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ACÇÃO E EFEITOS DO VENTO EM EDIFÍCIOS ALTOS
Ricardo Miguel de Matos Camarinha Mestrado em Engenharia Civil
Orientador: Doutor João Sérgio Nobre Duarte Cruz Provas Concluídas em Outubro de 2008
Resumo
Este trabalho tem como objectivo o estudo da acção e efeitos do vento em edifícios altos, onde a interacção estrutura-vento assume em geral um papel condicionante. Pretende-se abordar a formulação geral do problema da interacção estrutural do vento em torno de uma estrutura, bem como das técnicas simplificadas para aproximar as soluções.
Abordam-se os conceitos base de mecânica de fluidos e dinâmica estrutural que conduziram ao desenvolvimento de um programa de simulação que permite calcular no domínio do tempo o comportamento do edifício envolvido por um escoamento irrotacional e incompressível. Pretende-se com esta abordagem criar uma ferramenta de cálculo acessível e prática para a fase de pré-dimensionamento da estrutura e geometria de edifícios altos.
Apresentam-se as abordagens propostas pelos regulamentos internacionais mais actualizados neste tema, sendo no entanto utilizado como referência o Eurocódigo 1. Efectua-se uma comparação qualitativa entre os vários regulamentos.
São referidos os principais problemas deste tipo de edifícios em serviço, bem como técnicas correntes para avaliação de conforto humano no seu interior.
Com recurso ao modelo de simulação estrutural desenvolvido, analisou-se um caso de estudo de um edifício em projecto, comparando-se esta análise com os resultados obtidos através da aplicação do Eurocódigo 1.
Palavras-Chave:
iii
WIND ACTIONS AND EFFECTS ON TALL BUILDINGS
Ricardo Miguel de Matos Camarinha Master in Civil Engineering
Advisor: Doctor João Sérgio Nobre Duarte Cruz
Abstract
This work presents a study of wind actions and effects on tall buildings. Wind action and effects are very common and important on slender structures. This study intends to describe the general formulation of the problem of wind and structures interaction, as well as the simplified techniques to gather solutions.
For this purpose, fundamentals of fluid mechanics and structural dynamics are introduced. An automatic routine was built to predict buildings interaction inside an irrotational and incompressible flow field with some particular phenomena added. This analysis is made in time domain. The scope of this methodology is to create an accessible and useful tool for pre-design phase. The tool developed allows for optimization of structural and geometrical properties of buildings.
Most important international codes are considered, however Eeurocode 1 is the reference code for application in calculation. Some qualitative aspects of each code are discussed.
Vibration problems of tall buildings are investigated, thus some techniques for human comfort evaluation in higher floors are considered.
Software built and Eurocode 1 were applied to a real case study. Some results are compared and discussed.
Keywords:
v
AGRADECIMENTOS
O meu agradecimento àqueles que de alguma forma contribuíram para a realização deste trabalho, em particular:
Ao Professor Sérgio Cruz que me permitiu estudar este tema e que desde o início suportou todo o trabalho.
Ao Professor Jorge de Brito por quem guardo grande estima e que sempre demonstrou disponibilidade para auxiliar decisões importantes.
Aos colegas do DECivil e do DMat que me apoiaram sempre que necessário em temas da especialidade ou simplesmente no quotidiano.
À afaconsult no geral que sempre compreendeu as dificuldades de conciliação de um trabalho desta complexidade e de uma vida profissional, conseguindo criar oportunidades de trabalho fantásticas e disponibilizando todo o material necessário. Em particular ao Marco Carvalho, à Margarida Ruivo, ao Domingos Monteiro e ao Rui Ribeiro.
À minha família que me permitiu chegar ao final deste longo ciclo e que certamente me apoiará na continuidade de trabalhos futuros, em especial aos meus pais, irmã e à Inês.
vii They were called skyscrapers, a name to exalt the human mind.
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ÍNDICE GERAL
AGRADECIMENTOS ... V ÍNDICE GERAL...IX ÍNDICE DE FIGURAS ... XIII ÍNDICE DE TABELAS ... XVII SIMBOLOGIA ... XIX LISTA DE ABREVIATURAS ... XXI
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ... 1
1.1 Contexto temático ... 1
1.2 Objectivo ... 4
1.3 Estrutura do documento ... 5
CAPÍTULO 2 CIRCULAÇÕES ATMOSFÉRICAS ... 7
2.1 Hidrodinâmica da Atmosfera ... 8
2.1.1 Força de Coriolis ... 9
2.1.2 Velocidade Geostrófica ... 10
2.2 Escoamento na Camada Limite ... 11
2.2.1 Conceito de rugosidade ... 12
2.2.2 Direcção da velocidade do vento ... 13
2.2.3 Velocidade do Vento ... 14
2.2.3.1 Velocidade média ... 16
2.2.3.2 Parcela aleatória da velocidade ... 17
CAPÍTULO 3 CONCEITOS DE MECÂNICA DE FLUÍDOS ... 19
3.1 Caracterização de estados fluidos ... 19
3.1.1 Lei dos gases ideais (Equação de estado)... 19
3.1.2 Primeira lei da Termodinâmica ... 19
3.1.3 Equação da Continuidade ... 20
3.1.4 Equações de movimento – Euler e Navier-Stokes ... 20
3.1.5 Escoamentos Laminares e Turbulentos ... 22
3.2 Estatística da Turbulência ... 23
3.2.1 Formulação geral da turbulência ... 23
x
CAPÍTULO 4 ESCOAMENTO EM TORNO DE EDIFÍCIOS ... 27
4.1 Forças resultantes da interacção vento-estrutura ... 27
4.2 Coeficientes de Força e Pressão ... 28
4.3 Características do escoamento ... 28
4.3.1 Efeito do número de Reynolds ... 29
4.4 Forças e pressões flutuantes ... 30
4.4.1 Flutuações induzidas pelo obstáculo e formação de turbilhões ... 30
4.5 Escoamento Tridimensional ... 35
CAPÍTULO 5 ACÇÃO DO VENTO EM EDIFÍCIOS ALTOS ... 37
5.1 Introdução... 37
5.2 Hipótese Quase-Estacionária ... 38
5.3 Quantificação de pressões e forças flutuantes num edifício ... 40
5.4 Resposta de fundo e resposta ressonante ... 42
5.5 Modelos de caracterização da acção longitudinal do vento ... 43
5.5.1 Contextualização e Generalidades ... 43
5.5.2 Método DGLF (Displacement Gust Load Factor) ... 44
5.5.3 Método MGLF (Moment Gust Load Factor) ... 50
5.5.4 Factor de Resposta Dinâmico – DRF ... 54
5.5.5 Combinação Linear das componentes de Fundo e de Ressonância ... 55
5.6 Modelos para caracterização da acção transversal e de torção do vento ... 58
5.6.1 Efeito lateral e de torção do vento – Factores de Rajada ... 58
5.6.2 Quantificação do desprendimento de turbilhões ... 61
5.6.2.1 Modelos lineares e não lineares de Scanlan ... 61
5.6.2.2 Modelo 3D de Vickery & Basu ... 62
5.7 Túnel de Vento ... 64
5.8 Computação dinâmica de fluido ... 65
CAPÍTULO 6 ABORDAGEM PROPOSTA ... 67
