Caracteriza¸c˜ ao das Instˆ ancias - Gestão integrada de sistemas de manutenção

Uma instância é um conjunto de dados que reporta uma determinada situa¸cão. Assim, é necessário que a instância contenha informa¸cão suficiente e estruturada, de acordo com a modela¸cão desenvolvida. Ou seja, tem que existir compatibilidade entre a formula¸cão e os dados dispon´ıveis.

Deste modo, é desenvolvida uma estrutura que contém toda a informa¸cão necessária para a prossecu¸cão do planeamento de acordo com os requisitos definidos. Ou seja, caso os dados necessários ainda não estejam estruturados e devidamente tratados, é criada uma base de dados com uma estrutura adequada para ser compat´ıvel com a formula¸cão concebida. Essa base de dados é sustentada na informa¸cão dispon´ıvel no SMP, onde constam as açcões de manuten¸cão e as suas caracter´ısticas, desde os procedimentos que compõem cada tarefa, passando pelos recursos necessários à sua execu¸cão.

Tal como já foi mencionado, para efeitos de modela¸cão do problema, as tarefas de manuten¸cão são reduzidas a subrotinas. A instância deve, desde logo, conter informa¸cão sobre o número de tarefas existentes, o número de subrotinas, quantas categorias de recursos existem e o upper-bound temporal estabelecido. A nota¸cão adoptada para identificar uma instância é baseada nestes elementos. Desta forma, a instância I-10-40-8, é constitu´ıda por 10 tarefas, 40 subrotinas e 8 categorias de recursos. Existe uma base de dados, com as intâncias testadas, as quais são identificadas pelo código mencionado.

Uma vez que o SMP define as caracter´ısticas das tarefas, e para efeitos de modela¸cão trabalha-se com subrotinas, é necessário correlacioná-las. Deste modo, é concebida a tabela 2.3 onde constam as tarefas e as respectivas subrotinas, de forma a facilmente reconhecer a rela¸cão entre subrotinas e tarefas. Nessa tabela, é incluida informa¸cão referente às necessidades de recursos de cada subrotina, bem como a sua dura¸cão. A tabela 2.3 e todas as restantes são construidas recorrendo a uma instância simulada.

A simula¸cão dos dados foi motivada, fundamentalmente, pelo objectivo de compreender o comportamento das formula¸cões sob diferentes cenários poss´ıveis.

Recursos Tarefa Sub-rot Dura¸c˜ao 1 2 3 4 5

1 1 2 1 0 1 0 2 1 2 2 0 0 2 1 1 1 3 1 0 1 0 0 0 2 4 3 1 2 2 2 0 2 5 1 3 1 0 2 0 .. . ... ... ... ... ... ... ... 8 10 4 2 1 3 0 2 8 11 2 3 4 2 1 0 9 12 3 0 1 1 0 2 9 13 2 1 2 0 2 1

Tabela 2.3. Exemplo de tabela das subrotinas e respectivos dados.

5 instantes temporais, repartidos pelas subrotinas 1, 2 e 3. Estas subrotinas necessitam de um determinado n´umero de recursos de cada categoria, nomeadamente, e a t´ıtulo de exemplo, a subrotina 2 necessita de dois elementos da categoria 3, um elemento da categoria 4 e um elemento da categoria 5.

Neste momento, está estruturada a informa¸cão necessária para caracterizar qualquer açcão de manuten¸cão que seja necessária escalonar. Conhece-se a tarefa a que pertence, a sua dura¸cão e os recursos necessários para a sua prossecu¸cão. No entanto, falta definir dois aspectos muito importantes, que são os recursos dispon´ıveis e a incompatibilidade entre tarefas.

A tabela 2.4 reporta um exemplo da informa¸cão existente sobre as categorias mediante a especializa¸cão dos seus recursos, bem como o número de elementos por categoria. Ou seja, na tabela são discriminados os recursos humanos que o gestor tem à sua disposi¸cão. Quanto às incompatibilidades entre tarefas, a tabela 2.5 identifica em cada linha o par de tarefas incompat´ıveis. Com base nestes dados e correlacionando as subrotinas asso- ciadas a cada tarefa, saber-se-á de imediato quais são as subrotinas que não podem ser executadas em simultâneo.

