Conclus˜ ao da demonstra¸c˜ ao - Teorema da desintegra¸c˜ ao de Rokhlin

4.6 Teorema da desintegra¸c˜ ao de Rokhlin

4.6.3 Conclus˜ ao da demonstra¸c˜ ao

Resta verificar que a fam´ılia de medidas {µP : P ∈ P∗} que acabamos de

construir satisfaz as condi¸cões na defini¸cão de desintegra¸cão (Defini¸cão 4.35). Comecemos pela condi¸cão (a). Seja P _{∈ P}∗ e, para cada n ∈ N, seja Pn

o elemento da parti¸cão _Pn que contém P . Observe que se A ∈ A é tal que

A_{∩ P}n=∅ para algum n, ent˜ao,

µP(A) = E(A, P ) = lim m

µ(A_{∩ P}m)

µ(Pm) = 0,

j´a que Pm⊂ Pn para todo m≥ n. Fixe n. Para cada s ≥ 1, seja (Cj)j a fam´ılia

dos cilindros [a1, . . . , as] que intersectam Pn. Pela observa¸c˜ao que acabamos de

fazer, _X

µP(Cj) = 1.

Tomando o limite quando s_{→ ∞, segue ?? que µ}P(Pn) = 1. Passando ao limite

quando n_{→ ∞, obtemos que µ}P(P ) = 1 para todo P ∈ P∗.

Agora tratamos das condi¸cões (b) e (c). Por constru¸cão (lembre o Lema 4.43), dado qualquer A∈ A, a fun¸cão P 7→ µP(A) = E(A, P ) é mensurável e satisfaz

µ(A) = Z

E(A, P ) dˆµ(P ) = Z

DRAFT

A fam´ılia dos subconjuntos de M para quais valem estas duas propriedades é uma classe monótona. De fato, suponha que B é a união de uma sequência crescente (Bj)j de conjuntos para os quais estas são propriedades são válidas.

Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 0.27 P 7→ µP(B) = sup

j µP(Bj) é uma fun¸cão mensurável

e, usando o teorema da convergˆencia mon´otona, µ(B) = lim n µ(Bn) = limn Z µP(Bn) dˆµ = Z lim n µP(Bn) dˆµ = Z µP(B).

Isto mostra ?? que as duas propriedades permanecem válidas em toda classe monótona gerada por_{A, ou seja (Teorema 0.15), toda a σ-álgebra de Borel de} M .

A prova do Teorema 4.42 est´a completa.

4.7 Exerc´ıcios

4.1. Seja B _{⊂ M um conjunto mensur´avel que satisfaz qualquer uma das se-} guintes condi¸c˜oes:

1. B ⊂ f−1_(B)

2. f−1_(B)

⊂ B 3. f (B)_{⊂ B}

4. µ(B∆f−1_{(B)) = 0.}

Mostre que existe C_{⊂ M tal que f}−1_{(C) = C e µ(B∆C) = 0.}

4.2. Prove a Proposi¸c˜ao 4.8: Se θ = (θ1, . . . , θd) ´e racionalmente independente

então a rota¸cão Rθ: Td → Tdé ergódica para a medida de Lebesgue.

4.3. Prove a Proposi¸cão 4.14: Se X é um conjunto finito então o deslocamento σ : Σ _{→ Σ em Σ = X}N _{ou Σ = X}Z _{é cont´ınuo e transitivo. Além disso, o}

conjunto dos pontos peri´odicos ´e denso em Σ.

4.4. Seja X um espa¸co topol´ogico, munido da sua σ-´algebra de Borel_{C, e seja} Σ = XN_{. Mostre que se X tem base enumer´}_{avel de abertos ent˜}_{ao a σ-´}_algebra

de Borel de Σ (para a topologia produto) coincide com a σ-´algebra produto B = CN_{. O mesmo vale para Σ = X}Z _e

B = CZ_.

4.5. Seja µ uma probabilidade invariante, não necessariamente ergódica, de uma transforma¸cão mensurável f : M → M. Mostre que dados quaisquer conjuntos mensuráveis A e B existe o limite

lim n 1 n n−1 X i=0 µ(f−i_(A) ∩ B).

DRAFT

4.7. EXERC´ICIOS 135

4.6. Mostre que as seguintes condi¸cões são equivalentes: 1. (f, µ) é ergódico;

2. para todo A mensur´avel com µ(A) > 0 temos que µ(S

n≥0

f−n_{(A)) = 1;}

3. para todos A, B mensur´aveis com µ(A)µ(B) > 0 temos que existe n_{≥ 1} tal que µ f−n_(A)

∩ B> 0;

4. a convergência na condi¸cão (c) da Proposi¸cão 4.4 vale para alguma escolha de p, q e algum subconjunto denso de fun¸cões ϕ_{∈ L}p_{(µ) e ψ}

∈ Lq_(µ);

5. existe p_{∈ [1, ∞] tal que toda fun¸c˜ao invariante ϕ ∈ L}p_{(µ) ´e constante em}

µ-quase todo ponto;

6. toda fun¸cão mensurável ϕ com ϕ_{◦ f ≥ ϕ em µ-quase todo ponto (ou} ϕ_{◦ f ≤ ϕ em µ-quase todo ponto) é constante em µ-quase todo ponto.} 4.7. Suponha que M é um espa¸co métrico. Prove que µ é ergódica para f : M _{→ M se, e somente se a média temporal de toda fun¸cão cont´ınua limitada} ϕ : M _{→ R é constante em µ-quase todo ponto.}

4.8. Neste exerc´ıcio a seguir propomos outra demonstra¸cão para a Proposi¸cão 4.7. Suponha que θ é irracional.

1. Mostre que a ´orbita{Rn

θ(z) : n∈ Z} de todo z ∈ S1´e densa em S1.

