Modela¸c˜ ao da Vari´avel Posicionamento - Gestão integrada de sistemas de manutenção

Após a modela¸cão em dois espa¸cos de variáveis de decisão diferentes, surge agora uma terceira modela¸cão para a resolu¸cão do problema apresentado. Enquanto que numa fase inicial optou-se por representar a execu¸cão da açcão de manuten¸cão no instante em que está a ser realizada, com a cria¸cão da variável xi,t, numa segunda fase optou por representar

somente o in´ıcio da execu¸cão da subrotina através da variável si,t, contudo é ponderada

mais uma forma de representar este problema, recorrendo a uma vari´avel zi,t,p. Esta

variável, em tudo semelhante à primeira, xi,t, tem a particularidade de facultar informa¸cão

sobre o posicionamento temporal relativo de cada subrotina, com o ´ındice p referente à posi¸cão temporal relativa de cada subrotina. Ou seja, considerando uma subrotina i com uma dura¸cão duri, ter-se-á duri variáveis respeitantes à subrotina i nos seus sucessivos

espa¸cos temporais. Este conceito ´e exemplicado com a figura 3.10.

↓3

subrotina 4 x x x x x

dur4

Figura 3.10. Representa¸cão gráfica da variável posicionamento s com z4,3,1= 1, z4,4,2= 1, z4,5,3= 1,

z4,6,4= 1, z4,7,5= 1, z4,8,6= 0 edur4= 5.

Tal como é exibido na figura 3.10, a variável z dá informa¸cão sobre o estado da subrotina. Com uma única variável é poss´ıvel saber o que já foi executado, uma vez que a variável reporta um estado referente a um instante temporal e a sua respectiva posi¸cão dentro da subrotina.

Obtém-se, assim, o modelo da variável de posicionamento, onde a variável de posicionamento é denotada por zi,t,p, com i sendo a subrotina em análise, t o instante tem-

poral em que é executada e p a posi¸cão relativa dentro da própria subrotina. Neste caso, também as variáveis de posicionamento são concretizadas recorrendo a um vector de variáveis binárias, zi,t,p= {0, 1}.

zi,t,p=     

1, se a subrotina i est´a a ser executada no instante t, na posi¸c˜ao relativa p

Este modelo tem a particularidade de limitar, desde logo, as variáveis em que o instante temporal seja inferior à posi¸cão relativa da execu¸cão da subrotina, ou seja, não é poss´ıvel a execu¸cão no instante temporal 3 da posi¸cão relativa 6 de uma determinada subrotina. Neste modelo a variável de decisão zi,t,p fornece mais informa¸cão que as restantes, sendo

uma das vantagens perante os restantes modelos, existindo uma minimiza¸cão das variáveis sujeitas à optimiza¸cão do modelo.

A imagem do que sucede no modelo da variável natural, são necessáriasduriparcelas para

concretizar uma subrotina, assim a fun¸cão objectivo (3.13) é minimizada considerando todas as primeiras subrotinas de todas as tarefas, em todo o espa¸co temporal, limitada porduri posi¸cões relativas.

M in f : f = X i∈S(1) duri X p=1 T−duri+p X t=p t∗ zi,t,p (3.13)

Tal como sucede no modelo da variável natural, tenciona-se minimizar os tempos de execu¸cão das açcões de manuten¸cão, considerando, para isso, todos os primeiros instantes das subrotinas de cada tarefa que está a ser executada.

Um dos requisitos estabelecidos inicialmente garante que uma tarefa não é interrom- pida assim que esta é iniciada. Como tal, é necessário afian¸car que não existem, nem interrup¸cões na execu¸cão das subrotinas, nem interrup¸cões entre essas mesmas subrotinas. Da primeira condi¸cão surge a non-preemption, condi¸cão aplicada à execu¸cão da subrotina e consubstanciada pelo conjunto de restri¸cões (3.14).

zi,t,p= zi,t+1,p+1, ∀ i ∈ S, p ∈ {1, . . . ,duri− 1}, t ∈ {p . . . T −duri+ p} (3.14)

Este conjunto de restri¸cões, e tal como é exibido na figura (3.11), permite que, assim que existir a variável zi,t,p toma o valor 1, todas as restantes variáveis tomam o mesmo valor

num intervalo de tempo compreendido entre t + 1 e t +duri− 1. Desta forma, enaltece-se

uma das caracter´ısticas desta variável de posicionamento, a existência de informa¸cão sobre o estado de execu¸cão da açcão de manuten¸cão. É esta particularidade que fortalece esta variável de decisão perante as restantes, nomeadamente perante a variável de decisão xi,t.

