dida total, obtemos que cada Xji intersecta Xji−1. Ent˜ao, ϕ
+= ϕ−´e constante
na uni˜ao de todos os Xji. Isto prova a nossa afirma¸c˜ao.
Desta forma, mostramos que as m´edias temporais ϕ± de qualquer fun¸c˜ao
cont´ınua ϕ s˜ao constantes em m-quase todo ponto. Consequentemente (veja o Exerc´ıcio 4.7), o sistema (fA, m) ´e erg´odico.
4.3
Coment´arios sobre sistemas conservativos
O teorema erg´odico de Birkhoff, provado nos anos trinta do s´eculo 20, deu s´olida fundamenta¸c˜ao matem´atica para a hip´otese erg´odica de Boltzmann, mas deixou totalmente em aberto a quest˜ao da veracidade da pr´opria hip´otese erg´odica. Nesta se¸c˜ao vamos dar um panorama breve dos principais resultados obtidos desde ent˜ao nesta dire¸c˜ao.
4.3.1
Teoria de Kolmogorov-Arnold-Moser
Os sistemas em que Boltzmann estava interessado, relativos ao movimento das mol´eculas de gases podem, em princ´ıpio, ser descritos pelas leis da mecˆanica cl´assica newtoniana. No chamado formalismo hamiltoniano da mecˆanica cl´assica, os estados do sistema s˜ao representados por meio das “coordenadas generaliza- das” q1, . . . , qd e dos “momentos generalizados” p1, . . . , pd e a sua evolu¸c˜ao ´e
descrita pelas solu¸c˜oes das equa¸c˜oes de Hamilton-Jacobi: dqi dt = ∂H ∂pi e dpi dt =− ∂H ∂qi , i = 1, . . . , d,
onde H ´e a energia total do sistema. A energia ´e constante ao longo de trajet´orias do fluxo, j´a que: dH dt = d X i=1 ∂ ∂qi dqi dt + ∂ ∂pi dpi dt ≡ 0.
Portanto, podemos considerar a restri¸c˜ao do fluxo a cada hipersuperf´ıcie de energia Hc ={(q, p) : H(q, p) = c}. A medida de volume dq1· · · dqddp1· · · dpd
´e chamada medida de Liouville. Observando que o campo de vetores F = −∂H ∂p1 , . . . ,−∂H ∂pd ,∂H ∂q1 , . . . ,−∂H ∂qd
tem divergente nulo (lembre a Se¸c˜ao 1.3.6), conclu´ımos que o fluxo preserva a medida de Liouville. Em consequˆencia (veja o Exerc´ıcio ??), a restri¸c˜ao do fluxo a cada hipersuperf´ıcie de energia Hc tamb´em tem uma medida invariante µc,
que ´e dada por µc(E) =
Z
E
ds
DRAFT
onde ds representa o elemento de volume na hipersuperf´ıcie. Ent˜ao ´e natural perguntar se, em geral, sistemas hamiltonianos s˜ao erg´odicos relativamente `a medida invariante em (quase) toda hipersuperf´ıcie de energia.
O primeiro grande resultado nesta dire¸c˜ao foi anunciado por Andrey Kolmo- gorov em 1954 e foi, logo em seguida, substanciado pelos trabalhos de Vladimir Arnold e J¨urgen Moser. Isto conduziu a uma teoria muito profunda, que ´e co- nhecida como Teoria KAM em homenagem aos seus fundadores, e para qual contribu´ıram de maneira decisiva diversos outros matem´aticos, com destaque para ?? Haussmann, Michael Herman, Jean-Christophe Yoccoz e Eddy Zehn- der, entre outros.
