3.1 Teoria de Hélices
3.1.2 Categorias Trianguladas Lineares
Para definirmos estruturas similares às definidas para reticulados de Mukai, primeiro precisamos restringir nossa atenção a um caso mais especifico de categorias triânguladas. Aqui consideraremos a categoria GrdF a categoria cujos objetos são espaços vetoriais graduados de dimensão finita e os morfismos as transformações lineares de espaços vetoriais graduados.
Definição 3.1.4. Uma categoria triangulada T é dita linear se temos um bifuntor
Hom‚ : T ˆ T Ñ Grd
F
da bicategoria T ˆ T na categoria dos espaços vetoriais graduados de dimensão finita esse funtor age nos objetos X, Y em T como Hom‚
pX, Y q :“ ‘iPZHompX, Y risq. E nos morfismos age como o induzido pelo bifuntor Hom da categoria T .
Nessa seção só consideraremos categorias triânguladas lineares. Se V‚ é um
objeto de GrdF e X um objeto de uma categoria triangulada T definimos o objeto V‚b X em T como o representante do funtor de T Ñ GrdF dado por
Y ÞÑ V‚
b Hom‚pY, Xq
O objeto V‚
b X pode ser determinado, V‚ b X “ ‘pPZVp b Xr´ps, onde
Vp b Xr´ps é a soma direta de dimVp copias de Xr´ps. Isso nos da uma noção de linearidade para o funtor Hom‚
pY, ´q. Agora para o caso Hom‚p´, Xq temos uma anti- linearidade, isto é, Hom‚
pV‚b Y, Xq “ Vˆ‚b Hom‚pY, Xq onde Vˆ‚ “ ‘pPZV˚´p. Combinando essas duas relações de linearidade e que para objetos V‚ e W‚ de
GrdF temos o isomorfismo natural Vˆ‚b W‚ “ Hom‚pV‚, W‚q, obtemos
EndpHom‚
pX, Y qq “ Hom‚pHom‚pX, Y q b X, Y q “ Hom‚pX, Homˆ‚pX, Y q b Y q
para quaisquer objetos X e Y em uma categoria triangulada T . Nessa situação, denotamos por j˚
pX, Y q : Hom‚pX, Y q b Y Ñ Y e j˚pX, Y q : X Ñ Homˆ‚pX, Y q b Y
para a imagem da identidade id P EndpHom‚
pX, Y qq pelos isomorfismos anteriores. Dizemos que um objeto E de uma categoria triangulada T é excepcional se
Hom‚
pE, Eq é uma algebra de dimensão 1 gerada pela identidade. Definimos agora os analogos as projeções ortogonais da Subseção 3.1.1. Se E é um objeto excepcional e X é um objeto qualquer de T definimos a mutação a esquerda LEX e a mutação a direita
REX como os objetos que completam o triângulo
LEX Ñ Hom‚pE, Xq b E j˚
REXr´1s Ñ X H
ÝÑ omˆ‚pX, Eq b E Ñ REX (3.2)
para os morfismos j˚
pE, Xq e j˚pX, Eq. Aplicando o funtor Hom‚pE, ´q ao
triângulo distinguido (3.1) obtemos Hom‚
pE, LEXq “ 0 para todo objeto X de T , pois
Hom é um funtor homológico e Hom‚
pE, Hom‚pE, Xq b Eq » HompE, Xq, sendo esse isomorfismo o responsável por tornar a identidade de EndpHom‚
pE, Xqq em j˚pE, Xq. Utilizando um argumento analogo vemos que Hom‚
pREX, Eq “ 0 para todo X em T . Definição 3.1.5. Seja S um subconjunto de uma categoria triangulada T . Então definimos a subcategoria dos objetos em T que são ortogonais a direita a S pela subcategoria completa
SK dos objetos X, tais que Hom‚pE, Xq “ 0 para todo objeto E em S. Da mesma forma definimos K
S, isto é, a categoria dos objetos X em T tais que Hom‚pX, Eq para todo objeto E em S.