Deste modo, este conjunto de restri¸c˜oes garante que,

3.3 - MODELAÇ ÃO DA VARI ÁVEL POSICIONAMENTO

↑

t ↑p+1 T

i x x x x x duri− 1

Figura 3.11. Representa¸c˜ao gr´afica da non-preemption em cada subrotina.

Trata-se de um conjunto de restri¸cões que relaciona duas variáveis em instantes temporais sucessivos, limitados pela dura¸cão da subrotina.

Da segunda condi¸cão, surge a precedência em continuidade de subrotinas de uma mesma tarefa. Mais uma vez o conjunto de restri¸cões inerentes a esta condi¸cão é bastante simples, basta garantir que uma subrotina i + 1, tem in´ıcio no instante imediatamente seguinte ao instante final da subrotina i, com a condi¸cão que ambas as subrotinas pertencem à mesma tarefa. É assim definido, um subconjunto S′_{, de modo que S}′_{= {∀ i ∈ {1, . . . ,}_NSub_{− 1} :} Tarefai =Tarefai+1}. Deste modo, o conjunto de restri¸cões (3.15), garante a necessidade

da subrotina i iniciar no instante seguinte `a conclus˜ao da subrotina i − 1. zi,t,1= zi−1,t−1,duri−1, ∀ i ∈ S

′_{, t}_{∈ T} _(3.15)

A figura (3.12) representa de forma clarividente, a ideia subjacente do conjunto de restri- ¸c˜oes (3.15). x x x x x x x subrotinai subrotinai −1 ↑ t p=1 duri−1

Figura 3.12. Representa¸cão gráfica da precedência em continuidade entre subrotinas da mesma tarefa comduri−1= 3 eduri= 4.

Trata-se, mais uma vez, de um conjunto de restri¸cões relativamente simples de liga¸cão entre instantes temporais distintos de duas subrotinas pertencentes à mesma tarefa, sendo a precedência em continuidade garantida pelas variáveis correspondentes aos instantes re-

lativos à última posi¸cão temporal da subrotina i − 1 e à primeira da subrotina i.

Sendo necessário garantir a unicidade da subrotina, é necessário definir um conjunto de restri¸cões que concretize este requisito.

T−duri+p

t=p

zi,t,p= 1, ∀ i ∈ S, p ∈ {1 . . .duri} (3.16)

Dada a caracter´ıstica da vari´avel zi,t,po conjunto de restri¸c˜oes (3.16) garante que em cada

posi¸cão p a subrotina é executada uma única vez. Assim, é garantida a admissibilidade desta restri¸cão, uma vez que não é permitida a ocorrência de mais do que um posi¸cão p em cada instante temporal. Assim, tem-se

T−duri+p X t=p zi,t,p= 0 + 0 + 1 + . . . + 0 + 0 | {z } T−duri+ p − p + 1 parcelas = 1, ∀ i ∈ S, p ∈ {1 . . .duri}

Este conjunto de restri¸cões conjugado com o conjunto de restri¸cões (3.14), referente à non-preemption, garante que as variáveis de decisão valorizadas são consecutivas e num total deduri parcelas. Desta forma, é cumulativamente garantida a unicidade de execu¸cão

de uma subrotina num determinado instante temporal e a sua execu¸cão na totalidade. Tal como já foi referido no cap´ıtulo 2, o grande esfor¸co computacional surge com a inclusão de conjuntos de restri¸cões respeitantes aos recursos limitados. Tal como sucedeu para os modelos da variável natural e da variável in´ıcio, ao conjunto de restri¸cões (3.17) é solicitado a gestão de duas matrizes referentes aos recursos a utilizar para cada subrotina,

rrj,i, e aos recursos dispon´ıveis,Recj.