A afirma¸c˜ao original de Kolmogorov pode ser apresentada da seguinte forma. Suponha que γ ´e uma trajet´oria fechada do fluxo. Considere uma se¸c˜ao Σ⊂ Hc
transversal ao fluxo em algum ponto p∈ γ e seja f a transforma¸c˜ao de Poincar´e, ou seja, a trasforma¸c˜ao de primeiro retorno do fluxo a Σ. Veja a Figura 4.3. Observe que f (p) = p e que Σ ´e uma variedade de dimens˜ao 2d−2. Dizemos que a trajet´oria γ ´e el´ıptica se todos os autovalores de Df (p) tˆem m´odulo 1. Ent˜ao, sob uma condi¸c ao fraca de transversalidade, chamada condi¸c˜ao de tors˜ao, o fluxo hamiltoniano n˜ao ´e erg´odico.
Figura 4.3: Transforma¸c˜ao de Poincar´e
Para darmos um enunciado mais preciso, consideremos diretamente a trans- forma¸c˜ao de Poincar´e. Para simplificar, suporemos inicialmente que d = 2, ou seja que Σ ´e uma superf´ıcie; em seguida comentaremos o caso geral.
Consideremos ent˜ao uma transforma¸c˜ao f : U → R2de classe C∞, onde U ⊂
R2 ´e uma vizinhan¸ca da origem, que preserva a medida de ´area. Suponhamos
que f (0) = 0 e que os autovalores de Df (0) s˜ao n´umeros complexos com m´odulo 1. Isto implica que Df (0) ´e linearmente conjugada a uma rota¸c˜ao Rω. Ent˜ao ´e
poss´ıvel escrever f na forma
f (ρ, θ) = (ρ + R(ρ, θ), θ + ω + T (ρ, θ)) onde ??.
Teorema 4.24. Suponha que ∂T /∂ρ(0)6= 0 (condi¸c˜ao de tors˜ao). Ent˜ao existe um conjunto K ⊂ U tal que
(a) K ´e uma uni˜ao de c´ırculos diferenci´aveis cada um dos quais ´e invariante por f
DRAFT
4.3. COMENT ´ARIOS SOBRE SISTEMAS CONSERVATIVOS 117 (b) a restri¸c˜ao de f a cada um destes c´ırculos ´e conjugada a uma rota¸c˜ao
irracional em S1;
(c) K tem medida de Lebesgue positiva e, de fato, a origem ´e um ponto de densidade:
lim
ε→0
m K∩ B(0, ε) B(0, ε) .
Claramente, a existˆencia de tal conjunto K implica que a transforma¸c˜ao f n˜ao ´e erg´odica. Quando f corresponde a uma transforma¸c˜ao de Poincar´e de um fluxo, os c’irculos invariantes d˜ao origem a toros invariantes do fluxo, cuja uni˜ao ´e um conjunto com medida positiva. Novamente, a presen¸ca de tal conjunto implica que o fluxo n˜ao ´e erg´odico.
Exemplo 4.25. Considere f0: B(0, 1)→ R2dada por f0(ρ, θ) = (ρ, θ + ω + cρ)
onde c6= 0 e seja U uma pequena vizinhan¸ca de f0no espa¸co das transforma¸c˜oes
f : B(0, 1) → R de classe C∞ que preservam a medida de Lebesgue. Ent˜ao
nenhuma f ∈ U ´e erg´odica. De fato, pode mostrar-se que a hip´otese implica que f tem um ´unico ponto fixo p e ele est´a pr´oximo da origem. Ent˜ao, a menos de uma pequena transla¸c˜ao, podemos supor que p = 0. Ent˜ao a afirma¸c˜ao segue do Teorema 4.24.
O Teorema 4.24 pode ser generalizado para transforma¸c˜oes f : U → Rd−2
para qualquer d≥ 2. Al´em da condi¸c ao de que todos os autovalores de Df(0) tenham m´odulo 1 precisamos supor que a transforma¸c˜ao f ´e simpl´etica, uma condi¸c˜ao mais forte do que apenas presevar a medida de Lebesgue. A condi¸c˜ao de tors˜ao tamb´em precisa ser formulada de modo adequado. A conclus˜ao ´e que existe um conjunto invariante K com medida de Lebesgue positiva formado por toros invariantes de dimens˜ao d− 1. Isso d´a origem a um conjunto invariante para o fluxo hamiltoniano, com medida de Lebesgue positiva, formado por toros de dimens˜ao d.
