CAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
VICTOR DO VALLE PRETTI
Teoria de Hélices e Dualidade
Campinas
2017
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Pretti, Victor do Valle,
P927t PreTeoria de hélices e dualidade / Victor do Valle Pretti. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.
PreOrientador: Simone Marchesi.
PreDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Pre1. Teoria de feixes. 2. Categorias (Matemática). 3. Geometria algébrica. I. Marchesi, Simone,1984-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Helix theory and duality Palavras-chave em inglês:
Sheaf theory
Categories (Mathematics) Algebraic geometry
Área de concentração: Matemática Titulação: Mestre em Matemática Banca examinadora:
Simone Marchesi [Orientador] Fernando Eduardo Torres Orihuela Renato Vidal da Silva Martins
Data de defesa: 14-03-2017
Programa de Pós-Graduação: Matemática
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof.(a). Dr(a). SIMONE MARCHESI
Prof.(a). Dr(a). FERNANDO EDUARDO TORRES ORIHUELA
Prof.(a). Dr(a). RENATO VIDAL DA SILVA MARTINS
A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do(a) aluno(a).
Gostaria de aqui agradecer a todos que participaram dessa jornada que foi o mestrado.
Começando com a minha mãe, Maristela do Valle, que sempre me apoiou de todas as formas que pôde, e algumas que não pôde também. Obrigado mãe. Sem você isso tudo seria impossível. Ao meu irmão, Daniel do Valle Pretti, na vida e no ambito acadêmico que me ajudou bastante quando precisei de um caminho a seguir, principalmente no segundo ano do mestrado. Obrigado.
Em seguida, aos amigos, estes sempre estiveram lá quando eu precisei. Seja para assuntos materiais como para imateriais. Vocês foram muito importantes. Obrigado. Um agradecimento especial ao Daniel Futata, Renato Moreira e Lucas Fiqueiredo pelos muitos anos de amizade.
Agradeço também ao meu orientador Simone Marchesi pela orientação na matemática e na burocracia acadêmica. Ele fez tudo que pode para estar disponível quando precisei.
E finalizo agradecendo a FAPESP que financiou o meu projeto de mestrado e de graduação, acreditando na minha capacidade em todos os passos da minha carreira acadêmica.
Neste trabalho estudamos sobre Teoria de Hélices, com base no artigo de A.L. Gorodentsev e S.A. Kuleshov, e sobre teoremas de dualidade utilizando como fonte principal o artigo do Amnom Neeman. Como base para esse estudo foi necessário estudar as categorias trianguladas arbitrarias onde construímos a localização de Verdier. Para aplicarmos esses resultados gerais à Geometria Algébrica foi necessário o estudo da categoria dos feixes quasicoerentes e da categoria dos feixes coerentes sobre um esquema, e das suas respectivas categorias derivadas ilimitadas e limitadas.
In this work we study Helix Theory, using as the main reference the article from A.L. Gorodentsev and S.A. Kuleshov, and also studied theorems concerning the duality using an article by Amnon Neeman. This work is based on the study of arbitrary triangulated categories and Verdier localization. To apply this results to Algebraic Geometry we needed to understand the categorie of Quasicoherent Sheaves and Coherent Sheaves over a scheme and also their respective derived categories.
Introdução . . . 10
1 CATEGORIAS TRIANGULADAS . . . 12
1.1 Alguns conceitos da teoria de categorias . . . 12
1.2 Categorias Trianguladas . . . 16
1.2.1 Objetos Compactos . . . 25
1.3 Quociente Verdier . . . 28
2 CATEGORIAS DERIVADAS DE FEIXES . . . 43
2.1 Feixes Quasicoerentes . . . 43
2.1.1 OX-módulos . . . 43
2.1.2 Feixes Quasicoerentes. . . 47
2.2 Funtores Derivados . . . 57
2.3 Sequências Espectrais . . . 67
3 TEORIA DE HÉLICES E DUALIDADE . . . 76
3.1 Teoria de Hélices . . . 76
3.1.1 Reticulados de Mukai . . . 76
3.1.2 Categorias Trianguladas Lineares . . . 78
3.2 Dualidade . . . 87
Introdução
Nessa dissertação o principal objeto de estudo são as categorias derivadas associadas a um esquema. Estudamos como construi-las, mostramos casos especiais onde elas possuem propriedades importantes como a existência de resoluções injetivas, e também como utilizar essas propriedades importantes para descrever propriedades geométricas do esquema, como no caso da dualidade de Serre e a sequência espectral de Beilinson.
O estudo das categorias derivadas nasce da necessidade de Grothendieck de extender o resultado da dualidade de Serre para feixes coerentes sobre variedades algébricas gerais, não obrigatóriamente suaves. Resultado que foi extendido e é conhecido hoje como Dualidade de Grothendieck-Verdier.
Teorema. Seja f : X Ñ Y um morfismo próprio entre esquemas noetherianos e separados. Então existe um isomorfismo natural
RHompRf˚X‚, Y‚q » Rf˚RHompX‚, f!Y‚q,
onde X‚ e Y‚ são objetos de DpQCohpXqq e DpQCohpY qq, respectivamente.
A primeira descrição formal da categoria derivada é dada na tese de Verdier (VERDIER, 1996) utilizando a noção de categorias trianguladas. Tese essa que, embora escrita em 1967, só foi publicada em 1996. A ideia da construção da categoria derivada é tornar equivalências fracas em uma categoria em isomorfismos.
A principio, esse processo pode ser feito em uma categoria qualquer e é conhecido como a localização da categoria por um conjunto de morfismos. Na categoria derivada isso é feito escolhendo o conjunto de quasi-isomorfismos na categoria de complexos de uma categoria abeliana. E utilizando o conceito de categorias trianguladas vemos que essa localização preserva a estrutura dos triângulos.
Os métodos utilizados por Verdier e Grothendieck foram aplicados em muitas áreas como estudo de sistemas de equações diferenciais parciais, por M. Sato (SATO,
1969), ou nos artigos de Beilinson e Bernstein-Gelfand-Gelfand,(BEILINSON, 1978) e (BERNSTEIN; GELFAND; GELFAND, 1978), que relacionam a categoria de feixes coerentes sobre um espaço projetivo e as representações de certas algebras de dimensão finita.
No primeiro capítulo estudaremos as propriedades gerais das categorias trian-guladas. Começamos com uma introdução a teoria geral de categorias, definindo o que consideramos ser uma das principais abordagens do Século XX. Nessa seção veremos o que são as categorias abelianas e inclusive os axiomas adicionais propostos por Grothendieck
em seu famoso artigo Tôhoku (GROTHENDIECK, 1957). Na segunda seção definimos as categorias trianguladas, nosso principal objeto de estudo nessa dissertação. Aqui também definimos os objetos compactos e o Teorema de Representabilidade de Brown, estes serão usados no terceiro capítulo para demonstrar a existência de f!.
Na terceira e mais comprida sessão construimos a localização de Verdier. Esse foi uma parte muito importante da tese (VERDIER, 1996). Seguimos de perto o livro (NEEMAN, 2001) por conter a demonstração dessa construção em grande detalhe e
generalidade, adicionando assim que necessário alguma informação.
No Capítulo 2 utilizamos da localização de Verdier para definir as categorias derivadas. Mas para foi preciso estabelecer em qual categoria seria aplicada a localização, nesse caso a categoria dos OX-módulos, a categoria dos feixes quasi-coerentes e a categoria dos feixes coerentes. Algumas propriedades básicas dessas categorias foram apresentadas seguindo em geral os livros (GORTZ; WEDHORN, 2010) e (HARTSHORNE, 1977). Estabelecemos ainda na primeira sessão uma base solida sobre a teoria dos feixes quasi-coerentes sobre esquemas projetivos, culminando na demonstração do teorema de Serre sobre seções em feixes coerentes.