i∈S

min(t,duri)

p=max(1,t−T +duri)

zi,t,p∗ rrj,i≤ Recj, ∀ t ∈ T , j ∈ J (3.17)

Tal como sucede com os restantes modelos existe um determinado número de tarefas incompat´ıveis, que necessitam de um conjunto de restri¸cões capaz de afian¸car os requisitos estabelecidos no cap´ıtulo 2. À semelhan¸ca da condi¸cão imposta no modelo da variável natural e da variável in´ıcio, neste modelo também é imperativo verificar a condi¸cão do tipo, I(Tarefai1,Tarefai2) = 1, comTarefai1 6=Tarefai2, ou seja, subrotinas que perten¸cam

3.3 - MODELAÇ ÃO DA VARI ÁVEL POSICIONAMENTO

ao subconjunto S′′_{= {∀ i}

1, i2 ∈ S :Tarefai1 6=Tarefai2∧ I(Tarefai1,Tarefai2) = 1}.

min(t,duri1) X p1=max(1,t−T +duri1) zi1,t,p1+ min(t,duri2) X p2=max(1,t−T +duri2) zi2,t,p2 ≤ 1, ∀ i1, i2 ∈ S ′′_{, t} _{∈ T} (3.18) O conjunto de restri¸cões (3.18) garante a inexistência de tarefas incompat´ıveis nos mes- mos instantes temporais, visto caso seja a tarefa associada à subrotina i2a que está a ser

realizada, ent˜ao tem-se

min(t,dur_i2) X p2=max(1,t−T +dur_i2) zi2,t,p2≤ 1 ⇒ min(t,dur_i1) X p1=max(1,t−T +dur_i1) zi1,t,p1 = 0

O mesmo sucede quando se invertem as tarefas, passando a ser a tarefa associada `a subrotina i1 a que est´a a ser executada.

x x x x x x x x x Tarefai1 Tarefai2

Seguindo a estrutura apresentada nas seçcões anteriores, pretende-se, neste caso, re- sumir a modela¸cão da variável posicionamento.

M in f = X i∈S(1) duri X p=1 T−duri+p X t=p t∗ zi,t,p s.a.

zi,t,p= zi,t+1,p+1, ∀ i ∈ S, p ∈ {1 . . .duri− 1}, t ∈ {p . . . T −duri+ p}

zi,t,1= zi−1,t−1,duri−1, ∀ i ∈ S

′_{, t}_{∈ T} T−duri+p X t=p zi,t,p= 1, ∀ i ∈ S, p ∈ {1 . . .duri} X i∈S min(t,duri) X p=max(1,t−T +duri)

zi,t,p∗ rrj,i≤ Recj, ∀ t ∈ T , j ∈ J

min(t,dur_i1) X p1=max(1,t−T +dur_i1) zi1,t,p1+ min(t,dur_i2) X p2=max(1,t−T +dur_i2) zi2,t,p2 ≤ 1, ∀ i1, i2 ∈ S ′′_{, t} _{∈ T} zi,t,p ∈ {0, 1}, ∀ i ∈ S, t ∈ T , p ∈ {1 . . .duri}

Cap´ıtulo 4

Compara¸c˜oes entre Modelos

Tendo em considera¸cão os resultados obtidos, surge o interesse em analisar, comparar e compreender as especificidades dos modelos em questão. Os resultados constantes da tabela 4.1 são um exemplo claro do que, em regra, sucede nas restantes instâncias ana- lisadas e que constam na tabela 5.1. Ao observar os valores óptimos da relaxa¸cão linear de cada modelo, constata-se que os valores associados aos modelos da variável in´ıcio e da variável posicionamento são iguais. Já os valores óptimos da relaxa¸cão linear do modelo da variável natural situa-se abaixo dos anteriores. Este facto induz uma melhor caracteriza- ¸cão poliédrica por parte dos modelos das variáveis in´ıcio e posicionamento. Por outro lado, a obten¸cão de valores da relaxa¸cão linear mais elevados, permite, em teoria, melhorias nos tempos computacionais para obten¸cão do valor óptimo do problema.

