3.3 Teorema erg´ odico subaditivo
3.3.1 Prepara¸c˜ ao da demonstra¸c˜ ao
Uma sequˆencia (an)n em [−∞, +∞) ´e dita subaditiva se vale am+n ≤ am+ an
DRAFT
3.3. TEOREMA ERG ´ODICO SUBADITIVO 87 Lema 3.17. Se (an)n ´e uma sequˆencia subaditiva ent˜ao
lim n an n = infn an n ∈ [−∞, ∞). (3.27) Demonstra¸c˜ao. Se am=−∞ para algum m ent˜ao, pela subaditividade, temos
que an =−∞ para todo n > m. Ent˜ao os dois lados de (3.27) s˜ao iguais a −∞,
e portante o lema ´e v´alido neste caso. A partir daqui suporemos que an ∈ R
para todo n.
Seja L = infn(an/n)∈ [−∞, +∞) e seja B qualquer n´umero real maior do
que L. Ent˜ao podemos encontrar k≥ 1 tal que ak
k < B.
Para n > k, podemos escrever n = kp + q, onde p e q s˜ao n´umeros inteiros tais que p≥ 1 e 1 ≤ q ≤ k. Ent˜ao, por subaditividade,
an≤ akp+ aq ≤ pak+ aq ≤ pak+ α,
onde α = max{ai: 1≤ i ≤ k}. Logo,
an n ≤ pk n ak k + α n.
Observe que pk/n converge para 1 e α/n converge para zero quando n → ∞. Portanto, uma vez que ak/k < B, temos
L≤ an n < B
para todo n suficientemente grande. Fazendo B → L, conclu´ımos que liman
n = L = infn
an
n . Isto completa o argumento.
Agora seja (ϕn)n como nas hip´oteses do Teorema 3.16. Por subaditividade,
ϕn ≤ ϕ1+ ϕ1◦ f + · · · + ϕ1◦ fn−1.
Esta rela¸c˜ao permanece v´alida quando colocamos ϕ+ n e ϕ
+
1 no lugar de ϕn e ϕ1.
Logo, a hip´otese de que ϕ+1 ∈ L1(µ) implica que ϕ+
n ∈ L1(µ) para todo n. Al´em
disso, a hip´otese de que (ϕn)n ´e subaditiva implica que
an=
Z
ϕndµ, n≥ 1,
´e uma sequˆencia subaditiva em [−∞, +∞). Logo, pelo Lema 3.17, o limite L = lim n an n = infn an n ∈ [−∞, ∞).
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existe. Defina ϕ−: M → [−∞, ∞] e ϕ+ : M→ [−∞, ∞] por
ϕ−(x) = lim inf n ϕn n (x) e ϕ+(x) = lim supn ϕn n (x). ´
E claro que ϕ−(x)≤ ϕ+(x) para todo x∈ M. Vamos provar que
Z
ϕ−dµ≥ L ≥
Z
ϕ+dµ, (3.28)
desde que toda fun¸c˜ao ϕn seja limitada por baixo. Consequentemente, as duas
fun¸c˜oes ϕ− e ϕ+ coincidem em µ-quase todo ponto e a sua integral ´e igual a L.
Desta forma o teorema ficar´a demonstrado neste caso. Ao final, removemos a condi¸c˜ao de limita¸c˜ao usando um truque de truncagem.
3.3.2
Lema fundamental
Fixado ε > 0, defina, para cada k∈ N,
Ek =x∈ M : ϕj(x)≤ j ϕ−(x) + εpara algum j∈ {1, . . . , k} .
´
E claro que Ek ⊂ Ek+1 para todo k. Al´em disso, a defini¸c˜ao de ϕ−(x) implica
que M =∪kEk. Logo µ(Ek)→ 1 quando k → ∞. Defina tamb´em
ψk(x) =
ϕ−(x) + ε se x∈ Ek
ϕ1(x) se x∈ Ekc.
Segue da defini¸c˜ao que ψk(x)≥ ϕ−(x) + ε para todo x∈ M. O passo crucial
na prova do teorema ´e a seguinte estimativa:
Lema 3.18. Para todo n > k≥ 1 e µ-quase todo x ∈ M,
ϕn(x)≤ n−k−1X i=0 ψk(fi(x)) + n−1 X i=n−k max{ψk, ϕ1}(fi(x)).
