintonia, observa-se que o valor de us›U4 sai de valores que podem estar acima de 1, com uma sintonia rápida; vai diminuindo conforme a sintonia fica mais lenta, enquadrando o valor de us›U4 como menor do que 1; atinge um ponto de mínimo, com sintonia mais lenta; volta a aumentar, sem ultrapassar o valor de 1, com sintonias ainda mais lentas; e quando a sintonia torna-se excessivamente lenta, passa a apresentar valor igual a 1. Este comportamento pode ser observado no exemplo a seguir, em que foi verificada a sensibilidade do índice us›U4 em relação a um dos parâmetros de sintonia.
O exemplo arbitrário a seguir é utilizado para ilustrar a sensibilidade do índice proposto e trata de um MPC aplicado a um processo com 2 variáveis manipuladas e 2 variáveis controladas. Os horizontes utilizados foram iguais a 30, para controle, e 50, para predição. O processo real foi expresso pela Equação (6.69) e o modelo utilizado pelo controlador foi o da Equação (6.70).
Q = {QQ<< Q<A A< QAA| = I 1 4 + 1 2 + 11 2 5 + 1 4 + 10.5 K (6.69) U = {U<< U<A UA< UAA| = I 1 4 + 1 2 + 10.4 4 5 + 1 4 + 10.75 K (6.70)
Os parâmetros de sintonia foram iguais a 1 para todas as variáveis controladas. Já os parâmetros de sintonia , foram diferentes para cada uma das manipuladas e, por isso, serão denominados neste exemplo como 1 e 2. Para supressão de movimento
159 2, referente à segunda variável manipulada, foi adotado um valor igual a 2, inicialmente. Já a supressão de movimento 1, referente à primeira variável manipulada, teve seu valor alterado em diferentes simulações para a análise de sensibilidade. Os resultados deste primeiro estudo podem ser observados na Figura 6.36.
Figura 6.36. Análise de sensibilidade do índice proposto com um dos parâmetros de supressão de movimento igual a 2.
Neste primeiro teste, nenhum valor da supressão de movimento 1 foi suficiente para instabilizar o sistema, mantidas as outras condições fixas. No entanto, já foi possível verificar que para valores suficientemente lentos de sintonia ( 1 grande, neste caso), o valor de us›U4 foi igual a 1. Foi ainda realizada outra análise de sensibilidade para o mesmo exemplo, em que a supressão de movimento 2 foi mantida fixa em 0.2, enquanto a supressão de movimento 1 variou para analisar o comportamento de us›U4. Os resultados são apresentados na Figura 6.37.
160 Figura 6.37. Análise de sensibilidade do índice proposto com um dos parâmetros de
supressão de movimento igual a 0.2.
Esta última análise de sensibilidade apresentou comportamento conforme havia sido descrito anteriormente, já que o sistema foi instável para valores baixos de 1. Este resultado mostra como o índice us›U4 apresenta características interessantes para ser utilizado, não só do ponto de vista de estabilidade, mas também do ponto de vista de desempenho. Este comportamento observado será utilizado adiante neste trabalho para a proposição de metodologias.
6.6.1 Avaliação dos Projetos de Testes sob Enfoque do Novo Índice
O índice proposto foi utilizado para complementar o estudo realizado na Seção 4.2.3, verificando como o índice é afetado ao variar a probabilidade dos testes GBN. Este índice, assim como a métrica ISE utilizada na Seção 4.2.3, pode representar uma medida do desempenho do sistema em malha fechada.
Como a metodologia utilizada para avaliar os diferentes projetos de experimentos envolve muitas simulações e para cada uma delas há um valor de us›U4, optou-se por selecionar o maior valor de us›U4 observado dentre as simulações realizadas para uma determinada probabilidade que define o projeto de experimentos. Esta escolha é a mais conservadora, já que garante que o pior caso está sendo considerado.
161 Os resultados obtidos para us›U4 utilizando diferentes probabilidades para o teste GBN sob a ação de sintonia intermediária, lenta e rápida, podem ser verificados nas Figuras 6.38, 6.39 e 6.40, respectivamente.
Figura 6.38. Índice us›U4 utilizando diferentes projetos de experimento na etapa de identificação (sintonia base, = 1 e = 0.1).
Figura 6.39. Índice us›U4 utilizando diferentes projetos de experimento na etapa de identificação (sintonia lenta, = 1 e = 10).
162 Figura 6.40. Índice us›U4 utilizando diferentes projetos de experimento na etapa de
identificação (sintonia rápida, = 1 e = 0.01).
Os resultados mostraram que o índice us›U4 apresentou comportamento semelhante ao ISE. Em geral, o índice apresentou resultados piores para valores muito baixos e muito altos da probabilidade de chaveamento do projeto de testes e valores satisfatórios para probabilidades de chaveamento intermediárias. Este comportamento fica mais ressaltado em cenários de sintonia rápida, em que foram mais comuns valores de us›U4 maiores do que 1, que seria suficiente para reprovar o projeto de testes, já que poderia instabilizar o sistema caso uma sintonia rápida fosse adotada. Por outro lado, ao trabalhar com sintonias lentas, o valor de us›U4 foi superior a 1 para apenas um valor de probabilidade de chaveamento, já que a sintonia lenta acaba amortecendo os erros de modelagem. Esses resultados mostram que de fato há mudanças nos desempenhos do MPC como função dos testes, como verificado no Capítulo 4 e formalmente comprovado nas Figuras 6.38 a 6.40.