A segunda seção desse capítulo liga os conceitos estudados no primeiro capítulo com a categoria dos feixes quasi-coerentes. Começando com um estudo sobre resoluções injetivas e projetivas e suas propriedades básicas. Utilizamos principalmente do (GELFAND; MANIN, 2003) e uma parte do (BöKSTEDT; NEEMAN, 1993), pois na literatura não se costuma definir mais os funtores derivados não limitados e estes seriam necessários no terceiro capítulo. Isso traz algumas dificuldades técnicas que são, em geral, contornáveis. Para essas e outras dificuldades técnicas utilizamos bastante das notas (MURFET,2017). Finalizamos o capítulo com a definição das sequências espectrais e os sistemas de Postnikov. É interessante notar que nessa seção são dadas duas construções de sequências espectrais aparentemente distintas, quando na verdade elas são apenas duas representações diferentes do mesmo objeto.
Finalizamos a dissertação explicando os resultados presentes nos dois artigos (GORODENTSEV; KULESHOV,2004) e (NEEMAN, 1996). Podemos ver uma diferença clara entre os dois artigos onde um foca nas propriedades das categorias derivadas limitadas
DbpCohpXqq de feixes coerentes e o outro foca nas categorias derivadas ilimitadas como
DpQCohpXqq e DpXq. Isso traz facilidades e dificuldades em cada um dos casos. E é
importante perceber o contraste entre as duas abordagens sobre objetos que a principio são bem parecidos.
1 Categorias Trianguladas
Começamos o capítulo com algumas definições e proposições gerais sobre a teoria de categorias e de categorias trianguladas em geral seguindo os livros (HUYBRECHTS,
2006) e (NEEMAN,2001), em seguida definimos os objetos compactos e apresentaremos a representabilidade de Brown como apresentada em (NEEMAN,1996), responsável pelo resultado de adjunção no Capítulo 3, Corolário 3.2.12. Este teorema será a peça central na demonstração da dualidade de Grothendieck-Verdier e consequentemente da dualidade de Serre.
Concluiremos este capítulo com a construção do quociente de Verdier, fer-ramenta que nos permite estudar a categoria derivada de uma categoria abeliana. A demonstração segue o segundo capítulo de (NEEMAN, 2001) evitando passar pelas partes técnicas. O estudo da categoria derivada dos feixes coherentes será estudada no próximo capítulo.
1.1
Alguns conceitos da teoria de categorias
Começamos a sessão com uma breve definição do conceito de categoria, fun-tores e transformações naturais. Logo depois, o Lema de Yoneda, uma das ferramentas fundamentais da teoria de categorias. Em seguida definimos um conceito fundamental para o nosso estudo, a adjunção de um funtor. Essa noção é muito importante, uma vez que a dualidade de Grothendieck-Verdier diz respeito a existência do funtor adjunto a direita. Definimos a categoria Sets como sendo aquela cujos objetos são os conjuntos e os morfismos são as funções.
Definição 1.1.1. Uma categoria C é composta de duas classes, a classe dos objetos ObjC e a classe dos morfismos M orpCq. Cada elemento da classe dos morfismos pode ser denotado por f : A Ñ B para únicos objetos A e B. Denotamos o conjunto de todos os morfismos denotados por f : A Ñ B por HomCpA, Bq.
Os morfismos devem satisfazer algumas condições: (i) Para todos objetos A, B, C, D em C existe uma função
˝ : HompA, Bq ˆ HompB, Cq Ñ HompA, Cq
tal que pf ˝ gq ˝ h “ f ˝ pg ˝ hq, onde f P HomCpB, Cq, g P HomCpA, Bq e
h P HomCpD, Aq.
(ii) Para todo objeto A em C existe um morfismo IdA em HomCpA, Aq tal que IdA˝ f “ f
Quando estiver claro sobre qual categoria estamos trabalhando denotaremos
HomCpA, Bq por HompA, Bq.
Definição 1.1.2. Um funtor covariante F entre duas categorias C e C1 é uma associação
que a cada objeto X em C obtemos um objeto F pXq em C1, e para cada morfismo em C
f : A Ñ B obtemos um morfismo F pf q : F pAq Ñ F pBq tal que F pf ˝ gq “ F pf q ˝ F pgq
e F pIdAq “ IdF pAq, para todos objetos A, B, C com f P HompA, Bq e g P HompC, Aq. Denotamos este funtor por F : C Ñ C1.
Analogamente, podemos definir os funtores contravariantes. A notação para os dois é a mesma e fica claro do contexto qual dois estamos lidando. Caso não seja especificado no contexto é porque o resultado vale para os dois casos.
Definição 1.1.3. Um funtor contraviante F entre duas categorias C e C1 é uma associação que a cada objeto X em C obtemos um objeto F pXq em C1e para cada morfismo f : A Ñ B
em C obtemos um morfismo F pf q : F pBq Ñ F pAq tal que F pf ˝ gq “ F pgq ˝ F pf q e
F pIdAq “ IdF pAq, para todos objetos A, B, C com f P HompA, Bq e g P HompC, Aq. Definição 1.1.4. Dados dois funtores covariantes F e F1 de C em C1, uma transformação
natural φ : F Ñ F1 é uma coleção de morfismos φ
X : F pXq Ñ F1pXq, para todo objeto X em C tal que o seguinte diagrama é comutativo
F pXq φX // F pf q F1 pXq F1pf q F pY q φY //F1pY q
para todos objetos X e Y em C e f P HompX, Y q.
Analogamente definimos uma transformação natural de funtores contravariates. Lema 1.1.5. (Lema de Yoneda) Seja F unpAq a categoria dos funtores contravariantes
sobre A em Sets. Então o funtor A Ñ F unpAq que leva os objetos A de A no funtor Homp´, Aq : A Ñ Sets e os morfismos nos morfismos de funtores Hom, é um funtor completamente fiel.
Definição 1.1.6. Um funtor contravariante F : A Ñ Sets é dito representável se existe um objeto A em A tal que F é isomorfo ao funtor Homp´, Aq.
Definição 1.1.7. Seja F : A Ñ B um funtor entre categorias arbitrárias. Um funtor
H : B Ñ A é dito o adjunto a direita de F se existe um isomorfismo HompF pAq, Bq » HompA, HpBqq
para qualquer objeto A de A e B de B, funtorial em A e B. O funtor F é dito ser o adjunto a esquerda de H.
A noção de adjunção pode ser descrita utilizando os conceitos de unidade e counidade.
Proposição 1.1.8. (Unidade e counidade) Dados um par de funtores covariantes
F : A Ñ B e G : B Ñ A, dizemos que G é o adjunto a direita de F se e somente se existem transformações naturais η : 1A Ñ G ˝ F (a unidade) e : F ˝ G Ñ 1B (a counidade), tais
que as seguintes identidades são satisfeitas IdA “ F ˝ F η e IdB “ G ˝ ηG.
A identidade expressa na proposição anterior nos mostra que dados objetos A e B em A e B, respectivamente, temos que IdA“ F pAq˝ F pAq e IdB “ GpBq ˝ ηGpBq. A demonstração desta proposição pode ser encontrada, com bastante detalhe, no Teorema 6.4 do artigo (KAN, 1958), um dos primeiros artigos a explorar o conceito de funtores adjuntos.
Proposição 1.1.9. Considere duas categorias A e B que possuem produtos e coprodutos
e dois funtores covariantes F : A Ñ B e G : B Ñ A. Se G é a adjunta a direita de F então F preserva coprodutos e G preserva produtos.
Para demonstrar a proposição anterior basta combinar a definição de adjunção entre esses funtores, o fato que os funtores HompA, ´q e Homp´, Bq preservam produtos e transformam coprodutos em produtos, respectivamente, para todo objeto A em A e B em B, e o Lema de Yoneda.
Proposição 1.1.10. Um funtor covariante F : A Ñ B é uma equivalência de categorias
se e somente se a função HompA, Bq Ñ HompF pAq, F pBqq é uma bijeção para todos objetos A e B em A, e se para objeto C em B existe um objeto A em A tal que F pAq é isomorfo a C.
A demonstração dessa proposição pode ser encontrada na Proposição 1.4 (HUYBRECHTS, 2006). No caso do funtor contravariante dizemos que F é uma
anti-equivalência de categorias e um resultado analogo à Proposição 1.1.10 é verdadeiro para funtores contravariantes.
