Nessa seção estudaremos as sequências espectrais sobre uma categoria abeliana arbitrária, fixando posteriormente para as categorias CohpXq e QCohpXq. Essa ferramenta é utilizada para calcular o funtor derivado de uma composição de funtores entre categorias abelianas. Uma primeira aplicação é feita para demonstrar que Hom‚ define um funtor de
DbpCohpXqq ˆ DbpCohpXqq Ñ DbpCohpXqq. O principal teorema dessa seção é teorema que define a sequência espectral de Leray, responsável pelo calculo do funtor derivado de uma composição.
Começamos a seção com a definição da sequência espectral arbitrária para uma categoria abeliana A. Em seguida definimos a sequência espectral associada a uma filtração de complexos, e usaremos dessa definição para calcular a sequência espectral de um duplo complexo. Finalizando a seção com o enunciado da sequência de Leray e algumas aplicações.
Definição 2.3.1. Uma sequência espectral em uma categoria abeliana A é uma coleção de objetos tErp,q| onde p, q P Z e r ě 0 u e morfismos dp,qr : E
p,q r Ñ E
p`r,q´r`1
r , para todo p, q e r onde Erp,q está definido, e um complexo E‚ sobre A satisfazendo as seguintes condições
(i) Chamamos a coleção pErp,q, d p,q
r qp,qPZde r-ésima folha da sequência espectral, denotamos essa folha por Er.
(ii) Os morfismos dp,qr são definem um complexo, isto é, dp`r,q´r`1r ˝ dp,qr “ 0 para todo
p, q inteiro e r inteiro não negativo.
(iii) Podemos calcular a cohomologia no elemento Erp,q, Hrp,qpErq :“ Kerdp,qr {Impd
p´r,q`r1q.
E temos que Er`1p,q “ Hrp,qpErq.
(iv) Para todo p, q inteiros, existe r0 inteiro positivo tal que dp,qr “ 0 e d
p´r,q`r´1
“ 0 para todo r ě r0. Isto é, Erp,q “ E
p,q
r0 para todo r ě r0. Denotamos esse objeto por E
p,q
8 .
(v) Existe uma filtração descendente ... Ą FpEn Ą Fp`1En Ą ... para cada inteiro n e isomorfismos βp,q : Enp,q Ñ FpEp`q{Fp`1Ep`q. Dizemos que a sequência espectral pErp,q, d
p,q
r qp,q,r converge ao complexo En.
As condições (iv) e (v) são condições de convergencia para sequências espectrais, poderiam ser descritas outras formas de convergência mas essa é a que usaremos ao longo do texto. Relembraremos agora a definição do bicomplexo e em seguida definiremos a sequência espectral associada a uma filtração de complexos.
Definição 2.3.2. Um duplo complexo consiste de um conjunto de objetos Ki,j, para todo i, j inteiro, e morfismos di,jI : Ki,j Ñ Ki ` 1, j e di,jII : Ki,j Ñ Ki,j`1. Esse morfismos satisfazem
d2I “ 0, d2II “ 0 e dIdII ` dIIdI “ 0.
Denotamos esse duplo complexo por K‚,‚.
A seguinte definição será importante quando formos determinar En, na notação da Definição 2.3.1, na sequência espectral de um duplo complexo K‚,‚. Veremos que o
complexo totalizante preserva grande parte das propriedades cohomológicas do duplo complexo.
Definição 2.3.3. Seja K‚,‚ um duplo complexo. O seu complexo totalizante é definido
por T otpK‚,‚
qn :“ ‘i`j“nKi,j com diferenciais dT ot “ dI` dII.
Exemplo 2.3.4. O complexo Hom‚pF‚, G‚q definido na seção anterior pode ser visto como o complexo totalizante do duplo complexo Ki,j “ HompA´i, Bjq, com diferenciais
dI “ p´1qj´i`1dF e dII “ dG. Da mesma forma podemos definir F‚b‚G‚ como o complexo
totalizante do duolo complexo Ki,j “ Fib Gj, com diferenciais dI “ p´1qj´i`1dF b 1 e
dII “ 1 b dG.
