Classes de grafos regulares - Rela¸c˜ ao entre colora¸c˜ ao de arestas semiforte e colora¸c˜ ao

2.3 Rela¸c˜ ao entre colora¸c˜ ao de arestas semiforte e colora¸c˜ ao total

2.3.2 Classes de grafos regulares

Ciclo: Um ciclo Cn, n ≥ 3, é um grafo de n v´ertices se seus vértices podem ser organiza- dos em uma sequência c´ıclica de forma que dois vértices são adjacentes se são consecutivos na sequência e não adjacentes caso contrário [5].

Lema 2.3.8 [36] Seja Cn um ciclo. Ent˜ao

χT(Cn) = (

3 para n ≡ 0 (mod 3), 4 para n 6≡ 0 (mod 3).

A distˆancia entre duas arestas e, f , d(e, f ) ´e a menor distˆancia entre um v´ertice de e e um v´ertice de f .

Lema 2.3.9 Seja G um grafo com ∆(G) ≤ 2 e π uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G. Se π(e) = c e π(f ) = c, ent˜ao d(e, f ) ≥ 2.

Prova: Suponha que d(e, f ) < 2. Se d(e, f ) = 0, então π n˜ao é uma colora¸cão de arestas, uma contradi¸c˜ao. Se d(e, f ) = 1, os v´ertices que são ligados pela única aresta que separa e de f teriam o mesmo rótulo, logo, π n˜ao é uma colora¸cão de arestas semiforte, uma contradi¸c˜ao. Logo, d(e, f ) ≥ 2.

Teorema 2.3.10 [38] Seja Cn um ciclo. Ent˜ao

χ0_a(Cn) =        3 para n ≡ 0 (mod 3), 4 para n 6≡ 0 (mod 3) e n 6= 5, 5 para n = 5.

Prova: Seja Cn um ciclo com n ≡ 0 (mod 3). Pelo Teorema 2.3.3 e pelo Lema 2.3.8,

χ0_a(Cn) = 3.

Seja n 6≡ 0 (mod 3). Pelo Corol´ario 2.3.4, χ0_a(Cn) ≥ 4.

Considere n = 5. Como diam(C5) = 2, pelo Lema 2.3.9, χ0a(C5) ≥ 5. Portanto,

χ0_a(C5) = 5, desde que |E(C5)| = 5.

Falta colorir os ciclos Cn com n 6= 5, n ≡ 1 (mod 3) e n ≡ 2 (mod 3). Em cada caso, definimos uma fun¸c˜ao π : E(Cn) → C. Sejam V (Cn) = {v0, . . . , vn−1} e E(Cn) = {e0, e1, . . . , en−1}, onde ei = vivi+1, 0 ≤ i ≤ n − 2, e en−1 = vn−1v0.

Para Cn, com n ≡ 1 (mod 3), definimos π como segue:

π(ei) = (

i mod 3 para 0 ≤ i ≤ n − 2,

2.3. Rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total 19

A fun¸c˜ao π ´e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte para Cn e utiliza 4 cores. De fato,

L(v0) = {0, 3}; L(vn−1) = {2, 3} e para 1 ≤ i ≤ n − 2, L(vi) =        {0, 1} para i ≡ 1 (mod 3), {1, 2} para i ≡ 2 (mod 3), {0, 2} para i ≡ 0 (mod 3).

Seja Cn, com n ≡ 2 (mod 3) e n 6= 5. Note que n ≥ 8.

π(ei) = (

i mod 4 para 0 ≤ i ≤ 7, (i + 1) mod 3 para 8 ≤ i ≤ n − 1.

A Figura 2.17 apresenta π para o grafo C8. Por inspe¸c˜ao de π, tem-se que para 1 ≤ i ≤ 7, o r´otulo de vi ´e:

L(v1) = L(v5) = {0, 1}

L(v2) = L(v6) = {1, 2}

L(v3) = L(v7) = {2, 3}

L(v4) = {0, 3}.

Figura 2.17: Colora¸c˜ao de arestas semiforte π para o C8.

Se n = 8, então L(v0) = {0, 3}. Seja n > 8. Então L(v8) = {0, 3} e Cn pode ser dividido em um bloco com 8 v´ertices isomorfo a um P8 e n−8₃ blocos com 3 vértices, cada um isomorfo a um P3. Veja a Figura 2.18.

Note que n−8

3 ≡ 0 (mod 3), pois n ≡ 2 (mod 3). Ent˜ao, para 9 ≤ i ≤ n − 1, tem-se:

L(vi) =        {0, 1} para i ≡ 0 (mod 3) {1, 2} para i ≡ 1 (mod 3) {0, 2} para i ≡ 2 (mod 3)

Figura 2.18: Os blocos de C14.

Figura 2.19: Colora¸c˜ao de arestas semiforte π para C14.

Al´em disso, n − 1 ≡ 1 (mod 3), ent˜ao L(vn−1) = {1, 2}, enquanto L(v0) = {0, 2}. A Figura 2.19 apresenta π para o grafo C14.

Portanto, π ´e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte para Cn e utiliza 4 cores. Ent˜ao

χ0_a(Cn) = 4.

k-cubo: O k-cubo Qk é um grafo onde os vértices s˜ao conjuntos de todas as k tuplas de 0’s e 1’s de forma que dois vértices são adjacentes se diferem em exatamente uma coordenada.

Lema 2.3.11 [8] Seja Q_k um k-cubo. Ent˜ao

χT(Qk) = (

∆(Q2) + 2 = 4 para k = 2, ∆(Qk) + 1 = k + 1 para k ≥ 3. Teorema 2.3.12 Seja Qk um k-cubo. Ent˜ao

χ0_a(Qk) = (

∆(Q2) + 2 = 4 para k = 2, ∆(Qk) + 1 = k + 1 para k ≥ 3.

Prova: Seja Qkum k-cubo. Se k=2, Qk∼= C4. Ent˜ao pelo Teorema 2.3.10, χ0a(Q2) = 4. Se k ≥ 3, pelo Teorema 2.3.3 e pelo Lema 2.3.11, χ0_a(Qk) = ∆(Qk) + 1

Uma colora¸c˜ao de arestas semiforte para Qk com ∆(Qk) + 1 cores pode ser encontrada em [13].