Tal constata¸cão, evidencia que a região admiss´ıvel, quer do modelo da variável in´ıcio, quer

Nr. Nr. Valor Tempo Gap L.P. Valor Tempo T Modelo Vari´aveis Restri¸c˜oes R.L. R.L.(s) (%) Optima´ (s)

x 1046 3270 44,815 0,3 73,79 171 214,11 40 s 1103 1618 100,986 0,1 40,94 171 0,08

z 1634 3309 100,986 0,1 40,94 171 0,16 Tabela 4.1. Resultados dos modelos com a instˆancia I − 8 − 30 − 4.

do modelo da variável posicionamento, poderá oferecer uma melhor descri¸cão poliédrica do problema. Esta informa¸cão permite introduzir melhorias no modelo original, de modo a aproximar o conjunto das solu¸cões admiss´ıveis da relaxa¸cão linear do respectivo modelo ao pol´ıtopo associado ao problema.

Posto isto, pode-se afirmar que a análise e compara¸cão dos modelos são um aspecto impor- tante para a sua aprecia¸cão qualitativa, sobretudo quando os espa¸cos onde se encontram definidas as regiões de solu¸cões admiss´ıveis dos dois modelos sujeitos a compara¸cão são distintos.

O processo de compara¸cões entre os modelos depende das respectivas caracter´ısticas. Deste modo, surgem duas situa¸cões distintas. Numa primeira análise, constata-se que os modelos das variáveis in´ıcio e posicionamento são equivalentes∗_{. Assim, pretende-se demonstrar}

que as regi˜oes admiss´ıveis de ambos os modelos coincidem, reduzindo as vari´aveis zi,t,p a

zi,t,1, e posteriormente provando que a formula¸cão matemática do modelo da variável in´ıcio

é igual à do modelo da variável posicionamento reduzida.

Seguidamente, tal como já tinha sido observado, estes modelos têm uma descri¸cão poliédrica melhor do que o modelo da variável natural. Uma vez que se demonstra, que os modelos das variáveis in´ıcio e posicionamento são equivalentes, é efectuada a compara¸cão, somente, entre o modelo da variável natural com o modelo da variável in´ıcio†_{. Deste modo, a dis-}

tin¸cão dos espa¸cos leva a que a técnica aqui utilizada, tenha como objectivo criar um espa¸co composto, proveniente do produto cartesiano dos dois espa¸cos em análise. Este espa¸co composto é, então, um plano intermédio entre os espa¸cos das variáveis natural e in´ıcio. Ou seja, na realidade, pretende-se comparar o modelo da variável in´ıcio com o modelo da variável natural e respectivos valores óptimos, recorrendo a um espa¸co composto. Em teoria esta compara¸cão dos modelos permite induzir no modelo original informa¸cão que melhore o seu desempenho, nomeadamente na obten¸cão de valores da relaxa¸cão linear mais elevados. Contudo, a dedu¸cão desta informa¸cão não é fácil, uma vez que é necessário identificar desigualdades válidas que permitam a diminui¸cão da região das solu¸cões admiss´ıveis. Na seçcão 4.2, é demonstrado que existe um conjunto de solu¸cões admiss´ıveis no espa¸co da variável original que conduz aos tais valores da relaxa¸cão linear mais elevados, no entanto, dada a complexidade da sua obten¸cão e o âmbito deste trabalho, tais desigualdades não são obtidas.

∗_{Entende-se como modelos equivalentes, os modelos cujo valor ´}_{optimo da relaxa¸c˜}_{ao linear sejam iguais.} †_{Optou-se por utilizar o modelo da vari´}_{avel in´ıcio para a compara¸c˜}_{ao com o modelo da vari´}_{avel natural,}

4.1 - MODELOS DESAGREGADOS

4.1 - Modelos Desagregados

Na introdu¸cão deste cap´ıtulo, constatou-se que os valores das relaxa¸cões lineares dos modelos das variáveis in´ıcio e posicionamento são iguais. Este facto leva a considerar que as regiões das solu¸cões admiss´ıveis das relaxa¸cões lineares de ambos os modelos são equivalentes.