Agora estudaremos a sequência espectral associada a uma filtração de um complexo. Seja K‚ um complexo sobre uma categoria abeliana A, uma filtração descendente
de K‚ é uma sequência de complexos FpK‚ tal que ... Ą FpKn
Ą Fp`1KnĄ ..., para todo
p inteiro, e os diferenciais de K‚ restringem a diferenciais em FpK‚.
Definição 2.3.5. Seja K‚ um complexo em KompAq, onde A é uma categoria abeliana,
e pFpK‚qpPZ uma filtração de K‚. Seja Zrp,q “ d
´1 pFp`rKp`q`1q X FpKp`q então Erp,q “ Zrp,q{pZ p`1,q´1 r´1 ` dZ p´r`1,q`r´2 q
e os morfismos dp,qr : Erp,qÑ Erp`r,q´r`1 são definidos pelo diferencial de K‚. O
complexo E‚ é definido como Hn
pK‚q e sua filtração é dada pela imagem do mapa de inclusão HnpFpK‚
q Ñ HnpKq.
É fácil ver que Erp,q está bem definido. Para ver que o morfismo está bem definido basta mostrar que pZr´1p`1,q´1 ` dZp´r`1,q`r´2q está contido no núcleo do mapa
˜ d : Zrp,q Ñ Zrp`r,q´r`1{pZ p`r`1,q`r´3 r´1 ` dZ p`1,q´1 r´1 q, onde ˜dpxq é o elemento em Ep`r,q´r`1 representado por dpxq. Podemos ver que ˜dpZr´1p`1,q´1q “ 0, este é um dos subgrupos que definem Erp`r,q´r`1, e que ˜dpdZp´r`1,q`r´2q “ 0 porque K‚ é um complexo e d2 “ 0.
Em seguida precisamo mostrar que a Kerdp,qr {Impdp´r,q`r´1r q “ E p,q
r`1. Para mostrar isso primeiro observamos os isormorfismos
pZr`1p,q ` Z p`1,q´1 r`1 q{pZ p`1,q´1 r´1 ` dZ p´r`1,q`r´2 r´1 q » Kerpd p,q r q e pdZrp´r,q`r´1` Z p`1,q´1 r´1 q{pZ p`1,q´1 r´1 ` dZ p´r`1,q`r´2 r´1 » Impd p´r,q`r´1 r q.
Os detalhes podem ser encontradas na Seção 7 de (GELFAND; MANIN, 2003). As condições (iv) e (v) da Definição 2.3.1 não acontecem no caso geral, precisamos impor condições extras na filtração para isso. Essas condições acontecem no nosso caso principal, o do complexo duplo. Estudaremos essa situação agora.
A convergência ao complexo En depende de condições extras introduzidas à filtração.
Para definirmos a sequência espectral associada ao duplo complexo precisamos primeiro definir uma filtração natural do complexo totalizante. Acontece que o complexo totalizante possui duas filtrações canônicas. A combinação das duas sequências espectrais geradas por essas filtrações formam uma importante ferramenta em geometria algébrica.
Considere o duplo complexo K‚,‚ com diferenciais d
I e dII. Os diferenciais di,jI induzem a cohomologia HIi,jpK‚,‚q :“ HIipK‚,jq “ Kerdi,jI {pImd
i´1,j
I q. Os diferenciais dII induzem diferenciais ˜di,jII : HIipK‚,jq Ñ HIipK‚,j`1q e portanto temos a cohomologia associ- ada a esses diferenciais é HIIj pHIipK‚,‚qq :“ Ker ˜d
i,j II{pIm ˜d i,j´1 II q. Analogamente podemos definir HIipHIIj pK ‚,‚ qq.
Definição 2.3.6. Seja K‚,‚ um duplo complexo com diferenciais d
I e dII, e T otpKq o seu complexo totalizante. Podemos definir as filtrações FIppT otpKqq “ ‘i`j“n
iěp
Ki,j e
FIIppT otpKqq “ ‘i`j“n jěp
Ki,j.
