Uma outra abordagem do mesmo problema pode ser feita com uma configura¸c˜ao di- ferente das vari´aveis. No modelo das vari´aveis naturais, xi,t representa a realiza¸c˜ao de
uma subrotina i, num instante temporal t. Nesse modelo a informa¸c˜ao existente sobre o estado de uma subrotina ´e diminuta, somente se tem conhecimento da sua realiza¸c˜ao no instante temporal t, desconhecendo-se a sua evolu¸c˜ao ao longo do tempo. Torna-se, assim, interessante desenvolver uma formula¸c˜ao onde a vari´avel em quest˜ao, ou forne¸ca mais informa¸c˜ao, ou permita com uma vari´avel disponibilizar a informa¸c˜ao necess´aria para concretizar uma subrotina e consequentemente uma tarefa. Nesta formula¸c˜ao pretende-se alcan¸car a segunda hip´otese, recorrendo a uma vari´avel que disponibilize a informa¸c˜ao necess´aria para a concretiza¸c˜ao da subrotina. Assim, a vari´avel representar´a o in´ıcio de uma subrotina i num instante temporal t, que associada aos dados disponibilizados im- plicitamente, permita o modelo ter mais informa¸c˜ao. Assim, ´e concebido um novo modelo, o modelo da vari´avel in´ıcio, onde a vari´avel in´ıcio ´e denotada por si,t e representa o
instante temporal t em que a subrotina i ´e iniciada. `
A imagem do modelo das vari´aveis naturais, tamb´em neste modelo as vari´aveis in´ıcio s˜ao concretizadas recorrendo a um vector de vari´aveis bin´arias, si,t= {0, 1}.
si,t=
(
1, se a subrotina i tem in´ıcio no instante t 0, c.c.
Uma das vantagens que faz este modelo destacar-se perante o modelo da vari´avel natural, prende-se com o facto de ser necess´ario utilizar menos vari´aveis para definir o mesmo planeamento, ou seja, recorrendo `a vari´avel in´ıcio si,t, o modelo ´e capaz de fornecer um
escalonamento admiss´ıvel utilizando uma vari´avel por cada subrotina. J´a no modelo das vari´aveis naturais s˜ao necess´ariasduri vari´aveis xi,t.
↓8
subrotina 6 x
dur6
Figura 3.6. Representa¸c˜ao gr´afica da vari´avel inicial s com s6,8 = 1, s6,9 = 0, s6,10 = 0, s6,11 = 0,
s6,12= 0, s6,13= 0 edur6= 5.
Tal como ´e evidenciado pela figura 3.6, o conceito deste modelo ´e bem diferente. Neste caso, somente a vari´avel s6,8 com valor 1 define toda a subrotina, tornando o modelo
e o processamento de informa¸c˜ao mais leve, possibilitando tempos computacionais mais reduzidos. Contudo, neste modelo a vari´avel in´ıcio n˜ao fornece indica¸c˜ao sobre o estado da subrotina, quer no que diz respeito ao n´umero de subrotinas de uma tarefa que foram executadas, quer sobre o estado de execu¸c˜ao da pr´opria subrotina, se esta est´a prestes a ser conclu´ıda ou n˜ao. No entanto, a mais valia de se ter somente uma vari´avel que toma o valor de 1 por cada subrotina, faz com que esta formula¸c˜ao seja por si s´o interessante. As regras e imposi¸c˜oes ao modelo continuam a ser as mesmas que foram consideradas para o modelo das vari´aveis naturais e que est˜ao vertidas no cap´ıtulo 2.
Em suma, este modelo ´e semelhante ao modelo das vari´aveis naturais, com a diferen¸ca de se conseguir caracterizar o problema em an´alise recorrendo somente a uma vari´avel por cada subrotina.
Assim, recorrendo `a fun¸c˜ao objectivo (3.8) e `a imagem do que foi concebido no modelo das vari´aveis naturais, pretende-se minimizar a soma dos instantes temporais em que as primeiras subrotinas de cada tarefa s˜ao executadas.