Grafos bipartidos completos com |U | = |W | = n: Pelo Lema 2.3.6, χT(G) = ∆(Kn,n) + 2.

2.3. Rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total 21

Teorema 2.3.13 [38] Seja Kn,n um grafo bipartido completo com n ≥ 2. Ent˜ao,

χ0_a(Kn,n) = ∆(Kn,n) + 2.

Prova: Se Kn,n ´e um grafo bipartido completo com n ≥ 2, ent˜ao pelo Lema 2.3.6 e pelo Corol´ario 2.3.4, χ0_a(Kn,n) ≥ ∆(Kn,n) + 2. A seguir, definiremos uma colora¸c˜ao de arestas semiforte para Kn,n com ∆(Kn,n) + 2 cores.

Sejam U = {u1, u2, . . . un−1, un+1} e W = {w1, w2, . . . wn} as partes de Kn,n e π uma colora¸c˜ao de arestas de Kn,n onde π(uiwj) = (i + j) mod (∆(Kn,n) + 2).

Note que, L(ui) = {i − 1, i} e L(wi) = {i − 2, i} (mod ∆(Kn,n) + 2). Provaremos agora que L(ui) 6= L(wj) para ui, wj ∈ Kn,n. Suponha que L(ui) = L(wj), ent˜ao, {i − 1, i} ≡ {j−2, j} (mod ∆(Kn,n)+2). Se i = j e (i−1) ≡ (j−2) (mod ∆(Kn,n)+2), (i−1) ≡ (i−2) (mod ∆(Kn,n) + 2), uma contradi¸c˜ao. Logo i ≡ (j − 2) (mod ∆(Kn,n) + 2) e j ≡ (i − 1) (mod ∆(Kn,n) + 2). Por´em, dessa forma, i ≡ (i − 3) (mod ∆(Kn,n) + 2), uma contradi¸c˜ao. Logo, π ´e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de Kn,n com ∆(Kn,n) + 2 cores. Portanto,

χ0_a(Kn,n) = ∆(Kn,n) + 2.

Grafos completos: Um grafo G ´e completo se quaisquer dois v´ertices de G s˜ao adja- centes. Denota-se por Kn um grafo completo de n v´ertices.

Lema 2.3.14 [2] Seja Kn, n ≥ 1, um grafo completo. Ent˜ao

χT(Kn) = (

∆(Kn) + 1, para n ´ımpar; ∆(Kn) + 2, para n par.

Teorema 2.3.15 [38] Seja Kn, n ≥ 3, um grafo completo. Ent˜ao,

χ0_a(Kn) = (

∆(Kn) + 1, para n ´ımpar; ∆(Kn) + 2, para n par.

Prova: Seja Kn um grafo completo com n v´ertices, n ≥ 3. Se n ´e ´ımpar, pelo Teo- rema 2.3.3 e pelo Lema 2.3.14, χ0_a(Kn) = ∆(Kn) + 1. Se n ´e par, pelo Lema 2.3.14 e pelo Corol´ario 2.3.4, χ0_a(Kn) ≥ ∆(Kn) + 2.

A seguir constru´ımos uma colora¸c˜ao de arestas semiforte com ∆(Kn) + 2 cores para

Kn, n par, n ≥ 4, provando neste caso que χ0a(G) = ∆(Kn) + 2. Seja ∆ = ∆(Kn).

Considere um grafo completo Kn+2, V (Kn+2) = {v0, . . . , vn, w}, n ≥ 4. Note que ∆(Kn+2) = ∆ + 2. Seja γ0 uma colora¸c˜ao de arestas de Kn+2 onde

γ0(vivj) = (i + j) mod (∆ + 2) para 0 ≤ i, j ≤ n,

Note que γ0 utiliza ∆ + 2 cores e que em cada v´ertice ocorrem todas as cores.

Sejam vp, vp+1 ∈ V (Kn+2) \ {w}. Observe que, Kn ∼= Kn+2\ {vp, vp+1}. A seguir provamos que a restri¸c˜ao, γ, de γ0 `as arestas de Kn, é uma ∆ + 2-colora¸cão de arestas semiforte. A Figura 2.20 apresenta a colora¸c˜ao de arestas γ0 para Kn+2 e a colora¸cão de arestas γ para Kn onde n = 4.

Figura 2.20: Colora¸c˜ao de arestas γ0 para K6 e colora¸c˜ao de arestas γ para K4. Desde que γ0 ´e uma colora¸c˜ao de arestas de Kn+2, γ ´e uma colora¸c˜ao de arestas de

Kn. Como em cada v´ertice de Kn+2 ocorrem todas as cores e cada cor pinta pelo menos trˆes arestas, temos que γ utiliza ∆ + 2 cores nas arestas de Kn, para n ≥ 4.

Provamos agora que γ ´e semiforte. Inicialmente, observe que em cada vi ∈ V (Kn), faltam as cores {γ0(vivp), γ0(vivp+1)} = {i + p, i + p + 1} (mod ∆ + 2) e em w, faltam as cores {γ0(vpw), γ0(vp+1w)} = {2p, 2(p + 1)} (mod ∆ + 2).

Suponha que Lγ(vi) = Lγ(vj), i 6= j, e vi, vj 6= w. Desde que 0 ≤ i, j ≤ n e n = ∆ + 1, n˜ao existem i e j, i 6= j, de forma que (i+p) ≡ (j+p) (mod ∆+2). Logo, (i+p) ≡ (j+p+1) (mod ∆ + 2) e (i + p + 1) ≡ (j + p) (mod ∆ + 2). Ent˜ao (2i + 2p + 1) ≡ (2j + 2p + 1) (mod ∆ + 2). Segue que 2i ≡ 2j (mod ∆ + 2). Por hip´otese, n = ∆ + 1 ´e um inteiro par. Logo ∆ + 2 ´e ´ımpar e, portanto, i ≡ j (mod ∆ + 2). Desde que 0 ≤ i, j ≤ ∆ + 1, conclui-se que i = j, uma contradi¸c˜ao.