Seja E1 um objeto de KE e E2 um objeto de EK. Aplicando Hom‚
pE1, ´q ao
triângulo (3.1) e aplicando Hom‚
p´, E2q ao triãngulo (3.2) obtemos as relações
Hom‚
pE1, Xq “ Hom‚
pE1, REXr´1sq “ Hom‚pE1, LEXr1sq “ Hom‚pLEE1, LEXq (3.3)
Hom‚pX, E2q “ Hom‚pLEX, E11r´1sq “ Hom‚pREX, E2r1sq “ Hom‚pREX, REE2q (3.4) para todo objeto X em T .
Antes de abordarmos o próximo conceito precisamos ver como, dado um conjunto de objetos S em T , construir a menor subcategoria triangulada ă S ą, contendo
S. Isso é dado por meio do Lema 3.2.4 do (NEEMAN, 2001). Incluiremos a demonstração porque esta é feita de maneira indutiva e usaremos disso a nosso favor. Uma categoria é
essencialmente pequena se é equivalente a uma categoria pequena, isto é, uma categoria
cuja coleção de objetos é um conjunto e não uma classe própria.
Lema 3.1.6. Seja S um conjunto de objetos em uma categoria triangulada T . Então a
menor subcategoria de T contendo S, denotada por ă S ą é essencialmente pequena. Demonstração. Seja T1pSq a subcategoria completa cujos objetos são S Y 0. Como S é
um conjunto vemos que T1pSq é pequena. Agora definimos TnpSq de maneira indutiva: suponha que já definimos T1pSq, ..., Tn´1pSq e todas essas categorias são pequenas. Para definir TnpSq escolhemos para todo morfismo f : X Ñ Y em Tn´1pSq um objeto de T na classe de isomorfismo de Z, onde Z é um elemento do triângulo distinguido
X ÝÑ Y Ñ Z Ñ Xr1sf
Chamamos esse objeto de Cf. Então TnpSq é a subcategoria completa de T contendo Tn´1pSq e todos os Cf, para todo morfismo f : X Ñ Y em Tn´1pSq. Seja
T pSq “ Y8
i“1TipSq. Claramente T pSq é pequena. A categoria de todos os objetos em T isomorfos a algum objeto de T pSq é triangulada. Denotamos ela por ¯T pSq. É claro que
¯
T pSq é equivalente a T pSq e que ¯T pSq “ă S ą.
Corolário 3.1.7. Se tE1, ..., Enu é uma coleção de objetos em uma categoria triangulada T então ă E1, ..., En ąK“ tE1, ..., EnuK e K ă E1, ..., En ą“K tE1, ..., Enu.
Para definirmos as mutações como funtores precisaremos do conceito de subca- tegorias admissíveis de uma categoria triangulada.
Definição 3.1.8. Seja S uma subcategoria triangulada de uma categoria triangulada T . Dizemos que S adimissível a direta se o funtor de inclusão i : S Ñ T possui uma adjunta a direita. E S é adimissível a esquerda se a inclusão i : S Ñ T possui uma adjunta a esquerda.
O principal lema que relaciona o conceito de adimissíbilidade com o de mutação é o Lema 13.36.3 do Capítulo 13 do Stacks Project (Stacks Project Authors,2017). Não incluiremos a demonstração desse lema.
Lema 3.1.9. Seja T uma categoria triangulada, e S uma subcategoria triangulada de T . As seguintes condições são equivalentes
(i) O funtor de inclusão S Ñ T possui adjunta a direita (ii) Para todo objeto X em T existe um triângulo distinguido
Q Ñ X1
Ñ X Ñ Qr1s
onde X1 é um objeto de S e Q é um objeto de SK
Utilizando a notação do Lema 3.1.6 com S “ă E ą a subcategoria triangulada gerada por E em T obtemos a adjunta a direita π : T Ñ S do funtor de inclusão i : S Ñ T . A imagem da adjunta de um objeto X de T é πpXq “ Hom‚
pE, Xq b E e se f : X Ñ Y é um morfismo em T usamos o seguinte diagrama comutativo
LEX // α Hom‚ pE, Xq b E // πpf q X // f LEXr1s LEY //Hom‚pE, Y q b E //Y //LEY r1s
e definimos LEf “ α, que existe pelo axioma TR3 de T . A funtorialidade dessa definição vem da funtorialidade de π. Isso nos define um funtor LE : T Ñă E ąK. Podemos fazer um lema analogo ao Lema3.1.9para adimissibilidade a esquerda e com isso definir um funtor RE : T ÑKă E ą. Esse lema é o Lema 13.36.4 do (Stacks
Project Authors,2017).
