Caracteriza¸c˜ ao espectral - Teorema erg´ odico subaditivo

3.3 Teorema erg´ odico subaditivo

4.1.2 Caracteriza¸c˜ ao espectral

A pr´oxima proposi¸c˜ao caracteriza a propriedade de ergodicidade por meio do operador de Koopman Uf(ϕ) = ϕ◦ f:

Proposi¸cão 4.4. Seja µ uma probabilidade invariante de uma transforma¸cão mensurável f : M _{→ M. As seguintes condi¸cões são equivalentes:}

(a) (f, µ) ´e erg´odico.

(b) Para qualquer par de conjuntos mensur´aveis A e B vale lim n 1 n n−1 X j=0 µ(f−j_(A) ∩ B) = µ(A)µ(B). (4.1)

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∈ Lq_{(µ), com 1/p + 1/q = 1, vale} lim n 1 n n−1_X j=0 Z (U_fjϕ)ψ dµ = Z ϕ dµ Z ψ dµ. (4.2)

Demonstra¸c˜ao. ´E claro que (c) implica (b): basta tomar ϕ = _XA e ψ = XB.

Para mostrar que (b) implica (a), suponha que A ´e um conjunto invariante. Tomando A = B na hip´otese (b), obtemos que

µ(A) = lim n 1 n n−1_X j=0 µ(f−j(A)_{∩ A) = µ(A)}2. Isto implica que µ(A) = 0 ou µ(A) = 1.

Agora resta provar que (a) implica (c). Considere ϕ _{∈ L}p_{(µ) e ψ}

∈ Lq_(µ).

Por ergodicidade e pelo teorema erg´odico de Birkhoff (Teorema 3.8) temos que 1 n n−1 X j=0 U_fjϕ_→ Z ϕ dµ (4.3)

em µ-quase todo ponto. Inicialmente, suponha que_{|ϕ| ≤ k para algum k ≥ 1.} Ent˜ao, para todo n_{∈ N,}

1 n n−1_X j=0 Ufjϕ ψ ≤ k|ψ|.

Logo, como k|ψ| ∈ L1_{(µ), podemos usar o teorema da convergˆencia dominada}

(Teorema 0.40) para concluir que Z (1 n n−1 X j=0 U_fjϕ)ψ dµ_→ Z ϕ dµ Z ψ dµ.

Isto prova a afirm¸cão (4.2) quando ϕ é limitada. Falta remover esta última condi¸cão. Dado qualquer ϕ_{∈ L}p_{(µ) e dado k}

≥ 1, defina ϕk(x) =    k se ϕ(x) > k ϕ(x) se ϕ(x)_{∈ [−k, k]} −k se ϕ(x) <_−k.

Fixemos ε > 0. Pelo argumento anterior, para todo k≥ 1 vale que Z (1 n n−1 X j=0 U_fjϕk)ψ dµ− Z ϕkdµ Z ψ dµ < ε (4.4) se n ´e suficientemente grande (dependendo de k). Em seguida, observe que kϕk− ϕkp→ 0 quando k → ∞. Logo, usando a desigualdade de H¨older (Teo-

rema 0.49), temos que Z (ϕk− ϕ) dµ Z ψ dµ ≤ kϕk− ϕkp Z ψ dµ < ε, (4.5)

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4.1. SISTEMAS ERG ´ODICOS 99

para todo k suficientemente grande. De modo semelhante, Z 1 n n−1_X j=0 U_fj(ϕk− ϕ) ψ dµ ≤ 1 n n−1_X j=0 Z U_fj(ϕk− ϕ) ψ dµ ≤ _n1 n−1_X j=0 kUfj(ϕk− ϕ)kpkψkkdµ =_kϕk− ϕkpkψkq < ε, (4.6)

para todo n e todo k suficientemente grande, independente de n. Fixe k tal que (4.5) e (4.6) sejam válidas e, em seguida, tome n suficientemente grande para que (4.4) valha igualmente. Somando as três rela¸cões (4.4) a (4.6), obtemos que

Z (1 n n−1 X j=0 U_fjϕ)ψ dµ− Z ϕ dµ Z ψ dµ < 3ε

para todo n suficientemente grande. Isto conclui a prova da condi¸cão (c). No caso p = q = 2, a condi¸cão (4.2) pode ser expressa em termos do produto interno _{· no espa¸co L}2_{(µ). Desta forma obtemos que (f, µ) é erg´}_{odico se, e}

somente se: lim n 1 n n−1_X j=0 (Ufnϕ)− (ϕ · 1) · ψ = 0 para todo ϕ, ψ ∈ L2(µ). (4.7) Corolário 4.5. Suponha que a condi¸cão (4.1) na Proposi¸cão 4.4 é satisfeita para todo A e B em alguma álgebraA que gera a σ-álgebra dos conjuntos men- suráveis. Então (f, µ) é ergódico.