Falta provar que Lγ(vi) 6= Lγ(w), vi ∈ V (Kn). Suponha que Lγ(vi) = Lγ(w), para algum vi ∈ V (Kn). Ent˜ao {i + p, i + p + 1} (mod ∆ + 2) = {2p, 2(p + 1)} (mod ∆ + 2). Se (i+p) ≡ 2p (mod ∆+2), então i ≡ p (mod ∆+2). Novamente, como 0 ≤ i, p ≤ ∆+ 1, tem-se i = p. Porém, vp 6∈ V (Kn). Suponha, ent˜ao, que (i + p) ≡ 2(p + 1) (mod ∆ + 2) e (i + p + 1) ≡ 2p (mod ∆ + 2). Então i ≡ (p + 2) (mod ∆ + 2) e i ≡ (p − 1) (mod ∆ + 2). Sendo n ≥ 4 e 0 ≤ i, p ≤ ∆ + 1 não existem i, p que satisfa¸cam simultaneamente ambas as congruências, uma contradi¸c˜ao. Segue-se que γ ´e uma colora¸cão de arestas semiforte para Kn. Portanto, χ0a(Kn) = ∆ + 2.

Seja Kn, n par, com V (Kn) = {w, v0, . . . , vl−1, vl, . . . , vn−2} e considere a colora¸c˜ao de arestas para Kn, n par, definida, no Teorema 2.3.15, por

2.3. Rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total 23

γ0(vivj) = (i + j) mod ∆(Kn),

γ0(wvi) = (2i) mod ∆(Kn).

A seguir, mostramos que a restri¸c˜ao, γ, de γ0 `as arestas de Kp, com 3 ≤ p < n, onde

V (Kp) = {w, vl, . . . , vp+l−2}, ´e uma ∆(Kn)-colora¸c˜ao de arestas semiforte de Kp. Note que ∆(Kn) = ∆(Kp) + l, onde l = n − p, l ≥ 1, e que ∆(Kp) + l ´e ´ımpar.

Teorema 2.3.16 Seja G ∼= Kp e l um inteiro positivo tal que ∆(G)+l ´e ´ımpar. Considere

V (G) = {w, vl, . . . , vp+l−2} e γ : E(G) → C definida da seguinte forma:

γ(vivj) = (i + j) mod (∆(G) + l),

γ(wvi) = 2i mod (∆(G) + l).

Então γ é uma ∆(G) + l-colora¸cão de arestas semiforte de G e o complemento dos rótulos em G é dado por

Lγ(vi) = {i, i + 1, . . . , i + l − 1} (mod (∆(G) + l)),

Lγ(w) = {0, 2, . . . , 2(l − 1)} (mod ∆(G) + l).

Prova: Seja G ∼= Kp com V (G) = {w, vl, . . . , vp+l−2} e l um inteiro positivo tal que ∆(G) + l é ´ımpar. Grafo G é subgrafo de K∆(G)+l+1. Seja V (K∆(G)+l+1) = V (G) ∪ {v0, . . . , vl−1} = {w, v0, . . . , vl−1, vl, . . . , v∆(G)+l−1}. Note que γ0é uma colora¸cão de arestas de K∆(G)+l+1 com |C| = ∆(G) + l = ∆(K∆(G)+l+1).

Desde que G é subgrafo de K∆(G)+l+1, γ é uma ∆(G) + l-colora¸cão de arestas de G. Primeiro calculamos o complemento do r´otulo de vi, w ∈ V (G), l ≤ i ≤ ∆(G) + l − 1. Para v ∈ V (G) as cores que n˜ao ocorrem nos r´otulos de v são as cores das arestas uv onde u ∈ {v0, . . . , vl−1}. Logo,

Lγ(vi) = {i, i + 1, i + l − 1} (mod ∆(G) + l), e

Lγ(w) = {0, 2, . . . , 2(l − 1)} (mod ∆(G) + l).

A Figura 2.21 exibe a 7-colora¸c˜ao de arestas γ para K5. Note que l = 3.

Seja vk ∈ V (K∆(G)+l−1) \ V (G). Ent˜ao 0 ≤ k ≤ l − 1. Para provar que γ ´e semiforte, inicialmente reescrevemos Lγ(vi), vi ∈ V (G). Ent˜ao l ≤ i ≤ ∆(G) + l − 1.

Se i < ∆(G) + 1, ent˜ao i + k < ∆(G) + l. Logo, γ(vivk) = i + k. Portanto neste caso, temos Lγ(vi) = {i, i + 1, . . . , i + l − 1}.

Seja i ≥ ∆(G) + 1, então i + k < ∆(G) + l para 0 ≤ k ≤ (∆(G) + l) − i − 1. Logo, para esses valores de k, temos γ(vivk) = i + k. Porém, para (∆(G) + l) − i ≤ k ≤ l − 1, temos i + k ≥ ∆(G) + l e então γ(vivk) = i + k − (∆(G) + l). Portanto, Lγ(vi) = {i, i + 1, . . . , ∆(G) + l − 1} ∪ {0, 1, . . . , i − ∆(G) − 1}. Observe que 0 ∈ Lγ(vi), pois desde que i ≥ ∆(G) + 1 temos que i − ∆(G) − 1 ≥ 0.

Figura 2.21: Grafo K5 com as cores atribu´ıdas por γ. `A direita, os complementos dos r´otulos para v ∈ V (K5).

• Lγ(w) = {0, 2, . . . , 2(l − 1)} (mod ∆(G) + l), • Lγ(vi) = {i, i + 1, . . . , i + l − 1}, se i < ∆(G) + 1,

• Lγ(vi) = {i, i + 1, . . . , ∆(G) + l − 1} ∪ {0, 1, . . . , i − ∆(G) − 1}, se i ≥ ∆(G) + 1. Falta provar que γ ´e semiforte. A prova segue pela compara¸c˜ao entre os complementos dos r´otulos dos v´ertices de G.