Proposição 3.1.10. O funtor T ÝÝÝÝÝÑREXr´1s
K
E é a adjunta a direita da inclusão KE Ñ T e T ÝÝÝÝÑ ELEXr1s K é a adjunta a esquerda da inclusão EK Ñ T . Alêm disso LERE “ LEr1s,
RELE “ REr´1s e as restrições LE|KE e RE|EK são mutualmente inversas.
Demonstração. As equações (3.3) e (3.4) demonstram as relações de adjunções da pro- posição. A naturalidade desses isomorfismos é resultado de sua construção. Como estes funtores são adjuntos aos funtores de inclusão vemos que estes funtores são exatos. Com essa naturalidade aplicamos a Proposição 1.2.17do Capítulo 1 para ver que os funtores
LE e RE são exatos. Aplicando o funtor LE ao triângulo (3.2) obtemos um triângulo distinguido e que LEREX “ LEXr1s, analogamente aplicando RE ao triângulo distinguido (3.1) vemos que RELEX “ REXr´1s.
Se E1 é um objeto deKE então R
ELEE1 “ REE1r´1s “ E1, pois se utilizamos
X “ E1 no triãngulo (3.2) obtemos que R
EE1r´1s “ E1. Da mesma forma vemos que se
E2 é um objeto de EK então R
ELEE2 “ LEE2r1s “ E2.
Proposição 3.1.11. Seja T uma categoria triangulada e X e E dois objetos em T . Temos
o isomorfismo funtorial Homˆ‚
pLEX, Eq “ Hom‚pE, REXq.
Agora que definimos os funtores de mutação para o caso de um objeto excepci- onal estamos prontos para lidar com o caso mais geral de um conjunto finito excepcional. Definição 3.1.12. Dizemos que um conjunto de objetos tE1, ..., Enu em uma categoria triangulada T é excepcional se Hom‚
pEi, Eiq é uma algebra 1-dimensional gerada pela identidade e
Hom‚
pEi, Ejq “ 0 se i ą j.
Nessa situação definimos os funtores de mutação para a categoria ă E1, ..., Eną, onde tE1, ..., Enu é um conjunto de objetos excepcionais. Denotaremos por LrE1,...,Ens pela composição de funtores LE1˝LE2˝...˝LEn, e por RrE1,...,Ensa composição REn˝REn´1˝...˝RE1.
Aplicando as relações (3.3) e (3.4), sucessivamente obtemos
Hom‚ pE1, Xq “ Hom‚ pE1, RrE1,...,EnsXr´nsq “ Hom‚ pE1, LrE1,...,Ensrnsq “ Hom ‚ pLrE1,...,EnsE 1, L rE1,...,EnsXq (3.5)
Hom‚
pX, E2q “ Hom‚pLrE1,...,EnsX, E
2
r´nsq “
Hom‚
pRrE1,...,EnsX, E2rnsq “ Hom‚pRrE1,...,EnsX, RrE1,...,EnsE2q
(3.6)
para todo objeto X em T , E1 em K
ă E1, ..., En ą e E2 em ă E1, ..., En ąK. A seguinte proposição é analoga à Proposição 3.1.10para o caso de uma coleção excepcional.
Proposição 3.1.13. O funtor LrE1,...,Ensrks : T Ñă E1, ..., Eną
K é a adjunta a esquerda
da inclusão ă E1, ..., En ąKÑ T , e o funtor RrE1,...,Ensr´ks : T Ñ
K
ă E1, ..., En ą é a
adjunta a direita da inclusão K
ă E1, ..., En ąÑ T . Estes funtores satisfazem as relações
RrE1,...,EnsLrE1,...,Ens “ RrE1,...,Ensrns, LrE1,...,EnsRrE1,...,Ens “ LrE1,...,Ensrns e as restrições
LrE1,...,Ens|KăE
1,...,Eną e RrE1,...,Ens|ăE1,...,EnąK são mutualmente inversas.