2. Seja A um conjunto invariante com medida positiva. Mostre que nenhum ponto de S1_{´e ponto de densidade de A}c_{. Conclua que µ(A) = 1.}

4.9. Suponha que θ ´e irracional. Seja ϕ : S1→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua qualquer. Mostre que ˜ ϕ(x) = lim n→∞ 1 n n−1_X j=0 ϕ(Rjθ(x)) (4.37)

existe em todo ponto e, de fato, o limite é uniforme. Justifique que ˜ϕ é constante em todo ponto. Deduza que Rθ tem uma única probabilidade invariante.

Dica: Verifique que a sequência do lado direito de (4.37) é equicont´ınua e use o teorema de Ascoli-Arzelá.

4.10. Seja f : M _{→ M uma aplica¸cão mensurável num espa¸co topológico M} com base enumerável de abertos e seja µ uma medida de probabilidade ergódica para f . Mostre que a órbita _{fn_{(x) : n}

≥ 0} de µ-quase todo ponto x ∈ M ´e densa no suporte de µ.

4.11. Dê exemplo de um par de transforma¸cões f : X → X e g : Y → Y , preservando medidas ergódicas η e ν, respectivamente, tal que a transforma¸cão produto T = f_{× g não é ergódica para a medida invariante µ = η × ν .}

DRAFT

4.12. Seja A uma matriz quadrada de dimens˜ao d com coeficientes racionais e seja λ um autovalor racional. Mostre que existe algum autovetor com coeficientes inteiros, ou seja, algum k_{∈ Z}d

\ {0} tal que Ak = λk.

4.13. Seja f : M _{→ M uma transforma¸c˜ao e seja µ uma medida invariante.} Seja gt _{: N}

→ N uma suspensão de f e seja ν a suspensão correspondente da medida f (veja a Se¸cão 2.4.2). Mostre que ν é ergódica para gt se, e somente

se, µ ´e erg´odica para f . ?? ?? ?? F . PSfrag replacements 0 1/3 1/2 2/3 1

4.14. Seja I = [0, 1] e f : I→ I a fun¸c˜ao definida por

f (x) =        2x se 0_{≤ x < 1/3} 2x_{− 2/3 se 1/3 ≤ x < 1/2} 2x_{− 1/3 se 1/2 ≤ x < 2/3} 2x_{− 4/3 se 2/3 ≤ x ≤ 1.}

Mostre que f é ergódica relativamente à medida de Lebesgue m.

4.15. Seja µ uma probabilidade invariante para uma transforma¸c˜ao f e seja k≥ 2.

1. Mostre que se µ é ergódica para fk _ent˜_{ao ela também é erg´}_{dica para f .}

2. Mostre que a rec´ıproca do item anterior ´e falsa.

3. Se µ é ergódica para f , como é a sua decomposi¸cão ergódica para fk_?

4.16. Uma parti¸cão _{P é mensurável se, e somente se, existem subconjuntos} mensuráveis M0, E1, E2, . . . , En, . . . tais que µ(M0) = 1 e, restrito a M0,

P =

∞

n=1

{En, M\ En}.

4.17. Seja X um espa¸co m´etrico e seja ν : X_{→ M}1(M ), x7→ νxuma aplica¸c˜ao.

Mostre que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:

1. ν é mensurável, relativamente às σ-álgebras de Borel completadas de X e de_M1(M );

DRAFT

4.7. EXERC´ICIOS 137

2. a aplica¸cão M _{→ R, x 7→}R ϕ dνxé mensurável, para toda fun¸cão cont´ınua

limitada ϕ : X_{→ R;}

3. a aplica¸cão M _{→ R, x 7→} Rψ dνx é mensurável, para toda fun¸cão men-

sur´avel limitada ψ : X_{→ R;}

4. a aplica¸cão M _{→ R, x 7→ ν}x(E) é mensurável, para todo conjunto men-

sur´avel E_{⊂ M.}

4.18. Seja M um espa¸co métrico completo separável. Mostre que se_{P satisfaz a} conclusão do Teorema 4.42, isto é, se µ admite uma desintegra¸cão relativamente a_{P, então a parti¸cão P é mensurável.}

Dica: Seja {µP : P ∈ P} uma desintegra¸c˜ao. Considere a aplica¸c˜ao men-

surável M 7→ M1(M ), x7→ µP (x) e observe que a parti¸cão deM1(M ) é men-

sur´avel.