Sejam vi e vj v´ertices de G com i < j. Mostramos que Lγ(vi) 6= Lγ(vj).

Se i < ∆(G) + 1 e j < ∆(G) + 1, ent˜ao i ∈ Lγ(vi) e i 6∈ Lγ(vj), pois i < j. Logo,

Lγ(vi) 6= Lγ(vj).

Se i ≥ ∆(G) + 1 e j ≥ ∆(G) + 1, ent˜ao i − ∆(G) 6∈ Lγ(vi). Sendo i < j, temos

i − ∆(G) ≤ j − ∆(G) − 1 e portanto i − ∆(G) ∈ Lγ(vj). Logo, Lγ(vi) 6= Lγ(vj).

Se i < ∆(G) + 1 e j ≥ ∆(G) + 1, ent˜ao 0 6∈ Lγ(vi) pois i ≥ l ≥ 1. No entanto, 0 ∈ Lγ(vj).

Distinguimos agora Lγ(w) de Lγ(vi).

Os elementos (2k) mod (∆(G) + l) pertencem a Lγ(w) para 0 ≤ k ≤ l − 1. Ent˜ao, 2k < ∆(G) + l quando l < ∆(G) + 2. Neste caso, γ(wvk) = 2k. Logo, Lγ(w) ´e formada por uma sequˆencia de n´umeros pares, e portanto Lγ(w) 6= Lγ(vi), vi ∈ V (G). Observe que se l = 1, Lγ(w) = {0} e Lγ(vi) = i e 1 ≤ l ≤ i.

Note que l 6= ∆(G) + 2 pois neste caso l + ∆(G) ´e par. Seja l > ∆(G) + 2. Ent˜ao todas as cores pares 0, 2, . . . , ∆(G)+l−1 pertencem a Lγ(w). Al´em disso, existe k, 0 ≤ k ≤ l−1, onde 2k > ∆(G) + l. Desde que |V (G)| ≥ 3, temos que v∆(G)+l−2 e v∆(G)+l−1 pertencem a

V (G). Ent˜ao γ(wv∆(G)+l−1) = ∆(G) + l − 2 e γ(wv∆(G)+l−2) = ∆(G) + l − 4 n˜ao pertencem a Lγ(w). Al´em disso, ∆(G) + l − 2 e ∆(G) + l − 4 s˜ao n´umeros ´ımpares, pois ∆(G) + l ´

e ´ımpar. Por outro lado, {∆(G) + l − 5, ∆(G) + l − 3, ∆(G) + l − 1} ⊂ Lγ(w). Ent˜ao, ∆(G) + l − 5, ∆(G) + l − 4, ∆(G) + l − 3, ∆(G) + l − 2 e ∆(G) + l − 1 formam uma sequˆencia de cinco n´umeros onde os elementos pertencem alternadamente a Lγ(w). Desde que essa caracter´ıstica n˜ao ocorre em Lγ(vi), para todo i, ent˜ao Lγ(w) 6= Lγ(vi).

2.3. Rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total 25

Portanto, γ ´e uma ∆(G) + l-colora¸c˜ao de arestas semiforte para G.

Pelo Teorema 2.3.16, um grafo completo Kn com V (Kn) = {w, vl, vl+1, . . . , vn+l−2},

n ≥ 3, l ≥ 1, admite a ∆(Kn) + l-colora¸cão de arestas semiforte γ onde ∆(Kn) + l ´e ´ımpar. Esta colora¸cão ´e denominada colora¸cão de arestas semiforte padrão e ´e utilizada

nos pr´oximos cap´ıtulos.

Além da colora¸cão de arestas semiforte padrão, também utilizamos uma outra colora¸c˜ao de arestas semiforte para grafos completos quando ∆(G) ´e par.

Teorema 2.3.17 Seja G um grafo completo com grau m´aximo ∆(G) par. Considere V (G) = {v0, . . . , v∆(G)} e λ : E(G) → C definida da seguinte forma:

λ(vivj) = ( _i+j

2 se i + j ´e par,

i+j+∆(G)+1

2 mod (∆(G) + 1) se i + j ´e ´ımpar.

Então λ é uma ∆(G) + 1-colora¸cão de arestas semiforte de G e o complemento do rótulo de cada vértice vi em G é dado por Lγ(vi) = {i}.

Prova: Seja G um grafo completo com grau m´aximo ∆(G) par e V (G) = {v0, v1, . . . ,

v∆(G)}. Considere vi, vj, vk v´ertices distintos de G. Mostramos que λ ´e uma colora¸c˜ao de arestas provando que λ(vivj) 6= λ(vivk) para vj 6= vk e em seguida, mostramos que λ ´e semiforte explicitando Lλ(vi).

Se i + j e i + k tˆem a mesma paridade, a distin¸c˜ao entre λ(vivj) e λ(vivk) ´e direta, pois j 6= k.

Suponha que λ(vivj) = λ(vivk) com i + j par e i + k ´ımpar. Neste caso λ(vivj) = i+j₂ e λ(vivk) = i+k+∆(G)+1₂ mod (∆(G) + 1). Desde que 0 ≤ i, j, k ≤ ∆(G), temos que

λ(vivk) = i+k+∆(G)+1₂ , se i + k < ∆(G) + 1 ou λ(vivk) = i+k+∆(G)+1₂ − (∆(G) + 1), se i + k ≥ ∆(G)+1. Primeiro considere λ(vivk) = i+k+∆(G)+1 2 . Ent˜ao i+k+∆(G)+1 2 = i+j 2 . Segue-se que

j = k + ∆(G) + 1, uma contradi¸c˜ao. Agora considere λ(vivk) = i+k+∆(G)+1₂ − (∆(G) + 1). Ent˜ao i+k+∆(G)+1₂ − (∆(G) + 1) = i+j

2 . Segue-se que k = j + ∆(G) + 1, novamente uma contradi¸c˜ao.

Logo, λ ´e uma colora¸c˜ao de arestas.