2.3 - CARACTERIZAÇ ÃO DAS INST ÂNCIAS Categoria Qte 1 4 2 6 3 3 4 3 5 4

Tabela 2.4. Tabela de recursos.

Tarefa 1 Tarefa 2 2 6 3 4 .. . ... 3 7

Tabela 2.5. Exemplo tabela de incompatibilidades.

Estes são os dados que, directamente, são necessários para caracterizar na ´ıntegra uma determinada instância. Dado que se pretende afectar um conjunto de tarefas aos recursos existentes, e a informa¸cão existente é já suficiente para atingir esse objectivo. Contudo, é necessário estruturar alguns destes dados de um modo diferente para responder a algumas necessidades da formula¸cão. Deste modo, são concebidas as tabelas 2.6 e 2.7.

Sub-Rotina Recurso Qte

1 2 2 1 3 1 1 2 2 .. . ... ... 10 3 1 10 2 3

Com a tabela 2.6, surge a necessidade de padronizar a informa¸cão existente, de forma a que o modelo tenha informa¸cão sobre a categoria e o respectivo número de elementos a empregar em cada subrotina. Para cada subrotina é indicado a categoria dos recursos e o número de elementos necessários para a sua realiza¸cão.

Relativamente à tabela 2.7, pretende-se disponibilizar informa¸cão sobre a posi¸cão relativa de uma determinada subrotina na respectiva tarefa, ou seja, se uma determinada subrotina é a terceira açcão de manuten¸cão a ser executada numa tarefa, a essa subrotina é atribu´ıda o número de ordem 3. Esta informa¸cão é importante para controlar as subrotinas que serão consideradas nas fun¸cões objectivo de cada modelo.

Sub-rotina Ordem 1 1 2 2 3 1 4 2 5 3 6 4 .. . ... 15 1 16 2

Cap´ıtulo 3

Modela¸c˜ao do Problema

Este cap´ıtulo é dedicado à concep¸cão de uma formula¸cão matemática do problema. Serão desenvolvidos três modelos assentes em conceitos diferentes. Isto é, o problema será abordado segundo três perspectivas diferentes, avaliando posteriormente as vantagens e desvantagens proporcionadas pelas suas especificidades. Conforme será evidenciado, mais adiante com a leitura deste cap´ıtulo, os dois últimos modelos são modelos desagregados do primeiro. Deste modo, este cap´ıtulo é composto por três seçcões, cada uma referente a cada modela¸cão desenvolvida.

Na seçcão 3.1 aborda-se o problema numa perspectiva mais natural, reflectindo directamente a tomada de decisão. Assim, a variável representa o estado natural da subrotina, indicando a sua executada num determinado instante temporal. Com este modelo, existe um escalonamento das subrotinas, em cada instante temporal, mediante a sua execu¸cão e dentro do intervalo de tempo determinado pela sua dura¸cão.

Na seçcão 3.2 a modela¸cão assenta sob o princ´ıpio de a subrotina ser iniciada, ou não, num determinado instante temporal. Desta forma, e sabendo implicitamente qual a dura¸cão da subrotina, o escalonamento é efectuado somente com a variável referente ao instante em que a subrotina come¸ca a ser executada.

Na seçcão 3.3 é desenvolvido um modelo desagregado do primeiro, com a particularida- de da variável ser indexada à posi¸cão. Neste modelo, também a variável representa a execu¸cão, ou não, de uma subrotina num determinado instante temporal, e refor¸ca a informa¸cão disponibilizando a posi¸cão relativa de execu¸cão. Ou seja, esta variável é indexada à posi¸cão relativa de execu¸cão da subrotina, tendo em considera¸cão a sua dura¸cão. A tabela 3.1 contém informa¸cão referente à nota¸cão utilizada na formula¸cão matemática

dos três modelos desenvolvidos. São mencionados os input´s referentes ao número de subrotinas e o limite máximo do horizonte temporal, bem como outros referentes às subrotinas e aos recursos. Por fim, nesta tabela constatou os diversos conjuntos utilizados na modela¸cão.