6.1 Geração de séries sintéticas de vento ... 68
6.1.1 Introdução ... 68
6.1.2 Formulação de Séries de Vento num ponto ... 68
6.1.3 Formulação de Séries com variabilidade espacial ... 72
6.1.4 Processo vectorial ... 75
6.2 Escoamentos potenciais em torno de um edifício ... 76
xi
6.2.2 Método dos Painéis ... 81
6.3 Vibrações aeroelásticas e desprendimento de vórtices ... 89
6.4 Método dinâmico de análise ... 92
6.5 Estrutura do programa de cálculo ... 94
CAPÍTULO 7 VIBRAÇÃO DE EDIFÍCIOS ALTOS ... 95
7.1 Comportamento estrutural ... 96
7.2 Avaliação do conforto no interior de edifícios altos ... 97
7.2.1 Evolução dos modelos ... 97
7.2.2 Métodos regulamentares ... 99
7.3 Minimização das vibrações estruturais – Sistemas estruturais ... 101
7.3.1 Alterações ou adição de elementos estruturais ... 101
7.3.2 Alterações geométricas dos edifícios... 102
7.3.3 Adição de elementos dissipadores - amortecedores ... 102
7.3.3.1 Amortecedores Passivos ... 103
7.3.3.2 Amortecedores Activos ... 104
7.3.3.3 Amortecedores Híbridos (HMDs) ... 104
7.3.3.4 Amortecedores Semi-Activos ... 105
7.4 Optimização de sistemas TMD sob a excitação do vento ... 105
CAPÍTULO 8 MÉTODOS PROPOSTOS NOS REGULAMENTOS INTERNACIONAIS ... 109
8.1 Introdução... 109
8.2 Descrição das características do vento ... 110
8.2.1 Velocidade Básica do Vento... 110
8.2.2 Comportamento médio do vento ... 111
8.3 Intensidade da turbulência ... 112
8.4 Função espectral do vento, Escalas de Comprimento de Turbulência e Correlação da estrutura do vento ... 113
8.5 Quantificação da Acção de Rajada do Vento (GLF) ... 114
CAPÍTULO 9 CASO DE ESTUDO ... 117
9.1 Descrição do caso de estudo ... 117
9.2 Caracterização dinâmica do edifício ... 118
9.3 Caracterização da acção pelo EC 1-4 ... 119
9.3.1 Acção Longitudinal – MGLF ... 119
9.3.2 Acção Transversal – Desprendimento de turbilhões (Anexo EC 1-4) ... 120
9.3.2.1 Deslocamento máximo devido a vibrações transversais ... 121
9.3.2.2 Forças de desprendimento dos turbilhões ... 123
9.4 Caracterização da acção pela abordagem proposta ... 123
xii
9.4.3.1 Forças e Esforços ... 125
9.4.3.2 Deslocamentos e Acelerações ... 126
9.5 Variação da geometria ... 131
9.6 Alguns Exemplos de Edifícios Existentes ... 132
9.6.1 Burj Dubai ... 132
9.6.2 Taipei 101 ... 134
CAPÍTULO 10 CONCLUSÕES ... 137
CAPÍTULO 11 REFERÊNCIAS ... 141 ANEXOS ... I A.1 Resposta de Sistemas Estruturais a Acções Periódicas ... I A.2 Algoritmo FFT ... VIII A.3 Fundamentos da teoria de variáveis aleatórias ... X
xiii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1-1 - Zona de acção do espectro do vento e espectro do sismo (Natural Hazard Laboratory - Web) ... 1 Figura 1-2 – Diagrama comparativo da distribuição de forças em altura para: (a) cargas permanentes (b) resultantes da acção do vento ... 2 Figura 2-1 - Pressões verticais numa massa elementar de ar ... 8 Figura 2-2 - Direcção da resultante do gradiente de pressões ... 8 Figura 2-3 - Movimento aparente das partículas de ar devido à rotação da terra (Holmes J. D., 2007) ... 9 Figura 2-4 - Evolução das resultantes de forças exercidas no escoamento atmosférico (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996) ... 10 Figura 2-5 - Relações da velocidade média e turbulência em altura (Nepf, 2002) ... 12 Figura 2-6 - Influência da textura da superfície no escoamento (Nepf, 2002) ... 13 Figura 2-7 - Comportamento vectorial (em espiral) da velocidade do vento no interior da camada limite (Holmes J. D., 2007) ... 14 Figura 2-8 - Registo variável da velocidade do vento no domínio do tempo (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996)... 15 Figura 2-9 - Comportamento aleatório da velocidade no domínio da altura z (Bulletin D'Information N 209 - Vibration Problems in Structures) ... 15 Figura 3-1 - Transição entre escoamentos laminares e turbulentos. Formação de turbilhões (Nepf, 2002) ... 22 Figura 4-1 – Forças resultantes da interacção do escoamento-estrutura em torno de um corpo ... 27 Figura 4-2 – Zonas de separação do escoamento em torno de formas rectangulares ... 28 Figura 4-3 – Comportamento típico do coeficiente de arrastamento em função do número de Reynolds (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996) ... 29 Figura 4-4 - Formação da estrada de von Karman num escoamento que atravessa uma secção circular ... 31 Figura 4-5 – Regimes de escoamento em torno de um cilindro (Holmes J. D., 2007) ... 31 Figura 4-6 – Comportamento das velocidades de escoamento e frequências de desprendimento de vórtices durante o fenómeno de “lock-in” (Bachman, Ammann, Deischl, & Eisenmann, 1994)... 33
xiv
Figura 4-8 – Sub-regimes de escoamento em regime de transição (Holmes J. D., 2007) ... 34
Figura 4-9 – Escoamento tridimensional esquemático em torno de obstáculos (Pinheiro, 2004). .... 35
Figura 5-1 – Diagrama de um corpo esbelto em consola, dividido em N secções transversais (Pinheiro, 2004). ... 40
Figura 5-2 – Função de densidade espectral de resposta de uma estrutura com resposta ressonante significante (Hu, 2006) ... 42
Figura 5-3 – Diagrama ilustrativo das correlações de acções em torno de uma estrutura sob acção longitudinal do vento ... 48
Figura 5-4 – Diagrama comparativo da metodologia do modelo DGLF e MGLF (Kareem & Zhou, Gust Loading Factor: New Model, 2001) ... 52
Figura 5-5 – Exemplo de aplicação de CFD a uma edifício de secção quadrada – Escoamento no plano X-Z (esquerda) e distribuição de pressões (direita) (Mendis, Ngo, Haritos, & Hira, 2007) ... 65
Figura 5-6 – Exemplo de aplicação de CFD a um edifício de secção quadrada – Escoamento no plano X-Y (esquerda) e comparação com linhas equipotenciais teóricas (direita) (Mendis, Ngo, Haritos, & Hira, 2007) ... 66
Figura 6-1 – Diagrama de forças de um corpo imerso num escoamento com velocidade ∞ ... 67
Figura 6-2 – Soluções das equações de escoamento potencial: (a) Escoamento uniforme (b) Campo de Fonte (c) Vórtice ... 77
Figura 6-3 – Diagrama resultante da combinação do escoamento uniforme com o escoamento de fonte ... 81
Figura 6-4 – Diagrama de forças de um corpo imerso num escoamento com velocidade ∞ ... 82
Figura 6-5 – Diagrama de tensões resultantes de um campo de vórtices ... 86
Figura 6-6 – Soluções da condição de Kutta ... 88
Figura 6-7 - Esquema do modelo oscilador acoplado para vibrações induzidas pelo desprendimento de vórtices ... 90
Figura 6-8 - Esquema do modelo oscilador acoplado para vibrações induzidas pelo desprendimento de vórtices ... 92
Figura 6-9 - Posição geométrica do piso i no instante = 0 + ∆... 93
Figura 6-10 - Estrutura do programa de cálculo da interacção vento-estrutura ... 94