Por defini¸c˜ao de λ, |C| = ∆(G) + 1 e a ´unica cor do conjunto {0, . . . , ∆(G)} que n˜ao ´e atribu´ıda a uma aresta incidente em vi ´e a cor i. Ou seja, Lλ(vi) = {i}.

Portanto, λ ´e uma ∆(G) + 1-colora¸c˜ao de arestas semiforte.

Denominamos a colora¸c˜ao de arestas semiforte λ : E(G) → C para grafos completos definida no teorema 2.3.17 como colora¸c˜ao de arestas semiforte canˆonica.

Potˆencia de ciclos: Um grafo ´e uma potˆencia de ciclo Ck

n, se V (Cnk) = {v0, . . . , vn−1} e E(Ck

n) = E1∪ · · · ∪ Ek onde Ei = {(vjv(j+i) mod n) | 0 ≤ j ≤ n − 1}. Observe que se

k ≥ bn/2c, ent˜ao Ck

n ∼= Kn.

Lema 2.3.18 [10, 11] Seja C_n2 uma potˆencia de ciclo com n ≥ 6. Ent˜ao

χT(Cn2) = ( ∆(C2 n) + 1, para n 6= 7, ∆(C2 n) + 2, para n = 7. Teorema 2.3.19 Seja C2

n uma potˆencia de ciclo com n ≥ 6. Ent˜ao

χ0_a(C2 n) = ( ∆(C_n2) + 1, para n 6= 7, ∆(C2 n) + 2, para n = 7.

Prova: Seja C_n2 uma potˆencia de ciclo com n ≥ 6 v´ertices. Ent˜ao ∆(C_n2) = 4. Se

n 6= 7. Pelo Teorema 2.3.3 e Lema 2.3.18, χ0_a(C2

n) = 5 = ∆(Cn2) + 1. Suponha que n = 7. Pelo Lema 2.2.2, χ0_a(C2

7) ≥ ∆(C72) + 1. Se χ 0

a(C72) = ∆(C72) + 1, ent˜ao pelo Teorema 2.3.3, χT(C72) = ∆(C72) + 1, contradizendo o Lema 2.3.18. Logo,

χT(C72) ≥ ∆(C72) + 2.

Uma colora¸c˜ao de arestas semiforte do C2

7 com ∆(C72) + 2 = 6 cores ´e apresentada na Figura 2.22. demonstrando que χ0_a(C₇2) + 2 = ∆(C₇2) + 2.

Figura 2.22: χ0_a(C2 7) = 6

Grafos Jun¸cão: Dados 2 grafos disjuntos G1 e G2, o grafo jun¸cão (join graph), G1∨ G2 de G1 e G2 é obtido acrescentando-se arestas unindo todo v´ertice de G1 a todo vértice de

G2, ou seja, V (G1∨ G2) = V (G1) ∪ V (G2), E(G1∨ G2) = E(G1) ∪ E(G2) ∪ {uv, u ∈ V (G1) e v ∈ V (G2)}. A Figura 2.23 mostra G1 ∨ G2 onde as linhas s´olidas s˜ao as arestas de

E(G1) e E(G2) onde G1 ∼= K2 e G2 ∼= C4. As linhas pontilhadas s˜ao as arestas de K2,4. Hilton et al. [24] estudaram o número crom´atico total de grafos G = G1 ∨ G2 onde ∆(G1) ≤ 2 e ∆(G2) ≤ 2. Os autores provaram que quando G1 e G2 são grafos bipartidos, ent˜ao χT(G) = ∆(G) + 1 se e somente se G n˜ao ´e isomorfo a Kn,n ou a K4. Além disso, os autores tamb´em provaram que se G = Cm∨ Cn, ent˜ao χT(G) = ∆(G) + 2 se e somente se m = n e n ´e ´ımpar.

2.3. Rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total 27

Figura 2.23: Exemplo de grafo jun¸c˜ao G1∨ G2.

A seguir mostramos que χT(G) = χ0a(G) para alguns subconjuntos destas classes, que foram estudadas por Zhang et al. [39].

Lema 2.3.20 [39] Seja Kn,n um grafo bipartido completo com U = {u1, u2, . . . , un} e

W = {w1, w2, . . . , wn} as partes de Kn,n, n ≥ 2. Existe uma colora¸c˜ao de arestas, σ, de

Kn,n, utilizando ∆(Kn,n) + 2 cores de forma que Lσ(ui) = Lσ(wi) = {i, i + 1} (mod n)

para 1 ≤ i ≤ n.

Prova: Seja Kn,n, n ≥ 2, um grafo bipartido completo com U = {u1, u2, . . . , un},

W = {w1, w2, . . . , wn}. Primeiro definimos uma fun¸c˜ao σ : E(Kn,n) → C, onde C é um conjunto de cores e |C| = ∆(Kn,n) + 2 = n + 2. A constru¸cão de σ depende da paridade de n. Na constru¸cão de σ, os múltiplos de n na opera¸cão ”mod n” s˜ao representados por

n. Sejam l e k n´umeros inteiros positivos. Seja n ´ımpar, n = 2k + 1. Para 1 ≤ i ≤ n, tem-se

σ(uiw(i+l) mod n) =            (i − l) mod n para 1 ≤ l ≤ k − 1, (1) n + 1 para l = k, (2) n + 2 para l = k + 1, (3) (i − l + 2) mod n para k + 2 ≤ l ≤ n. (4) Se n ´e par, n = 2k, definimos:

σ(ui, w(i+l) mod n) =            (i − l) mod n para 1 ≤ l ≤ k − 1, (5) n + 1 para l = k, (6) (i − l + 1) mod n para k + 1 ≤ l ≤ n − 1, (7) n + 2 para l = n. (8)

Figura 2.24: Colora¸c˜ao σ para K5,5.

Figura 2.25: Colora¸c˜ao σ para K6,6.

Note que toda aresta de Kn,n recebe uma cor j, 1 ≤ j ≤ n + 2.