Agora definiremos os conceitos de categorias aditivas e abelianas para preservar a completude do trabalho.
Definição 1.1.11. Uma categoria C é dita aditiva se para quaisquer dois objetos A, B em C, o conjunto dos morfismos entre eles, HompA, Bq, possui a estrutura de grupo abeliano satisfazendo as seguintes propriedades:
(i) A composição HompA, BqˆHompB, Cq Ñ HompA, Cq é um homomorfismo de grupos. (ii) Existe um objeto 0 em A, isto é, um objeto tal que HompA, 0q é o grupo trivial para
(iii) Para quaisquer dois objetos A1, A2 em A existe um único objeto, a menos de
iso-morfismo, B de A tal que B é o biproduto de A1 e A2. Isto é, existem morfismos
ji : Ai Ñ B e pi : B Ñ Ai, para i “ 1, 2, satisfazendo: piji “ 1Ai, j1p2 “ 0, j2p1 “ 0 e j1p1` j2p2 “ 1B.
Definição 1.1.12. Um funtor F : A Ñ B entre categorias aditivas é dito aditivo se o mapa induzido por F ; HompA, Bq Ñ HompF pAq, F pBqq é um homomorfismo de grupos para quaisquer objetos A e B em A.
Uma propriedade interessante do biproduto é que ele é preservado por qualquer funtor aditivo.
Definição 1.1.13. Uma categoria aditiva A é dita abeliana se para todo morfismo
f : A Ñ B em A pode ser fatorado em AÝÑ Iu ÝÑ B com u sendo um epimorfismo e v umv monomorfismo e I é um objeto de A. Dizemos que I é a imagem do morfismo f .
Utilizando dessa definição de categorias abelianas podemos ver que estas possuem núcleos e conúcleos, objetos muito importantes para o estudo de uma categoria. No famoso artigo de Grothendieck sobre algebra homológica ele lista alguns outros axiomas adicionais que uma categoria abeliana pode satisfazer. Usaremos esses axiomas no capítulo 2. Essa notação é utilizada na literatura, os axiomas 1 e 2 das categorias abelianas definidos em (GROTHENDIECK, 1957) podem ser resumidos na definição 1.1.13
Definição 1.1.14. Seja A uma categoria abeliana. Essa categoria pode satisfazer os seguintes axiomas:
pAB3q Se existe o coproduto de qualquer familia indexada pAiqiPI em A.
pAB4q Se A satisfaz AB3 e o coproduto de monomorfismos é um monomorfismo. pAB5q Se A satisfaz AB3 e os colimites filtrados de sequências exatas são exatos. pAB3˚q Se existe o produto de qualquer familia indexada pAiqiPI em A.
pAB4˚q Se A satisfaz AB3˚ e o produto de epimorfismos é um epimorfismo. pAB5˚q Se A satisfaz AB3˚ e os limites filtrados de sequências exatas são exatos. Exemplo 1.1.15. Seja R um anel comutativo com unidade e M odR a categoria cujos objetos são R-módulos e os morfismos são homomorfismos de R-módulos. Essa categoria é abeliana e satisfaz os axiomas AB3,AB4, AB5,AB3˚ e AB4˚. Esta será a nossa categoria
modelo quando estivermos estudando os feixes sobre um esquema que possuem uma estrutura natural de módulo sobre o feixe de estrutura.
Exemplo 1.1.16. Seja A uma categoria abeliana. Definimos a categoria KompAq cujos objetos são complexos de objetos em A, isto é, diagramas da forma
...ÝÝÑ Xdi´1 i d i
ÝÑ Xi`1 d i`1
ÝÝÑ Xi`2Ñ ...
tais que a composição di ˝ di´1 “ 0 para todo i P Z. Chamamos esses morfismos di de diferenciais do complexo. Os morfismos em KompAq são os morfismos de complexos, ou seja, um morfismo entre dois complexos X‚ e Y‚ é dado por um conjunto tfi : Xi
Ñ Yi|i P Zu fazendo o seguinte diagrama comutar
X‚ : Xi // fi Xi`1 // fi`1 Xi`2 // fi`2 Xi`3 // fi`3 ...
Y‚ : Yi //Yi`1 //Yi`2 //Yi`3 //...
Definimos também os funtores covariantes de cohomologia Hi : KompAq Ñ A onde
HipX‚q “ Kerpdiq{Impdi´1q,
e pela comutatividade do diagrama anterior vemos que se f é um morfismo de complexos então podemos induzir Hipf q utilizando das propriedades universais do núcleo e conúcleo.
Podemos também definir as categorias Kom`
pAq, Kom´pAq e KombpAq cujos objetos são complexos limitados inferiormente, superiormente e limitados por ambos os lados, respectivamente, e os morfismos são os mesmos definidos no exemplo anterior. Denotaremos por Kom˚
pAq quando não quisermos especificar com qual dessas categorias estaremos trabalhando.
1.2
Categorias Trianguladas
Nessa seção definiremos as categorias trianguladas, um conceito proposto na tese de Verdier escrita em 1967 mas só publicada em 1996, (VERDIER, 1996). A generalidade das categorias trianguladas nos da a estrutura ideal para trabalharmos com a categoria derivada dos feixes coerentes sobre um esquema, uma vez que esta categoria é necessáriamente não abeliana, a menos de exemplos triviais.
Definição 1.2.1. Seja D uma categoria aditiva. Uma estrutura de categoria triangulada em D é dada por uma equivalência aditiva
T : D Ñ D,
chamada de funtor de translação, e um conjunto de diagramas
chamados de triângulos distinguidos, satisfazendo os seguintes axiomas TR1-TR4:
TR1:Todo triângulo da forma
A Id //A //0 //Ar1s
é distinguido.
(ii)Todo triângulo isomorfo a um triângulo distinguido é um triângulo distinguido. (iii)Todo morfismo f : A Ñ B em D pode ser completado a um triângulo distinguido
A f //B //C //Ar1s.
TR2: O triangulo
A f //B g //C h //Ar1s
é um triângulo distinguido se e somente se
B g //C h //Ar1s ´f r1s“´T pf q//Br1s
é um triângulo distinguido.
TR3: Suponha que temos um diagrama comutativo de triângulos distinguidos com as flechas verticais f e g: A // f B // g C //Ar1s A1 //B1 //C1 //D1
Então o diagrama pode ser completado à um diagrama comutativo, isto é, existe o morfismo h : C Ñ C1 fazendo o seguinte diagrama ser comutativo
A // f B // g C // h Ar1s A1 //B1 //C1 //D1.
Esse morfismo não precisa ser único.
TR4(Axioma do Octaedro): Dados objetos X, Y, Z na categoria D e morfismos
f : X Ñ Y , g : Y Ñ Z e triângulos distinguidos X f //Y //Q1 //Xr1s
X g˝f //Z //Q2 //Xr1s
Y g //Z //Q3 //Y r1s
então existem morfismos a : Q1 Ñ Q2, b : Q2 Ñ Q3 tais que o seguinte diagrama
X f // 1 Y // g Q1 // a Xr1s X g˝f // Z // Q2 // b Xr1s 0 // Q3 1 // Q3 // 0 Xr1s //Y r1s //Q1r1s //Xr2s :“ T pXr1sq
Uma categoria satisfazendo os axiomas TR1 a TR3 é chamada de uma cate-goria pré-triangulada. Até o momento desse trabalho não se sabe de nenhum exemplo de categoria pré-triangulada que não seja triangulada. Uma consequência dos axiomas TR1 e TR3 é que a composição dos morfismos em um triângulo distinguido são nulas.
Exemplo 1.2.2. Seja A uma categoria abeliana e KompAq a categoria de complexos com objetos e morfismos em A. A categoria homotópica KpAq possui como objetos os mesmos objetos de KompAq e os morfismos são obtidos dos morfismos de complexos, quocientando por uma relação de equivalência chamada homotopia. Dizemos que f e g em
HomKompAqpX , Y q são homotópicos, relação denotada por f „ g, se existem morfismos
hi : Xi Ñ Yi´1, para todo i P Z, em A tais que fi´ gi “ dhi ` hi`1d como no seguinte
diagrama X : ... //Xi d // fi gi Xi`1 d // fi`1 gi`1 hi´1 ww Xi`2 // fi`2 gi`2 hi`2 ww ... Y : ... //Yi d //Yi`1 d //Yi`2 //...