xv
Figura 7-2 – Ábaco de avaliação de conforto – Amplitude de deslocamento vs período (a) Critério de
sensibilidade dos ocupantes às acelerações do edifício (b) (Kilpatrick, 1996) ... 98
Figura 7-3 – Distribuição dos limites de percepção da vibração do edifício. (Kilpatrick, 1996) ... 98
Figura 7-4 – Acelerações toleráveis vs Número médio anual de tempestades (Davenport) (Kilpatrick, 1996) ... 99
Figura 7-5 – Recomendações para avaliação da tolerância das vibrações induzidas pela acção do vento (Isyumov, 1993) (Kilpatrick, 1996) ... 100
Figura 7-6 – Ábaco tridimensional de avaliação da percepção das vibrações do edifício – Amplitude de deslocamento, frequência e aceleração (Bachman, Ammann, Deischl, & Eisenmann, 1994) ... 100
Figura 7-7 – Ilustração dos modelos de funcionamento das técnicas de amortecimento Passivo (a), Semi-activo (b) e Activo (c) (Datta, 2003) ... 103
Figura 7-8 – Sistemas estrutural de um edifício de M graus de liberdade com um TMD acoplado no piso i+1 (Li, Cao, Li, Li, & Liu, 1999) ... 105
Figura 8-1 – Comparação das funções velocidade normalizada (a), intensidade da turbulência (b) e densidade espectral (c) nos vários regulamentos – ASCE, AS1170, NBC, AIJ, EC1. ... 112
Figura 9-1 – Ilustração do caso de estudo ... 117
Figura 9-2 – Principais modos de vibração do caso de estudo ... 119
Figura 9-3 – Interface gráfica do software desenvolvido para resolução do modelo proposto ... 124
Figura 9-4 – Variação da velocidade em altura de acordo com EC 1-4 (3s) ... 124
Figura 9-5 – Diagrama ilustrativo de séries de vento aleatórias correlacionadas no espaço a z=0m (a) z=100m (b) e z=200m (c) ... 125
Figura 9-6 – Diagramas de esforços na base do edifício ao longo do tempo (a) momentos flectores (b) esforços transversos ... 126
Figura 9-7 – Diagramas de Deslocamentos no topo do edifício (z=200m) ao longo do tempo ... 126
Figura 9-8 – Diagramas de Aceleração no topo do edifício (z=200m) ao longo do tempo ... 126
Figura 9-9 – Valores registados de momentos na base em função da frequência de desprendimento de turbilhões na esteira do edifício... 128
Figura 9-10 – Valores registados de momentos na base em função da frequência de desprendimento de turbilhões na esteira do edifício... 129
Figura 9-11 – Variação da frequência óptima de vibração e do rácio de amortecimento do TMD em função da massa do TMD ... 130
xvi
Figura 9-14 – Torre Burj Dubai (a) Modelo de estudo em túnel de vento (b) Fotomontagem do edifício ... 133 Figura 9-11 – Torre Taipei 101 (a) Modelo de estudo em túnel de vento (b) Fotografia do edifício ... 134 Figura 9-12 – Ilustração da optimização da secção transversal do edifício para efeitos do vento .. 134 Figura 9-13 – Ilustração do TMD aplicado nos pisos superiores do Taipei 101... 135
xvii
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 2-1 - Definição das escalas das circulações atmosféricas (Simiu & Scanlan, Wind Effects on
Structures, 1996) ... 7
Tabela 5-1– Tabela resumo das principais relações dos métodos DGLF e MGLF ... 54
Tabela 6-1– Parâmetros do desprendimento de vórtices ... 91
Tabela 7-1 – Sistemas de amortecimento passivo com dissipação indirecta de energia ... 103
Tabela 7-2 – Sistemas de amortecimento passivo com dissipação directa de energia ... 104
Tabela 7-3 – Sistemas de amortecimento activo ... 104
Tabela 8-1 – Tempos médios nos diferentes regulamentos ... 110
Tabela 8-2 – Coeficientes de definição dos perfis de vento segundo os vários regulamentos “padronizados”... 112
Tabela 8-3 – Coeficientes para definição do perfil da intensidade de turbulência de acordo com os vários regulamentos ... 113
Tabela 8-4 – Funções de densidade espectral do vento de acordo com os vários regulamentos ... 113
Tabela 8-5 – Definição do Factor de rajada –GLF- de acordo com os vários regulamentos ... 115
Tabela 9-1 – Descrição do Caso de Estudo ... 117
Tabela 9-2 – Caracterização dinâmica do caso de estudo – Modos de vibração e participações modais ... 118
xix
SIMBOLOGIA
- grandeza angular
- função de campo de vórtices - circulação
- espessura da camada limite - coeficiente de amortecimento
- espessura da subcamada laminar do escoamento - coeficiente de amortecimento
- distância angular - comprimento de onda - função de campo de fonte
ν - viscosidade cinemática - vorticidade
- massa volúmica do ar - desvio padrão da função - tensão de corte
- tensão de corte na camada de superfície
φ - função potencial Φ - função de forma modal
- função deslocamento - velocidade angular
, , ! - gradientes de pressão
A – área de um elemento ou corpo B - factor de fundo
"# - Coeficiente de pressão
"$, "$% - Coeficiente de sustentação
"# - Coeficiente de direccionalidade "% - Coeficiente de exposição "& - Coeficiente de importância "' - Coeficiente de retorno
xx
( - velocidade geostrófica ) - constante de von Karman * - número de onda
+ - pressão do ar atmosférico
L - componente de sustentação do vento ,! - Comprimento de turbulência
-, . - massa
-/ - quantidade de movimento M - momento induzido pelo vento n - vector normal
0& - frequência do modo de vibração i 1 - raio de curvatura
r - vector de deslocamentos
2 - constante universal dos gases (Rayleigh) 2 - factor de ressonância
2 - autocorrelação da função x
23 - número de Reynolds 4, 6 - distâncias lineares
6 - função densidade espectral
6 - número de Strouhal 67 - número de Scruton t - variável tempo T - amostra de tempo
"v" , u, w - velocidades lineares instantâneas V, U, W - velocidades lineares médias
xxi
LISTA DE ABREVIATURAS
BEWSL – “Background Equivalent Wind Static Loading”/Carregamento Estático Equivalente de fundo
DGLF – “Displacement Gust Loading Factor”/Factor de Rajada do Deslocamento DRF – “Dynamic Response Factor”/Factor de resposta dinâmica
ESWL – “Equivalent Static Wind Loading”/Carregamento Estático Equivalente do Vento GLF – “Gust Loading Factor”/Factor de Rajada
HFBB – “High Frequency Base Balance”
LRC – “Load Response Correlation”/Factor de correlação carregamento-resposta MGLF – “Moment Gust Loading Factor”/Factor de Rajada do Momento na Base
REWSL – “Resonant Equivalent Wind Static Loading”/Carregamento Estático Equivalente de Ressonância
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
1.1
Contexto temático
A construção dos edifícios altos remonta ao exactamente edifício alto ou “arranha
muito genérica que um edifício seja considerado alto a partir dos 35m e um “arranha a partir dos 150m de altura. No domínio da engenharia de estruturas e nomeadamente neste documento, considera-se um edifício alto sempre que a acção condicionante no seu cálculo é o vento.