Sabemos que com essas filtrações podemos construir duas sequências espectrais, denotaremos por EI,p,q e EII,p,q as sequências obtidas apartir das filtrações FIppT otpKqq e
FIIppT otpKqq, respectivamente. Vamos agora impor a condição que no duplo complexo K‚,‚,
Ki,j “ 0 para i, j ă 0. Esse é chamado duplo complexo no primeiro quadrante. Utilizando essas filtrações nessa situação não é difícil ver que as sequências espectrais EI,p,q e EII,p,q satisfazem (iv) e com isso mostrar a sua convergência ao complexo HnpT otpKqq.
Proposição 2.3.7. Ainda na notação utilizada na definição anterior, E2I,p,q “ HIppH q
IIpK‚,‚qq
e E2II,p,q “ HIIp pH q
IpK‚,‚qq e ambas sequências convergem a H n
pT otpKqq. A seguir apresentamos a sequência espectral de Leray.
Teorema 2.3.8. Sejam A e B duas categorias abelianas com suficientes injetivos e C uma categoria abeliana. Considere também F : A Ñ B e G : B Ñ C são funtores exatos à esquerda. Suponha que se I‚ é um complexo de injetivos em Kom`
pAq e se F pI‚q é exato,
então GpF pI‚qq é exato. Então para todo objeto X em A, existe uma sequência espectral
com
E2p,q “ RpGpRqF pXqq
convergindo a RnpG ˝ F qpXq.
A ideia da demonstração desse teorema é ao invés de utilizar uma resolução por um complexo de injetivos em um objeto de A para calcular o funtor derivado, mas sim utilizarmos uma resolução por um duplo complexo de injetivos. Isso é feito por meio da resolução de Cartan-Eilenberg. A demonstração da existência e propriedades funtoriais da resolução de Cartan-Eilenberg é feita escolhendo as resoluções injetivas de maneira conveniente de maneira a obter um duplo complexo no primeiro quadrante, e assim utilizar da Proposição 2.3.7 para concluir o teorema. Os detalhes podem ser encontrados na Seção 7 do Capítulo 2 de (GELFAND; MANIN,2003).
Para aplicar essa sequência espectral precisamos adaptar ao caso em que F e
Proposição 2.3.9. Sejam A e B duas categorias abelianas com suficientes injetivos e C uma categoria abeliana. E F : K`
pAq Ñ K`pBq, G : K`pBq Ñ K`pCq dois funtores
exatos entre categorias triânguladas tais que se I‚ é um complexo injetivo e F pI‚
q é exato,
então GpF pI‚
qq é exato. Então para todo complexo X‚ em K`
pAq, existe uma sequência
espectral com
E2p,q“ RpGpRqF pX‚qq
convergindo a RnpG ˝ F qpX‚q.
Podemos utilizar da versão da Proposição 2.3.9da sequência espectral de Leray para obter uma sequência espctral bem útil para calcular os grupos de homomorfismos na categoria derivada.
Exemplo 2.3.10. Sejam A‚ e B‚ dois objetos de DpAq com B‚ sendo limitado inferior-
mente e A‚ limitado superiormente e suponha que A tem suficientes injetivos e satisfaz
AB4˚. Então pela Proposição2.3.9para o caso em que F “ Id e G “ Hom‚
pA, ´q obtemos uma sequência espectral E2p,q “ RpHom‚
pA‚, HqpB‚qq convergindo à Rp`qHom‚
pA‚, B‚
q. Mas utilizando da proposição2.2.23vemos que E2p,q “ HomDpAqpA‚, HqpB‚qrpsq convergindo a HomDpAqpA‚, B‚rp ` qsq.
Exemplo 2.3.11. Utilizando da notação da Proposicão 2.3.9 A “ CohpXq, B “ CohpXq, C “ CohpXq F “ id e G “ Hom‚
pG‚, ´q : K`
pCohpXqq Ñ K`pCohpXqq, onde G‚ é um complexo de feixes coerentes com Gi “ 0 se i ă 0. A condição de GpF pI‚qq ser exato, caso
F pI‚
q “ I‚ seja exato e I‚ um complexo de injetivos, é satisfeita por Hom‚
pG‚, ´q ser um
funtor exato.