A demonstração é completamente analoga a demonstração da Proposião 3.1.10
e por isso não a faremos novamente. A unicidade das adjuntas nos permitem concluir o seguinte corolário.
Corolário 3.1.14. Os funtores LrE1,...,Ens e RrE1,...,Ens dependem somente da categoria ă E1, ..., Eną e não na escolha dos geradores tE1, ..., Enu.
Considere agora T uma categoria triangulada e tE1, ..., Enu uma coleção ex- cepcional que gera T , isto é, ă E1, ..., En ą“ T . Definimos as coleções t_E1, ...,_Enu e tE1_, ..., E
_
nu como a base dual a esqueda e a direita, respectivamente. Estes objetos satisfazem a condição
Homkp_En, En´kq “ Homn´kpEn´k, Ek_q “ C
para todo 1 ď k ď n inteiros, e todos os outros j e k inteiros temos Homjp_En, En´kq “
HomjpEn´k, En_q “ 0. Chamamos essas condições de condições de ortogonalidade. É pos- sível construir esses objetos explicitamente utilizando as mutações a direita e a esquerda. Isto é,
E_
k “ LrE1,...,En´k´1sEn´k
_E
k “ RrEn´k`1,...,EnsEn´k.
Mas para mostrar que as bases duais são únicas, a menos de isomorfismos, precisaremos ver que estes objetos representam um funtor.
Proposição 3.1.15. Se t_E0, ...,_Enu e tE0_, ..., E _
nu satisfazem as condiçoes de ortogo-
nalidade então _E
k representa o funtor covariante Hom‚pEn´k, LrEn´k`1,...,Ensp´qq, e E
_
k
representa o funtor contravariante Homˆ‚
Corolário 3.1.16. Seja T uma categoria triangulada gerada pela coleção excepcional tE0, ..., Enu, T “ă E0, ..., Eną, então temos os seguintes isomorfismos naturais
Hom‚ p_En´k, Xrnsq // Hom‚ pEk, LrEk`1,...,EnsXrnsq Homˆ‚pR rE0,...,Ek´1sX, Ekq //Hom ˆ‚pX, E_ n´kq.
Utilizando da notação do Corolário 3.1.16, podemos definir um espaço vetorial graduado
V‚
k “ Hom
‚
p_En´k, Xrnsq “ Hom‚pEk, LrEk`1,...,EnsXrnsq “
Homˆ‚
pRrE0,...,Ek´1sX, Ekq “ Hom
ˆ‚
pX, En´k_ q.
Com este complexo em mãos podemos utilizar dos triângulos distinguidos (3.1) e (3.2) para definir as mutações LrEk,...,EnsX e RrE0,...,EksX de maneira recursiva, isto é,
RrE0,...,EksXr´1s Ñ RrE0,...,Ek´1sX Ñ V
‚
k b EkÑ RrE0,...,EksX (3.7)
LrEk,...,EnsXrns Ñ Vk‚ b Ek Ñ LrEk`1,...,EnsXrns Ñ LrEk,...,EnsXrn ` 1s (3.8)
são triângulos distinguidos. Esses triângulos nos permitem escrever dois sistemas de Postnikov associados ao complexo V E‚, onde V Ek
“ Vk‚b Ek. Começamos descrevendo o sistema de Postnikov a esquerda
V‚ 0 b E0 // „ %% V‚ 1 b E1 // %% ... //V‚ n b En ## LrE0,...,EnsXrns 99 LrE1,...,EnsXrns 99 oo LrE 2,...,EnsXrns == oo ... BB oo LrE nsXrns oo
onde os morfismos tracejados tem ordem 1, isto é, um morfismo f : X Ñ Y r1s é representado por f : X 99K Y . Todos os morfismos envolvidos neste sistema de Postnikov são os respectivos morfismos do triângulo (3.8), e com isso vemos que V E‚ de fato é
um complexo. A convolução a esquerda desse sistema é exatamente X. Da mesma forma podemos descrever o sistema de Postnikov a direita
V‚ 0 b E0r´ns && //V‚ 1 b E1r´n ` 1s ## //... // ## V‚ n b En Xr´n ` 1s 99 RE0Xr´n ` 2s oo 77 ... oo II RrE0,...,En´1sXr´1s oo „ 88
onde os morfismos tracejados também tem ordem 1 e todos os morfismos envolvidos são retirados do triângulo (3.7). A convolução desse sistema também é X.