A condi¸c˜ao de que f seja C∞´e demasiado forte: os resultados que acabamos
de mencionar continuam v’alidos para aplica¸c˜oes finitamente deriv´aveis. Por exemplo, no Teorema 4.24 basta supor que f ´e de classe C3com derivada H¨older
cont´ınua.
O leitor interessado poder´a obter informa¸c˜ao muito mais completa sobre a teoria KAM nas seguintes referˆencias: [?].
4.3.2
Bilhares
Na se¸c˜ao anterior discutimos a quest˜ao da ergodicidade no contexto geral de sistemas hamiltonianos. Mas, na verdade, o contexto que interessava a Boltz- mann era bem mais restrito. Os bilhares s˜ao sistemas que visam modelar, de modo mais espec´ıfico, o comportamento dos gases ideais. Nesta se¸c˜ao vamos descrever esta no¸c˜ao e discutir brevemente algumas de suas propriedades.
Na sua forma mais simples, um bilhar ´e dado por um dom´ınio conexo Ω⊂ R2,
DRAFT
diferenci´aveis. Chamamos cantos do bilhar aos pontos onde o bordo n˜ao ´e dife- renci´avel; por hip´otese eles formam um conjunto finitoC ⊂ ∂Ω. Consideramos uma part´ıcula pontual em movimento retil´ıneo uniforme dentro de Ω, com cho- ques el´asticos com o bordo. Isto ´e, a cada encontro com ∂Ω\ C a part´ıcula ´e refletida, de tal forma que o ˆangulo de incidˆencia ´e igual ao ˆangulo de reflex˜ao. Veja a Figura 4.4. Quando a part´ıcula acerta um dos cantos ela ´e absorvida: a trajet´oria n˜ao est´a definida a partir da´ı.
PSfrag replacements θ s ∂Ω θ0 s0
Figura 4.4: Dinˆamica num bilhar
Consideremos cada componente conexa de ∂Ω orientada e parametrizada pelo comprimento de arco s. ´E claro que o movimento da part´ıcula fica to- talmente caracterizado pela sequˆencia de choques com o bordo. Al´em disso, cada choque pode ser descrito pela posi¸c˜ao s∈ ∂Ω e pelo ˆangulo de incidˆencia θ∈ [0, π]. Portanto, a evolu¸c˜ao do bilhar ´e regida pela transforma¸c˜ao
f : (∂Ω\ C) × (0, π) → ∂Ω × (0, π),
que a cada choque (s, θ) associa o choque subsequente (s0, θ0). Veja a Figura 4.4.
Proposi¸c˜ao 4.26. A medida ν = sin θdsdθ em ∂Ω× (0, π) ´e invariante por f. Demonstra¸c˜ao. A ideia ´e usar a constru¸c˜ao da Se¸c˜ao 2.4.3: f pode ser vista como uma transforma¸c˜ao de Poincar´e de um certo fluxo e a medida ν corresponde ao transporte de uma certa medida µ invariante pelo fluxo. Vamos esbo¸car este argumento, deixando ao leitor o cuidado de preenccher os detalhes.
Considere o espa¸co M = Ω× S1/
∼, onde S1= R/(2πZ) e
∼ ´e a rela¸c˜ao de equivalˆencia:
(s, π− θ) ∼ (s, π + θ) para cada s ∈ ∂Ω. (4.26) Considere tamb´em o fluxo (gt)
t definido em M por
??
4.3.3
Fluxos geod´esicos
Seja M uma variedade Riemanniana compacta. O fibrado tangente unit´ario T1M ´e o conjunto das duplas (x, v) em que x