M inf: f = X i∈S(1) X t∈T 2 ∗ t +duri+ 1 2 ∗duri∗ si,t (3.8)
Neste caso, motivado pelas caracter´ısticas da vari´avel in´ıcio, a fun¸c˜ao objectivo ´e com- posta pela soma da progress˜ao aritm´etica dos instantes temporais em que s˜ao executadas as primeiras subrotinas de cada tarefa.
`
A imagem do modelo da vari´avel natural, em que se garante que uma tarefa ´e execu- tada somente uma ´unica vez, tamb´em no modelo da vari´avel inic´ıo ´e considerado o facto de as tarefas serem realizadas uma s´o vez. Surge, assim, a necessidade de implementar o conjunto de restri¸c˜oes (3.9).
T−duri+1
X
t=1
si,t= 1, ∀ i ∈ S (3.9)
Este conjunto de restri¸c˜oes reflecte a obrigatoriedade de execu¸c˜ao de todas as sub- rotinas e consequentemente de todas as tarefas, com a particularidade de s´o poderem ser executadas uma ´unica vez. Embora a subrotina i tenha uma dura¸c˜ao deduri, somente si,t
toma o valor de 1 no intervalo temporal compreendido entre t e t +duri− 1, tal como ´e
evidenciado pela figura (3.7). Deste modo ´e garantida a unicidade de execu¸c˜ao das tarefas constantes no planeamento, desde que haja um si,t = 1, ∀i ∈ S e consequentemente ´e
3.2 - MODELAC¸ ˜AO DA VARI ´AVEL IN´ICIO
↓t
subrotina i x duri
Figura 3.7. Representa¸c˜ao gr´afica do conjunto de restri¸c˜oes (3.9) com si,t= 1, si,t+1= 0, si,t+2= 0 e
duri= 3.
garantida a admissibilidade deste conjunto de restri¸c˜oes.
O conjunto das restri¸c˜oes (3.10) garante a existˆencia da precedˆencia em continuidade. Mais uma vez, tal como ´e vertido na modela¸c˜ao da vari´avel natural, para subrotinas pertencentes `a mesma tarefa e que devam ser executadas sequencialmente, ´e garantida a execu¸c˜ao em continuidade, com a subrotina i+1 a ser realizada no instante imediatamente seguinte `a conclus˜ao da subrotina i. Uma vez que existe uma rela¸c˜ao espec´ıfica entre as subrotinas sujeitas a estes conjuntos de restri¸c˜oes, ´e definido um subconjunto S′, de modo
que S′= {∀ i ∈ {1 . . .NSub− 1} :Tarefa
i =Tarefai+1}.
si+1,t= si,t−duri, ∀ i ∈ S
′, t ∈ {dur
i+ 1, . . . , T −duri+1+ 1} (3.10)
Ou seja, para subrotinas que satisfa¸cam a condi¸c˜aoTarefai=Tarefai+1, a subrotina i + 1
´e executada no instante temporal t.
x x subrotina i+1 subrotina i ↑ t duri+ 1
Figura 3.8. Representa¸c˜ao gr´afica da precedˆencia em continuidade entre subrotinas da mesma tarefa comduri= 3.
das vari´aveis iniciais, onde si,t−duri = 1 e si+1,t = 1, comduri como sendo a dura¸c˜ao da
subrotina i.
Dada as caracter´ısticas da vari´avel in´ıcio, este modelo n˜ao necessita de um conjunto de restri¸c˜oes que defina a non-preemption. O facto de a vari´avel se cingir ao instante inicial, a non-preemption ´e obtida de forma implic´ıta com base na informa¸c˜ao sobre a dura¸c˜ao de cada subrotinas. Este aspecto poder´a ser constatado, recorrendo `a an´alise da figura referente a unicidade da sub-rotina (3.7). Desta forma, obt´em-se um conjunto de restri¸c˜oes de menor dimens˜ao. Este aspecto ser´a discutido mais adiante quando se proceder `a com- para¸c˜ao de modelos.
Para a gest˜ao dos recursos humanos, surge o conjunto de restri¸c˜oes (3.11), o qual se assemelha ao aplicado no modelo da vari´avel natural.