Observe-se os resultados constantes nas tabelas 4.2 e 4.3. Cada tabela corresponde aos valores obtidos pelos dois modelos em análise, tendo como base duas instâncias distintas. Comparando os tempos computacionais obtidos com os dois modelos, constata-se que no primeiro caso, o tempo computacional consumido pelo modelo da variável posicionamento é menor do que o consumido pelo modelo da variável in´ıcio. Contudo, constata-se o oposto na tabela 4.3.

Estes dois exemplos s˜ao uma imagem do que sucede com as restantes instˆancias testadas.

Nr. Nr. Valor Tempo Gap L.P. Valor Tempo Modelo Vari´aveis Restri¸c˜oes R.L. R.L.(s) (%) Optima´ (s)

s 3003 11453 330,498 1,6 41,71 567 3,92 z 7158 18228 330,498 1,8 41,71 567 5,67 Tabela 4.2. Resultados dos modelos in´ıcio e posicionamento com a instˆancia I − 12 − 40 − 7, com T= 80.

Ou seja, não tendo sido identificadas quaisquer correla¸cões entre esta constata¸cão e as caracter´ısticas das instâncias, por vezes com o modelo da variável in´ıcio obtêm-se valores óptimos com menor consumo computacional do que os obtidos pelo modelo da variável posicionamento, e vice-versa.

Nr. Nr. Valor Tempo Gap L.P. Valor Tempo Modelo Vari´aveis Restri¸c˜oes R.L. R.L.(s) (%) Optima´ (s)

s 4669 16789 257,149 2,4 45,05 468 2016,92 z 8798 24951 257,149 2,0 45,05 468 586,14 Tabela 4.3. Resultados dos modelos in´ıcio e posicionamento com a instˆancia I − 10 − 55 − 8, com T= 90.

Na realidade, e sabendo que as modela¸cões desagregadas assentam em conceitos diferentes, é poss´ıvel estabelecer um paralelismo forte entre ambos os modelos, sendo poss´ıvel obter a mesma informa¸cão, recorrendo, quer a um, quer a outro.

demonstrar que a região das solu¸cões admiss´ıveis do modelo da variável in´ıcio é equiva- lente à região das solu¸cões admiss´ıveis do modelo da variável posicionamento, tal como é exemplificado na figura 4.1.

A estratégia adoptada para esta demonstra¸cão assenta na prova de que os conjuntos de restri¸cões homólogos de ambos os modelos são equivalentes. Dada a natureza dos modelos, constata-se que estes estão definidos em espa¸cos distintos, logo, é necessário garantir a coerência entre as variáveis in´ıcio e posicionamento.

Considere-se uma subrotina i que ´e iniciada no instante temporal t (i.e., si,t = 1). No

modelo da variável posicionamento esse mesmo instante t, corresponde à primeira posi¸cão de execu¸cão, logo p = 1. Deste modo, tem-se

si,t = zi,t,1, ∀ i ∈ S, t ∈ T (4.1)

Assim, a coerência entre as variáveis é assegurada por este conjunto de restri¸cões, per- mitindo a verifica¸cão das condi¸cões necessárias para provar a similitude das regiões polié- dricas.

Conjunto das solu¸c˜oes admiss´ıveis

do modelo z

Conjunto das solu¸c˜oes admiss´ıveis do modelo s

si,t= zi,t,1

Figura 4.1. Equivalência entre as regiões das solu¸cões admiss´ıveis de ambos os modelos.

Para as demonstra¸cões das teses que se seguem, são utilizados sempre dois princ´ıpios fundamentais para a sustenta¸cão da equivalência entre regiões. O primeiro princ´ıpio assenta nas restri¸cões de liga¸cão que permitem a conversão de uma variável de um espa¸co para o outro e vice-versa. O segundo princ´ıpio advém do primeiro. Uma vez que, a restri- ¸cão de liga¸cão correlaciona a variável si,tcom a variável zi,t,1, importa expressar o modelo

da variável posicionamento nessa variável. Para tal, é necessário reduzir a variável zi,t,p à

