CAPÍTULO 6 ESTUDOS ANALÍTICOS 2 – CÁLCULO E ANÁLISE DOS POLOS
6.3 Caso MIMO com Erro no Ganho
6.3.4 Exemplos
A teoria e os conceitos desenvolvidos para o caso MIMO serão testados nos exemplos arbitrários a seguir para um processo com 2 variáveis manipuladas e 2 variáveis controladas. Em todos os exemplos, foram admitidos horizontes de controle e predição iguais a 30 e 50, respectivamente. Os exemplos simulam um cenário de mudança de setpoint das variáveis controladas para observar o comportamento do MPC, embora este cenário não influencie os resultados obtidos para os polos do sistema em malha fechada.
Exemplo 6.12
No primeiro exemplo, o modelo utilizado pelo controlador foi idêntico ao modelo que representa a planta real (Equação (6.55)). Os parâmetros de sintonia foram definidos iguais a 1 em relação a todas as controladas, enquanto os parâmetros de supressão de movimento foram iguais a 2 para todas as manipuladas.
Q = {QQ<< Q<A A< QAA| = I 1 0.4 + 1 2 + 11 2 5 + 1 0.4 + 10.5 K (6.55)
136 A Figura 6.14 mostra o comportamento das variáveis de processo sob a ação do sistema de MPC. Já os polos do sistema em malha fechada podem ser observados na Figura 6.15 e os valores dos índices propostos são apresentados na Tabela 6.8.
Figura 6.14. Comportamento das variáveis sob atuação do MPC no Exemplo 6.12.
137 Tabela 6.8. Índices – Exemplo 6.12
Índice Valor
us›U1 0.7182
us›U2 1.0121
us›U3 1.2553
us›U4 0.8239
Neste exemplo, o comportamento do controlador foi estável, não tendo sido observado nenhum polo fora do círculo unitário, o que já era esperado. Dentre os índices propostos, us›U2 e us›U3 apresentaram valores maiores do que 1, apesar do processo não ter instabilizado. Este comportamento pode acontecer, já que as condições do us›U2 e do us›U3 são apenas condições suficientes de convergência. Ou seja, é possível que o sistema seja estável ainda que os valores destes índices sejam superiores a 1, como foi observado neste exemplo. Vale ressaltar ainda que o índice us›U4 é o mais rigoroso de todos, embora também seja o mais custoso de se calcular.
Exemplo 6.13
Neste exemplo, foi incorporado erro de modelagem por meio de fatores multiplicativos, sendo o processo real expresso pela Equação (6.56) e o modelo utilizado pelo controlador expresso pela Equação (6.57). Os parâmetros de sintonia adotados foram os mesmos do Exemplo 6.12.
Q = {Q<< Q<A QA< QAA| = I 1 0.4 + 1 2 + 11 2 5 + 1 0.4 + 10.5 K (6.56) U = {U<< U<A UA< UAA| = I 1 0.4 + 1 2 + 10.4 4 5 + 1 0.4 + 10.75 K (6.57)
O comportamento do processo sob a atuação do MPC, os polos do sistema em malha fechada e os índices calculados podem ser observados nas Figuras 6.16 e 6.17 e na Tabela 6.9, respectivamente.
138 Figura 6.16. Comportamento das variáveis sob atuação do MPC no Exemplo 6.13.
139 Tabela 6.9. Índices – Exemplo 6.13
Índice Valor
us›U1 0.6857
us›U2 1.2323
us›U3 0.9856
us›U4 0.8440
Neste caso, o controlador apresentou comportamento estável, com todos os polos dentro do círculo unitário e os índices calculados igualmente menores do que 1, exceto o us›U2, que foi maior que 1, o que pode ser admitido, uma vez que a condição em que us›U2 menor do que 1 é uma condição suficiente (mas não necessária) de convergência.
Exemplo 6.14
Este exemplo é idêntico ao exemplo 6.13, a não ser por considerar um erro de modelagem diferente, apesar de continuar sendo representado por meio de fatores multiplicativos em relação ao processo real. Assim, o processo real continua sendo expresso pela Equação (6.56), enquanto o modelo utilizado pelo controlador passa a ser expresso pela Equação (6.58).
U = {UU<< U<A A< UAA| = I 1 0.4 + 1 2 + 10.4 1 5 + 1 0.4 + 10.75 K (6.58)
Os resultados deste exemplo são apresentados nas Figuras 6.18 e 6.19 e na Tabela 6.10.
140 Figura 6.18. Comportamento das variáveis sob atuação do MPC no Exemplo 6.14.
Figura 6.19. Polos do sistema em malha fechada no Exemplo 6.14.
Tabela 6.10. Índices – Exemplo 6.14
Índice Valor
us›U1 1.3027
us›U2 1.4264
us›U3 1.5757
141 Neste exemplo foi verificado um comportamento instável do controlador, com um polo fora do círculo unitário, conforme esperado. Todos os índices forneceram valores acima de 1, embora apenas o us›U4 realmente fosse capaz de determinar a instabilidade do sistema em malha fechada. Afinal, os outros índices representam apenas condições suficientes de convergência, não sendo possível afirmar que o sistema instabiliza quando seus valores ultrapassam o valor de 1.