Demonstra¸cão. Só precisamos mostrar que a condi¸cão (4.1) se estende a todo par de borelianos. Sejam A e B conjuntos mensuráveis quaisquer. Pelo teorema de aproxima¸cão (Teorema 0.16), dado qualquer ε > 0 existem A0 e B0 em A

tais que µ(A∆A0) < ε e µ(B∆B0) < ε. Observe que

µ(f−j_(A) ∩ B) − µ(f−j_(A 0)∩ B0) ≤ µ(A∆A0) + µ(B∆B0) < 2ε

para todo j e_{|µ(A)µ(B) − µ(A}0)µ(B0)| ≤ µ(A∆A0) + µ(B∆B0) < 2ε. Ent˜ao,

a hip´otese lim n 1 n n−1_X j=0 µ(f−j_(A 0)∩ B0) = µ(A0)µ(B0) implica que −4ε ≤ lim inf_n _n1 n−1_X j=0 µ(f−j(A)∩ B) − µ(A)µ(B) ≤ lim sup n 1 n n−1_X j=0 µ(f−j(A)∩ B) − µ(A)µ(B) ≤ 4ε.

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Como ε é arbitrário, isto prova a nossa afirma¸cão.

De modo semelhante, basta verifica o item (c) da Proposi¸c˜ao 4.4 em subconjuntos densos. A prova deste fato fica a cargo do leitor (Exerc´ıcio ??):

Corolário 4.6. Suponha que a condi¸cão (4.2) na Proposi¸cão 4.4 é satisfeita para todo ϕ e ψ em subconjuntos densos de Lp_{(µ) e L}q_{(µ), respectivamente.}

Então (f, µ) é ergódico.

4.2 Exemplos

Nesta se¸cão apresentamos, por meio de exemplos, diversos métodos para verifi- car se um dado sistema é ou não ergódico.

4.2.1 Rota¸c˜oes em toros

Consideremos inicialmente o caso de uma rota¸c˜ao Rθ : S1 → S1 no c´ırculo

S1 _{= R/Z. Conforme observamos na Se¸c˜}_{ao 1.3.3, a medida de Lebesgue m ´e}

invariante por Rθ. Queremos analisar o comportamento erg´odico do sistema

(Rθ, m) para os diferentes valores de θ.

Se θ ´e racional, digamos θ = p/q em forma irredut´ıvel, ent˜ao Rq_θ(x) = x para todo x_{∈ S}1_{. Ent˜}_{ao, dado qualquer segmento I}

⊂ S1 _{com comprimento menor}

que 1/q, o conjunto

A = I_{∪ R}θ(I)∪ · · · ∪ Rθq−1(I)

é invariante e a sua medida de Lebesgue satisfaz 0 < m(A) < 1. Assim, se θ é racional a medida de Lebesgue não é ergódica. A rec´ıproca é muito mais interessante:

Proposi¸cão 4.7. Se θ é irracional, então Rθ é ergódica para a medida de

Lebesgue.

Vamos mencionar duas demonstra¸cões diferentes deste fato. A primeira, que detalharemos a seguir, usa fatos simples de Análise de Fourier. A segunda, que deixaremos como exerc´ıcio (Exerc´ıcio 4.8), é baseada num argumento de ponto de densidade semelhante ao que usaremos na Se¸cão 4.2.2 para provar a ergodicidade da expansão decimal.

Como anteriormente, denotaremos por L2_{(m) ´e o espa¸co de Hilbert das}

fun¸cões mensuráveis ψ cujo quadrado é integrável, ou seja, tais que: Z

|ψ|2dm <_∞.