Os funtores Hi : KompAq Ñ A são independentes da escolha do representante homotópico, portanto podemos extende-los a Hi : KpAq Ñ A.
Definimos para cada n P Z o funtor rns : KpAq Ñ KpAq que leva o complexo X de objetos Xi e diferenciais di no complexo Xrns de objetos pXrnsqi “ Xi`n e diferenciais pdrnsqi “ p´1qndi`n. É fácil ver que isso define um automorfismo de KpAq em KpAq, a inversa é o funtor r´ns. O funtor de translação de KpAq é o funtor r1s.
Para definirmos os triângulos distinguidos precisamos dos cilindros e cones de um morfismo de complexo. Dado um morfismo f : X Ñ Y de complexos, o cone desse morfismo Cpf q é o complexo cujos objetos são Cpf qi “ Xr1si‘ Yi e os diferenciais são
dCpf qipxi`1, yiq “ p´dxi`1, f pxi`1q ` dpyiqq. O cilindro de um morfismo f é o complexo
Cylpf q de objetos Cylpf qi “ Xi‘ Xr1si‘ Yi e os diferenciais são
diCylpf qpxi, xi`1, yiq “ pdxi´ xi`1, ´dxi`1, f pxi`1q ` dpyiqq. Um triângulo em KpAq
A f //B //C //Ar1s
é dito distinguido se é isomorfo, como triângulo, ao triângulo
A i //Cylpf q π //Cpf q δ //Ar1s
onde i é a inclusão, π é a projeção canônica de Cylpf q em Cpf q e δ é a projeção de Cpf q em Ar1s. A demonstração que KpAq satisfaz os axiomas de uma categoria triangulada podem ser encontrados na primeira seção do Capitulo 3 de (GELFAND; MANIN, 2003).
Da mesma forma que podemos definir as categorias Kom˚
pAq, com ˚ “ `, ´ ou b, também podemos definir K˚
pAq para os casos ˚ “ `, ´ ou b.
Definição 1.2.3. Seja T uma categoria triangulada, um morfismo de triângulos em T é um diagrama comutativo da forma
A // f B // g C // h Ar1s f r1s A1 //B1 //C1 //D1
Ainda na notação da definição anterior, se aplicarmos os axiomas TR2 e TR3 vemos que dados dois morfismos dentre tf, g, hu, é possível encontrar o terceiro elemento desse conjunto de forma a obtermos um morfismo de triângulos.
Apresentaremos agora um axioma equivalente ao axioma TR4, muito utilizado em (NEEMAN, 2001), inclusive na demonstração da existência de uma estrutura de categoria triangulada no quociente de Verdier. No artigo (NEEMAN,1991) encontramos a demonstração da equivalência entre o TR4 e o TR4’.
Axioma TR4’: Dado um diagrama da forma
X u // f Y v // g Z w //Xr1s X1 u1 //Y1 v1 //Z1 w1 //X1r1s
onde as linhas são triângulos distinguidos, podemos completa-lo a um morfismo de triângulos utilizando o TR3 e obter h : Z Ñ Z1 fazendo o diagrama comutar. Mas
podemos tomar h de forma que o seguinte diagrama, o cone do morfismo entre esses triângulos, é um triângulo distinguido
Y ‘ X1 ” ´v 0 g u1 ı //Z ‘ Y1 ” ´w 0 h v1 ı //Xr1s ‘ Z1 „ ´ur1s 0 f r1s w1 //Y r1s ‘ X1r1s
Definição 1.2.4. Seja D uma categoria triangulada e A uma categoria abeliana. Um funtor H : D Ñ A é dito homológico se para todo triângulo distinguido
A u //B v //C w //Ar1s
HpCr´1sq Hpwr´1sq //HpAq Hpuq//HpBq Hpvq//HpCq Hpwq//HpAr1sq
é exata em A.
Vemos que todo funtor homológico nos da o equivalênte à sequencia longa exata gerada pela homologia de complexos. Da mesma forma podemos definir funtores cohomoló-gicos, que são a versão contravariante da definição acima. Um exemplo muito importante de funtor homológico (cohomológico) que aparece naturalmente quando definimos uma categoria triangulada é o funtor HompU, ´q ( Homp´, U q ).
Exemplo 1.2.5. Nas categorias triânguladas K˚
pAq, onde A é uma categoria abeliana, os funtores Hi : K˚
pAq Ñ A são funtores homológicos. A demonstração desse fato está na Proposição 6 da Seção 3 do Capítulo 3 de (GELFAND; MANIN, 2003).
Proposição 1.2.6. Seja D uma categoria triangulada e U um objeto de D. Então
HompU, ´q é um funtor homológico.
Demonstração. Começamos com um triângulo distinguido A u //B v //C w //Ar1s
Precisamos mostrar que
HompU, Aq //HompU, Bq //HompU, Cq
é exata. Já sabemos que a composição desses mapas é nula. Agora seja
f : U Ñ B um elemento de HompU, Bq tal que v ˝ f “ 0. Temos o seguinte diagrama
comutativo U Id //U // f 0 // U r1s A //B v //C //Ar1s
Como as linhas são triângulos distinguidos, pelo TR1, vemos pelo observação feita após a definição de morfismos de triângulos que existe h : U Ñ A completando o diagrama. Este morfismo é exatamente o que precisamos para mostrar que a sequência gerada por HompU, ´q é exata.
Corolário 1.2.7. Considere o morfismo de triângulos distinguidos
X // f Y // g Z // h Xr1s f r1s X1 //Y1 //Z1 //X1 r1s
tal que dois dos morfismos verticais são isomorfismos então os outros dois também são isomorfismos.
Esse corolário é uma consequência direta da proposição anterior e do Lema de Yoneda. Utilizando do TR2 e das oberservações feitas sobre o TR3 vemos que esse corolário pode ser visto como uma variação de Lema dos 5 para categorias triânguladas. Definição 1.2.8. Seja T uma categoria triangulada. Uma subcategoria completa aditiva S de T é dita triangulada se é fechada pela translação de T , isto é, T pXq é um objeto de S, para todo objeto X em S, e se para todo triângulo distinguido
X //Y //Z //Xr1s
tal que X e Y estão em S então Z também está em S
As seguintes definições serão importantes na demonstração da existência do quociente de Verdier, ferramenta utilizada para construir a categoria derivada de uma categoria abeliana. Essas definições e proposições seguem o primeiro capitulo de (NEEMAN,
2001).
Definição 1.2.9. Seja T uma categoria triangulada. Então um quadrado comutativo
Y f // g Z g1 Y1 f1 //Z1
é dito um quadrado cartesiano se existe um triângulo distinguido
Y ” g ´f ı //Y1‘ Zr f1 g1s//Z1 B //Y r1s para algum B : Z1 Ñ Y r1s.
Dizemos que Y é o pullback homotópico do diagrama
Z
g1
Y1 f1 //Z1
e que Z1 é o pushout do diagrama
Y f //
g
Z
Y1
Proposição 1.2.10. O pushout do diagrama
Y f //
g
Z
Y1
existe e denotaremos esse pushout usando a notação da definição do quadrado cartesiano homotópico. Para qualquer objeto P e morfismos a : Y1 Ñ P e b : Z Ñ P
Y f // g Z b Y1 a //P existe um morfismo Z1
Ñ P que leva o pushout homotópico no quadrado
comutativo acima.