N N´umero m´aximo de subrotinas T Upper-bound temporal

duri Dura¸c˜ao da subrotina i

rrj,i Recursos do tipo j necess´arios para a execu¸c˜ao da subrotina i

Recj Recursos do tipo j dispon´ıveis

I(i1, i2) Matriz de subrotinas incompat´ıveis

Ordi Matriz de ordem das subrotinas nas respectivas tarefas

S Conjunto das subrotinas

T Conjunto dos instantes temporais J Conjunto dos tipos de recursos

S′ _{Conjunto das subrotinas sujeitas `}_{a non-preemption}

S′′ _{Conjunto das subrotinas incompat´ıveis}

S(1) _{Conjunto das subrotinas de primeira ordem}

Tabela 3.1. Nota¸c˜ao empregue na modela¸c˜ao do problema.

3.1 - Modelo da Vari´avel Natural

Numa abordagem inicial ao problema em análise, surge a necessidade em definir o tipo de variáveis de decisão que devem ser consideradas. De forma intuitiva surge a ideia de que estas devem representar a existência de uma açcão de manuten¸cão, denominada i, que ocorre num determinado instante temporal t. Deste modo, o modelo proposto, assenta na programa¸cão linear inteira (PLI), recorrer a um vector de variáveis naturais, xi,t.

Ou seja, este modelo, que será designado por modelo da variável natural, irá fazer o escalonamento das tarefas de manuten¸cão utilizando o conceito de que, se uma determinada actividade está a decorrer, a variável natural assumirá o valor 1 e 0 caso contrário.

xi,t=

(

1, se a subrotina i est´a a ser executada no instante t 0, c.c.

No modelo da variável natural não existe informa¸cão sobre o estado relativo da subrotina, i.e., quando foi iniciada, quantas subrotinas, de uma tarefa, foram executadas, ou faltam

3.1 - MODELO DA VARI ´AVEL NATURAL

executar. Limita-se a definir se uma determinada subrotina está activa nesse instante temporal. A figura 3.1 refor¸ca o conceito associado à variável natural. Para cada instante temporal em que a tarefa está a ser executada, a variável natural respeitante à açcão i toma om valor 1.

↓t=4

subrotina 2 x x x x x

dur2

Figura 3.1. Representa¸cão gráfica da variável natural com x2,4 = 1, x2,5 = 1, x2,6 = 1, x2,7 = 1,

x2,8= 1, x2,9= 0.

Neste modelo as variáveis naturais são um vector de variáveis binárias, xi,t= {0, 1}, e

representam a concretiza¸cão de uma açcão de manuten¸cão i no instante temporal t. Na maioria dos problemas deste tipo, o objectivo assenta na minimiza¸cão do makespan, ou seja, minimizar o tempo de execu¸cão do projecto. Contudo, neste caso, conforme já foi mencionado na seçcão 2.2, o objectivo é minimizar o tempo de execu¸cão das subrotinas, deste modo a fun¸cão objectivo do modelo da variável natural (3.1) é minimizar os instantes temporais em que a soma das primeiras subrotinas de cada tarefa são executadas. Ou seja, pretende-se for¸car o modelo a que as açcões de manuten¸cão sejam realizadas o mais cedo poss´ıvel. Para tal, é definido o subconjunto S(1)_{, onde S}(1)_{= {∀ i ∈ S :} _Ord

i= 1} M in f : f = X i∈S(1) X i∈T t∗ xi,t (3.1)

Observe-se que é estabelecido um upper bound temporal, visto um dos requisitos do problema ser a concretiza¸cão de todas as açcões de manuten¸cão num determinado per´ıodo temporal pré-definido.

Consubstanciado nas regras de modela¸c˜ao referidas no cap´ıtulo 2, surgem os conjuntos de restri¸c˜oes que garantem os requisitos definidos para o escalonamento das tarefas com recursos limitados e uniformes.

O conceito de non-preemption está associado à necessidade de assegurar que não haja interrup¸cão de uma subrotina que está activa. Para garantir a non-preemption recorre-se ao conjunto de restri¸cões (3.2).

t+duri−1

l=t+1

xi,l≥ [xi,t− xi,t−1] ∗ [duri− 1] , ∀i ∈ S, t ∈ {1, . . . , T −duri} (3.2)

Este conjunto de restri¸c˜oes obriga a que entre os instantes temporais t e t +duri todas as

vari´aveis naturais referentes a uma subrotina i assumam o valor de 1 assim que xi,t= 1.