Aqui é conveniente considerarmos fun¸cões com valores em C, e assim será feito ao longo da se¸cão. Usaremos o fato bem conhecido de que a fam´ılia de fun¸cões

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4.2. EXEMPLOS 101

´e uma base de Hilbert deste espa¸co: dado qualquer ϕ_{∈ L}2_{(m) existe uma ´}_unica

sequˆencia (ak)k∈Z de n´umeros complexos tais que

ϕ(x) =X

k∈Z

ake2πikx para quase todo x∈ S1. (4.8)

Considere a expansão em série de Fourier (4.8) de uma fun¸cão qualquer ϕ_{∈ L}2_{(m). Ent˜}_ao

ϕ Rθ(x)=

k∈Z

ake2πikθe2πikx. (4.9)

Suponha que ϕ é invariante. Então (4.8) e (4.9) coincidem. Pela unicidade dos coeficientes da expansão de Fourier, isto acontece se, e somente se,

ake2πikθ= ak para todo k∈ Z.

A hip´otese de que θ ´e irracional significa que e2πikθ

6= 1 para todo k 6= 0. Ent˜ao a rela¸c˜ao que acabamos de obter implica que ak = 0 para todo k 6= 0. Em

outras palavras, ϕ(z) = a0 para m-quase todo z∈ S1. Em particular, a fun¸c˜ao

caracter´ıstica ϕ =XA de qualquer conjunto invariante A⊂ S1 ´e constante em

m-quase todo ponto. Isto é o mesmo que dizer que A tem medida zero ou um. Logo, pela Proposi¸cão 4.3, temos que m é ergódica.

Estas observa¸cões estendem-se naturalmente às rota¸cões no d-toro Td_{, para}

qualquer d≥ 1:

Proposi¸cão 4.8. Se θ = (θ1, . . . , θd) é racionalmente independente então a

rota¸cão Rθ: Td→ Td é ergódica para a medida de Lebesgue.

Isto pode ser provado por um argumento an´alogo ao do caso d = 1, usando o fato de que a fam´ılia de fun¸c˜oes

φk1,...,kd: T

→ C, (x1, . . . , xd)7→ e2πi(k1x1+···+kdxd), (k1, . . . , kd)∈ Zd

´e uma base de Hilbert do espa¸co L2_{(m) das fun¸c˜}_{oes ϕ : T}d

→ C com quadrado som´avel. Deixamos esta tarefa ao cuidado do leitor (Exerc´ıcio 4.2).

De fato as rota¸cões irracionais no c´ırculo ou, mais geralmente, nos toros satisfazem uma propriedade muito mais forte do que ergodicidade: elas são unicamente ergódicas, o que quer dizer que elas têm uma única probabilidade invariante (que é a medida de Lebesgue, claro). Sistemas unicamente ergódicos serão estudados no Cap´ıtulo 5.

4.2.2 Expans˜ao decimal

Considere a transforma¸cão f : [0, 1] _{→ [0, 1], f(x) = 10x − [10x] que gera} a expansão decimal. Na Se¸cão 1.3.1 verificamos que f preserva a medida de Lebesgue m. Afirmamos:

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Demonstra¸cão. De acordo com a Proposi¸cão 4.3, basta provar que todo conjunto invariante A tem medida total. O principal ingrediente é o teorema de deriva¸cão de Lebesgue (Teorema 0.42), segundo o qual quase todo ponto de A é ponto de densidade de A. Mais precisamente (veja também o Exerc´ıcio 0.18), m-quase todo ponto a_{∈ A satisfaz}

lim

ε→0inf

m(I ∩ A)

m(I) : I intervalo tal que a∈ I ⊂ B(a, ε)

= 1 . (4.10) Fixemos um ponto de densidade a∈ A. Como o conjunto dos pontos da forma m/10k, k ∈ N, 0 ≤ m ≤ 10k _{tem medida nula, podemos supor, sem qual-}

quer restri¸cão, que a não é desta forma. Consideremos a sequência fam´ılia de intervalos I(k, m) = m− 1 10k , m 10k , k_{∈ N, m = 1, . . . , 10}k. ´

E claro que para cada k_{∈ N existe um ´unico m = m}k tal que I(k, mk) cont´em

o ponto a. Denotaremos Ik = I(k, mk). A propriedade (4.10) implica que

m(Ik∩ A)

m(Ik) → 1 quando k → ∞.