Demonstração. A existência do pushout homotópico é dada pelo axioma TR1 (iii) aplicado
ao morfismo Y Ñ Y1
‘ Z. Pelo corolário 1.2.7 vemos que o pushout é unico a menos de isomorfismo, não canônico, isto é, um isomorfismo que não é único. Um quadrado comutativo Y f // g Z b Y1 a //P
representa que a composta de Y Ñ Y1
‘ Z Ñ P é nula. Mas sabemos que
Homp´, P q é um funtor cohomológico e portanto leva o triângulo distinguido Y
” g
´f ı
//Y1‘ Zr f1 g1s//Z1 B //Y r1s
em uma sequência longa exata, portanto temos um elemento de HompY1
‘Z, P q tal que a imagem dele em HompY, P q é nula, mas como a sequência é exata vemos que esse mapa está na imagem do mapa HompZ1, P q Ñ HompY1
‘ Z, P q, concluindo a demonstração.
Podemos dualizar a demonstração para mostrar o resultado analogo para pullbacks homotópicos. Lema 1.2.11. Seja Y // g Z h Y1 //Z1
um quadrado cartesiano homotópico. Se
Y g //Y1 //Y2 //Y r1s
é um triângulo distinguido, então existe um triângulo distinguido Z h //Z1 //Y2 //Zr1s
que completa o quadrado cartesiano homotópico em um morfismo de triângulos Y g // Y1 //Y2 // Y r1s Z h //Z1 //Y2 //Zr1s
Demonstração. A demonstração desse lema pode ser encontrada no Lema 1.4.4. de ( NEE-MAN, 2001)
Definição 1.2.12. Seja T uma categoria triangulada, S uma subcategoria triangulada de T . Definimos a classe de morfismos M orS onde f : X Ñ Y está em M orS se e somente
se existe um triângulo distinguido
X f //Y //Z //Xr1s
tal que Z é um objeto de S.
Proposição 1.2.13. Todo isomorfismo em T está em M orS.
Demonstração. Para ver que isso é verdade basta perceber que em um triângulo distinguido
X f //Y //Z //Xr1s
onde f é um isomorfismo, Z é isomorfo ao 0 e por S ser aditiva então 0 é um objeto de S.
A classe M orS satisfaz as seguintes propriedades:
Proposição 1.2.14. Sejam f : X Ñ Y , g : Y Ñ Z morfismos em uma categoria
triangulada T , e S uma subcategoria triangulada de T . Então se pelo menos dois dos três morfismos f , g ou g ˝ f estiverem em M orS, o outro também está.
Demonstração. Considere a mesma notação utilizada no axioma do octaedro e com isso
temos o diagrama X f // 1 Y // g Q1 // a Xr1s X g˝f // Z // Q2 // b Xr1s 0 // Q3 1 // Q3 // 0 Xr1s //Y r1s //Q1r1s //Xr2s :“ T pXr1sq
Considerando que todas as linhas e colunas são triângulos distinguidos, podemos ver que pela terceira coluna do diagrama que se dois dos morfismos considerados estiverem em M orS então o outro também está.
Proposição 1.2.15. O pullback homotópico e pushout homotópicos de um morfismo em
M orS também estão em M orS.
Y // g Z g1 Y1 //Z1 .
Utilizando do Lema 1.2.11, obtemos um morfismo de triângulos distinguidos
Y g // Y1 //Y2 // Y r1s Z g 1 //Z1 //Y2 //Zr1s
E desse morfismo vemos que g está em M orS se e somente se g1 está também.
A demonstração para f e f1 é completamente analoga.
Definição 1.2.16. Um funtor aditivo covariante F : D Ñ D1 entre categorias trianguladas
D e D1 é dito exato se as seguintes condições são satisfeitas:
i) Existe um isomorfismo funtorial F ˝ TD » TD1 ˝ F . Isto é, o funtor deve comutar com o funtor translação.
ii)Para qualquer triângulo distinguido
X //Y //Z //Xr1s
em D, ao aplicar F , obtemos o seguinte triângulo distinguido em D1
F pXq //F pY q //F pZq //F pXqr1s » F pXr1sq.
Proposição 1.2.17. Seja F : D Ñ D1 um funtor exato entre categorias trianguladas. Se
F possui uma adjunta a direita H : D1
Ñ D então H é um funtor exato entre categorias
trianguladas.
Demonstração. Utilizando o fato que F comuta com o funtor de translaçao temos que TD´11 ˝ F » F ˝ TD´1. Com isso temos os seguintes isomorfismos funtoriais:
HompA, HpTD1pBqqq “ HompF pAq, TD1pBqq “ HompTD´11 pF pAqq, Bq “ HompF pTD´1pAqq, Bq “ HompTD´1pAq, HpBqq
“ HompA, TDpHpBqqq
para qualquer objetos A e B em D e D1, respectivamente. Pelo Lema de Yoneda
concluimos que H também comuta com os funtores de translação.
Agora precisamos mostrar que a imagem por H de um triângulo distinguido em D1 é um triângulo distinguido em D. Considere o triângulo distinguido
A //B //C //Ar1s.
Queremos mostrar que o seguinte diagrama é um distinguido
Aplicando o axioma TR1 ao mapa HpAq Ñ HpBq, compondo o funtor F obtemos o triângulo distinguido
HpAq //HpBq //C0 //HpAqr1s
e então aplicando o axioma TR3 temos o seguinte diagrama comutativo de triangulos distinguidos F pHpAqq // F pHpBqq // F pC0q // F pHpAqqr1s A //B //C //Ar1s
onde os mapas verticais são dados pela counidade e o TR3. Aplicando H ao diagrama acima e utilizando a Proposição 1.1.8 obtemos
HpAq // HpBq // C0 // HpAqr1s HpF pHpAqqq // HpF pHpBqqq // HpF pC0qq // HpF pHpAqqqr1s HpAq //HpBq //HpCq //HpAqr1s
Mas sabemos que a composiçao dos morfismos nas duas primeiras colunas do diagrama são a identidade pelo teorema das unidades e counidades. Gostariamos de poder aplicar o axioma TR3 mas não sabemos se a segunda linha é um triângulo distinguido.
Utilizando da adjunção vemos que a ultima linha do diagrama é levada numa sequência longa exata pelo funtor HompA0, ´q para qualquer A0 objeto de D, e com o Lema
dos 5, na categoria de grupos abelianos, concluimos que HompA0, C0q “ HompA0, HpCqq
pelo mapa descrito no diagrama acima, e usando o lema de Yoneda vemos que C0 » HpCq.
Novamente utilizando o axioma TR1 vemos que a ultima linha do diagrama é de fato um triângulo distinguido e portanto H é um funtor exato.
1.2.1
Objetos Compactos
Definição 1.2.18. Um objeto C de uma categoria triangulada D é dito compacto se, para qualquer coproduto de objetos em D temos
HompC,ž
λPΛ
Tλq “ž λPΛ
HompC, Tλq
Definição 1.2.19. Uma categoria triangulada D é dita compactamente gerada se D possui coprodutos e existe um conjunto T de objetos compactos de D, tal que para todo objeto
Y em T temos
Isto é, se um objeto de D não possui morfismos não triviais com nenhum objeto de T então esse objeto é nulo.
É importante notar que a translação comuta com o coproduto, isso ocorre porque a translação é uma equivalência de categorias e portanto possui uma adjunta a direita, e pela Proposição 1.1.9 ela comuta com coprodutos. Com isso vemos que objetos compactos continuam compactos depois de transladados, e por isso o conjunto T pode ser tomado de forma a ser fechado por translação.
É possivel definir uma classe geradora sem exigir que os objetos sejam compactos, isto é feito no (HUYBRECHTS,2006). A importancia da compacidade dos objetos na classe geradora vem do teorema de representabilidade de Brown, peça central na demonstração da dualidade de Grothendieck-Verdier.
Outro objeto importante no estudo das categorias trianguladas, principalmente nas categorias derivadas não limitadas, é o colimite homotópico de uma sequência enu-merável de objetos. Esse objeto fará o mesmo papel do colimite em categorias abelianas. Seja
X0 Ñ X1 Ñ X2 Ñ ... (1.1)
uma sequência de objetos e morfismos em D, categoria triangulada com copro-dutos. Definimos o morphismo Shif t :žXi Ñ
ž
Xi utilizando a propriedade universal do coproduto no seguinte diagrama
Xi // fi "" gi Xjfj {{ gj š Xi š Xi
onde a flecha horizontal é induzida pela composição dos morfismos na sequência (1.1), os fi são os morfismos naturais do coproduto e os gi são dados pela composição
Xi Ñ Xi`1 fi`1 ÝÝÑ
ž
Xi.