São diversos os motivos que têm simbolismo de hegemonia e poder e
grandes metrópoles têm levado a que nas últimas décadas a construção de edifícios em altura ganhou especial destaque.
investigadores na área da engenharia de edifícios altos.
Figura 1-1 - Zona de acção do espectro do vento e espectro do sismo
Contexto temático
A construção dos edifícios altos remonta ao início do século XX. É difícil definir ou “arranha-céus”, contudo é normalmente aceite de uma forma muito genérica que um edifício seja considerado alto a partir dos 35m e um “arranha a partir dos 150m de altura. No domínio da engenharia de estruturas e nomeadamente
se um edifício alto sempre que a acção condicionante no seu
São diversos os motivos que têm conduzido o homem à construção em altura, contudo simbolismo de hegemonia e poder e a necessidade de rentabilização dos terreno
têm levado a que nas últimas décadas a construção de edifícios em ganhou especial destaque. Desde então, são reconhecidos inúmeros esforços de
engenharia de edifícios altos.
Zona de acção do espectro do vento e espectro do sismo (Natural Hazard Laboratory
É difícil definir céus”, contudo é normalmente aceite de uma forma muito genérica que um edifício seja considerado alto a partir dos 35m e um “arranha-céus” a partir dos 150m de altura. No domínio da engenharia de estruturas e nomeadamente se um edifício alto sempre que a acção condicionante no seu
o homem à construção em altura, contudo o terrenos das têm levado a que nas últimas décadas a construção de edifícios em são reconhecidos inúmeros esforços de
Todos os domínios têm vindo a ser aprofundados e
concepção, construção, bem como nas novas tecnologias que definem um papel crucial na monitorização deste tipo de estruturas.
No domínio das acções, o vento
resposta dos edifícios altos sob acção do vento é uma área da engenharia d anos de investigação.
A grande extensão em altura
carga horizontal torna a estabilização lateral
partir de um determinado nível acima do solo, a distribuição de forças horizontais se geralmente o factor condicionante para o cálculo dos elementos estruturais.
Relativamente ao sismo, que por regra é a acção condicionante para os edifícios mais baixos, o vento como acção horizontal
acordo com a Figura 1-1, é facilmente compreensível que
frequências baixas, característica comum a todos os edifícios esbeltos, o vento seja condicionante. Na realidade, quando
de frequências do vento, resultam ressonância. Não obstante, recorrendo conjunto de forças horizontais
proporcional ao quadrado desta dimensão, enquanto a resultante das cargas permanentes da estrutura varia linearmente com a
Figura 1-2 – Diagrama comparativo da distribuição de forças em altura
Todos os domínios têm vindo a ser aprofundados e desenvolvidos, desde a acção, como nas novas tecnologias que definem um papel crucial na monitorização deste tipo de estruturas.
o vento assume naturalmente grande destaque. A previsão da resposta dos edifícios altos sob acção do vento é uma área da engenharia do vento com 40
extensão em altura dos edifícios e, por consequência, a sua susceptibilidade à a estabilização lateral um factor determinante no seu projecto partir de um determinado nível acima do solo, a distribuição de forças horizontais se geralmente o factor condicionante para o cálculo dos elementos estruturais.
Relativamente ao sismo, que por regra é a acção condicionante para os edifícios mais como acção horizontal assume um papel quase sempre domina
é facilmente compreensível que, para estruturas flexíveis com frequências baixas, característica comum a todos os edifícios esbeltos, o vento seja quando a frequência natural do edifício se aproxima da gama do vento, resultam na grande maioria dos casos fenómenos de Não obstante, recorrendo às leis de equilíbrio estático, é evidente
s horizontais distribuídas em altura resultam num momento drado desta dimensão, enquanto a resultante das cargas permanentes linearmente com a altura.
Diagrama comparativo da distribuição de forças em altura para: (a) cargas permanentes resultantes da acção do vento
desde a acção, como nas novas tecnologias que definem um papel crucial na
grande destaque. A previsão da o vento com 40
eptibilidade à seu projecto. A partir de um determinado nível acima do solo, a distribuição de forças horizontais
torna-Relativamente ao sismo, que por regra é a acção condicionante para os edifícios mais assume um papel quase sempre dominante. De para estruturas flexíveis com frequências baixas, característica comum a todos os edifícios esbeltos, o vento seja natural do edifício se aproxima da gama na grande maioria dos casos fenómenos de evidente que um num momento drado desta dimensão, enquanto a resultante das cargas permanentes
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 3 As estruturas tendem a ser cada vez mais leves e mais altas, como tal mais flexíveis e susceptíveis a grandes amplitudes de deslocamento dos pisos superiores. Por isso, e cada vez mais, é importante conhecer os efeitos da acção do vento para análises de estados limites últimos, bem como estados limites de serviço.
O dimensionamento em serviço dos edifícios altos é bastante particular. Procura-se habitualmente evitar não só danos estruturais, danos materiais da fachada, danos em objectos interiores susceptíveis de movimento bem como garantir o conforto dos ocupantes do edifício.
O crescimento em número e em altura das estruturas, que se tem vindo a espalhar um pouco por todo o mundo, prima pela economia das soluções adoptadas. Do ponto de vista estrutural e nomeadamente aquele que está directamente ligado à acção do vento, torna importante dominar o comportamento de uma estrutura imersa num escoamento de vento, facilitando o processo de decisão durante a fase de concepção do edifício. A evolução desta ciência tem contribuído para que nos últimos anos se venha a assistir a uma crescente preocupação de arquitectos e engenheiros na definição de formas simples e aerodinâmicas, permitindo a diminuição de custos de construção e custos colaterais durante a vida útil dos edifícios, conseguindo, no entanto, soluções apelativas sem qualquer prejuízo.
As soluções aerodinâmicas são ainda aplicadas em casos pontuais, contudo num futuro breve serão necessariamente contemplados todos os problemas da interacção estrutura- -vento na concepção da forma do edifício.
A aerodinâmica de veículos, sobretudo de aviões, é uma ciência já muito desenvolvida com processos simples ou complexos que permitem realizar análises de formas sobre a acção do vento. Estes modelos encontram-se particularmente bem desenvolvidos na bibliografia da especialidade quando aplicados a estruturas finas, como são exemplo as asas de aviões. Interessa, por isso, criar uma analogia limitada pela diferença de domínios de análise entre asas de aviões e um edifício em altura, investigando de que modo tais ferramentas podem contribuir para a previsão dos campos de esforços e deslocamentos instalados num edifício.
A análise da resposta de uma determinada estrutura é determinada através de formulações teóricas, algoritmos numéricos, testes em túnel de vento ou aplicação de regulamentos. Uma dominante na engenharia do vento moderna é que a utilização de
4 Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil apenas um destes métodos é insuficiente, sendo comum a utilização conjunta de vários métodos.
Os métodos teóricos e numéricos definem geralmente as bases de desenvolvimento do modelo estrutural dos edifícios. Entre formulações teóricas e a abordagem experimental existe um patamar intermédio onde interessa desenvolver uma análise de concepção onde se consiga definir um conjunto de parâmetros geométricos e estruturais optimizando o modelo posteriormente analisado em túnel de vento.