Demonstra¸c˜ao. Tome x∈ M tal que ϕ−(x) = ϕ−(fj(x)) para todo j≥ 1 (isso
vale em µ-quase todo ponto, como convidamos o leitor a verificar no Exerc´ı- cio 3.6). Considere a sequˆencia, possivelmente finita, de n´umero inteiros
m0≤ n1< m1≤ n2< m2< . . . (3.29)
definida indutivamente da seguinte forma (veja tamb´em a Figura 3.1).
Defina m0 = 0. Seja nj o menor inteiro maior ou igual a mj−1 tal que
fnj(x) ∈ E
k (caso exista). Ent˜ao, pela defini¸c˜ao de Ek, existe mj tal que
1≤ mj− nj≤ k e
ϕmj−nj(f
nj(x))
DRAFT
3.3. TEOREMA ERG ´ODICO SUBADITIVO 89 PSfrag replacements m0 m0 m1 m1 ml ml n n nl+1 n1 n1 nl nl Ec k Ekc Ekc Ec k Ec k Ec k Ec k Ec k
Figura 3.1: Decomposi¸c˜ao da trajet´oria de um ponto
Isto completa a defini¸c˜ao da sequˆencia (3.29). Agora, dado n≥ k, seja l ≥ 0 o maior n´umero inteiro tal que ml≤ n. Pela subaditividade,
ϕnj−mj−1(f
mj−1(x))≤
nXj−1
i=mj−1
ϕ1(fi(x))
para todo j = 1, . . . , l, e analogamente para ϕn−ml(f
ml(x)). Assim, ϕn(x)≤ X i∈I ϕ1(fi(x)) + l X j=1 ϕmj−nj(f nj(x)) (3.31) onde I =∪l j=1[mj−1, nj)∪ [ml, n). Observe que
ϕ1(fi(x)) = ψk(fi(x)) para todo i∈ ∪j=1l [mj−1, nj)∪ [ml, min{nl+1, n}),
j´a que fi(x)∈ Ec
k em todos esses casos. Al´em disso, como ϕ− ´e constante em
´
orbitas (veja o Exerc´ıcio 3.6) e ψk ≥ ϕ−+ ε, a rela¸c˜ao (3.30) nos d´a que
ϕmj−nj(f nj(x)) ≤ mXj−1 i=nj (ϕ−(fi(x)) + ε)≤ mXj−1 i=nj ψk(fi(x))
para todo j = 1, . . . , l. Deste modo, usando a equa¸c˜ao (3.31) conclu´ımos que
ϕn(x)≤ min{nl+1,n}−1 X i=0 ψk(fi(x)) + n−1 X i=nl+1 ϕ1(fi(x)).
Como nl+1> n− k, o lema est´a provado.
3.3.3
Estimativa da fun¸c˜ao ϕ
−Na dire¸c˜ao de provar (3.28), nesta se¸c˜ao provamos o seguinte lema: Lema 3.19. Rϕ−dµ = L
DRAFT
Demonstra¸c˜ao. Suponha, por um instante, que ϕn/n est´a uniformemente li-
mitado por baixo, ou seja, que existe κ > 0 tal que ϕn/n≥ −κ para todo n.
Aplicando o Lema de Fatou (Teorema 0.39) `a sequˆencia de fun¸c˜oes n˜ao-negativas ϕn/n + κ, obtemos que ϕ− ´e integr´avel e
Z ϕ−dµ≤ lim n Z ϕ n n dµ = L.
Para provar a outra desigualdade, observe que o Lema 3.18 implica que 1 n Z ϕndµ≤ n− k n Z ψkdµ + k n Z max{ψk, ϕ1} dµ
Quando n→ ∞ a ´ultima parcela converge para zero. Ent˜ao, fazendo n → ∞ obtemos que L≤Rψkdµ para todo k. Logo, fazendo k→ ∞, conclu´ımos que
L≤ Z
ϕ−dµ + ε
Finalmente, fazendo ε→ 0 obtemos que L ≤R ϕ−dµ. Isto prova o lema quando
ϕn/n est´a uniformemente limitado por baixo.
Agora resta remover essa hip´otese. Defina, para cada κ > 0, ϕκn = max{ϕn,−κn} e ϕκ−= max{ϕ−,−κ}.
