CAPÍTULO 3 CONCEITOS DE MECÂNICA DE FLUÍDOS
3.1 Caracterização de estados fluidos
Uma descrição matemática completa do estado de um fluido, nomeadamente um gás ideal em movimento, é feita por meio da distribuição de velocidade _&c_&B[, X, , F e de duas quaisquer variáveis termodinâmicas, como, por exemplo, a pressão +B[, X, , F e a densidade ρB[, X, , . Conhecidas estas variáveis, todas as quantidades termodinâmicas
são determinadas pelo conhecimento de qualquer duas delas, junto com a lei dos gases ideais.
3.1.1 Lei dos gases ideais (Equação de estado)
A equação de estado para os gases ideais descreve adequadamente, na óptica da engenharia civil, o estado dos gases na atmosfera e em experiências laboratoriais.
A forma mais comum desta lei é dada por:
+ = 02 (3.1)
Onde + é a pressão, é o volume, a temperatura do gás e 2 a constante universal dos gases (2 = 287-X4X*[).
3.1.2 Primeira lei da Termodinâmica
A primeira lei da termodinâmica estabelece que o sistema possui uma energia interna , a qual é função das variáveis necessárias para especificar o estado do sistema.
Se o sistema é levemente perturbado e, entretanto, permanece muito próximo do equilíbrio térmico, a quantidade de calor entrando através da fronteira que tem o volume é :. O volume é, então, aumentado por : contra uma pressão +. Assim, pode-se escrever a variação na energia interna : como
20 Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil
: = : − +: (3.2)
3.1.3 Equação da Continuidade
A equação da continuidade estabelece que o decréscimo de massa no interior do volume respeita a seguinte igualdade
− : = _ . 0: (3.3)
A fórmula de Green permite relacionar um integral de superfície com o integral de volume, tal que resulta a seguinte expressão conhecida como equação da continuidade
O
+ ∇B_F = 0 (3.4)
Esta relação é válida tanto para fluidos ideais como viscosos. No entanto, é passível de simplificação quando : :⁄ ≪ 1, resultando a seguinte simplificação da equação da continuidade:
∇. _ = 0 (3.5)
Esta simplificação define uma das propriedades mais importantes dos fluidos incompressíveis. Na grande generalidade dos casos pode-se aplicar esta simplificação, sendo que para casos concretos será conveniente que o fluido seja descrito matematicamente como compressível.
3.1.4 Equações de movimento – Euler e Navier-Stokes
A resultante das pressões na superfície de um volume de controlo de fluido pode ser transformada num integral de volume respeitando a seguinte igualdade
− +0: = − +: (3.6)
Daqui se retira que uma força −+ actua em cada elemento de fluido. Esta força é habitualmente denominada de gradiente de pressão.
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 21 A equação de movimento de um fluido pode ser obtida igualando a força −+ ao produto da massa por unidade de volume pela aceleração que anima essa quantidade. Esta relação não é mais do que a primeira lei de Newton.
f = −+ (3.7)
A simplificação da derivada :_/: que diz respeito não à variação da velocidade do fluido num ponto do espaço, mas sim à variação desse vector para um fluido em movimento no espaço, permite transformar a equação (3.7) na equação de Euler, válida para fluidos não viscosos.
f
+ y_. ∇z_ = − [
O∇+ (3.8)
Em fluidos não ideais, devido à viscosidade, ocorre dissipação de energia. A dissipação deve-se à fricção interna e condução térmica entre moléculas. O processo dissipativo resulta da irreversibilidade termodinâmica do movimento. Para obter as equações do movimento dos fluidos viscosos é necessário incluir termos adicionais à equação.
A consideração de tais propriedades requer a introdução do termo da viscosidade η e da viscosidade cinemática ν, relacionadas da seguinte forma ν= η ρ⁄ (Welter G. , 2006). Considerando a introdução do tensor das tensões na equação (3.8), obtém-se a equação generalizada de Navier-Stokes.
& = −+ & + η + (3.9)
No caso das circulações atmosféricas, há que entrar em linha de conta com as acções externas de origem térmica, mecânica ou mesmo a aceleração de Coriolis abordada no próximo ponto. Considerando a resultante destas acções, o termo G&, a equação do movimento para fluidos viscosos é definida por:
+ u = − [ O + G&+ ν∇ Xu (3.10)
3.1.5 Escoamentos Laminares e Turbulentos
Os escoamentos de fluidos são geralmente distinguidos entre dois tipos, laminares e turbulentos. O primeiro é caracterizado por um comportamento determinístico enquanto o segundo é abrupto e irregular no espaço e tempo. A transição entre os dois escoamentos tem origem nas perturbações infinitamente pequenas. Tais perturbações resultam das colisões intermoleculares que, dependendo do tipo de escoamento, são amplificadas destabilizando o escoamento.
O número de Reynolds define habitualmente a transição entre os escoamentos para valores entre os 2000 e 3000, dependendo estes valores do domínio considerado. Esta razão unidimensional é definida como
23 =fB f/ F
ν.∇Uf (3.11)
Na grande generalidade dos casos, o número de Reynolds é simplificado de acordo com
23 = ,q ν (3.12)
Nesta expressão U é uma velocidade característica do escoamento e L uma escala de comprimentos característico.
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 23 Na natureza e em laboratório, os escoamentos, nomeadamente o vento, são, na sua grande maioria, turbulentos. Em túnel de vento, e concretamente no domínio da engenharia civil, os escoamentos são caracterizados por 23~10 e na natureza na ordem de 23~10¡. Importa, assim, enunciar um conjunto de propriedades relevantes dos escoamentos turbulentos.
A turbulência é rotacional e dissipativa, ou seja, a energia mecânica do escoamento é transformada em calor. A rotacionalidade é descrita matematicamente pela expressão (3.13).
∇ × = 0 (3.13)
A não linearidade do fenómeno de transferência de energia assume igual importância. Na realidade, o comportamento do escoamento caracterizado pelo campo de velocidades não pode ser conhecido rigorosamente, pelo que se adoptam análises estatísticas da turbulência como um processo estocástico. Mesmo que possível o conhecimento desse campo de velocidades, a complexidade e a dimensão do conjunto de dados seria inaplicável no sentido computacional. Por fim, de realçar que a turbulência é um fenómeno contínuo. Analogamente ao que já foi dito, na maior parte dos escoamentos a menor escala significativa é muito maior do que as distâncias ou dimensões intermoleculares.