Portanto podemos aplicar a Proposição 2.3.9. Temos assim, para todo complexo F‚em K`
pCohpXqq, uma sequência espectral cuja segunda folha é E2p,q “ RppHompG‚, HqpF‚qq
e esta converge à cohomologia do complexo Hom‚
pG‚, F‚
q.
Uma aplicação interessante de sequências espectrais é a seguinte proposição. Ela será usada na demonstração da dualidade de Serre.
Propriedade 1. Seja A uma categoria abeliana com suficientes injetivos satisfazendo
AB4˚. E sejam A‚, B‚ objetos em DpAq com Hi
pA‚q “ 0 se i ą 0 e HipB‚q “ 0 se i ď 0.
Então HDpAqpA‚, B‚q “ 0.
Demonstração. Com a sequência espectral definida no Exemplo 2.3.10 obtemos uma sequência E2p,q “ HomDpAqpA‚, HqpB‚qrpsq convergindo a HomDpAqpA‚, B‚rp ` qsq. Mas
E2p,q “ 0 para q ď 0, para todo inteiro p. Sabemos que uma filtração descendente de
E0 “ HomDpAqpA‚, B‚q gera os objetos E8p,´p. Se mostrarmos que E
p,´p
inteiro então E0 “ 0. Para p positivo já sabemos que E8p,´p é zero. Se p é negativo então
E2p,´p “ HomDpAqpA‚, H´ppB‚qrpsq
Mas se substituirmos o objeto H´p
pB‚q de A por uma resolução injetiva.Seja
I‚ essa resolução injetiva. Hi
pI‚q “ 0 se i ď 0. Nesse caso podemos utilizar do Lema2.2.14 para ver que HomDpAqpA‚, H´ppB‚qrpsq “ HomKpAqpA‚, H´ppB‚qrpsq. E é fácil ver que nessas condições, todos os mapas de complexos são nulos.
Para finalizar essa seção introduziremos o conceito de sistema de Postnikov associado a um complexo X‚ em uma categoria triangulada T , a sequência espectral associada a uma dupla exata e concluir com a mescla das duas ferramentas. Para essa seção utilizamos em grande parte a segunda seção do Capítulo IV do (GELFAND; MANIN,
2003), mas algumas notações e lemas vem de outros trabalhos como (ORLOV, 2009) e (KAPRANOV,1988).
Um complexo finito em uma categoria triangulada T é uma sequencia de morfismos ... Ñ Xn Ñ Xn`1 Ñ Xn`2 Ñ ... tal que as composições são nulas, toda categoria triangulada é também aditiva e portanto possui objeto nulo, e só temos um número finito de Xi não nulos. Um sistema de Postnikov a direita associado ao complexo
X‚ é um diagrama comutativo da forma
X0 r´ns //X1 r´n ` 1s //... //Xn´1 r´1s %% //Xn Y0 AA Y1 == oo ... GG oo Yn´1 == oo Yn “ Xnr1s „ == oo
onde os morfismos tracejados tem ordem 1, isto é, f : X 99K Y representa o morfismo f1 : X Ñ Y r1s em T . Todos os triângulos do Diagrama 2.3 são distinguidos, ou
seja,
Xkrn ´ ks Ñ Yk`1 Ñ Yk Ñ Xkrn ´ k ` 1s
são distinguidos. Dizemos que um objeto T em T é a convolução a direita associada a
X‚ se existe um sistema de Postnikov a direita tal que T “ Y0rn ´ 1s. Analogamente, definimos um sistema de Postnikov a esquerda associado ao complexo X‚ como um
diagrama comutativo da forma
X0 // id X1 // ... // Xn´1 // Xn Z0 EE Z1 oo FF ... oo CC Zn´1 oo BB Zn oo
com os morfismos tracejados tendo ordem 1 e todos os triângulos
ZkÑ Xk`1 Ñ Zk Ñ Zkr1s
são distinguidos. Um objeto T é dito a convolução a esquerda associada a X‚ se existe um
Proposição 2.3.12. A classe de todas as convoluções a direita e a classe das convoluções
a esquerda em X‚ coincidem.
A demonstração dessa proposição pode ser vista no item bq da Seção 2 do Capítulo IV do (GELFAND; MANIN,2003).