Deixamos ao leitor o cuidado de verificar que ϕκ
− = lim infn(1/n)ϕκn. Ent˜ao, o
argumento do par´agrafo anterior mostra que Z ϕκ−dµ = infn 1 n Z ϕκndµ. (3.32)
Pelo teorema da convergˆencia mon´otona (Teorema 0.38), tamb´em temos que Z ϕndµ = inf κ Z ϕκndµ e Z ϕ−dµ = inf κ Z ϕκ−dµ. (3.33)
Combinando as rela¸c˜oes (3.32) e (3.33), obtemos que Z ϕ−dµ = inf κ Z ϕκ−= inf κ infn 1 n Z ϕκndµ = inf n 1 n Z ϕndµ = L.
Isto completa a demonstra¸c˜ao do lema.
3.3.4
Majora¸c˜ao da fun¸c˜ao ϕ
+Para completar a prova de (3.28), vamos mostrar que R ϕ+dµ≤ L desde que
inf ϕn seja finito para todo n. Come¸camos por provar o seguinte resultado
auxiliar:
Lema 3.20. Para todo k fixado, lim sup n ϕkn n = k lim supn ϕn n .
DRAFT
3.3. TEOREMA ERG ´ODICO SUBADITIVO 91 Demonstra¸c˜ao. A desigualdade≤ ´e clara, uma vez que ϕkn/kn ´e subsequˆencia
de ϕn/n. Para mostrar a desigualdade contr´aria, escrevemos n = kqn+ rn com
rn∈ {1, . . . , k}. Pela subaditividade,
ϕn≤ ϕkqn+ ϕrn◦ f
kqn
≤ ϕkqn+ ψ◦ f
kqn
onde ψ = max{ϕ+1, . . . , ϕ+k}. Observe que n/qn → k as n → ∞. Al´em disso,
como ψ ∈ L1(µ), podemos usar o Lema 3.10 para ver que ψ
◦ fn/n converge
para zero em µ-quase todo ponto. Assim, dividindo a rela¸c˜ao anterior por n e tomando o lim sup quando n→ ∞ n´os obtemos que
lim sup n 1 nϕn ≤ lim supn 1 nϕkqn+ lim sup n 1 nψ◦ f kqn = 1 klim supq 1 qϕkq, como afirmado no lema.
Lema 3.21. Suponha que inf ϕn>−∞ para todo n. Ent˜ao
R
ϕ+dµ≤ L.
Demonstra¸c˜ao. Para cada k fixado e n≥ 1, considere θn =−Pn−1j=0 ϕk ◦ fjk.
Observe que Z
θndµ =−n
Z
ϕkdµ para todo n, (3.34)
uma vez que fk preserva a medida µ. Como a sequˆencia (ϕ
n)n ´e subaditiva,
θn ≤ −ϕkn para todo n. Logo, usando o Lema 3.20,
θ− = lim inf n θn n ≤ − lim supn ϕkn n =−k lim supn ϕn n =−kϕ+ e, portanto, Z θ−dµ≤ −k Z ϕ+dµ. (3.35)
Observe tamb´em que a sequˆencia (θn)n ´e aditiva: θm+n = θm+ θn◦ fkm para
todo m, n≥ 1. Como θ1=−ϕk ´e majorada por− inf ϕk, tamb´em temos que a
fun¸c˜ao θ+1 ´e limitada e, por consequˆencia, integr´avel. Assim, podemos aplicar o
Lema 3.19, juntamente com a igualdade (3.34), para concluir que Z θ−dµ = lim inf n Z θ n n dµ =− Z ϕkdµ. (3.36)
Juntando as rela¸c˜oes (3.35) e (3.36) obtemos que Z
ϕ+dµ≤ 1
k Z
ϕkdµ.
Finalmente, tomando o ´ınfimo sobre k obtemos queR ϕ+dµ≤ L.
Os Lemas 3.19 e 3.21 provam a rela¸c˜ao (3.28) e, portanto, o Teorema 3.16 quando inf ϕk >−∞ para todo k. No caso geral, defina
ϕκ
DRAFT
para cada constante κ > 0. Os argumentos anteriores podem ser aplicados `a sequˆencia (ϕκ
n)n para todo κ > 0 fixado. Portanto, ϕκ+ = ϕκ− em µ-quase todo
ponto para todo κ > 0. Como ϕκ
−→ ϕ− e ϕκ+→ ϕ+quando κ→ ∞, segue que
ϕ−= ϕ+em µ-quase todo ponto. A prova do Teorema 3.16 est´a completa.