Para o caso em que, xi,t−1= 0 xi,t= 1      ⇒ t+duri−1 X l=t+1 xi,l= 1 + 1 + 1 + . . . + 1 + 1 | {z } t+duri−1 − t − 1 + 1 parcelas =duri− 1 ∀ i ∈ S

As restantes combina¸c˜oes de valores para as vari´aveis xi,t−1e xi,taplicadas ao conjunto

de restri¸cões 3.2 não condicionam a região das solu¸cões admiss´ıveis, como tal garante a admissibilidade do conjunto de restri¸cões referentes à non-preemption.

↑

t T

i x x x x x duri− 1

Figura 3.2. Representa¸c˜ao gr´afica da non-preemption em cada subrotina.

A figura 3.2 clarifica a no¸cão de non-preemption numa determinada subrotina.Tal como pode ser observado, este conjunto de restri¸cões garante a não interrup¸cão da subrotina, obrigando a que, assim que esta seja iniciada tenha de ser executada de modo ininterrupto até à sua conclusão.

O conjunto de restri¸cões (3.3), refor¸ca o conceito de non-preemption e garante que a subrotina i é executada na sua totalidade, visto que assim que xi,t= 1, a subrotina i será

executada nos seguintes duri instantes temporais. Logo,

t∈T

xi,t= duri, ∀ i ∈ S (3.3)

Assim, obtém-se o conjunto de restri¸cões que garante a prosecu¸cão de uma subrotina na sua totalidade, para todas as subrotinas pertencentes ao planeamento. De igual forma,

3.1 - MODELO DA VARI ´AVEL NATURAL

garante-se um dos requisitos pré-estabelecidos, a execu¸cão de uma tarefa uma única vez. Sabendo que existem tarefas que são constitu´ıdas por várias subrotinas, é necessário garantir que estas sejam executadas seguindo uma ordem definida e que não haja intervalos de inoperabilidade entre elas. Deste modo, os conjuntos de restri¸cões (3.4) e (3.5), em simultâneo, garantem a precedência em continuidade das subrotinas de uma mesma tarefa. Uma vez que existe uma rela¸cão espec´ıfica entre as subrotinas sujeitas a estes conjuntos de restri¸cões, é definido um subconjunto S′_{, de modo que S}′ _{= {∀ i ∈ {1, . . . ,}_NSub_{− 1} :} Tarefai=Tarefai+1}.

xi+1,t≤ xi,t−1+ xi+1,t−1, ∀ i ∈ S′, t ∈ {duri+1, . . . , T−duri+1+ 1} (3.4)

xi,t+ xi+1,t ≤ 1, ∀ i ∈ S′t ∈ T (3.5) x x x x x x x subrotinai+ 1 subrotinai ↑ t duri

Figura 3.3. Representa¸cão gráfica da precedência em continuidade entre subrotinas da mesma tarefa comduri= 3.

A figura 3.3 é demonstrativa do que se pretende alcan¸car com ambos os conjuntos de restri¸cões. Pretende-se evidenciar a necessidade de garantir que, no intervalo de tempo compreendido entre t e t +duri+ 1, a subrotina i + 1 é iniciada no instante imediatamente

seguinte `a consecu¸c˜ao da subrotina i, ou seja, no instanteduri+ 1.

Assim sendo, tem-se xi+1,t−1 = 0

xi+1,t= 1

}⇒ xi,t−1= 1, ,logo, tem-se o conjunto de restri¸c˜oes (3.4)

Ao invés, considerando a figura 3.4 verifica-se a existência de um intervalo de tempo de inactividade entre as tarefas. O conjunto de restri¸cões (3.4) garante que tal não aconte¸ca,

x x x x x x x subrotinai+ 1 subrotinai ↑ t duri

Figura 3.4. Representa¸cão gráfica da inexistência de precedência em continuidade entre subrotinas da mesma tarefa comduri= 3.

ou seja, considerando xi+1,t≤ xi,t−1+ xi+1,t−1, tem-se,

xi+1,t= 0

xi+1,t+1= 1

xi,t= 0

}⇒ 1 ≤ 0

Deste modo, o conjunto de restri¸cões (3.4) não permite que ocorra a situa¸cão exibida pela figura 3.4, pelo que garante a admissibilidade do problema.

