Optimização de sistemas TMD sob a excitação do vento

Considere-se o seguinte sistema estrutural de m graus de liberdade com uma massa sintonizada acoplada ao nível do piso i+1.

Figura 7-8 – Sistemas estrutural de um edifício de M graus de liberdade com um TMD acoplado no piso i+1 da resposta do edifício para forças aplicadas subitamente por sismos ou tempestades (Kareem, Kijewski, & Yukio, Mitigation of Motions of Tall Buildings with Specific Examples of Recent Applications, 2004). A resposta do sistema será activa sempre que forem excedidos parâmetros extremos de vibração, estando nas restantes situações em resposta passiva. Este sistema permite assim economia de energia, contudo apresenta custos de

Amortecedores Semi-Activos

Reservando as melhores características dos sistemas passivos e activos, os sistemas semi representam a última tecnologia em sistemas de dissipação de energia. Possuindo a rápida adaptabilidade dos sistemas activos para carregamentos rápidos, oferecem maior estabilidade devido às suas características passivas. Estes sistemas conseguem produzir resultados muito próximos dos sistemas activos com um risco de instabilidade muito inferior ou com muito menor consumo de energia (Kareem, Kijewski, & Yukio, Mitigation of Motions of Tall Buildings with Specific Examples of Recent Applications, 2004) resultado destes resultados, este sistemas oferecem no futuro excelente viabilidade na

domínio da engenharia civil, nomeadamente das estruturas esbeltas.

Optimização de sistemas TMD sob a excitação do vento

se o seguinte sistema estrutural de m graus de liberdade com uma massa sintonizada acoplada ao nível do piso i+1.

Sistemas estrutural de um edifício de M graus de liberdade com um TMD acoplado no piso i+1 Cao, Li, Li, & Liu, 1999)

da resposta do edifício para forças aplicadas subitamente por sismos ou tempestades (Kareem, Kijewski, & Yukio, Mitigation of Motions of Tall Buildings with Specific Examples A resposta do sistema será activa sempre que forem excedidos parâmetros extremos de vibração, estando nas restantes situações em resposta ssim economia de energia, contudo apresenta custos de

Reservando as melhores características dos sistemas passivos e activos, os sistemas semi- representam a última tecnologia em sistemas de dissipação de energia. Possuindo

carregamentos rápidos, oferecem maior estabilidade devido às suas características passivas. Estes sistemas conseguem produzir resultados muito próximos dos sistemas activos com um risco de instabilidade muito (Kareem, Kijewski, & Yukio, Mitigation of Motions of Tall Buildings with Specific Examples of Recent Applications, 2004). Como resultado destes resultados, este sistemas oferecem no futuro excelente viabilidade na

domínio da engenharia civil, nomeadamente das estruturas esbeltas.

se o seguinte sistema estrutural de m graus de liberdade com uma massa

106 Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil Quando este sistema é submetido a uma acção lateral do vento as equações dos dois sistemas, edifício e TMD, podem ser escritas como

.tBF + "t/BF + *tBF = âBF + 8BF (7.3)

-BF + 7BF + )BF = −-&BF (7.4)

em que as grandezas associadas mantêm as propriedades das equações de movimento já descritas neste documento. Nestas equações em particular, âBF representa o vector de forças da acção do vento distribuídas por piso e 8BF a força introduzida na estrutura pela massa sintonizada.

Se apenas um TMD for instalado na estrutura, no i-ésimo piso, então o parâmetro 8BF pode ser simplificado tal que

8BF = wG BFx = D 0 , F ≠ ₇

/+ )=  , F =  y (7.5)

Considerando apenas os m primeiros modos de vibração da estrutura, o vector deslocamento pode ser descrito por meio do método da sobreposição por

tBF = ∑» _c[Φ ; BF (7.6)

onde Φ e ; BF são a j-ésima função de forma modal e a coordenada modal generalizada da estrutura, respectivamente.

As equações dinâmicas dos sistemas podem ser obtidas em função das coordenadas generalizadas, ; BF e do deslocamento relativo do amortecedor, BF.

; BF + 2ξ  ;/ BF +  X; BF =_´[_ž∑ Φ&c[M & 4&cBF +»_´{_žΦ Ë2ξ/ BF + XBFÍ (7.7)

BF + 2ξ/ BF + XBF = − ∑ Φ»&c[ ; BtF, F = 1,2, … , - (7.8)

Na expressão (7.7) o parâmetro 4_& é um parâmetro relativo à acção do vento. De forma geral, mas por vezes grosseira, pode admitir-se que o primeiro modo de vibração da estrutura é o modo fundamental para a acção do vento. Considerando apenas este modo e admitindo a função modal normalizada com valor igual à unidade no piso onde é colocado o TMD (o i-ésimo piso), as equações (7.7) e (7.8) vêm que:

Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 107 £1 0_{1 1¦ D/};[BF BFy + Y 2ξ[[ 2 -⁄ ξ.[  0 2ξ Z D;/ [BF /BFy + | [X − -⁄ .[ X 0 X } D; [BF /BFy =

D1 .⁄ [∑ ΦM&c[ &[4&

0 y (7.9)

Como já se viu em capítulo anteriores, a função densidade espectral da resposta de coordenadas generalizadas é descrita pela seguinte relação

6ÚÚBF = ·¤BF6±±BF·∗BF (7.10)

Por meio de operações e simplificações matemáticas, esta relação permite por sua vez chegar à expressão da variância do deslocamento, Ù_[ (Li, Cao, Li, Li, & Liu, 1999).

Ú[X =_³y$áy$_v,$v_{,,$_~v{,_,~~_{v_,´,~{_v,´_,»v_{,»_,Φ{_œvz_,œz (7.11)

Com isto, pode-se chegar finalmente à condição que define o rácio óptimo de amortecimento. Este valor será tanto mais adequado, quanto menor o valor de _Ú[X . Este valor verifica-se quando se anula a primeira derivada desta função relativamente ao amortecimento do TMD, ξ. §Ýv ~{ =  ~{ á ³ = [ ³U£à_~³_{− _~á_{¦ = 0 N à_~³_{− _~á_{= 0 (7.12)

Assim, a frequência óptima do TMD bem como o rácio da massa do TMD relativamente à massa vibrante do primeiro modo do edifício, resultam das soluções das seguintes expressões, respectivamente.

à_$³_{− _$á_{= 0 (7.13)

à³_μ− á_μ = 0 (7.14)

Sendo que μ representa o rácio da massa do amortecedor, - e a massa vibrante da estrutura, para este caso a massa modal do primeiro modo de vibração, ._[.

108 Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil Porém, a obtenção da solução analítica deste problema é geralmente uma tarefa complexa. Posto isto, surgem na bibliografia fórmulas com muito boa precisão que simplificam este problema através de relações matemáticas bastante acessíveis.

Warburton propôs em 1982 várias expressões que permitem calcular de forma acessível os parâmetros óptimos para os TMD em edifícios altos Warburton (Warburton, 1982).

r‰=$_$€‚_v =a[í. _[í (7.15)

Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 109