3.3.5
Consequˆencias
Como observamos anteriormente, toda sequˆencia de somas orbitais ϕn =
n−1
X
j=0
ϕ◦ fj, n≥ 1
´e aditiva e, em particular, subaditiva. Portanto, o teorema erg´odico de Birkhoff (Teorema 3.8) ´e um caso particular do Teorema 3.16.
Outra consequˆencia importante do teorema erg´odico subaditivo ´e o teorema de Furstenberg-Kesten, que enunciamos a seguir.
Seja f : M → M uma transforma¸c˜ao mensur´avel e seja µ uma probabilidade invariante. Seja θ : M → GL(d) uma fun¸c˜ao mensur´avel com valores no conjunto GL(d) das matrizes quadradas invert´ıveis de dimens˜ao d. Seja θ−1: M
→ GL(d) a fun¸c˜ao definida por θ−1(x) = matriz inversa de θ(x). Defina
φn(x) = A(fn−1(x))· · · A(f(x))A(x) e φ−n(x) = matriz inversa de φn(x) para todo n≥ 1 e x ∈ M.
Teorema 3.22(Furstenberg-Kesten). Se log+kθk ∈ L1(µ) ent˜ao
λmax(x) = lim n 1 nlogkφ n(x) k existe em µ-quase todo ponto. Al´em disso, λ+
max∈ L1(µ) e Z λmaxdµ = lim n 1 n Z logkφn k dµ = infn 1n Z logkφn k dµ Se log+kθ−1 k ∈ L1(µ) ent˜ao λmin(x) = lim n − 1 nlogkφ −n(x) k existe em µ-quase todo ponto. Al´em disso, λ−min∈ L1(µ) e
Z λmindµ = lim n − 1 n Z logkφ−n k dµ = sup n − 1 n Z logkφ−n k dµ.
Para deduzir este resultado do Teorema 3.16 basta observar que as sequˆencias ϕmaxn (x) = logkφn(x)k e ϕminn (x) = logkφ−n(x)k
s˜ao subaditivas (lembre do Exemplo 3.15). As fun¸c˜oes λmaxe λmins˜ao chamadas
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3.4. EXERC´ICIOS 93
3.4
Exerc´ıcios
3.1. Mostre que um operador linear U : H → H num espa¸co de Hilbert H ´e uma isometria se, e somente se,kH(v)k = kvk para todo v ∈ H.
3.2. Um operador linear U : H → H ´e dito unit´ario se ´e um isomorfismo e uma isometria. Verfique que U ´e unit´ario se e somente se U∗U = id = U U∗.
3.3. Seja f : M→ M uma transforma¸c˜ao mensur´avel que preserva uma medida finita µ e seja A ⊂ M um conjunto mensur´avel com µ(A) > 0. Defina n1 <
n2<· · · como sendo a sequˆencia dos valores de n tais que µ(f−n(A)∩ A) > 0.
Mostre que existe C > 0 tal que ni+1− ni≤ C para todo i. ??
3.4. Uma fun¸c˜ao ϕ : Z→ R ´e dita uniformemente quase peri´odica se para cada ε > 0 existe L(ε)∈ N tal que todo conjunto A ⊂ Z da forma {n+1, . . . , n+L(ε)} cont´em algum elemento τ tal que kϕ(k + τ) − ϕ(k)k < ε para todo k ∈ Z. O objetivo ´e mostrar que a m´edia n1Pn−1k=0ϕ(k) de toda fun¸c˜ao uniformemente quase peri´odica ϕ converge para algum n´umero real.
1. Prove que toda fun¸c˜ao uniformemente quase peri´odica ´e limitada. 2. Seja ϕ uniformemente quase peri´odica e ε > 0 dado. Seja τ e L(ε) como na
defini¸c˜ao de fun¸c˜ao uniformemente quase peri´odica e assuma que τ > L(). Ent˜ao, para todo n
k1τ (n+1)τ X k=nτ ϕ(k)−1 τ τ −1 X k=0 ϕ(k)k < 2ε
3. Use os itens anteriores para mostrar que dada uma fun¸c˜ao ϕ uniforme- mente quase peri´odica ent˜ao a m´edia 1
n
Pn−1
k=0ϕ(fi(k)) converge para al-
gum n´umero real quando n→ ∞.