Do ponto de vista económico, este procedimento também é bastante vantajoso já que o procedimento em túnel de vento é habitualmente moroso e bastante dispendioso comparativamente com outros métodos. Atente-se porém que com esta ferramenta auxiliar não se procura substituir nem inviabilizar a análise posterior em túnel de vento, mas sim aumentar o sucesso da análise experimental numa fase mais avançada e poder acelerar o processo de concepção. Do ponto de vista de aplicabilidade, uma ferramenta com este objectivo deve ser facilmente acessível e intuitiva para os utilizadores comuns no meio do projecto.
1.2
Objectivo
Pode-se considerar como principal objectivo desta tese estudar e descrever um conjunto de informação e ferramentas de utilidade em qualquer análise de vento em edifícios esbeltos bem como para estudos futuros.
Procura-se igualmente desenvolver uma ferramenta útil à metodologia de concepção de edifícios altos devidamente sustentada num conjunto de pressupostos e teorias há muito desenvolvidos no domínio da mecânica de fluidos e aerodinâmica, aplicados à dinâmica estrutural.
Comparam-se os resultados obtidos pela aplicação desta ferramenta com os resultados obtidos da aplicação dos regulamentos internacionais mais comuns neste tipo de caracterização. Para isto, utiliza-se como caso de estudo um edifício em projecto com 50 pisos e 200 metros de altura.
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 5
1.3
Estrutura do documento
A estrutura deste trabalho encontra-se dividida em dez capítulos, incluindo a presente introdução.
No segundo capítulo abordam-se os conceitos básicos do vento como circulação atmosférica e as principais leis da mecânica dos fluidos. O terceiro capítulo é dedicado à descrição estatística da turbulência do vento.
No quarto capítulo procura-se caracterizar o escoamento em torno dos edifícios altos enumerando conceitos e fenómenos de importância no domínio 2-D como 3-D.
O quinto e sexto capítulos descrevem métodos para quantificação da acção do vento. O sexto capítulo em particular descreve a abordagem proposta deste trabalho. Este capítulo enumera várias técnicas utilizadas na simulação pretendida no domínio do tempo.
No sétimo capítulo apresentam-se as principais problemáticas da vibração de estruturas esbeltas como os edifícios altos e as suas consequências quer materiais quer humanas. São enunciadas algumas técnicas para previsão dessas mesmas vibrações e os seus efeitos.
No oitavo capítulo, procura-se apresentar e comparar qualitativamente os regulamentos considerados mais importantes na matéria.
No nono capítulo aplicam-se algumas metodologias abordadas ao longo do documento procurando estabelecer algumas comparações quantitativas e qualitativas entre a abordagem proposta e os principais métodos encontrados nas referências. Recorre-se ao “Eurocode 1: Actions on structures - Part 1-4: General actions –Wind actions” (EC1) como norma de referência.
Concilia-se todo o conhecimento demonstrado e desenvolvido anteriormente com a aplicação do caso de estudo aos vários modelos apresentados nos capítulos anteriores.
No décimo capítulo finaliza-se o trabalho apresentando-se as principais conclusões do mesmo.
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 7
Capítulo 2
CIRCULAÇÕES ATMOSFÉRICAS
O termo “vento” é utilizado habitualmente para fazer referência à movimentação aproximadamente horizontal de ar atmosférico.
A mecânica dos fluidos é a área da física que estuda o comportamento dos gases (e líquidos). No domínio desta disciplina, as circulações atmosféricas são habitualmente governadas pelos seus princípios e equações fundamentais. Desde que estes fenómenos são considerados macroscópicos, um fluido é então entendido como um meio contínuo. Assim sendo, um elemento de fluido deve ser definido como uma parte infinitamente pequena em relação ao meio, no entanto, deve ainda conter um elevado número de moléculas.
Dada a grande variedade de factores que estão na origem da circulação do ar atmosférico, define-se no referencial espaço e tempo a circulação do ar como resultante da sobreposição de vários escoamentos de diversas escalas espaciais no domínio dos milímetros aos milhares de quilómetros e temporais das horas aos dias.
Na meteorologia, ciência que estuda os estados e previsão das condições atmosféricas, os fenómenos de circulação atmosférica são repartidos em três classes de acordo com a Tabela 2-1.
Classes Escala geográfica Escala temporal
Microescala <20km <1 hora
Mesoescala 20 km <...<500 km 1 hora<...<2 dias Escala Sinóptica >500km >2 dias
Tabela 2-1 - Definição das escalas das circulações atmosféricas (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996)
Procura-se, neste capítulo, apresentar os princípios fundamentais e principais leis da mecânica de fluidos bem como estabelecer uma relação com a hidrodinâmica da atmosfera.
8 Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil
2.1
Hidrodinâmica da Atmosfera
Na atmosfera, o movimento de uma massa elementar de ar é governada pela 2ª Lei de Newton, podendo a relação entre acelerações, massa e forças aplicadas ser definida pela expressão 8 = -9.
Considere-se um elemento de ar atmosférico sujeito a uma variação de pressão linear. O volume é definido por um elemento : :;:< cuja acção da pressão pode ser representada de acordo com a Figura 2-1.
Figura 2-1 - Pressões verticais numa massa elementar de ar
Considerando o volume elementar isolado de qualquer outra força, a força resultante por unidade de volume será –
! ou simplesmente –
! ::;:<. Em condições idênticas, o
mesmo se passará em e ;, onde resultará –
e –
, respectivamente.
Estas variações, denominadas gradientes de pressão, estão na origem do movimento do ar que na ausência de outras forças se dá perpendicularmente às isolinhas de pressão, da zona de maior pressão em direcção à zona de menor pressão de acordo com a Figura 2-2.
Figura 2-2 - Direcção da resultante do gradiente de pressões
Pressão Alta Pressão Baixa Direcção da resultante do gradiente de pressões Isobárica n z x y dx dz dy p dxdy (p + >p/>z) >z dxdy
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 9 Quando se expande esta análise a uma massa de ar de grande extensão, a hipótese simplificativa da não consideração de forças actuantes no ar além dos gradientes de pressão é bastante limitada.
2.1.1
Força de Coriolis
Na ausência de qualquer outra força, o trajecto da massa de ar é linear. No entanto, para um observador na Terra, o movimento de uma massa de ar atmosférico apresenta uma trajectória curvilínea, cuja origem é justificada por uma força aparente associada à rotação da terra, denominada a Força de Coriolis e definida por:
Fc= 2-Bv × ωF (2.1)
Na expressão da força deviatórica, - representa a massa de ar, v a velocidade do ar num referencial que acompanha a rotação da terra e ω a velocidade de rotação da terra. Na Figura 2-3 é representado o efeito da Força de Coriolis, onde, para um observador que acompanha a rotação do meridiano, o vento afasta-se para Oeste ao longo do seu percurso do Norte para o Equador.
Figura 2-3 - Movimento aparente das partículas de ar devido à rotação da terra (Holmes J. D., 2007)
Recorrendo à definição de produto externo, pode-se rescrever a expressão (2.1) na forma escalar
Fc=Gmv (2.2)
G=2ω sinφ (2.3)
em que se define um novo parâmetro denominado de parâmetro de Coriolis, função este da latitude ∅ do ponto onde se calcula a força deviatórica. A força aparente varia assim ao
w
Meridiano N
longo da superfície terreste, sendo de notar que o sentido curvatura adquirida pela trajectória de ar é contrário nos diferentes pólos terrestres.