Definição 1.2.20. O colimite homotópico de uma sequência
X0 Ñ X1 Ñ X2 Ñ ...
em uma categoria triangulada D é o objeto hocolimXi que completa o seguinte triângulo distinguido:
Pelo axioma TR1 vemos que esse colimite sempre existe e é unico a menos de isomorfismo, não canônico. A seguinte proposição relaciona o colimite homotópico com o colimite na categoria abeliana.
Proposição 1.2.21. Suponha que c é um objeto compacto de uma categoria triangulada
com coprodutos D e que temos uma sequência
X0 Ñ X1 Ñ X2 Ñ ...
Então Hompc, hocolimXiq “ lim
ÝÑHompc, Xiq .
Demonstração. Considere o triângulo distinguido
š Xi 1´Shif t //š Xi //hocolimXi //š Xir1s
Aplicando Hompc, ´q obtemos a sequência longa exata
Hompc,š Xiq //Hompc,š Xiq γ //Hompc, hocolimXiq //Hompc,š Xir1sq
Hompc,š Xir1sq Mas por c ser compacto temos o seguinte diagrama comutativo
Hompc,š Xir1sq // » Hompc,š Xir1sq »
š Hompc, Xir1sq 1´Shif t //š Hompc, Xir1sq
A linha de baixo desse diagrama é injetiva e com isso percebos que a linha de cima também é. Concluimos assim que o morfismo γ é sobrejetivo. E portanto temos o seguinte diagrama exato
š Hompc, Xiq 1´Shif t //
» š Hompc, Xiq // » cokerp1 ´ Shif tq //0
Hompc,š Xiq //Hompc,š Xiq γ //Hompc, hocolimXiq //0
A linha de cima do diagrama é uma sequência exata curta. E alêm disso, temos a igualdade cokerp1 ´ Shif tq “ lim
ÝÑHompc, Xiq, isto vem da construção explicita do colimite. E pelo Lema dos 5 concluimos que Hompc, hocolimXiq “ lim
ÝÑHompc, Xiq.
Dualizando a definição de colimite homotópico definimos o limite homotópico. Definição 1.2.22. O limite homotópico de uma sequência
... Ñ Xn Ñ ... Ñ X1 Ñ X0
em uma categoria triangulada D é um objeto holimXi que completa o seguinte triângulo distinguido
holimXi // ś iXi 1´Shif t //ś iXi //holimXir1s onde Shif t : ź i Xi Ñ ź i
Xi é definido dualizando a definição do Shif t para
o caso do colimite homotópico.
Concluimos essa seção com o Teorema da Representabilidade de Brown. Sua demonstração pode ser encontrada no Teorema 3.1 do (NEEMAN, 1996)..
Teorema 1.2.23. (Representabilidade de Brown) Seja T uma categoria triangulada compactamente gerada. Seja H : T Ñ Ab um funtor cohomológico. Suponha que o mapa natural Hpž λPΛ Tλq Ñ ź λPΛ HpTλq
é um isomorfismo para todo corproduto em T . Então H é representável.
1.3
Quociente Verdier
Nesta seção estudaremos o quociente de Verdier. Essa tecnica será utilizada para definir a categoria derivada de uma categoria abeliana qualquer.
Teorema 1.3.1. Seja T uma categoria triangulada e S uma subcategoria triangulada de T . Então existe uma única categoria T {S e um funtor exato Q : T Ñ T {S, tais que se
G : T Ñ T1 é um funtor exato entre categorias triânguladas cuja imagem de todo morfismo
em M orS é um isomorfismo em T1, então existe um único funtor exato G1 : T {S Ñ T1
com G1˝ Q “ G.
A demonstração desse teorema será o conteudo dessa seção inteira, pois esta é feita de maneira construtiva. Começamos definindo os objetos de T {S, estes serão os mesmos objetos de T . Os morfismos, por outro lado, serão modificados de forma a tornar os elementos de M orS em isomorfismos. Isto será realizado usando o conceito de tetos.
Fixaremos a notação do teorema pelo restante da seção.
Definição 1.3.2. Dados dois objetos X e Y em T , definimos o conjunto dos tetos αpX, Y q como o conjunto de diagramas da forma
Z f ~~ g X Y
tal que f P M orS e g P HomTpZ, Y q, podemos denotar esse teto por pZ, f, gq
A ideia dessa definição é imitar a localização de um anel por um conjunto multiplicativo, onde tornamos todos elementos desse conjunto multiplicativo em unidades. Podemos ver esse diagrama como uma forma de simbolizar a expressão g{f . Assim como no caso da localização precisamos de uma relação de equivalência para fazer o quociente ter sentido.
Definição 1.3.3. Definimos uma relação em αpX, Y q e dizemos que dois tetos pZ, f, gq e pZ1, f1, g1
q são relacionados se e somente se existe pZ2, f2, g2
q em αpX, Y q e morfismos u : Z2 Ñ Z e v : Z2 Ñ Z1 tais que Z1 f1 ~~ g1 X oo f2 Z2 v OO g2 // u Y Z f `` g >> .
Vemos dessa definição que u e v são elementos de M orS, pela proposição de
composição de morfismos em M orS.
Lema 1.3.4. A relação definida acima é uma relação de equivalência.
Demonstração. Essa relação claramente satisfaz as condições de identidade e reflexividade.
Resta mostrar a transitividade. Sejam pZi, fi, giq elementos de αpX, Y q para i “ 1, 2, 3, tais que pZi, fi, giq está relacionado com pZi`1, fi`1, gi`1q para i “ 1, 2. Então existem os elementos pZ, p, qq e pZ1, p1, q1
q em αpX, Y q e os morfismos u : Z Ñ Z1, v : Z Ñ Z2,
u1 : Z1
Ñ Z2 e v : Z1 Ñ Z3 satisfazendo os seguintes diagramas comutativos
Z2 f2 ~~ g2 Xoo p Z v OO q // u Y Z1 f1 `` g1 >> Z3 f3 ~~ g3 Xoo p1 Z1 v1 OO q1 // u1 Y Z2 f2 `` g2 >>
Z
v
Z1
u1 //Z2 E com isso obtemos o diagrama
Z2 w // w1 Z v Z1 u1 //Z 2
Mas sabemos que u1
, v estão em M orS e pelo lema de pullback homotópico de
elementos de M orStemos que w, w1estão em M orS. É bem claro que pZ2, f2˝v˝w, g2˝v˝wq
é um elemento de αpX, Y q e que torna o seguinte diagrama comutativo, completando a demonstração da transitividade, Z3 f3 ~~ g3 X oo Z2 OO // Y Z1 f1 `` g1 >>
Definição 1.3.5. Definimos os morfismos da categoria T {S entre dois objetos X e Y como o conjunto αpX, Y q quocientado pela relação de equivalência definida acima. A composição é dada pela seguinte regra: dados dois morfismos rpZ, f, gqs P HomT {SpX, Y q
e rpZ1, f1, g1
qs P HomT {SpY, T q, podemos construir o diagrama
W w1 // w Z1 g1 // f1 T Z g // f Y X
onde o quadrado do diagrama é construido usando o pullback homotópico. A composição dos dois morfismos é a classe de equivalência de pW, f ˝ w, g1
˝ w1q em αpX, T q. Utilizando a notação da definição anterior, vemos que pW, f ˝ w, g1
˝ w1q é um elemento de αpX, T q. Isso é uma consequência do lema de pullback homotópico de morfismos em M orS, pois vemos que w esta em M orS. Sabendo que o quadrado descrito
na definição é um pullback homotópico vemos que é unico a menos de isomorfismo, e como isomorfismos estão em M orS vemos que se escolhermos dois representantes para o pullback
será usado para mostrarmos que a composição está bem definida e também pode ser usado na hora de calcular essas composições.