As cores n + 1 e n + 2 pertencem aos r´otulos de todos os v´ertices de Kn,n, pois para cada i, 1 ≤ i ≤ n, se n ´e ´ımpar, a fun¸c˜ao σ atribui `a aresta uiw(i+k) mod n a cor n + 1 e a

uiw(i+k+1) mod n, a cor n + 2; se n ´e par, a fun¸c˜ao σ atribui `a aresta uiw(i+k) mod n a cor

n + 1 e a uiwi, a cor n + 2.

Observe que para cada l, 1 ≤ l ≤ n, o conjunto das arestas de cor n + 1 e o conjunto das arestas de cor n + 2 s˜ao emparelhamentos perfeitos de Kn,n.

Mostramos agora que, em cada caso, as cores das arestas incidentes em um v´ertice s˜ao duas a duas distintas. Primeiro mostramos que as cores atribu´ıdas por σ, em cada caso ((1) ou (4) ou (5) ou (7)), `as arestas incidentes em ui ∈ U e em wi ∈ W , s˜ao distintas. Em seguida, mostramos que σ atribui cores distintas para arestas adjacentes nos casos (1) e (4) ou (5) e (7).

Seja ui ∈ U e suponha que existam wp e wq, p 6= q, 1 ≤ p, q ≤ n tal que σ(uiwp) =

σ(uiwq). Ent˜ao p = (i + l1) mod n e q = (i + l2) mod n, l1 6= l2, 1 ≤ l1, l2 ≤ n, e (i − l1+ x) ≡ (i − l2+ x) (mod n) onde x = 0 para os casos (1) e (5); x = 2 para o caso (4) e x = 1 para os caso (7). Logo, l1 ≡ l2 (mod n), como 1 ≤ l1, l2 ≤ n, ent˜ao l1 = l2, uma contradi¸c˜ao. Portanto, as cores atribu´ıdas por σ, em (1) e (4) se n ´e impar e em (5) e (7) se n ´e par, `as arestas incidentes em um mesmo ui ∈ U s˜ao distintas.

2.3. Rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total 29

= σ(u(j−l2) mod nwj). Note que σ(u(j−l) mod nwj) = (j − 2l + x) mod n, com os valores

de x e os limites de l nos respectivos casos (1), (5), (4) ou (7). Logo, (j − 2l1 + x) ≡ (j − 2l2 + x) (mod n), e portanto l1 = l2, se n ´e ´ımpar, uma contradi¸c˜ao e l1 = l2 ou

l1 ≡ (l2+ x) (mod n) se n ´e par, tamb´em uma contradi¸c˜ao, pois ou 1 ≤ l1, l2 ≤ k − 1 ou

k + 1 ≤ l1, l2 ≤ n − 1. Portanto, σ atribui a arestas adjacentes em wj, 1 ≤ j ≤ n cores distintas nos casos (1), (4), (5), (7).

Sejam agora ui ∈ U , 1 ≤ l1 ≤ k − 1 e k + 2 ≤ l2 ≤ n ((1) e (4)), para n ´ımpar, e

ui ∈ U , 1 ≤ l1 ≤ k − 1 e k + 1 ≤ l2 ≤ n ((5) e (7)), para n par.

Suponha que existam wp, wq ∈ W , p 6= q, tal que σ(uiwp) = σ(uiwq). Ent˜ao (i − l1) ≡ (i − l2+ x) (mod n), onde x = 2 se n ´e ´ımpar, ou x = 1 se n ´e par. Logo, l1 ≡ (l2 − x) (mod n) o que contradiz os limites de l1 e l2.

Suponha agora que existam duas arestas incidentes em wj ∈ W com a mesma cor. Ent˜ao existem i1, i2, l1 e l2 de forma que j = (i1 + l1) mod n, j = (i2 + l2) mod n e (i1 − l1) ≡ (i2 − l2 + x) (mod n) com x = 2, 1 ≤ l1 ≤ k − 1 e k + 2 ≤ l2 ≤ n se n ´e ´ımpar ou com x = 1 e 1 ≤ l1 ≤ k − 1 e k + 2 ≤ l2 ≤ n − 1. Logo, (i1 − l1− (i1+ l1)) ≡ (i2 − l2+ x − (i2+ l2)) (mod n). Segue-se que 2l1 ≡ (2l2 − x) (mod n). Se n ´e ´ımpar,

l1 ≡ (l2− 1) (mod n), uma contradi¸cão; se n é par, 2l1 ≡ (2l1− 1) (mod n), também uma contradi¸c˜ao pois 2l1 mod n é par e (2l2− 1) mod n é ´ımpar.

Portanto, σ ´e uma colora¸c˜ao de arestas de Kn,n.

Agora, provamos que Lσ(ui) = Lσ(wi) = {i, i + 1} (mod n), 1 ≤ i ≤ n.

Primeiro suponha que exista um l tal que para algum v´ertice ui ∈ U , exista w(i+l) mod n ∈

W de forma que σ(uiw(i+l) mod n) = i ou σ(uiw(i+l) mod n) = i + 1. Ent˜ao, (i − l + x) mod n = i ou (i − l + x) mod n = (i + 1) , com x = 0 para os casos (1) e (5), x = 2 para o caso (4) e x = 1 para o caso (7). Segue-se que x ≡ l (mod n) ou (x − 1) ≡ l (mod n), por´em, nos casos (1) e (5), 1 ≤ l ≤ k − 1; no caso (4), k + 2 ≤ l ≤ n; no caso (7), k + 1 ≤ l ≤ n − 1. Todos os casos apresentam contradi¸c˜ao.

Agora suponha que exista um l tal que para algum v´ertice wj ∈ W , exista u(j−l) mod n ∈

U de forma que σ(u(j−l) mod nwj) = j ou σ(u(j−l) mod nwj) = j + 1. Ent˜ao, (j − 2l + x) mod n = j ou (j − 2l + x) mod n = j + 1 , com x = 0 para os casos (1) e (5), x = 2 para o caso (4) e x = 1 para o caso (7). Segue-se que x ≡ 2l (mod n) ou x − 1 ≡ 2l (mod n), por´em, no caso (1), 2 ≤ 2l ≤ n − 3 ;no caso (5), 2 ≤ 2l ≤ n − 2; no caso (4), 3 ≤ 2l ≤ n; no caso (7), 2 ≤ 2l ≤ n − 2. Novamente, todos os casos apresentam contradi¸c˜ao.