Esses sistemas nos permitem descrever os complementos ortogonais na situação em que T “ă E0, ..., En ą. Podemos ver do sistema de Postnikov a esquerda que para
todo objeto X em T , a mutação a esquerda LrEk`1,...,EnsX é a convulação a esquerda do complexo V E‚,k, isto é, do complexo V E‚ truncado a direita até o objeto de ordem k. Da
Proposição 3.1.13 percebemos que todos os objetos em ă Ek`1, ..., En ąK são da forma
LrEk`1,...,EnsX, para algum X em T , e combinando a construção do Lema 3.1.6, aplicado
ao caso em que S “ tE0, ..., Eku, com o sistema de Postnikov truncado concluimos que ă Ek`1, ..., En ąK“ă E0, ..., Ek ą. Podemos utilizar um argumento analogo para o caso do sistema de Postnikov a direita associado ao complexo V E‚ truncado à esquerda e
concluir que K
rE0, ..., Eks “ rEk`1, ..., Ens.
Com isso em mãos podemos definir as sequências espectrais associadas ao sistema de Postnikov a direita e a esquerda. Faremos para o caso a direita explicitamente, o caso a esquerda é analogo e portanto só enunciaremos seu resultado. Suponhamos que estamos na notação do sistema de Postnikov a direita 3.1.2 e que H : T Ñ V ectF é um funtor homologico linear, isto é, H é um funtor homologico no sentido da Definição 1.2.4,
HqpXq :“ HpXrqsq e HqpV‚b Xq “ ‘p`r“qVpb HrpXq para todo q inteiro, V‚ espaço vetorial graduado e X objeto de uma categoria triangulada linear T .
Definimos, portanto, a dupla exata pD, E, i, j, kq de espaços vetoriais bigradu- ados com a graduação Dp,q “ HqpRrE0,...,Ep´1sXq para p positivo e D
p,q “ Xrps se p ď 0, Ep,q “ HqpVp‚b Epq “ ‘r`s“qVprb H s pEpq se p é positivo e Ep,q “ 0 se p é negativo, ip,q : Dp`1,q´1 Ñ Dp,q, jp,q: Dp,q Ñ Ep,q e kp,q: Ep,q Ñ Ep`1,q
são as imagens dos mapas
RrE0,...,EpsXrq ´ 1s Ñ RrE0,...,Ep´1sXrqs, RrE0,...,Ep´1sX Ñ Vp b Ep e
Vp´1b Ep´1b RrE0,...,Ep´1sX
pelo funtor H, respectivamente. Estes mapas satisfazem as condições do Lema 2.3.13, pois para p suficientemente grande temos Dp,q “ 0 e para p suficientemente pequeno e
i : Dp,q Ñ Dp´1,q`1 é um isomorfismo porque
Dp,q “ HqpXrpsq “ HpXrp ` qsq “ HpXrp ´ 1 ` q ` 1sq “ Dp´1,q`1
Portanto a sequência espectral construida para duplas exatas no Capítulo 2 com E1p,q :“ Ep,q converge a uma sequência de espaços vetoriais G‚
“ limÐÝ s
Ds,‚´s. Uma
propriedade muito importante da coleção G‚ é que Gk
“ HkpXq. Para ver isso basta ver que D0,k “ HkpRrE0,...,E0´1sXq “ H
k
pXq e é fácil ver que este objeto satisfaz a propriedade universal que define o limite direto Gk, porque a partir de s “ 0 a sequência Ds,n´s estabiliza. Com isso, obtemos uma sequência espectral
E1p,q “ HqpVpb Epq “ ‘s`t“qVpsb H t
onde Vps“ Homn`sp_En´p, Xq, para qualquer objeto X de T e funtor homoló- gico linear H‚.
