Caso SISO com Horizontes Reduzidos

Para iniciar os estudos propostos nesta abordagem, foi adotado o problema mais simples possível, de modo a facilitar a dedução das expressões e a interpretação das conclusões subsequentes.

Assim, considerando o caso SISO sem restrições, com horizontes de controle e predição iguais a 1 e um modelo de processo descrito por um modelo de puro ganho, com 1 coeficiente, a Equação (2.4) fica reduzida a:

∆ f= <∙ «f

<A+ TJ (5.1)

Neste caso, os parâmetros de sintonia T e J estão correlacionados e devem ser tratados como um parâmetro único Q = T J⁄ , obtendo-se a expressão:

71 ∆ f= <∙ «f

<A+ Q =

<∙ d − df!

<A+ Q (5.2)

Linearizando a expressão anterior, em que _{∆ f} é função do modelo do processo s<, da medição da variável controlada df e do parâmetro de sintonia Q, tem-se:

∆ f= Â <, df, Q! Ã ∆ f! =_]]Â <∙ Ã <+ ]Â ]df∙ Ãdf+ ]Â ]Q ∙ ÃQ (5.3) Ã ∆ f! = „ Q − < A_{! ∙ d − d} f! <A+ Q!A … ∙ Ã <− „ < <A+ Q!… ∙ Ãdf − „ <∙ d − df! <A+ Q!A … ∙ ÃQ (5.4)

Para que a primeira ação de controle em um cenário de erro de modelagem seja a mesma de um cenário com modelo perfeito, pode-se fazer _{Ã ∆ f! = 0} na expressão anterior e calcular a variação de sintonia _ÃQ que deve ser utilizada para compensar o erro do modelo _{Ã <} e do erro de medição _Ãdf, resultando na seguinte expressão:

ÃQ = „ Q − <A!

< … ∙ Ã <− „

Q + <A!

d − df!… ∙ Ãdf (5.5)

Considerando, em um primeiro momento, apenas os erros de modelagem, ou seja, fazendo _{Ãdf = 0}, tem-se:

ÃQ = „ Q − <A!

< … ∙ Ã < (5.6)

Seguindo as mesmas premissas, é possível calcular a variação de sintonia _ÃQ que deve ser utilizada para compensar o erro do modelo _{Ã <} diretamente da expressão não linear (Equação (5.2)) e manter a primeira ação de controle inalterada (_{Ã ∆ f! = 0}). Desconsiderando os erros de medição (_{Ãdf= 0}), chega-se a:

72 ÃQ = „ Q − <A!

< … ∙ Ã <− Ã <

A _(5.7)

As expressões dadas pelas Equações (5.6) e (5.7) são muito importantes porque estabelecem relações quantitativas que mostram como a sintonia apropriada do controlador pode eliminar os erros de modelagem. Essas expressões podem ser usadas para compensar os erros de modelagem dentro do cenário simplificado que foi admitido. As correções de sintonia propostas foram aplicadas, então, a exemplos numéricos da atuação de um controlador preditivo simples (caso SISO, com horizontes de controle e predição iguais a 1 e modelo de puro ganho com 1 coeficiente), como foi proposto nas expressões apresentadas.

No primeiro exemplo, o controlador foi aplicado a um processo de ganho unitário, sendo que o ganho do modelo utilizado pelo controlador foi igual a 0.5. Neste caso, foi adotada uma sintonia base (_{Q = 4}) e estabelecido um cenário de mudança de setpoint (_{d = 5}). Os valores base para os parâmetros utilizados neste cenário foram escolhidos arbitrariamente. As ações de controle podem ser observadas na Figura 5.1 em cenários de modelo perfeito e de presença de erro de modelagem com diferentes sintonias.

Figura 5.1. Comparação das ações de controle em um cenário em que o ganho do modelo corresponde à metade do valor do ganho real do processo.

De acordo com a Figura 5.1, o erro de modelagem implica em uma diferença de desempenho quando a mesma sintonia é empregada. No entanto, ao utilizar as variações de sintonia sugeridas pelas expressões deduzidas nas Equações (5.6) e (5.7), é possível

73 verificar e quantificar que a sintonia proposta foi capaz de compensar os erros de modelagem. Além disso, a utilização da sintonia obtida pela expressão não linear foi capaz de reproduzir exatamente o mesmo desempenho que seria obtido ao utilizar um modelo perfeito, embora a compensação apontada pela expressão linear já permita chegar a um resultado bem próximo e satisfatório. Portanto, a sintonia proposta foi de fato útil para remover a incerteza do modelo.

O mesmo procedimento foi aplicado a um segundo exemplo, muito semelhante ao primeiro, com a diferença de que o ganho do modelo utilizado pelo controlador foi considerado igual a 2, enquanto o ganho do processo real permaneceu igual a 1. Neste caso, diferentemente do exemplo anterior, o ganho do modelo adotado foi maior do que o ganho do processo. Os resultados são apresentados na Figura 5.2.

Figura 5.2. Comparação das ações de controle em um cenário em que o ganho do modelo corresponde ao dobro do valor do ganho real do processo.

As conclusões obtidas a partir da Figura 5.2 são as mesmas do exemplo anterior; ou seja, as sintonias obtidas pelas expressões desenvolvidas foram capazes de compensar o erro de modelagem proposto, resultando em um desempenho muito próximo do obtido com um modelo perfeito no cenário traçado.

Ao observar a expressão linearizada (Equação (5.6)) usada para compensação dos erros de modelagem, nota-se que quanto maior for o ganho ( _<), menor deve ser a necessidade de mudança de sintonia para compensar um determinado erro à < absoluto. Ainda de acordo com a Equação (5.6), quando Q = <A, o controlador deve apresentar o mesmo resultado do modelo perfeito, mesmo na presença de erro de modelagem. Dessa forma, vê-se que há uma sintonia que torna o controlador insensível aos erros de

74 modelagem. Esse resultado aparentemente ainda não foi relatado na literatura e pode levar a novos procedimentos de sintonia de controladores MPC.

Foi realizado um teste de aplicação numérica deste resultado nos mesmos exemplos anteriores. Assim, para um processo de ganho 1, a sintonia menos sensível a erros de modelagem consistiria em adotar _{Q = 1}. Esta passou a ser a nova sintonia base, tendo sido utilizada também como sintonia nos casos em que o ganho do modelo utilizado pelo controlador foi igual a 0.5 e 2. Os resultados numéricos da Figura 5.3 mostraram que as ações de controle realmente foram pouco afetadas pelos erros de modelagem no cenário proposto, tendo sido surpreendentemente menos afetadas do que nos exemplos anteriores, quando a sintonia era mais lenta (_{Q = 4}). Fica assim patente o vínculo quantitativo existente entre o erro de modelagem e a sintonia do controlador MPC.

Figura 5.3. Comparação das ações de controle em diferentes cenários de erros de modelagem com sintonia insensível.