Observe tamb´em que cada fk _{´e uma bije¸c˜}_{ao afim de I}

k sobre o intervalo (0, 1).

Isso tem a seguinte consequência, que é crucial para o nosso argumento: Lema 4.10 (Distor¸cão limitada). Para todo k_{∈ N, vale}

m(fk(E1))

m(fk_(E 2)) =

m(E1)

m(E2) (4.11)

para quaisquer subconjuntos mensur´aveis E1 e E2 de Ik.

Aplicando este fato a E1= Ik∩ A e E2= Ik obtemos que

m fk_(I k∩ A) m (0, 1) = m(Ik∩ A) m(Ik) .

Claro que m (0, 1)= 1. Al´em disso, como estamos supondo que A ´e invariante, fk_(I

k∩ A) est´a contido em A. Deste modo obtemos que

m(A)≥m(I_m(Ik∩ A)

k) para todo k.

Como a sequˆencia do lado direito converge para 1 quando k _{→ ∞, segue que} m(A) = 1, como quer´ıamos demonstrar.

O Lema 4.10 depende do fato de que a transforma¸cão f é afim em cada intervalo (m_{− 1)/10, m/10}e isso pode dar a impressão de que o método de

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4.2. EXEMPLOS 103

demonstra¸cão que acabamos de apresentar está restrito a uma classe muito particular de exemplos. De fato, não é assim, muito pelo contrário. A razão é que existem muitas situa¸cões interessantes nas quais é poss´ıvel obter uma versão apenas um pouco mais fraca do enunciado do Lema, mas que ainda é suficiente para concluir a demonstra¸cão da ergodicidade. Em poucas palavras, no lugar de afirmar que os dois lados de (4.11) são iguais, mostra-se, em muitos casos, que a razão entre os dois termos é limitada por alguma constante uniforme. Isso é cha- mado de propriedade de distor¸cão limitada. Como exemplo de aplica¸cão destas ideias, na Se¸cão 4.2.4 provaremos que a transforma¸cão de Gauss é ergódica.

Em seguida vamos dar uma aplica¸cão da Proposi¸cão 4.9 no contexto da Teoria dos Números. Dizemos que um número x_{∈ R é balanceado (ou normal)} se todo d´ıgito aparece com a mesma freqüência, 1/10, na sua expansão decimal.

E fácil dar exemplos de números balanceados ou não-balanceados mas, em geral, é muito dif´ıcil decidir se um dado número irracional é balanceado ou não. Por exemplo, não é sabido até hoje se o número π é balanceado.

Por outro lado, a proposi¸cão anterior nos permite mostra facilmente que quase todo número é balanceado. Este resultado é conhecido como Teorema Normal de Borel:

Proposi¸cão 4.11. O conjunto dos números x_{∈ R não balanceados tem medida} de Lebesgue nula.

Demonstra¸cão. Como o fato de ser balanceado é independente da parte inteira do número, só precisamos mostrar que quase todo x _{∈ [0, 1] é balanceado.} Considere f : [0, 1]_{→ [0, 1] definida por f(x) = 10x − [10x]. Para cada d´ıgito} j _{∈ {0, . . . , 9} considere o intervalo I}j= [j/10, (j + 1)/10). Recorde que se x =

0, a0a1· · · akak+1· · · ent˜ao fk(x) = 0, akak+1· · · para cada k ≥ 1. Portanto,

fk_(x)

∈ Ijse, e somente se, o j-ésimo d´ıgito da expansão decimal de x é igual a j.

Consequentemente, o tempo médio de visita τ (Ij, x) é exatamente a frequência

do d´ıgito j na expansão decimal de x. Usando o teorema ergódico de Birkhoff, e o fato de que a transforma¸cão f é ergódica para a medida de Lebesgue m, conclu´ımos que para cada j_{∈ {0, . . . , 9} existe um subconjunto B}j de [0, 1] com

m(Bj) = 1 tal que

τ (Ij, x) = m(Ij) =

10 para todo x∈ Bj.

Então B = B0∩ B1∩ · · · ∩ B9 também tem m(B) = 1, e todo número x∈ B é

balanceado.

No documento Teoria Ergódica Um Curso Introdutório. Krerley Oliveira e Marcelo Viana (páginas 103-109)