Agora descrevemos as duplas exatas e a sequência espectral associada a essa construção. As duplas exatas são construidas em cima de categorias abelianas, mais usualmente na categoria de objetos bigraduados de uma categoria abeliana. Definiremos a dupla exata para R-módulos para evitar tecnicalidades necessárias para definir em uma categoria abeliana geral. O caso geral pode ser visto no artigo (ECHMANN,1966). Uma dupla exata é uma coleção pD, E, i, j, kq de 2 objetos e 3 morfismso satisfazendo o seguinte diagrama comutativo D i //D j ~~ E k ``
tal que D Ñi D Ñj E ÑkÑi é uma sequência exata. Em particular pjkq2 “ 0, e portanto podemos definir a cohomologia HpE, jkq “ Kerpjkq{Impjkq. Isso nos permite definir uma nova dupla exata pD1, E1, i1, j1, k1
q onde D1 “ Impiq, E1 “ HpE, jkq, i1 e a restrição de i a D1, j1
pipxqq “ pjpxqq em HpE, jkq para x em D¯ 1 e k1
p¯yq “ kpyq onde y
está em E e jkpyq “ 0. A dupla pD1, E1, i1, j1, k1
q é chamada de dupla exata derivada da dupla exata pD, E, i, j, kq.
Considere agora o caso em que D “ ‘Dp,q e E “ ‘Ep,q são módulos bi- graduados, e i,j e k são morfismos de módulos bigraduaos de ordem p´1, 1q,p0, 0q e p1, 0q, respectivamente. Não é dificil ver que na dupla exata derivada de pD, E, i, j, kq, pD1, E1, i1, j1, k1q, D1 e E1 são módulos bigraduados e i,j,k são morfismos de módulos bi- graduados de ordem p´1, 1q,p1, ´1q e p1, 0q, respectivamente. Repetindo esse processo de derivação da dupla exata r vezes obtemos uma dupla exata pDr, Er, ir, jr, krq onde Dr e
Er são módulos bigraduados e ir,jr e kr são morfismos de módulos bigraduados de ordem p´1, 1q,pr ´ 1, 1 ´ rq e p1, 0q, respectivamente.
Se considerarmos dr “ jrkr: Er Ñ Er como o diferencial da sequência espec- tral,já que este é um morfismo de módulos bigraduados de ordem pr, 1 ´ rq, podemos ver que Er`1p,q “ Kerpdp,qr q{Impd
p´r,q`r´1
r q. Desta forma para considerarmos pE p,q
r , drq como uma sequência espectral precisamos exibir uma coleção de objetos para os quais essa sequência converge. Esse é o conteudo do próximo lema. A demonstração é adaptada da demonstração da Proposição 5.9.6 do (WEIBEL,1995).
Lema 2.3.13. Seja pD, E, i, j, kq uma dupla exata de módulos bigraduados satisfazendo
(i) Para cada dupla de inteiros pp, qq existe um inteiro App, qq tal que o homomorfismo
i : Dp´r,q`r Ñ Dp´r´1,q`r`1 é um isomorfismo para todo r ě App, qq.
(ii) Para cada dupla de inteiros pp, qq existe um inteiro Bpp, qq tal que o homomorfismo
i : Dp`r`1,q´r´2 Ñ Dp`r,q´r´1 é zero para todo r ě Bpp, qq. Defina a sequência de módulos G‚ por
Gn “ lim ÐÝn´ppD p,n´p q e temos a filtração FpGn“ Impπp : Dp,n´p Ñ Gnq
. Para toda dupla de inteiros pp, qq existe r suficientemente grande tal que Erp,q “ E p,q r`1 “
Er`2p,q “ ..., definimos E8p,q “ E
p,q
r . Esses objetos satisfazem as seguintes condições
(1) FpGnĄ Fp`1Gn
(2) FkGn “ 0 para k ě p ` App, n ´ pq ´ 1 e p arbitrário.
(3) FkGn “ Gn para k ě p ´ Bpp, n ´ pq e p arbitrário.
(4) FpGn{Fp`1Gn» E8p,n´p.