Lema 1.3.6. Ainda na notação da Definição 1.3.5. Suponha que nos é dado um diagrama comutativo P v1 // v Z1 g1 // f1 T Z g // f Y X
onde v está em M orS, então pP, f ˝ v, g1˝ v1q é equivalente a pW, f ˝ w, g1˝ w1q
em αpX, T q.
Demonstração. Pela propriedade do pullback homotópico temos um diagrama comutativo da forma: P (( W // Z1 Z //Y
E vemos que esses dois elementos de αpX, T q são equivalentes pelo diagrama
P ~~ Xoo P id OO // T W `` >>
Lema 1.3.7. A composição em T {S está bem definida.
Demonstração. Precisamos mostrar que essa composição não depende da escolha dos
representantes dos morfismos. Suponha que temos um morfismo pW, f, gq P αpX, Y q e dois elementos equivalentes pW1, f1, g1
q e pW2, f2, g2q em αpY, Zq. Essa equivalencia é dada pelo diagrama W2 f2 }} g2 !! Y oo p Z1 OO q // Z W1 f1 aa g1 ==
Sejam agora Q o pullback homotópico de g, f1, Q1 o pullback homotópico de
g, f2 e T o pullback homotópico de g, p. Pela propriedade do pullback homotópico vemos
que existem morfismos u : T Ñ Q1 e v : T Ñ Q tal que o seguinte diagrama comuta
Q1 !! T OO !! W2 Q !! ~~ Z1 W ~~ W1 !! }} X Y Z
Pela Proposição 1.2.15vemos que os morfismos Q Ñ W , Q1
Ñ W e T Ñ W estão em M orS. E pelo Lema1.3.6 concluimos que o diagrama, com os mapas dados pelas
composições no diagrama acima,
Q1 ~~ Xoo Z1 OO // Z Q `` ??
define uma equivalência entre as composições de pW, f, gq com pW1, f1, g1
q e com pW2, f2, g2
q. O mesmo argumento funciona para quando variamos o elemento de
αpX, Y q por um equivalente.
Teorema 1.3.8. A categoria definida por T {S é de fato uma categoria.
Demonstração. Já sabemos quais são os objetos e os morfismos. Para demonstrar que
temos uma categoria precisamos mostrar que esta satisfaz as condições de identidade e associatividade de morfismos. A identidade é dada por
X Id Id ~~ X X
É fácil ver que esse morfismo satisfaz a condição da identidade. Lidaremos com a associatividade agora. Pela composição ser independete da escolha de representantes, podemos escolher representantes para os morfismos e mostrar que vale a associatividade a menos de uma equivalência entre os morfismos. Sejam pW, f, gq P αpX, X1
q, pW1, f1, g1q P
αpX1, X2
U h1 // ¯ f2 V1 h2 // ˆ f2 W2 // f2 X3 V // ˆ f1 W1 // f1 X2 W // f X1 X
onde todos os quadrados de tamanho 1 do diagrama são quadrados cartesianos homotópicos. Por esse motivo vemos que todos os morfismos f, f1, f2, ˆf1, ˆf2, ¯f2 estão
em M orS. Pelo Lema 6, vemos que os morfismos ppW2, f2, g2q ˝ pW1, f1, g1qq ˝ pW, f, gq e
pW2, f2, g2
q˝ppW1, f1, g1
q˝pW, f, gqq são equivalêntes ao morfismo pU, f ˝ ˆf2
˝ ¯f2, g2
˝h2˝h1q,
concluindo a demonstração.
Uma vez que podemos dizer que T {S é uma categoria, podemos definir o funtor
Q : T Ñ T {S que é a identidade nos objetos e leva os morfismos f : X Ñ Y em T na
classe de equivalência do diagrama
X f 1 ~~ X Y
Este funtor nos dá uma forma conveniente de expressar os morfismos em T {S, isso é feito através do seguinte lema.
Lema 1.3.9. Qualquer mapa rpW, f, gqs P HomT {SpX, Y q pode ser descrito como a
com-posição dos morfismos
W 1 !! f ~~ X W e W g 1 }} W Y
Demonstração. Isso é visto no diagrama W 1 // 1 W g // 1 Y W 1 // f W X
Corolário 1.3.10. Se f : X Ñ Y está em M orS então a inversa do morfismo rpX, 1, f qs P
HomTSpX, Y q é o morfismo rpX, f, 1qs P HomT {SpY, Xq.
Demonstração. Para ver que rpX, 1, f qs ˝ rpX, f, 1qs “ Id basta utilizar o mesmo diagrama da demonstração acima com f “ g e W “ X e ver que a composta é equivalente à identidade. A outra igualdade vem do diagrama
X 1 // 1 X 1 // f X X 1 f // Y X
Uma coisa que percebemos com esses dois ultimos resultatos é que podemos ex-pressar o morfismo rpW, f, gqs P HomT {SpX, Y q como QpgqQpf q´1. Com isso a composição
Qpg1qQpf1q´1 : X Ñ Y e Qpg2qQpf2q´1 : Y Ñ Z é expressa pelo diagrama
P v1 // v W1 g2 // f2 Z W g1 // f1 Y X
e usando que o quadrado é comutativo temos
Qpg2qQpf2q´1Qpg1qQpf1q´1 “ Qpg2qQpv1qQpvq´1Qpf1q´1
Em outra palavras, dada uma composição de morfismos X Ñ Y Ñ Z em T {S podemos achar uma composição X1
Ñ Y1 Ñ Z1 de morfismos em T e mapas X1 Ñ X,
Y1
Ñ Y e Z1 Ñ Z em M orS, tais que o seguinte diagrama é comutativo em T {S
X1 // Y1 // Z1 X //Y //Z
onde os mapas pontilhados estão em M orS e os tracejados estão em T {S.
Vários lemas a seguir serão nessa direção de conseguir levantar morfismos do quociente. Lema 1.3.11. Sejam f, g morfismos de X em Y em T . Então Qpf q “ Qpgq se e somente
se existe u : W Ñ X em M orS tal que f u “ gu.
Demonstração. Sabemos que Qpf q “ Qpgq em T {S se e somente se existe W em T e
X 1 ~~ f Xoo p W v OO q // u Y X 1 `` g >>
Pela comutatividade do diagrama vemos que u “ p “ v e que este morfismo esta em M orS, e agora basta perceber que para o restante do diagrama ser comutativo
precisamos que f u “ gu.
Lema 1.3.12. Todo quadrado comutativo em T {S pode ser transformado num quadrado
comutativo de T isomorfo ao quadrado original.
Demonstração. Considere o quadrado comutativo em T {S W //
X
Y //Z
e veja que as composições W Ñ X Ñ Z e W Ñ Y Ñ Z em T {S podem ser substituidos por W1 Ñ X1 Ñ Z e W2 Ñ Y1 Ñ Z em T , com X, Y isomorfos a X1, Y1,
respectivamente, e W isomorfo a W1, W2 em T {S. Fazendo o pullback homotópico de
W1, W2 obtemos W3 e o seguinte diagrama
W3 // W2 //Y1 // Z W1 // W //Y //Z X1 //X Z Z
onde as flechas pontilhadas representam morfismo em T {S e as tracejadas os morfismos em M orS, estes são isomorfismos emT {S . Notamos do diagrama que
W3 Ñ X1 Ñ Z é igual a W3 Ñ Y1 Ñ Z em T {S, e pelo lema anterior podemos achar
W1
Ñ W3 em M orS tal que se ignorarmos as flechas em T {S temos um diagrama
comutativo em T da forma W1 // Y1 X1 //Z
O objetivo do lema anterior é que sempre podemos transformar um quadrado comutativo em T {S em um quadrado comutativo em T , isomorfo ao quadrado original. Isso será uma ferramenta muito útil nas demonstrações em seguida.
Lema 1.3.13. (i) O 0 da categoria T é também o objeto nulo da categoria T {S. (ii) Sejam X e Y objetos em T {S. Então o biproduto desses objetos em T , X ‘ Y , é
também o biproduto desses objetos desses elementos em T {S
Lema 1.3.14. Seja C uma categoria que possui biprodutos e elemento nulo. Então podemos
definir naturalmente uma estrutura de monoide comutativo em HomCpX, Y q para todo
objeto X, Y em C, compatível com a composição em C.