4.19. Mostre que se_{µP : P ∈ P} ´e uma desintegra¸c˜ao de µ relativamente a

uma parti¸cão_{P então, dada qualquer fun¸cão mensurável limitada ψ : M → R,} a fun¸cão P _7→R ψ dµP é mensurável e satisfaz Rψ dµ =R Rψ dµPdˆµ(P ).

DRAFT

Cap´ıtulo 5

Unicidade erg´odica

Este cap´ıtulo é dedicado a uma classe especial de sistemas dinâmicos, caracteri- zada pela propriedade de possuirem exatamente uma probabilidade invariante. Inicialmente, daremos algumas formula¸cões equivalentes desta propriedade e analisaremos as propriedades da única medida invariante. Em seguida, apresen- taremos diversos exemplos.

Um sistema dinâmico diz-se minimal se toda órbita é densa no espa¸co am- biente. A rela¸cão entre unicidade ergódica e minimalidade é outro tema impor- tante deste cap´ıtulo. Veremos que todo sistema unicamente ergódico é minimal restrito ao suporte da medida invariante, mas a rec´ıproca não é verdadeira em geral.

Finalmente, provaremos o teorema de Hermann Weyl sobre equidistribui¸cão dos valores de fun¸cões polinomiais definidas nos números inteiros, que é uma aplica¸cão espetacular destas ideias.

Ao longo do cap´ıtulo, a menos de men¸cão em contrário, suporemos que M é um espa¸co métrico compacto e f : M_{→ M é uma transforma¸cão cont´ınua.}

5.1 Unicidade erg´odica

Dizemos que uma transforma¸cão f : M _{→ M é unicamente ergódica se admite} exatamente uma medida de probabilidade invariante. Vale uma no¸cão inteira- mente análoga para fluxos. A razão de ser da denomina¸cão é que a probabilidade invariante µ é necessariamente ergódica. De fato, suponha que existisse A⊂ M invariante com 0 < µ(A) < 1. Então a restriçcão normalizada de µ a A, definida por

µA(E) = µ(E∩ A)

µ(A) para cada conjunto mensur´avel E⊂ A

seria uma probabilidade invariante, distinta de µ, o que estaria em contradi¸c˜ao com a unicidade de µ.

Proposi¸cão 5.1. As seguintes condi¸cões são equivalentes: 139

DRAFT

(a) f admite uma única probabilidade ergódica; (b) f admite uma única probabilidade invariante;

j=0 ϕ◦ fj converge uniformemente para uma constante;

(d) para toda fun¸cão cont´ınua ϕ : M → R, a sequência das médias orbitais n−1Pn−1

j=0 ϕ(fj(x)) converge em todo ponto para uma constante.

Demonstra¸cão. É claro que (c) implica (d), uma vez que convergência uniforme implica convergência pontual. Para ver que (d) implica (a), suponha que µ e ν são probabilidades ergódicas de f . Então, dada qualquer fun¸cão cont´ınua ϕ : M_{→ R,} lim n 1 n n−1_X j=0 ϕ(fj(x)) =    R

ϕ dµ em µ-quase todo ponto R

ϕ dν em ν-quase todo ponto. Como, por hip´otese, o limite n˜ao depende do ponto x, segue que

ϕ dµ = Z

ϕ dν

para toda fun¸cão cont´ınua ϕ : M _{→ R. Pela Proposi¸cão 0.56, isso implica que} µ = ν. É fácil ver que (a) implica (b). De fato, como toda medida invariante é uma combina¸cão convexa de medidas ergódicas (Teorema 4.34), se existe uma ´

unica probabilidade ergódica então a probabilidade invariante é, igualmente, ´

unica.

Resta mostrar que (b) implica (c). Comece por lembrar que f admite alguma probabilidade invariante µ (pelo Teorema 2.1). A ideia é mostrar que se (c) não vale então existe outra probabilidade ν diferente de µ e, portanto, (b) também não vale. Suponha então que (c) não vale, isto é, que existe alguma fun¸cão cont´ınua ϕ : M _{→ R tal que n}−1Pn−1

j=0 ϕ◦ fj n˜ao converge uniformemente para

nenhuma constante; em particular, n˜ao converge uniformemente para Rϕ dµ. Por defini¸c˜ao, isto significa que existe ε > 0 tal que para todo k _{≥ 1 existe} nk ≥ k e existe xk∈ M tal que

1 nk n_Xk−1 j=0 ϕ(fj_(x k))− Z ϕ dµ ≥ ε. (5.1) Consideremos a sequˆencia de probabilidades

νk = 1 nk n_Xk−1 j=0 δfj_(x_k₎.

Como o espa¸co M1(M ) das probabilidades em M ´e compacto para a topolo-

gia fraca∗ _{(Teorema 2.6), a menos de substituir esta sequˆencia por uma sub-}

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No documento Teoria Ergódica Um Curso Introdutório. Krerley Oliveira e Marcelo Viana (páginas 139-147)