X
i∈S
min(t,T −duri+1)
X
l=max(1,t−T +duri+1)
si,l∗ rrj,i≤Recj, ∀ t ∈ T , j ∈ J (3.11)
Desta forma, o conjunto de restri¸c˜oes (3.11) assenta, igualmente, em duas matrizes refe- rentes ao consumo e `a disponibilidade dos recursos.
No que concerne `as limita¸c˜oes impostas atrav´es das incompatibilidades, mais uma vez se recorre a necessidade de garantir que uma subrotina de uma determinada tarefa n˜ao ´e executada em simultˆaneo, ou parcialmente, com uma outra de uma tarefa incompat´ıvel. `A semelhan¸ca da condi¸c˜ao imposta no modelo da vari´avel natural, neste modelo tamb´em ´e im- perativo verificar a condi¸c˜ao do tipo, I(Tarefai1,Tarefai2) = 1, com Tarefai1 6=Tarefai2, ou
seja, garantir que as subrotinas perten¸cam ao subconjunto S′′= {∀ i
1, i2 ∈ S :Tarefai1 6=
Tarefai2∧ I(Tarefai1,Tarefai2) = 1}. Deste modo, as subrotinas i1e i2pertencem a tarefas
diferentes e incompat´ıveis. min(t,T −duri1+1) X l=max(1,t−duri1+1) si1,l+ min(t,T −duri2+1) X l=max(1,t−duri2+1) si2,l ≤ 1, ∀ i1, i2 ∈ S ′′, t ∈ T (3.12)
O conjunto de restri¸c˜oes (3.12) evidencia o facto, de duas subrotinas de tarefas diferen- tes e incompat´ıveis n˜ao poderem ser executadas em simultˆaneo. Ou seja, sabendo que, para manter a admissibilidade as subrotinas de uma tarefa s˜ao executadas em continuidade, se uma subrotina i de uma tarefa est´a a ser executada num intervalo de duri instantes
3.2 - MODELAC¸ ˜AO DA VARI ´AVEL IN´ICIO
temporais, as subrotinas da tarefa incompat´ıvel s´o poder˜ao ser executadas ap´os a conclus˜ao da ´ultima subrotina daTarefai. Observe-se que, caso a tarefa associada `a subrotina i2esteja
a ser executada,
min(t,T −dur[i1+1)
X l=max(1,t−duri2+1) si2,l≤ 1 ⇒ min(t,T −duri2+1) X l=max(1,t−duri1+1) si1,l = 0 x x x x x x tarefa j tarefa j+1
Figura 3.9. Representa¸c˜ao gr´afica da incompatibilidade entre tarefas.
A figura 3.9 refor¸ca o conceito de incompatibilidade definido no cap´ıtulo 2, com as tarefas a serem executadas em per´ıodos temporais distintos e n˜ao sobrepostos.
Em suma, os conjuntos de restri¸c˜oes (3.9), (3.10), (3.11) e (3.12) definem a regi˜ao das solu¸c˜oes admiss´ıveis do modelo da vari´avel in´ıcio.
Tal como foi apresentado na sec¸c˜ao anterior, seguidamente exibe-se a modela¸c˜ao da vari´avel in´ıcio. M in f = X i∈S(1) X t∈T 2 ∗ t +duri+ 1 2 ∗duri∗ si,t s.a. T−duri+1 X t=1 si,t= 1, ∀ i ∈ S
si+1,t= si,t−duri, ∀ i ∈ S
′, t ∈ {dur i+ 1, . . . , T −duri+1+ 1} X i∈S min(t,T −duri+1) X l=max(1,t−duri+1)
si,l∗ rj,i≤Recj, ∀ t ∈ T , j ∈ J
min(t,T −duri1+1) X l=max(1,t−duri1+1) si1,l+ min(t,T −duri2+1) X l=max(1,t−duri2+1) si2,l≤ 1, ∀ i1, i2 ∈ S ′′, t ∈ T si,t ∈ {0, 1}, ∀ i ∈ S, t ∈ T
3.3 - MODELAC¸ ˜AO DA VARI ´AVEL POSICIONAMENTO