O efeito das forças actuantes na massa elementar de ar (no caso do hemisfério Norte) é representado na Figura 2-4. Inicialmente as partículas iniciam o movimento na direcção do gradiente de pressão, variando a direcção do vector resultante por acção da força de Coriolis, Fc. Este fenómeno dá-se até as duas forças atingirem o equilíbrio, instante esse em que a massa de ar atmosférico atinge um regime constante. A circulação de ar atmosférico define agora uma trajectória paralela às isolinhas de pressão.
Figura 2-4 - Evolução das resultantes de forças exercidas no escoamento atmosférico (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996)
2.1.2
Velocidade Geostrófica
Denomina-se por velocidade geostrófica ( a velocidade em regime equilibrado entre a força derivada do gradiente de pressão e a força de Coriolis. Esta grandeza relaciona-se com o gradiente de pressão por unidade de massa de acordo com a igualdade
2ωG sin ∅ = L = MO⁄ (2.4)
onde P representa a magnitude da força referida e a densidade do ar .
No caso das isolinhas de pressão serem curvas, deverá ser contabilizada uma nova força no jogo de equilíbrio dinâmico das partículas de ar. A força causadora dessa variação na trajectória é habitualmente denominada de força centrífuga e actua perpendicularmente às isobáricas actuando unicamente na direcção do vector velocidade (propriedade a qual é inerente a qualquer força desta natureza).
Denomina-se por circulação ciclónica à movimentação de massa de ar em torno de um ponto de baixa pressão e circulação anticiclónica ao movimento em torno de um ponto de pressão alta. Pressão Alta Isobárica Pressão Baixa P P P Fca Fcb Fc Direcção estável do vento
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 11 Quando verificada uma destas situações, a relação (2.4) deve contabilizar a influência da força centrífuga tal que:
P'G ±RST
U
' = L = M⁄
O (2.5)
onde P' é denominada gradiente da velocidade do vento e é igual à velocidade geostrófica G quando o raio de curvatura é igual a zero. O sinal positivo e negativo é definido consoante o movimento seja ciclónico ou anticiclónico.
No Hemisfério Norte, para um raio de curvatura 1 finito a equação (2.5) tem como solução para movimento ciclónico e anticiclónico, respectivamente, as seguintes expressões:
P'= −'WX + Y'O M + 'WX X Z[/X (2.6) P'= +'WX − Y'O M − 'WX X Z[/X (2.7)
Destas equações conclui-se que para iguais valores de 1, G e
M, os ventos anticiclónicos
são mais fracos do que os ventos ciclónicos.
2.2
Escoamento na Camada Limite
Quando o movimento de ar se dá na camada atmosférica em contacto com a superfície terrestre, no domínio da troposfera, uma nova acção deverá ser contemplada. A superfície terrestre provoca um efeito de fricção que retarda o movimento horizontal do vento. Este efeito diminui em altura e é caracterizado por uma diminuição exponencial que converge para P' , como foi visto, a velocidade resultante do equilíbrio de acções no regime com ausência de fricção. Nestas circunstâncias, o movimento é paralelo às isobáricas.
A zona de transição da atmosfera, na qual deixa de existir fricção da superfície terrestre, é denominada de camada limite atmosférica e a altura que a caracteriza num determinado local da superfície é representada por .
O regime de escoamento de ar atmosférico estabelecido entre a superfície terrestre e a camada limite, ℎ < , é o regime que de facto importa estudar para efeitos de dimensionamento de estruturas.
12 Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil Procura-se, de seguida, abordar sucintamente as principais questões necessárias ao comportamento do vento neste domínio.
2.2.1
Conceito de rugosidade
A influência da superfície de escoamento foi estudada por Nikuradse. Dos seus estudos sobre superfícies arenosas foram registados dois comportamentos dominantes.
Considere-se as seguintes relações fundamentais para descrição do efeito da rugosidade num escoamento, em que se toma a variável y como a função representativa da altura.
= _∗X⇔_∗= aνB>_b/>;F c (2.8)
= 5ν/_∗ (2.9)
Figura 2-5 - Relações da velocidade média e turbulência em altura (Nepf, 2002)
O termo _∗ designa-se de velocidade de corte e caracteriza a tensão de corte do escoamento sobre a superfície de acordo com a relação (2.8) é a tensão definida pela seguinte relação constitutiva
= νe fg h
c (2.10)
por sua vez representa a espessura da sub-camada laminar do escoamento. Esta região
é caracterizada por uma diminuição brusca da turbulência que tende para zero sobre a
ijk = lm lg y s lkno/lm 0.1 y
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 13 superfície. Na realidade, a turbulência é uma função decrescente em altura, ou por outras palavras, decrescente quando se afasta da superfície. No entanto, verifica-se que, quando um escoamento atinge distâncias muito pequenas relativamente à superfície, a turbulência diminui bruscamente. A figura seguinte ilustra esta relação, fazendo um paralelismo entre a variação da velocidade e a variação da turbulência do escoamento.
Se representarmos a dimensão característica da rugosidade da superfície por p, então o número de Reynolds de rugosidade é definido pela expressão
23 = p_∗q ν (2.11)
Nikuradse estabeleceu que, de uma forma simples, o escoamento pode ou não ser afectado da rugosidade do solo.
Figura 2-6 - Influência da textura da superfície no escoamento (Nepf, 2002)
Quando a textura da superfície, caracterizada pela sua dimensão característica, é inferior à espessura da sub-camada do escoamento então o escoamento acima da sub-camada não é afectado pela rugosidade. Caso contrário, o escoamento será afectado. As condições da primeira situação originam o que se chama escoamento turbulento liso. Nas condições contrárias, tem-se um escoamento turbulento rugoso.
A Figura 2-6 generaliza as condições inerentes aos dois tipos de escoamentos.
2.2.2
Direcção da velocidade do vento
Considere-se dois escoamentos a diferentes altitudes na ausência de força centrífuga. Seja A o ponto mais elevado e B o ponto mais próximo da superfícies terrestre.
Pode-se mostrar da expressão (2.2) que a força de Coriolis é função crescente da altura, em virtude da relação do crescimento da velocidade do escoamento do ar. Por outro lado, o ângulo entre a direcção do escoamento e a direcção paralela às linhas isobáricas diminui em altura uma vez que a velocidade tende em altura para o movimento uniforme de
14 Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil velocidade máxima P'. Assim sendo, constata-se que a direcção do vento no domínio interior da camada limite assume uma variação em altura que pode ser representada para o Hemisfério Norte como na Figura 2-7.
Figura 2-7 - Comportamento vectorial (em espiral) da velocidade do vento no interior da camada limite (Holmes J. D., 2007)
A força de fricção assume maior intensidade na periferia do solo onde define o maior ângulo r com as isolinhas de pressão. No limite, quando o escoamento atinge o valor P', a força de fricção assume a direcção das isobáricas.
2.2.3
Velocidade do Vento
A constante alteração dos factores que originam as movimentações de ar atmosférico, provocam uma variação bastante irregular da velocidade do vento abaixo da camada limite. A formação de turbilhões no escoamento provoca flutuações na velocidade.
