Clarke and Wright Savings Algorithm – Apresentação de exemplo

Neste capítulo dá-se sequência ao exemplo que tem vindo a ser apresentado ao longo da exposição do projeto.

Na análise em estudo são considerados 5 ecopontos. O objetivo consiste em obter as rotas necessárias para recolher os resíduos destes ecopontos, sendo que as rotas devem iniciar e terminar na sede.

Tem-se portanto:

O grafo G = (V, A), com V = {0,1, 2, 3, 4 ,5} onde 0 corresponde à sede, os restantes elementos correspondem a cada um dos ecopontos. O conjunto A consiste no grupo das arestas que representam a ligação entre cada par de pontos (ecopontos e sede).

Na tabela 5.4 apresentam-se as distâncias entre cada par de pontos. Como anteriormente referido consideram-se estas distâncias simétricas.

5. Problema de otimização das rotas de veículos

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa 56

Tabela 5.4: Distância em metros entre cada par de pontos

Os tempos de deslocação entre cada par de ecopontos encontram-se indicados na tabela 5.5.

wij

Sede Ecoponto 1 Ecoponto 2 Ecoponto 3 Ecoponto 4 Ecoponto 5

Sede - 5,19 5,74 3,70 4,63 6,30 Ecoponto 1 - 3,89 5,37 4,81 3,70 Ecoponto 2 - 7,04 3,70 5,93 Ecoponto 3 - 5,56 5,00 Ecoponto 4 - 4,63 Ecoponto 5 -

Tabela 5.5: Tempos de deslocação em minutos entre cada par de pontos

Um outro dado essencial para a resolução do problema consiste na quantidade estimada de resíduos a recolher em cada ecoponto, disponível na tabela 5.6.

Ecopontos Qt. Resíduos (m3) - di Ecoponto 1 37 Ecoponto 2 35 Ecoponto 3 30 Ecoponto 4 25 Ecoponto 5 32

Tabela 5.6: Quantidade estimada de resíduos a recolher em cada ponto Cij

Sede Ecoponto 1 Ecoponto 2 Ecoponto 3 Ecoponto 4 Ecoponto 5

Sede - 280 310 200 250 340 Ecoponto 1 - 210 290 260 200 Ecoponto 2 - 380 200 320 Ecoponto 3 - 300 270 Ecoponto 4 - 250 Ecoponto 5 -

5. Problema de otimização das rotas de veículos

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa 57

Considera-se a existência de duas viaturas de recolha em que cada uma tem a capacidade de 100 m3:

 K = 2

 L = 100 m3

Neste exemplo consideram-se duas equipas disponíveis em que cada uma trabalha 8 horas por dia, ou seja:

 h = 8 horas

 t = 2 equipas

Por fim, define-se uma duração de 5 minutos como o tempo médio correspondente ao processo de recolha dos resíduos de cada ecoponto, ou seja:

R = 5 minutos

Aplicando o algoritmo ao exemplo apresentado:

1. Criação das rotas iniciais:

Estas rotas consistem na ligação entre a sede e cada um dos ecopontos (ida e volta), disponível na tabela 5.7.

Rota Custo Quantidade m3 Duração (min) Rota 1: {(0, 1), (1,0)} 560 37 15,37 Rota 2: {(0, 2), (2,0)} 620 35 16,48 Rota 3: {(0, 3), (3,0)} 400 30 12,41 Rota 4: {(0, 4), (4,0)} 500 25 14,26 Rota 5: {(0, 5), (5,0)} 680 32 17,29

Tabela 5.7: Rotas obtidas na primeira iteração do exemplo em estudo.

5. Problema de otimização das rotas de veículos

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa 58

2. Obtenção das poupanças (savings):

Para cada possível junção de duas rotas calcula-se o respetivo custo poupado comparando com a possibilidade de se ter as duas rotas em separado.

Os valores obtidos podem ser consultados na tabela 5.8.

Junções: Saving 1-5 420 1-2 380 2-4 360 4-5 340 2-5 330 1-4 270 3-5 270 1-3 190 3-4 150 2-3 130

Tabela 5.8: Lista com Savings obtidos do exemplo em estudo

Deve ser destacado o facto de que os savings são calculados apenas uma vez durante toda a execução do algoritmo. O algoritmo vai percorrendo a lista obtida com os diversos savings e com base nesses dados efetua as possíveis junções.

Este facto é de extrema importância, pois pretende-se que o sistema tenha um bom tempo de execução.

5. Problema de otimização das rotas de veículos

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa 59

3. Efetuar junções de acordo com a lista de poupanças obtida e ordenada por ordem decrescente:

a. Junção 1-5:

Obtém-se a rota {(0, 1), (1,5), (5, 0)}

A lista atual das rotas é apresentada na tabela 5.9.