Demonstração. Dados objetos X, Y em C, e morfismos α, β P HompX, Y q, definimos
α ` β : X Ñ Y por qualquer uma das duas composições X δ //X ‘ X r f g s//Y X ” f g ı //Y ‘ Y ∆ // Y onde δ “ `Id
Id˘ e ∆ “ `Id Id˘. A igualdade entre essas composições vem de
X ‘ X ser um biproduto.
As propriedades do monoide comutativo e a compatibilidade com a composição seguem de simples multiplicações de matrizes.
Proposição 1.3.15. A categoria T {S é aditiva e o funtor natural Q : T Ñ T {S é um
funtor aditivo. E se T1 é uma categoria aditiva com um funtor aditivo G : T Ñ T1 tal que
a imagem de qualquer elemento de M orS é um isomorfismo em T1, então Q fatora em G.
Demonstração. Já sabemos que T {S tem biprodutos e elemento nulo, resta mostrar que o HomT {SpX, Y q tem uma estrutura de grupo aditivo compatível com a composição para quaisquer objeto X, Y em T {S. Usando o lema anterior conseguimos uma estrutura de monoide comutativo para HomT {SpX, Y q, quaisquer que sejam os objetos X, Y , e esta
estrutura é compatível com a composição.
A imagem de um biproduto de dois objetos em T pelo funtor Q é um biproduto destes mesmos objetos, agora em T {S, e os morfismos que definem o biproduto em T {S são as respectivas imagens dos morfismos em T que definem o biproduto em T . Isto é o conteúdo do Lema 1.3.13.
Resta mostrar que todo morfismo φ P HomT {SpX, Y q possui uma inversa. Mas
já mostramos que φ pode ser expresso como Qpf qQpgq´1, onde g P M or
S. Como Q respeita
a adição concluimos
φ ` Qp´f qQpgq´1
Seja G : T Ñ T1 um funtor como no enunciado, definimos ¯G : T {S Ñ T1
o funtor que leva os objetos da mesma forma que G e os morfismos QpuqQpf q´1, com
f : P Ñ X em M orS e u : P Ñ Y , no morfismo GpuqGpf q´1. Claramente essa definição
respeita as diferentes representações de um mesmo morfismo e ¯G define um funtor. E
portanto concluimos que Q fatora em G.
Proposição 1.3.16. Seja g : Y Ñ Y1 um morfismo em T . Então Qpgq é um isomorfismo
se e somente se para qualquer triângulo distinguido
Y g //Y1 //Z //Y r1s
o objeto Z é um somando direto de um objeto em S, isto é, existe um objeto Z1 em T tal que Z ‘ Z1 é um objeto de S.
Lema 1.3.17. Considere que nos é dado o seguinte diagrama comutativo em T cujas
linhas são triângulos distinguidos X f // 1 Y // g Z //Xr1s X gf //Y1 //Z1 //Xr1s
e que Qpgq é um isomorfismo. Então podemos extender o diagrama acima a X f // 1 Y // g Z // h Xr1s X gf //Y1 //Z1 //Xr1s
tal que Qphq também é um isomorfismo.
Demonstração. Começamos utilizando do TR4 para construir h X f // 1 Y // g Q1 // h Xr1s X g˝f // Z // Q2 // Xr1s 0 // Q3 1 // Q3 // 0 Xr1s //Y r1s //Q1r1s //Xr2s :“ T pXr1sq
e como Qpgq é invertível, pela proposição anterior vemos que no triângulo distinguido
o objeto Y2 é um somando direto em S e combinando que a terceira coluna é
um triângulo distinguido com a proposição anterior vemos que Qphq é um isomorfismo.
Lema 1.3.18. Dados dois triângulos distinguidos em T
X //Y //Z //Xr1s X1 //Y1 //Z1 //X1r1s e um quadrado comutativo em T {S X // Y X1 //Y1
cujos morfismos verticais são isomorfismos. Então podemos extende-los a um isomorfismo em T {S entre os triângulos.
Demonstração. O isomorfismo Y Ñ Y1 é um mapa em T {S e portanto pode ser represen-tado por Y2 f // α Y Y1
com α P M orS e Qpf q um isomorfismo. Mas então temos os diagramas em T
cujas linhas são triângulos distinguidos
X2 //Y2 // α Z1 // 1 X2r1s X1 //Y1 //Z1 //X1r1s ¯ X2 //Y2 // f Z1 // 1 ¯ X2 r1s X1 //Y //Z1 //X1 r1s
X2 e ¯X2 existem pelo axioma TR2, e completamos a um isomorfismo de
triângulos em T {S pelo lema anteior. Portanto podemos assumir que Y “ Y1 e que o
morfismo entre eles é a identidade. Agora representando o isomorfismo X Ñ X1 em T {S
X3 g //
β
X1
X
X3 g // β X1 X //Y
a sua comutatividade vem da aplicação do funtor Q a esse diagrama e comparar com o quadrado do enunciado com Y “ Y1. Utilizando do Lema 1.3.11 obtemos um
mapa W Ñ X3 que está em M or
S e com isso podemos substituir X3 por W e obter um
quadrado comutativo em T . E agora estamos em posição de aplicar o lema anterior nos diagramas W // Y // Z2 //W r1s X //Y //Z //X1 r1s e W // Y // Z2 //W r1s X1 //Y //Z1 //X1 r1s que nos da a existência de morfismos h : Z2
Ñ Z, c : Z2 Ñ Z1 tais que
Qphq e Qpcq são isomorfismos. Concluimos observando que o morfismo procurado é QpcqQphq´1 : Z1
Ñ Z em T {S.
Agora estamos prontos para definir uma estrutura triangulada em T {S e assim demonstrar o Teorema 1.3.1. O funtor de translação em T {S é construido compondo a translação de T com o funtor natural Q, e utilizando a propriedade universal do funtor Q. Dizemos que um triângulo
X //Y //Z //Xr1s
em T {S é dito distinguido se é isomorfo a imagem por Q de um triângulo distinguido.
Demonstração. Essa estrutura definida acima caracteriza T {S como uma categoria
trian-gulada e Q : T Ñ T {S como um funtor exato.
Pela estrutura definida acima vemos que TR1(i) e (ii) são satisfeitos. O TR2 também é satisfeito. Agora considere um morfismo QpuqQpf q´1 em T {S, com f : P Ñ X
elemento de M orS e u : P Ñ Y um morfismo de T . Mas pelo TR1 de T temos o triângulo
distinguido P u //Y v //Z w //P r1s então X QpuqQpf q ´1 //Y Qpvq // Z Qpwq //P r1s é isomorfo a
P Qpuq//Y Qpvq//Z Qpwq//P r1s
e portanto T {S satisfaz TR1.
Agora mostraremos que T {S satisfaz TR3. Comecemos com um diagrama comutativo em T {S X // Y // Z //Xr1s X1 //Y1 //Z1 //X1 r1s (1.2)
e queremos achar h : Z Ñ Z1 fazendo o diagrama ser comutativo. Começamos
observando que o quadrado
X //
Y
X1 //Y1
pode ser levantado a um quadrado em T pelo Lema 1.3.12, e seja ¯ X // ¯ Y ¯ X1 //Y¯1
o quadrado correspondente. Esse quadrado pode ser extendido ao diagrama ¯ X // ¯ Y //Z¯ //Xr1s¯ ¯ X1 //Y¯1 //Z¯1 //X¯1r1s
em T que pode ser completado com um morfismo usando o TR3 de T , e portanto completa o diagrama comutativo em T {S. Mas o quadrado comutativo com isomorfismos verticais em T {S ¯ X // ¯ Y X //Y
pode ser extendido a um isomorfismo de triângulos distinguidos em T {S, Lema
1.3.18, e com isso obtemos o diagrama ¯ X // ¯ Y //Z¯ //Xr1s¯ X //Y //Z //Xr1s¯