Portanto, Lσ(ui) = Lσ(wi) = {i, (i + 1) mod n} para ui ∈ U e wi ∈ W . Teorema 2.3.21 [39] Seja G = n

2K2∨ n

2K2 com n par. Ent˜ao:

χT(G) = χ0a(G) = (

∆(G) + 2 = 5 para n = 2,

Prova: Seja G = n₂K2∨n₂K2, n um inteiro par. Ent˜ao ∆(G) = n + 1. Se n = 2, ent˜ao

G ∼= K4. Pelo Lema 2.3.14 e pelo Teorema 2.3.15, χT(G) = χ0a(G) = ∆(G) + 2 = 5. Suponha ent˜ao, n ≥ 4. Sejam F e H as duas c´opias de n₂K2, onde

V (F ) = U = {u1, u2, . . . , un}, V (H) = W = {w1, w2, . . . , wn},

E(F ) = {unu1, u2u3, u4u5, . . . , un−2un−1}, E(H) = {w1w2, w3w4, w5w6, . . . , wn−1wn}. A Figura 2.26 apresenta F e H para n = 4.

Figura 2.26: As duas c´opias F e H de 2K2. Assim, F ∨ H ∼= G. Note que Kn,n∼= G \ (E(F ) ∪ E(H)).

Seja σ : E(Kn,n) → C a colora¸c˜ao de arestas definida no Lema 2.3.20. Seja π : E(G) → C definida da seguinte forma:

π(e) =       

σ(e) para e ∈ E(Kn,n),

i para e = u(i−1) mod nui com i ´ımpar,

i para e = w(i−1) mod nwi com i par. Mostramos que π ´e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G.

Pelo Lema 2.3.23, as arestas de Kn,n s˜ao coloridas com n+2 cores e Lσ(ui) = Lσ(wi) = {i, (i + 1) mod n}. Sendo n par, e 1 ≤ i ≤ n, cada {i, i + 1 (mod n)} contém um n´umero par e outro ´ımpar. Então, pela defini¸c˜ao de π, em cada vértice ui ∈ U falta uma cor par e em cada v´ertice wi ∈ W falta uma cor ´ımpar. Logo, Lπ(ui) 6= Lπ(wj) para 1 ≤ i, j ≤ n. Além disso, pela defini¸c˜ao de π, para cada vértice ui ∈ U , i par, Lπ(ui) = {i} e

Lπ(u(i+1) mod n) = {(i + 2) mod n}. Analogamente, para wi ∈ W , se i é ´ımpar, Lπ(wi) = {i} e Lπ(w(i+1) mod n) = {(i + 2) mod n}. Desde que u(i+1) mod n é o único vértice em U adjacente a ui e w(i+1) mod n é o único v´ertice em W adjacente a wi, tem-se que

L(vi) 6= L(vj) para vi, vj ∈ V (G) e vivj ∈ E(G). Portanto π ´e uma colora¸c˜ao semiforte de

G e χ0_a(G) ≤ n + 2. Como G ´e regular e ∆(G) = n + 1, pelo Lema 2.2.2, χ0_a(G) ≥ n + 2. Segue que χ0_a(G) = ∆(G) + 1 = n + 2 e pelo Teorema 2.3.3, χ0_a(G) = χT(G).

Teorema 2.3.22 [39] Seja G = Cn∨ Cn. Ent˜ao:

χT(G) = χ0a(G) = (

∆(G) + 1 = n + 3 para n par, ∆(G) + 2 = n + 4 para n ´ımpar.

2.3. Rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total 31

Figura 2.27: Colora¸c˜ao de arestas semiforte para 2K2∨ 2K2.

Prova: Suponha que n ´e par, n ≥ 4. Sejam G0 ∼= n₂K2 ∨ n₂K2, e π0 : E(G0) → C a colora¸c˜ao de arestas semiforte de G0 definida no Teorema 2.3.21. Seja G ∼= Cn∨ Cn constru´ıdo a partir de G0 unindo E(G0) aos conjuntos de arestas {uiu(i+3) mod n, 1 ≤ i ≤ n e i par } e {wiw(i+3) mod n, 1 ≤ i ≤ n e i ´ımpar }.

Defina π : E(G) → C, tal que π(e) = π0(e), se e ∈ E(G0) e π(e) = n + 3, se e 6∈ E(G0). Desde que π0 é uma colora¸c˜ao de arestas e n + 3 é uma cor nova, temos que π ´e uma colora¸cão de arestas.

Como π0 semiforte, e a nova cor n + 3 est´a presente em todos os v´ertices de G, a colora¸c˜ao π tamb´em ´e semiforte.

Como ∆(G) = n + 2 e G ´e regular, pelo Lema 2.2.2, χ0_a(G) ≥ n + 3, e π utiliza n + 3 cores, segue que χ0_a(G) = ∆(G) + 1 = n + 3 e pelo Teorema 2.3.3, χ0_a(G) = χT(G).

Figura 2.28: Colora¸c˜ao de arestas semiforte para o C4 ∨ C4.

Suponha que n ´e ´ımpar. Sejam H e F as duas c´opias de Cn em G, com U = V (F ) e

W = V (H). Mostraremos que χ0_a(G) ≥ ∆(G) + 2 = n + 4.

Seja ρ uma colora¸cão de arestas semiforte de G com n + 3 cores. Como ∆(G) = n + 2, então em cada v´ertice falta exatamente uma cor. Note que se uma cor x falta em um v´ertice u de U e em um vértice w de W , Lρ(u) = Lρ(w) e ρ n˜ao é uma colora¸cão de arestas semiforte de G. Ent˜ao, o conjunto dos v´ertices nos quais falta x est´a contido em

U ou em W . Note que sendo ρ uma colora¸c˜ao de arestas, cada cor pertence ao rótulo de um número par de v´ertices. Como |V (G)| ´e par, cada cor falta em um número par de v´ertices que pertencem todos a U ou todos a W , uma contradi¸cão, pois |U | = |W | = n ´e ´ımpar. Portanto, χ0_a(G) ≥ n + 4.