Analogamente podemos utilizar o sistema de Postnikov a esquerda associado a um objeto X em T e um funtor cohomologico ¯H : T Ñ A, onde A é uma categoria
abeliana, para definir uma sequência espectral
E1p,q “ ‘s`t“qV´pˆsb ¯H t pE´pq ñ ¯HnpXq, (3.10) onde Vˆs ´p “ Hom s pX, En`p_ q.
Exemplo 3.1.17. Seja T uma categoria triangulada linear, tE0, ..., Enu uma coleção excepcional que gera essa categoria e X um objeto de T . Então Hom‚
pX, ´q : T Ñ GrdF é um funtor homológico linear e portanto podemos aplicar a sequência espectral 3.9. Já
Hom‚p´, Xq : T Ñ GrdF é um funtor cohomológico linear e portanto temos a sequência espectral 3.10.
Terminamos o capítulo com uma breve discussão sobre a teoria de helices e a dualidade de Serre nesse contexto. Suponha que T é uma categoria triangulada linear gerada por uma coleção excepcional tE0, ..., Enu, então definimos a coleção tEiuiPZ por
Ei`n`1 “ RrEi`1,...,EnsEi (3.11)
e
Ei´n´1 “ LrEi´n,...,Ei´1sEi (3.12)
e chamamos ela de hélice de período pn ` 1q com fundação em tE0, ..., Enu. Cada hélice é unicamente determinada por uma coleção tEi, ..., En`i`1u, isto é, dada uma coleção de n ` 1 objetos consecutivos em uma hélice tEiuiPZ então podemos gerar
E0, ..., En`1 utilizando as relações (3.11).
Para estudarmos a noção de dualidade de Serre na categoria T precisamos primeiro ver que se tEiuiPZ é uma hélice de periodo pn ` 1q então, aplicando o Corolário
3.1.16 duas vezes obtemos a igualdade
Hom‚
pEi, Ejq “ Hom‚pEi´n´1, Ej´n´1q. (3.13) Agora considere os objetos F0 “ E´1 “ LrE0,...,EnsEn, Fn “ E0 “ RrE´n,...,E´1sE´n´1 e
Fk “ RE´k,...,E´1sE´k´1 “ LrE0,...,En´k´1sEn´k, para todo inteiro k entre 0 e n. A coleção tF0, ..., Fnu define uma base dual a esquerda à coleção excepcional E´n´1, ..., E´1 e uma
base dual a direita à coleção excepcional E0, ..., En.
Agora considere a representação de um objeto X como a convolução a esquerda do sistema de Postnikov a esquerda associado ao complexo
V‚
, onde V‚
k “ Hom
ˆ‚
pX, Fn´kq. Tanto o complexo como a sua convolução são determinados pelos diferenciais di : V‚
i b Ei Ñ Vi`1‚ b Ei, isto é, por um elemento do conjunto ‘pHompVp‚b Ep, Vp`1‚ b Ep`1q “ ‘p,αHom´αpVp‚, Vp`1‚ q b HomαpEp, Ep`1q
“ ‘p,αHom´αpVp‚, V ‚ p`1q b Hom α pEp´n´1, Ep´nq. (3.14)
Portanto, podemos achar um diferencial natural para a sequência V‚
i b E´n´1`i. Definimos
o objeto χpXq como a convolução do sistema de Postnikov a esquerda associado a sequência
V‚
i b E´n´1`i com diferencial obtido pelas igualdades de (3.14).
Proposição 3.1.18. Hom‚
pY, Xq “ Homˆ‚pχpXq, Y rnsq para quaisquer objetos X e Y
em T .
Demonstração. Para calcularmos Hom‚
pY, Xq podemos utilizar a sequencia espectral 3.9 cuja primeira pagina é
E1p,q “ ‘αVpαb Hom q´α
pY, Epq.