A ocorrência deste fenómeno e a formação dos turbilhões e sucessiva alteração das condições de escoamento apresentam um comportamento aproximadamente aleatório. Desta forma, é frequente recorrer-se a conceitos estatísticos para caracterização dos escoamentos. Em teoria, o registo da variação de velocidade no tempo é contínuo. Contudo, na prática, o tratamento computacional estatístico deste registo requer a sua discretização em pontos finitos.
Vgr
Variação α da direcção do vento
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 15 Figura 2-8 - Registo variável da velocidade do vento no domínio do tempo (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996)
O registo da velocidade do vento no domínio do tempo assume de uma forma genérica a forma apresentada na Figura 2-8.
Observa-se na Figura 2-9 que a velocidade é definida por variações aleatórias no tempo em
torno de um valor médio. Por isto, em (Bulletin D'Information N 209 - Vibration Problems in Structures) é sugerida uma representação ilustrativa deste fenómeno no domínio da altura. Posto isto, verifica-se que a aleatoriedade do fenómeno se expande do domínio do tempo ao domínio espacial.
Figura 2-9 - Comportamento aleatório da velocidade no domínio da altura z (Bulletin D'Information N 209 - Vibration Problems in Structures)
Em termos médios, o vento é caracterizado por uma velocidade crescente em altura. No entanto, as flutuações do escoamento conduzem à consideração da sobreposição de duas componentes. u(z,t) δ z vgr z u(z) Velocidade do vento
16 Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil
_B<, F = _bB<F + _sB<, F (2.12)
A primeira componente de comportamento quase-estacionário é por isso apenas função da altura ao solo e denomina-se de velocidade média do vento, _b. A segunda componente de comportamento variável é por sua vez função também do tempo e como não contribui para a média do vento é definida por um processo de média zero, como ilustrado na Figura 2-9. Note-se que esta componente apesar de irregular no interior da camada limite é
eliminada para alturas tais que ℎ > , altura para a qual o regime atinge a velocidade P' em regime uniforme.
À soma das duas parcelas, _B<, F chama-se velocidade de rajada. É esta velocidade que importa caracterizar adequadamente para dimensionamento em estado limite último bem como de serviço.
2.2.3.1 Velocidade média
Historicamente a primeira expressão representativa da componente média do vento _bB<F sobre superfície horizontal homogénea foi a lei exponencial, definida em 1916 (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996).
_B<P[F = _B<PXF u!!SvSUw x
(2.13)
onde <P[ e <PX são as alturas nos pontos 1 e 2 e _ as respectivas velocidades médias, e r é um factor que depende da rugosidade do terreno. A power law, termo utilizado nas referências para esta lei, converge com valores constastes de r para alturas superiores à espessura da camada limite , o que implica
fy!Sz { = !S | | (2.14)
Por outro lado, Davenport assume que r é função unicamente de , o que resulta numa aproximação da mecânica do escoamento governada pelas equações da continuidade e da 2ª Lei de Newton.
Mais recentemente, outro tipo de abordagens que não relacionadas directamente com os pressupostos supracitados permitiram chegar a outras expressões.
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 17 De acordo com (Simiu & Scanlan, Wind Effects on Structures, 1996), uma abordagem em que se divide a camada limite em duas regiões, uma camada de superfície e uma camada exterior através de uma análise adimensional e de algumas simplificações matemáticas permite chegar à Lei Logarítmica
_bB<F =[}_∗ln!! (2.15)
_∗= O [/X
(2.16)
Onde < o comprimento de rugosidade, a tensão de corte na camada de superfície e ) a constante de von Karman que assume geralmente o valor de 0,4.
Actualmente, existe um grande número de expressões propostas para a velocidade média do vento. Os principais regulamentos mundiais adoptam geralmente expressões idênticas que no entanto se individualizam nalguns parâmetros característicos.
2.2.3.2 Parcela aleatória da velocidade
A componente variável da velocidade dada a sua instabilidade com origem na turbulência do vento é de natureza mais complexa do que a da componente média.
A turbulência é causada essencialmente pela existência de obstáculos naturais e artificiais e é habitualmente representada em espectros para um largo domínio de frequências. A velocidade do vento flutua no espaço e no tempo, o mesmo é dizer que num determinado local é uma função aleatória do tempo e, por outro lado, num dado instante é função aleatória da posição espacial.
As flutuações de velocidade num escoamento num ponto podem ser consideradas como a sobreposição de inúmeros turbilhões transportados com a parcela média do vento. Cada movimento turbilhonar pode ser caracterizado como um movimento periódico com frequência angular = 20, onde 0 representa a sua frequência. Por outro lado, o movimento de um turbilhão tem um comportamento análogo ao de uma onda. Nestas condições, o comportamento de onda de um movimento turbilhonar singular é descrito pela seguinte relação = 0q , onde representa a velocidade do vento e o respectivo número de onda por * = 2 q .
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 19
Capítulo 3
CONCEITOS DE MECÂNICA DE FLUÍDOS
3.1
Caracterização de estados fluidos
Uma descrição matemática completa do estado de um fluido, nomeadamente um gás ideal em movimento, é feita por meio da distribuição de velocidade _&c_&B[, X, , F e de duas quaisquer variáveis termodinâmicas, como, por exemplo, a pressão +B[, X, , F e a densidade ρB[, X, , . Conhecidas estas variáveis, todas as quantidades termodinâmicas
são determinadas pelo conhecimento de qualquer duas delas, junto com a lei dos gases ideais.
3.1.1
Lei dos gases ideais (Equação de estado)
A equação de estado para os gases ideais descreve adequadamente, na óptica da engenharia civil, o estado dos gases na atmosfera e em experiências laboratoriais.
A forma mais comum desta lei é dada por:
+ = 02 (3.1)
Onde + é a pressão, é o volume, a temperatura do gás e 2 a constante universal dos gases (2 = 287-X4X*[).
3.1.2
Primeira lei da Termodinâmica
A primeira lei da termodinâmica estabelece que o sistema possui uma energia interna , a qual é função das variáveis necessárias para especificar o estado do sistema.
Se o sistema é levemente perturbado e, entretanto, permanece muito próximo do equilíbrio térmico, a quantidade de calor entrando através da fronteira que tem o volume é :. O volume é, então, aumentado por : contra uma pressão +. Assim, pode-se escrever a variação na energia interna : como
20 Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil
: = : − +: (3.2)
3.1.3
Equação da Continuidade
A equação da continuidade estabelece que o decréscimo de massa no interior do volume respeita a seguinte igualdade
− : = _ . 0: (3.3)
A fórmula de Green permite relacionar um integral de superfície com o integral de volume, tal que resulta a seguinte expressão conhecida como equação da continuidade
O
+ ∇B_F = 0 (3.4)
Esta relação é válida tanto para fluidos ideais como viscosos. No entanto, é passível de simplificação quando : :⁄ ≪ 1, resultando a seguinte simplificação da equação da continuidade:
∇. _ = 0 (3.5)
Esta simplificação define uma das propriedades mais importantes dos fluidos incompressíveis. Na grande generalidade dos casos pode-se aplicar esta simplificação, sendo que para casos concretos será conveniente que o fluido seja descrito matematicamente como compressível.
3.1.4
Equações de movimento – Euler e Navier-Stokes
A resultante das pressões na superfície de um volume de controlo de fluido pode ser transformada num integral de volume respeitando a seguinte igualdade
− +0: = − +: (3.6)
Daqui se retira que uma força −+ actua em cada elemento de fluido. Esta força é habitualmente denominada de gradiente de pressão.