Rota Custo Quantidade m3 Duração (min) Rota 2: {(0, 2), (2,0)} 620 35 16,48 Rota 3: {(0, 3), (3,0)} 400 30 14,41 Rota 4: {(0, 4), (4,0)} 500 25 14,26 Rota 6: {(0,1),(1,5),(5, 0)} 820 69 25,19

Tabela 5.9: Rotas obtidas na segunda iteração do exemplo em estudo

b. Junção 1-2:

Obtém-se a rota {(0, 2), (2, 1), (1,5), (5, 0)}, ficando com as rotas representadas na figura 5.10.

Rota Custo Quantidade m3 Duração (min) Rota 3: {(0, 3), (3,0)} 400 30 14,41 Rota 4: {(0, 4), (4,0)} 500 25 14,26 Rota 7: {(0, 2), (2, 1), (1,5), (5, 0)} 1060 104 33,63

Tabela 5.10: Rotas obtidas na terceira iteração do exemplo em estudo

Verifica-se que a quantidade esperada de resíduos a recolher ultrapassa a capacidade de 100 m3 do veículo.

5. Problema de otimização das rotas de veículos

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa 60

c. Junção 2-4:

Obtém-se a rota {(0, 2), (2, 4), (4, 0)}

Na figura 5.11 encontra-se disponível a lista atual das rotas atualizada com a nova junção.

Rota Custo Quantidade m3 Duração (min) Rota 3: {(0, 3), (3,0)} 400 30 14,41 Rota 6: {(0,1),(1,5),(5, 0)} 820 69 25,19 Rota 7: {(0,2),(2,4),(4,0)} 760 60 24,07

Tabela 5.11: Rotas obtidas na quarta iteração do exemplo em estudo

d. Junção 4-5:

Esta junção não é viável uma vez que será gerada uma rota que irá recolher uma quantidade estimada de 129 que excede a capacidade do veículo.

e. Junção 2-5:

Esta junção não é viável uma vez que será criada uma rota que irá recolher uma quantidade estimada de 129 que excede a capacidade do veículo.

f. Junção 1-4:

Esta junção não é viável uma vez que será gerada uma rota que irá recolher uma quantidade estimada de 129 que excede a capacidade do veículo.

5. Problema de otimização das rotas de veículos

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa 61

g. Junção 3-5:

Obtém-se a rota {(0, 1), (1,5), (5, 3), (3, 0)}

Na figura 5.12 encontra-se disponível a lista atual das rotas atualizada com a nova junção.

Rota Custo Quantidade m3 Duração (min) Rota 6: {(0,1),(1,5),(5, 3), (3, 0)} 950 99 32,59 Rota 7: {(0,2),(2,4),(4,0)} 760 60 24,07

Tabela 5.12: Rotas obtidas na oitava iteração do exemplo em estudo.

h. Junção 1-3:

Esta junção não é admissível pois estes dois ecopontos já se encontram definidos na mesma rota.

i. Junção 3-4:

Esta junção não é viável uma vez que será criada uma rota que irá recolher uma quantidade estimada de 159 que excede a capacidade do veículo.

j. Junção 2-3:

Esta junção não é viável uma vez que se obterá uma rota que irá recolher uma quantidade estimada de 159 que excede a capacidade do veículo.

5. Problema de otimização das rotas de veículos

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa 62

Obtém-se a solução final composta pelas seguintes rotas:

 {(0,1),(1,5),(5, 3), (3, 0)}

 {(0,2),(2,4),(4,0)}

Esta solução apresenta uma distância total de 1710 metros.

Na figura 5.3 é apresentado o grafo de acordo com as duas rotas obtidas (a vermelho e a verde).

5. Problema de otimização das rotas de veículos

Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa 63

Terminada a execução do algoritmo analisam-se na tabela 5.13 os valores da variável do problema, representada a vermelho a primeira rota e a verde a segunda.

Xij Sede Ecoponto 1 Ecoponto 2 Ecoponto 3 Ecoponto 4 Ecoponto 5

Sede 0 1 1 1 1 0 Ecoponto 1 0 0 0 0 1 Ecoponto 2 0 0 1 0 Ecoponto 3 0 0 1 Ecoponto 4 0 0 Ecoponto 5 0

Tabela 5.13: Valores obtidos para a variável x para as duas rotas obtidas

Por último, é interessante verificar se as restrições que ficam a cargo do planeador são respeitadas na solução final obtida.

Tem-se portanto os seguintes resultados:

 Limite do número de rotas tendo em conta o número de veículos disponíveis

Obtiveram-se duas rotas, sendo que no problema foram disponibilizadas duas viaturas. Portanto esta restrição encontra-se salvaguardada. Adicionalmente verifica-se que as duas rotas obtidas têm uma duração curta, portanto o planeador poderá ainda optar por efetuar as duas rotas sequencialmente utilizando a mesma viatura para o efeito.

 O tempo total das rotas atribuídas a uma equipa, terá de ser inferior ao horário de trabalho dessa equipa

Como foi referido no ponto anterior, a duração verificada para as duas rotas obtidas não é superior à duração dos turnos. Neste caso poder-se-ia optar por um turno sequencial ou dois turnos paralelos.

 Duração total das rotas deverá ser inferior à capacidade total de trabalho das equipas Face ao exposto no ponto anterior verifica-se que esta validação é também respeitada.