Exemplo 6.15
Neste exemplo, é considerado um processo mais rápido que o dos exemplos anteriores, ou seja, com menores constantes de tempo. Desta forma, o processo real é expresso pela Equação (6.59), enquanto o modelo utilizado pelo controlador é expresso pela Equação (6.60). Os parâmetros de sintonia utilizados foram os mesmo do exemplo 1. Q = {QQ<< Q<A A< QAA| = I 1 0.4 + 1 0.2 + 11 2 0.5 + 1 0.4 + 10.5 K (6.59) U = {UU<< U<A A< UAA| = I 1 0.4 + 1 0.2 + 10.4 4 0.5 + 1 0.4 + 10.75 K (6.60)
Os resultados do exemplo 4 podem ser visualizados nas Figuras 6.20 e 6.21 e na Tabela 6.11.
142 Figura 6.20. Comportamento das variáveis sob atuação do MPC no Exemplo 6.15.
Figura 6.21. Polos do sistema em malha fechada no Exemplo 6.15.
Tabela 6.11. Índices – Exemplo 6.15
Índice Valor
us›U1 0.7319
us›U2 0.7386
us›U3 0.7435
143 Neste exemplo, foi observado um comportamento estável do sistema em malha fechada, com todos os polos situados dentro do círculo unitário. A menor constante de tempo fez com que os polos se aproximassem do centro do círculo, conforme havia sido observado na análise de sensibilidade no caso SISO. Além disso, todos os índices propostos apresentaram valor menor do que 1, o que significa que todos os índices teriam sido capazes de prever a estabilidade do controlador neste exemplo.
Exemplo 6.16
Este exemplo é idêntico ao Exemplo 6.15, a não ser pelos parâmetros de sintonia. O parâmetro adotado continuou sendo igual a 1 para todas as variáveis controladas. Já o parâmetro foi reduzido para 0.2 para todas as variáveis manipuladas, resultando em uma sintonia mais agressiva. Os resultados obtidos considerando este novo cenário de sintonia podem ser visualizados nas Figuras 6.22 e 6.23 e na Tabela 6.12.
144 Figura 6.23. Polos do sistema em malha fechada no Exemplo 6.16.
Tabela 6.12. Índices – Exemplo 6.16
Índice Valor
us›U1 1.3077
us›U2 1.7574
us›U3 1.7015
us›U4 1.3070
Com a sintonia mais agressiva, o comportamento do controlador ficou instável, tendo sido também observado um polo fora do círculo unitário e o valor de todos os índices acima de 1, conforme esperado. De qualquer forma, é importante ressaltar que o único índice capaz de prever a instabilidade de forma determinante é o us›U4.
Exemplo 6.17: Análise de Sensibilidade no caso MIMO
Da mesma forma que no caso SISO, foi feita uma análise de sensibilidade para o caso MIMO. No entanto, como são muitos os parâmetros do caso MIMO, optou-se por realizar variações simultâneas de mesma natureza a cada teste. O Exemplo 6.12 foi utilizado como base para a análise de sensibilidade. Foram verificadas as influências da constante de tempo, do tempo morto e do ganho do processo, bem como da supressão de movimento, do horizonte de controle e do fator de erro de modelagem. Os resultados são apresentados na Figura 6.24, em que Tau_Base é a constante de tempo base,
145 Theta_Base é o tempo morto base, Kp_Base é o ganho base do processo real, R_Base é o parâmetro de supressão de movimento base , K_Base é o fator de erro de modelagem base e HC é o horizonte de controle.
146 Figura 6.24. Análise de sensibilidade dos polos do sistema em malha fechada no caso
MIMO em relação a diferentes parâmetros.
É importante ressaltar que nesta análise de sensibilidade, os valores de ganho, constante de tempo e tempo morto foram alterados da mesma forma tanto no processo que representa a planta quanto no modelo utilizado pelo controlador. Portanto, o único
147 parâmetro capaz de refletir a sensibilidade ao erro de modelagem é o fator , que multiplica o ganho do processo real para calcular o ganho do modelo utilizado pelo controlador.
Assim como no caso SISO, a grandeza que afetou mais significativamente o raio da circunferência formada pelos polos do sistema foi a constante de tempo. De certa forma, pode-se afirmar que os outros parâmetros avaliados tiveram uma influência mais pronunciada no posicionamento dos polos no caso MIMO quando comparados com o resultado observado no caso SISO, provavelmente pela maior complexidade do problema.
Além disso, a análise de sensibilidade em relação a alguns parâmetros mostrou que muitas vezes observa-se um ou dois polos que saem do círculo formado pelos outros polos, podendo influenciar de forma significativa a resposta em malha fechada.
Em alguns casos, a sensibilidade pode ser mais pronunciada na presença de erros de modelagem. Este é o caso do tempo morto, por exemplo, que pode afetar o comportamento do controlador de uma forma diferente na presença de erros de modelagem.