Demonstração. É importante notar que quando estamos definindo Gn“ lim ÐÝp D
p,n´p esta- mos usando uma ordenação diferente para os objetos, isto é, estamos ordenando utilizando a segunda coordenada e não a primeira. As conclusões (1), (2) e (3) são diretas da definição de Gn e da filtração FpGn.
É fácil ver das condições (i) e (ii) que se r é suficientemente grande então
Erp,q “ Kerpjrp`1,qk p,q r q{Impj p´r`1,q`r´1 r k p´r,q`r´1 r q “ pkrp,qq ´1 pip,q´1r pD p,q´1 qq{jrp´r`1,q`r´1pKerpi p´r`1,q`r´1 r qq “ pkp,qr q ´1 ppip´r,q`r´1qrpDp´r,q`r´1qq{jrp´r`1,q`r´1pKerpi p´r`1,q`r´1 r qq “ pk p,q r q ´1 p0q. Portanto Erp,q “ Er`1p,q “ ... , isso porque o kr é definido recursivamente e
Kerpkrq “ Kerpkr`1q. Definimos E8p,q“ E
p,q
r , onde r é suficientemente grande.
Para demonstrar (4) primeiro vemos que se Kp,n´p é o núcleo de Dp,n´pÑ Gn, então Kp,n´p “ YrKerpip,n´pr q isto porque G
n é um limite direto e ip,q r “ pi p`r,q´r qr. Logo, jpKp,n´pq “ YrjpKerpip,qr qq “ jpKerpi p,q
0 0 //Kp´1,n´p`1arccosrdsa //Dp´1,n´p`1 // i Fp`1Gn // c 0 0 //Kp,n´p //Dp,n´p //FpGn //0
e obtemos a sequência exata curta
Kerpcq Ñ Cokerpaq Ñ Cokerpiq Ñ Cokerpcq Ñ 0.
Mas Kerpcq “ 0, Cokerpaq “ Kp,n´p{A, Cokerpcq “ FpGn{Fp`1Gn e
Cokerpiq “ Dp,n´p{Impip´1,n´p`1q “ Dp,n´p{Kerpjp,n´pq “ jp,n´ppDp,n´pq,
onde a ultima igualdade é feita aplicando j a Dp,n´p pelo isomorfismo natural de módulos, mas aplicando j ao submódulo Cokerpaq vemos que este é nulo e portanto concluimos que
0 Ñ jpDp,n´pq Ñ FpGn{Fp`1Gn. Finalizamos a demonstração percebendo que
jpDp,n´pq “ Kerpkq “ Kerpkrq “ pkp,n´pr q´1p0q “ E8p,n´p.
Com o lema anterior podemos concluir que pErp,q, dp,qr , Gnq determinam uma sequência espectral no sentido da Definição 2.3.1. Essa sequência espectral será usada no Capítulo 3 para definir uma sequência espectral associada ao sistema de Postnikov.
3 Teoria de Hélices e Dualidade
Descreveremos nesse capítulo os dois artigos estudados no final do mestrado. O artigo Helix Theory de A.L. Gorodentsev e S.A. Kuleshov (GORODENTSEV; KULESHOV,
2004) e o artigo The Grothendieck Duality Theorem via Bousfield’s Techniques and Brown Representability (NEEMAN, 1996) do Amnon Neeman.
No artigo (GORODENTSEV; KULESHOV, 2004) está estudada a aplicação de conceitos dos reticulados de Mukai, Z-módulos livres de dimensão finita equipados com uma forma bilinear satisfazendo o isomorfismo de Reisz M ÝÑ M„ ˚, às categorias derivadas do espaço projetivo DbpCohpPnqq. Essa categoria possui um conjunto de geradores finitos e usaremos esse fato para fazer a analogia com os reticulados de Mukai.
No artigo (NEEMAN, 1996) vemos como demonstrar a dualidade de Verdier- Grothendieck para categorias derivadas não limitadas DpQCohpXqq. Usualmente esta dualidade é definida para os feixes coerentes sobre uma variedade projetiva ou no máximo uma extensão para a categoria DbpCohpXqq, mas vemos no artigo que sua definição no caso não limitado vem de maneira natural e utiliza de várias ferramentas importantes do estudo de categorias triânguladas.