4.1 - MODELOS DESAGREGADOS

zi,t,1= zi,t+1,2= zi,t+2,3= . . . = zi,t+p−2,p−1= zi,t+p−1,p⇒

⇒ zi,t,p= zi,t−p+1,1, ∀ i ∈ S, p ∈ {1, . . . ,duri− 1}, t ∈ {p, . . . , T −duri+ p} (4.2)

Identificados os princ´ıpios, são agora efectuadas as demonstra¸cões necessárias para deter- minar a equivalência entre os modelos desagregados. A demonstra¸cão 4.1 pretende provar que os conjuntos de restri¸cões que garantem, em ambos os modelos, a unicidade da subrotina são equivalentes. Demonstracao 4.1 Demonstrar que T−duri+1 X t=1 si,t = T−duri+p X t=p zi,t,p. Hipotese : T−duri+p X t=p zi,t,p= 1, ∀ i ∈ S, p ∈ {1 . . . duri} Tese : T−duri+1 X t=1 si,t= 1, ∀ i ∈ S Prova :

Observe-se a seguinte transforma¸c˜ao do parˆametro t em t′_{. Sabendo que,}

p≤ t ≤ T − duri+ p ⇔ ⇔ 0 ≤ t − p ≤ T − duri⇔ ⇔ 1 ≤ t − p + 1 | {z } t′ ≤ T − duri+ 1, ∀ i ∈ S, t ∈ T , p ∈ {1 . . . duri} (4.3)

Deste modo, tem-se, T−duri+p X t=p zi,t,p (3.14) ↓ = T−duri+p X t=p zi,t−p+1,1 (4.3) ↓ = T−duri+1 X t′=1 zi,t′,1 (4.1) ↓ = T−duri+1 X t′=1 si,t′ (3.9) ↓ = 1, ∀ i ∈ S

A demonstra¸cão 4.2, por sua vez é dedicada à precedência em continuidade. Mais uma vez, pretende-se provar a equivalência entre os conjuntos de restri¸cões, dos modelos desagregados, referentes à precedência em continuidade.

Demonstracao 4.2

Demonstrar que zi+1,t,1− zi,t−1,duri = si+1,t− si,t−duri.

Hipotese :

zi,t,1= z_i−1,t−1,_dur

i−1,∀ i ∈ S

′

, t∈ T

Tese :

si+1,t= si,t−duri,∀ i ∈ S

′

4.1 - MODELOS DESAGREGADOS

Prova :

zi,t,1= z_i−1,t−1,_dur

i−1 (3.15)

↓

⇔ zi+1,t,1= z_i,t−1,_dur_i

(3.14)

↓

⇔ zi+1,t,1= z_i,t−_dur_i_,1

(4.1)

↓

⇔

si+1,t= s_i,t−_dur_i, ∀ i ∈ S′, t ∈ {duri+ 1, . . . , T − duri+1+ 1}

A demonstra¸cão 4.3, compara os conjuntos de restri¸cões respeitantes à gestão dos recursos necessários para a prossecu¸cão das subrotinas, de modo a validar a equivalência destes conjuntos. Demonstracao 4.3 Demonstrar que X i∈S min(t,duri) X p=max(1,t−T +duri) zi,t,p= X i∈S min(t,T −duri+1) X l=max(1,t−duri+1) si,l. Hipotese : X i∈S min(t,duri) X p=max(1,t−T +duri)

zi,t,p∗ rrj,i≤ Recj, ∀ t ∈ T , j ∈ J

Tese : X i∈S min(t,T −duri+1) X l=max(1,t−duri+1)

Prova :

Observe-se agora a transforma¸c˜ao do parˆametro p em p′_{. Sabendo que,}

max(1, t − T + duri) ≤ p ≤ min(t,duri) ⇔

⇔ −min(t, duri) ≤ −p ≤ −max(1, t − T + duri) ⇔

⇔ 1 − min(t, duri) ≤ 1 − p ≤ 1 − max(1, t − T + duri) ⇔

⇔ t − min(t, duri) + 1 ≤ t − p + 1 ≤ t−max(1, t − T + duri) + 1

⇔ t + max(−t, −duri) + 1 ≤ t − p + 1 ≤ t+min(−1, −t + T − duri) + 1

⇔ max(1, t − duri+ 1) ≤ t − p + 1

| {z }

p′

≤min(t, T − duri+ 1) (4.4)