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 21 A equação de movimento de um fluido pode ser obtida igualando a força −+ ao produto da massa por unidade de volume pela aceleração que anima essa quantidade. Esta relação não é mais do que a primeira lei de Newton.
f = −+ (3.7)
A simplificação da derivada :_/: que diz respeito não à variação da velocidade do fluido num ponto do espaço, mas sim à variação desse vector para um fluido em movimento no espaço, permite transformar a equação (3.7) na equação de Euler, válida para fluidos não viscosos.
f
+ y_. ∇z_ = − [
O∇+ (3.8)
Em fluidos não ideais, devido à viscosidade, ocorre dissipação de energia. A dissipação deve-se à fricção interna e condução térmica entre moléculas. O processo dissipativo resulta da irreversibilidade termodinâmica do movimento. Para obter as equações do movimento dos fluidos viscosos é necessário incluir termos adicionais à equação.
A consideração de tais propriedades requer a introdução do termo da viscosidade η e da viscosidade cinemática ν, relacionadas da seguinte forma ν= η ρ⁄ (Welter G. , 2006). Considerando a introdução do tensor das tensões na equação (3.8), obtém-se a equação generalizada de Navier-Stokes.
& = −+ & + η + (3.9)
No caso das circulações atmosféricas, há que entrar em linha de conta com as acções externas de origem térmica, mecânica ou mesmo a aceleração de Coriolis abordada no próximo ponto. Considerando a resultante destas acções, o termo G&, a equação do movimento para fluidos viscosos é definida por:
+ u = − [ O + G&+ ν∇ Xu (3.10)
3.1.5
Escoamentos Laminares e Turbulentos
Os escoamentos de fluidos são geralmente distinguidos entre dois tipos, laminares e turbulentos. O primeiro é caracterizado por um comportamento determinístico enquanto o segundo é abrupto e irregular no espaço e tempo. A transição entre os dois escoamentos tem origem nas perturbações infinitamente pequenas. Tais perturbações resultam das colisões intermoleculares que, dependendo do tipo de escoamento, são amplificadas destabilizando o escoamento.
O número de Reynolds define habitualmente a transição entre os escoamentos para valores entre os 2000 e 3000, dependendo estes valores do domínio considerado. Esta razão unidimensional é definida como
23 =fB f/ F
ν.∇Uf (3.11)
Na grande generalidade dos casos, o número de Reynolds é simplificado de acordo com
23 = ,q ν (3.12)
Nesta expressão U é uma velocidade característica do escoamento e L uma escala de comprimentos característico.
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 23 Na natureza e em laboratório, os escoamentos, nomeadamente o vento, são, na sua grande maioria, turbulentos. Em túnel de vento, e concretamente no domínio da engenharia civil, os escoamentos são caracterizados por 23~10 e na natureza na ordem de 23~10¡. Importa, assim, enunciar um conjunto de propriedades relevantes dos escoamentos turbulentos.
A turbulência é rotacional e dissipativa, ou seja, a energia mecânica do escoamento é transformada em calor. A rotacionalidade é descrita matematicamente pela expressão (3.13).
∇ × = 0 (3.13)
A não linearidade do fenómeno de transferência de energia assume igual importância. Na realidade, o comportamento do escoamento caracterizado pelo campo de velocidades não pode ser conhecido rigorosamente, pelo que se adoptam análises estatísticas da turbulência como um processo estocástico. Mesmo que possível o conhecimento desse campo de velocidades, a complexidade e a dimensão do conjunto de dados seria inaplicável no sentido computacional. Por fim, de realçar que a turbulência é um fenómeno contínuo. Analogamente ao que já foi dito, na maior parte dos escoamentos a menor escala significativa é muito maior do que as distâncias ou dimensões intermoleculares.
3.2
Estatística da Turbulência
3.2.1
Formulação geral da turbulência
O escoamento de um fluido incompressível é completamente determinado por um campo de velocidade de forma solenoidal definido no domínio do espaço e tempo, _&B[, X, , F. O problema da turbulência é reduzido a uma distribuição de probabilidade que contemple todos os graus de liberdade, nomeadamente as coordenadas de posição e quantidade de movimento das moléculas num escoamento.
A dependência no tempo das distribuições do conjunto dos graus de liberdade das n moléculas reflecte-se no campo de velocidade de acordo com as equações da mecânica dos fluidos. De uma forma geral, as soluções dessas equações podem ser escritas simbolicamente como
24 Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil onde Τ define um operador não linear. Analogamente, relaciona também as distribuições de probabilidade com a distribuição inicial.
Assim se percebe facilmente que o problema da turbulência é um problema da evolução de um espaço com determinadas condições inicias.
A turbulência é geralmente descrita através de expressões do tipo exponencial, à semelhança do que se passa com a função velocidade média. Os parâmetros de ajuste desta função são função das condições locais sendo geralmente experimentais.
3.2.2
Teorema ergódico
O teorema ergódico estabelece que à medida que o tempo de média T cresce, a variância em torno da média da variável diminui. Posto isto, ao realizar-se a média de um processo BF durante um tempo finito, então a variância desta média sobre a média calculada deverá tender para zero à medida que o tempo de medida cresce. Por outras palavras, desde que T seja suficientemente grande, pode-se usar médias temporais, ou espaciais em substituição da definição estatística de média.
ξX= ¢£ [
¤ B + sF:s− ¢BF¥ ¤
¦¥ (3.15)
Estatisticamente demonstra-se que a expressão (3.15) (3.15) tende para 0 quando T se aproxima de infinito.
3.2.3
Hipótese congelada de Taylor
Dada a grande dificuldade da realização de medidas espaciais, a hipótese congelada de Taylor permite que as medidas temporais num ponto fixo possam ser convertidas em medidas espaciais num instante fixo de tempo em escoamento estacionário.
Taylor postulou que se a velocidade média do vento g for suficientemente grande, então as propriedades estatísticas da turbulência não terão tempo de mudar à medida que os turbilhões passam num ponto. Esta hipótese é representada por:
¢ fv X ¥ = X¢ fv v X ¥ (3.16)
Dissertação de Mestrado em Engenharia Civil 25 tendo um campo de velocidade turbulenta _& movendo-se na direcção de U, tal que um sinal medido num ponto fixo será _&B[− g, X, , F. Ou seja, de acordo com esta simplificação os vórtices estão fixos ou congelados no escoamento médio, não alterando as suas propriedades ao longo do tempo.
Em geral, a hipótese é admitida quando se verifica a seguinte desigualdade.
§¨
©g < 0.5 (3.17)
As limitações desta hipótese são apresentadas por Panofsky & Dutton (Panofsky & Dutton, 1984).
3.2.4
Formulação da intensidade da turbulência
A intensidade da turbulência é definida pelo rácio do desvio padrão da função velocidade do vento para cada componente flutuante em relação ao valor médio . Desta forma definem-se para as direcções longitudinal, transversal e vertical, de acordo com as três direcções do vento, as seguintes relações
ªf= f⁄ g (3.18)
ª«= «⁄ g (3.19)
ª¬= ¬⁄ g (3.20)
Medições efectuadas junto ao solo permitem verificar que f = 2,5. _∗, onde _∗ é definida a velocidade de fricção. Desta forma pode-se definir a intensidade da turbulência através da seguinte equação (Holmes J. D., 2007),
ªf= X, .f
∗
Bf∗/.Flog®B!/!F=log®B!/