4. Mais geralmente, prove que n1Pn−1k=0ϕ(fi(x + k)) converge para algum
n´umero real quando n→ ∞ e ´e independente de x.
3.5. Seja ϕ : M → R uma fun¸c˜ao integr´avel e seja ˜ϕ a sua m´edia temporal, dada pelo Teorema 3.8. Mostre que se ϕ ∈ Lp(µ) para algum p > 1 ent˜ao
˜ ϕ∈ Lp(µ) e valek ˜ϕk p≤ kϕkp. Al´em disso, 1 n n−1X j=0 ϕ◦ fj
converge para ˜ϕ no espa¸co Lp(µ).
DRAFT
3.6. Dada uma sequˆencia subaditiva (ϕn)n, mostre que as fun¸c˜oes
ϕ−= lim inf n ϕn n e ϕ+= lim supn ϕn n
s˜ao invariantes, isto ´e, ϕ−(x) = ϕ−◦ f(x) e ϕ+(x) = ϕ+◦ f(x) para µ-quase
todo x∈ M. Portanto, a fun¸c˜ao ϕ no Teorema 3.16 tamb´em ´e invariante. 3.7. Seja X = {x1, . . . , xr} um conjunto finito e seja σ : X → X uma per-
muta¸c˜ao. A permuta¸c˜ao σ ´e chamada de c´ıclica se ela admite uma (´unica) ´
orbita de cardinalidade r.
1. Dada uma permuta¸c˜ao c´ıclica σ e uma fun¸c˜ao ϕ : X→ R prove que lim n→∞ 1 n n−1X i=0 ϕ(σi(x)) =ϕ(x1) +· · · + ϕ(xr) r .
2. Mais geralmente, prove que para toda permuta¸c˜ao σ e fun¸c˜ao ϕ lim n→∞ 1 n n−1 X i=0 ϕ(σi(x)) =ϕ(x) + ϕ(σ(x)) +· · · + ϕ(σ p−1(x)) p .
DRAFT
Cap´ıtulo 4
Ergodicidade
Os teoremas apresentados no cap´ıtulo anterior d˜ao plena justificativa `a primeira parte da hip´otese erg´odica de Boltzmann: o tempo m´edio de visita τE(x) a um
dado conjunto mensur´avel E est´a bem definido para quase todo ponto x. A segunda parte da hip´otese erg´odica, isto ´e, que o tempo m´edio de visita seja igual `a medida de E para quase todo ponto x, ´e um enunciado de natureza diferente e ser´a o tema do presente cap´ıtulo.
Diremos que um sistema (f, µ) ´e erg´odico se, dado qualquer conjunto men- sur´avel E, temos τE(x) = µ(E) para µ-quase todo ponto x ∈ M. Vamos ver
que isto equivale a dizer que o sistema ´e dinamicamente indiv´ısivel, no sentido de que qualquer conjunto invariante tem medida nula ou medida total. Ou- tras formula¸c˜oes equivalentes da propriedade de ergodicidade ser˜ao discutidas na Se¸c˜ao 4.1. Nas Se¸c˜oes 4.2 e 4.3 apresentaremos alguns exemplos importantes de sistemas erg´odicos e n˜ao erg´odicos.
Na Se¸c˜ao 4.4 adotamos o seguinte ponto de vista: fixamos o sistema dinˆamico e analisamos as propriedades das medidas erg´odicas dentro do espa¸co de todas as medidas invariantes desse sistema dinˆamico. Isto tamb´em motiva o resultado principal deste cap´ıtulo, o teorema da decomposi¸c˜ao erg´odica (Teorema 4.34), segundo o qual toda medida invariante ´e uma combina¸c˜ao linear (infinita, em geral) de medidas erg´odicas. Provaremos este fato a partir de outro resultado muito importante, o teorema da desintegra¸c˜ao de Rokhlin (Teorema 4.42).
Ao longo deste cap´ıtulo sempre suporemos que µ ´e uma medida de probabi- lidade invariante por uma transforma¸c˜ao mensur´avel f : M→ M.
4.1
Sistemas erg´odicos
Conforme dissemos, a medida µ diz-se erg´odica para f (ou f diz-se erg´odica relativamente a µ) se o tempo m´edio de visita a qualquer conjunto mensur´avel coincide, em µ-quase todo ponto, com a medida desse conjunto. Nas duas subse¸c˜oes a seguir estudaremos diversas propriedades equivalentes a esta.