Dualizando essa sequência espectral, e utilizando do Corolário 3.1.16, obtemos uma sequência espectral 3.10 de primeira pagina
E1p,q “ ‘αVˆαb Homn´q`αpEp´n´1, Y q
convergindo a Homˆ‚
pχpXq, Y rnsq.
Antes de lidarmos com uma aplicação dessas ferramentas para a teoria da categoria DbpCohpXqq precisamos definir os feixes de diferenciais associados a um esquema separável.
Definição 3.1.19. Seja π : X Ñ Y um morfismo de esquemas separável. Então o morfismo diagonal δ : X Ñ X ˆY X é um mergulho fechado. Definimos o feixe de 1-fomas, isto é, de diferenciais, como o feixe I{I2 sobre X onde I é o feixe de ideais que define δ como um mergulho fechado. Denotamos por ΩX{Y.
Na teoria de variedades diferenciaveis definimos o espaço tangente como o dual do espaço dos diferenciais. Aqui faremos o mesmo, dizemos que T é o feixe tangente relativo em X se T “ HompΩX{Y, OXq. Definimos também os feixes de d-formas como a
d-ésima potência exterior do feixe ΩX{Y, ou seja, ΩdX{Y “ ^ d
ΩX{Y. O ultimo objeto que precisaremos é o feixe canônico de um esquema suave sobre um corpo k.
Definição 3.1.20. Seja X um k-esquema. Dizemos que X é suave de dimensão n sobre
k se é localmente de tipo finito, de dimensão n, e ΩX :“ ΩX{Specpkq é localmente livre de posto n. Definimos o feixe canônico de um k-esquema suave X como sendo ωX :“ ^nΩX.
O feixe canônico de um k-esquema suave é um feixe localmente livre de posto 1, um fibrado de linha. No caso mais simples em que X “ Pn obtemos que ωX “ OXpn ´ 1q. Definição 3.1.21. Um morfismo de esquema f : X Ñ Y é dito plano se para todo x em
X, OX,x é flácido sobre OY,f pxq. Ou seja, se o funtor OX,x bOY,f pxq´ é exato.
Definição 3.1.22. Um morfismo f : X Ñ Y é dito suave com dimensão relativa n se f é plano e se para todo y em Y a fibra no ponto y, X ˆY Specpmy{m2yq é um esquema suave de dimensão n sobre my{m2y.
Exemplo 3.1.23. O artigo [Bei] do Alexandeer A. Beilinson mostra que as classes de objetos tO, Op1q, ..., Opnqu e t^nΩpnq, ..., ^1Ωp1q, Ou são classes excepcionais de objetos em DbpCohpPnqq, onde Ω é o feixe de diferenciais de Pn. Essas classes estão relacionadas pois se considerarmos que Ei “ ^n´iΩpn ´ iq então_Ei “ Opiq.
Considere o funtor de cohomologia Hi : DbpCohpPnqq Ñ CohpPnq que leva complexos de feixes coerentes na i-ésima cohomologia desse complexo. Se considerarmos o funtor H‚ : Db
pCohpPnqq Ñ KompCohpPnqq definido pelos funtores de cohomologia, este funtor é um funtor homológico linear. E se F é um objeto puro de DbpCohpPnqq, isto é, HipF q “ F se i “ 0 e HipF q “ 0 caso contrário.
Nessa situação, podemos aplicar a sequência espectral associada ao sistema de Postnikov a direita 3.9 onde
E1p,q “ ‘α`βVpαb H β
pEpq
com Vpα “ Homp_En´p, F rn ` αsq “ HompOpn ´ pq, F rn ` alphasq “ HompOX, F pp ´
nqrn ` αsq “ Extn`αpOX, F pp ´ nqq “ Hn`alphapPn, F pp ´ nqq. E essa sequência converge Hi
pF q. Como Ωdpdq é um objeto puro em DbpCohpPnqq obtemos a sequência espectral cuja primeira folha é
E1p,q“ Hn`qpPn, F pp ´ nqq b Ωn´ppn ´ pq
.