Desta forma, tem-se X i∈S min(t,duri) X p=max(1,t−T +duri) zi,t,p∗ rrj,i (3.14) ↓ = X i∈S min(t,duri) X p=max(1,t−T +duri) zi,t−p+1,1∗ rrj,i (4.4) ↓ = X i∈S min(t,T −duri+1) X p′=max(1,t−duri+1) zi,p′,1∗ rrj,i (4.1) ↓ = X i∈S min(t,T −duri+1) X p′=max(1,t−duri+1) si,p′∗ rrj,i (3.11) ↓ ≤ Recj

Na demonstra¸cão 4.4, pretende-se provar a equivalência entre os conjuntos de restri¸cões referentes às incompatibilidades de ambos os modelos.

Demonstracao 4.4

Sabendo que, no primeiro membro das restri¸c˜oes referentes `a incompatibilidade entre tarefas, ambos os termos reflectem o mesmo conceito, de forma a tornar a prova mais leve, considere-se, a seguinte igualdade ∀ i ∈ S′′

min(t,duri) X p=max(1,t−T +duri) zi,t,p= min(t,T −duri+1) X l=max(1,t−duri+1) si,l.

4.1 - MODELOS DESAGREGADOS Hipotese : min(t,dur_i1) X p1=max(1,t−T +duri1) zi1,t,p1+ min(t,dur_i2) X p2=max(1,t−T +duri2) zi2,t,p2 ≤ 1, ∀ i1, i2 ∈ S ′′ , t ∈ T Tese : min(t,T −dur_i1+1) X l=max(1,t−dur_i1+1) si1,l+ min(t,T −dur_i2+1) X l=max(1,t−dur_i2+1) si2,l≤ 1, ∀ i1, i2 ∈ S′′, t ∈ T Prova : min(t,duri) X p=max(1,t−T +duri) zi,t,p (3.14) ↓ = min(t,duri) X p=max(1,t−T +duri) zi,t−p+1,1 (4.4) ↓ = min(t,duri) X p′=max(1,t−duri+1) zi,p′,1 (4.1) ↓ = min(t,duri X p′=max(1,t−duri+1) si,p′

Deste modo, provada a demonstra¸c˜ao, verifica-se que, sendo

min(t,dur_i1) X p1=max(1,t−T +duri1) zi1,t,p1+ min(t,dur_i2) X p2=max(1,t−T +duri2) zi2,t,p2 ≤ 1 ⇒ min(t,T −dur_i1+1) X l=max(1,t−dur_i1+1) si1,l+ min(t,T −dur_i2+1) X l=max(1,t−dur_i2+1) si2,l≤ 1, ∀ i1, i2 ∈ S′′, t∈ T

Provadas as demonstra¸cões 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4, consubstanciadas nos resultados computacionais obtidos, comprova-se a equivalência entre os modelos desagregados. Deste modo, consegue-se representar a mesma solu¸cão, recorrendo, quer a uma variável, quer a outra. Tanto assim é que, observe-se ambos os modelos e, em particular, a variável zi,t+3,4,

em particular destaca o instante temporal t + 3. x x x x x x subrotina i ↑ t x subrotina i

modelo vari´avel posicionamento modelo vari´avel in´ıcio

↑

Figura 4.2. Representa¸cão gráfica da subrotina i comduri = 6, no modelo da variável in´ıcio e no

modelo da vari´avel posicionamento.

No caso do modelo da vari´avel posicionamento, tem-se zi,t+3,4 = 1. Tal como foi

demonstrado anteriormente, zi,t+3,4= zi,t+1,1= 1 e zi,t+1,1= si,t, logo consegue-se asso-

ciar esta variável posicionamento à variável in´ıcio, tal que si,t= 1.

Assim, a vantagem em continuar com os dois modelos é sustentada nos resultados computacionais obtidos. Verifica-se que não existe uma tendência nos tempos computacionais con- sumidos por cada modelo. Ou seja, no universo das instâncias testadas, existem instâncias onde o modelo da variável in´ıcio consome menos tempo computacional, comparativamente com o modelo da variável posicionamento, e vice-versa.

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