Já o conjunto de restri¸cões (3.5) impede que no instante t haja sobreposi¸cão da consecu¸cão da subrotina i e da subrotina i + 1. Ou seja, a interseçcão dos conjuntos de restri¸cões (3.4) e (3.5) garantem a precedência em continuidade das subrotinas em análise. Consegue-se assim cumprir a pretensão de que uma tarefa não é interrompida a partir do instante em que se inicia, recorrendo à precedência em continuidade entre subrotinas de uma mesma tarefa e à non-preemption de cada subrotina.

O conjunto de restri¸cões (3.6) gere os recursos necessários à execu¸cão das subrotinas. À medida que as subrotinas vão sendo escalados este conjunto de restri¸cões gere o consumo de recursos. Assim,

i∈ S

xi,t∗ rrj,i≤ Recj, ∀ t ∈ T , j ∈ R (3.6)

Falta analisar um último requisito, e consequentemente modelar, a incompatibilidade entre tarefas. A incompatibilidade entre tarefas surge da necessidade de garantir o princ´ıpio da redundância. Assim, é necessário modelar um conjunto de restri¸cões que afi- ance que duas tarefas incompat´ıveis não poderão ser executadas em intervalos de tempo sobrepostos. Uma vez que os conjuntos de restri¸cões (3.2) e (3.4) garantem a execu¸cão em intervalos consecutivos de uma tarefa, importa, para o caso das incompatibilidades,

3.1 - MODELO DA VARI ´AVEL NATURAL

afian¸car que num determinado instante temporal t, as subrotinas i1 e i2, pertencentes,

respectivamente, a tarefas incompat´ıveis, não estejam a ser realizadas em simultâneo. As- sim, surge o conjunto de restri¸cões (3.7), com as subrotinas a pertencerem ao subconjunto S′′_{= {∀ i}

1, i2 ∈ S :Tarefai1 6=Tarefai2∧ I(Tarefai1,Tarefai2) = 1}.

xi1,t+ xi2,t≤ 1, ∀ t ∈ T , i1, i2 ∈ S

′′ _(3.7)

A figura 3.5 refor¸ca o conceito de incompatibilidade, evidenciando a não obrigatoriedade de ordem pela qual as tarefas são executadas e o facto de não ser exig´ıvel que a segunda tarefa seja realizada no instante imediatamente seguinte à conclusão da primeira.

x x x x x x x x x Tarefai1 Tarefai2

Figura 3.5. Representa¸c˜ao gr´afica da incompatibilidade entre tarefas.

O conjunto de restri¸cões (3.7) inibe que haja sobreposi¸cão temporal. Desta forma garante-se a admissibilidade do conjunto de restri¸cões (3.7).

Desta forma, garante-se que os conjuntos de restri¸c˜oes que constituem o modelo da vari´avel natural garantem os requisitos estabelecidos, logo garantem a admissibilidade.

Em suma, a modela¸cão do problema, tendo por base a variável natural, é expressa do seguinte modo: M in f = X i∈S(1) X i∈T t∗ xi,t s.a. t+duri−1 X l=t+1

xi,l≥ [xi,t− xi,t−1] ∗ [duri− 1] , ∀i ∈ S, t ∈ {1, . . . , T −duri}

t∈T

xi,t= duri, ∀ i ∈ S

xi+1,t≤ xi,t−1+ xi+1,t−1, ∀ i ∈ S′, t ∈ {duri+1, . . . , T−duri+1+ 1}

xi,t+ xi+1,t≤ 1, ∀ i ∈ S′t ∈ T

i∈ S

xi,t∗ rj,i≤ Recj, ∀ t ∈ T , j ∈ R

xi1,t+ xi2,t≤ 1, ∀ t ∈ T , i1, i2 ∈ S

′′

3.2 - MODELAÇ ÃO DA VARI ÁVEL INÍCIO

No documento Gestão integrada de sistemas de manutenção (páginas 43-55)