Se n = 3, G ∼= K6 e o resultado segue do Teorema 2.3.15. Considere ent˜ao n ≥ 5. A partir do grafo K = U ∨ W ∼= Kn,n com a colora¸c˜ao de arestas semiforte σ :

E(K) → C definida no Lema 2.3.20, construiremos o grafo G e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G. Relembre que σ atribui as cores de 1 a n + 2 `as arestas de Kn,n e que

Lσ(ui) = Lσ(wi) = {i, i + 1}. A Figura 2.29 apresenta o complemento do r´otulo de cada v´ertice de K7,7.

Figura 2.29: Grafo K7,7 e Lσ(v), v ∈ V (K7,7).

Para todo i, 1 ≤ i ≤ n − 1, se i ´e ´ımpar, adicione a aresta u(i−1) mod nui com a cor i, se i ´e par, adicione a aresta w(i−1) mod nwi com a cor i. Adicione a aresta un−1un com a cor nova n + 3 e a aresta wn−1wn com a cor nova n + 4. Veja a Figura 2.30.

Figura 2.30: Constru¸c˜ao parcial do grafo C7 ∨ C7 e o complemento do r´otulo de cada v´ertice.

Neste ponto, vértices adjacentes tem rótulos distintos entre si e todos os vértices têm grau n + 1, com exce¸cão de un, wn−1 que tˆem grau n + 2. Adicione tamb´em as arestas

2.3. Rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total 33

uiui+3 para todo i par, 2 ≤ i ≤ n − 5, com a cor n + 4 e as arestas wiwi+3 para todo i ´ımpar, 1 ≤ i ≤ n − 6, com a cor n + 3. Veja a Figura 2.31

Figura 2.31: Constru¸c˜ao parcial do grafo C7 ∨ C7 e o complemento do r´otulo de cada v´ertice.

Neste ponto, os rótulos de vértices adjacentes continuam distintos entre si, e todos os vértices tˆem grau n + 2, com exce¸cão de u1, u3, un−1, un−3 em U e w2, wn−4, wn−2, wn em

W que tˆem grau n + 1.

Se n = 5, adicione as arestas u1u3 e un−3un−1, com a cor n + 4 e as arestas w2wn−4 e

wn−2wn com a cor n + 3, se n ≥ 7, adicione as arestas u1un−3 e u3un−1 com a cor n + 4 e as arestas w2wn−2 e wn−4wn com a cor n + 3. Veja Figura 2.32

Figura 2.32: Constru¸c˜ao final do grafo C7∨ C7 e o complemento do r´otulo de cada v´ertice.

O grafo G constru´ıdo ´e isomorfo a Cn∨ Cne a colora¸c˜ao π constru´ıda ´e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G, j´a que

Lπ(ui) =           

{i, n + 3} para 2 ≤ i ≤ n − 3, i par, {i + 1, n + 3} para 1 ≤ i ≤ n − 2, i ´ımpar, {n − 1, n} para i = n − 1, {n, n + 4} para i = n. e Lπ(wi) =           

{i, n + 4} para 1 ≤ i ≤ n − 2, i ´ımpar, {i + 1, n + 4} para 2 ≤ i ≤ n − 3, i par, {n, n + 3} para i = n − 1,

{n, 1} para i = n.

Logo, χ0_a(G) = n + 4 = ∆(G) + 2, então pelo Teorema 2.3.3, χT(G) ≥ n + 4. Se colorirmos cada v´ertice ui com a cor i se i é par e 2 ≤ i ≤ n − 1 par ou i + 1 se i ´e impar e 1 ≤ i ≤ n − 2 e cada vértice wi com a cor i se i é ´ımpar e 1 ≤ i ≤ n − 2 ou i + 1 se i ´e par e 2 ≤ i ≤ n − 1, e os vértices un com a cor n + 4 e wn com a cor 1, então, temos uma colora¸c˜ao total de G com n + 4 cores. Portanto, χT(G) = χ0a(G) = n + 4 = ∆(G) + 2 Grafos (n-2)-regular de ordem n: O Lema 2.3.23 constroi, a partir de uma colora¸cão de arestas para um grafo completo, um emparelhamento multicolorido. Este emparelhamento será usado para determinar o ´ındice cromático semiforte de grafos onde todo vértice ´

e quase universal.

A colora¸c˜ao de arestas para um grafo completo utilizada no Lema 2.3.23 ´e a definida a seguir.

Seja V (Kn) = {v1, v2, . . . , vn} com n par. Considere a seguinte representa¸c˜ao circular para Kn. Desenhe uma circunferˆencia e represente os v´ertices v1, v2, . . . , vn−1 espa¸cados igualmente na circunferˆencia e vn no centro.

Seja σ : E(Kn) → C uma colora¸c˜ao de arestas de Knonde, para cada i, 1 ≤ i ≤ n − 1,

σ atribui `as arestas vivn e v(i+j) mod (n−1)v(i−j) mod (n−1), para 1 ≤ j ≤ n₂ − 1, a cor

i. Note que nessa representa¸cão circular, as arestas vivn e v(i+j) mod (n−1)v(i−j) mod (n−1) s˜ao paralelas entre si e perpendiculares a vivn, ou seja, cada aresta vrvs, r 6= n, s 6= n, perpendicular `a aresta vivn recebe a cor desta aresta e as arestas paralelas recebem a mesma cor. Observe que uma aresta vpvq e uma aresta vrvs recebem a mesma cor i, se e somente se, p + q ≡ r + s ≡ 2i (mod n − 1). ´E interessante notar também que arestas de mesmo alcance recebem cores distintas, onde alcance de uma aresta vivj é a distância de

vi a vj no ciclo v1, v2, . . . , vn−1 da representa¸c˜ao circular.

Observe que a restri¸c˜ao de σ às arestas de Kn\ {vn} é uma outra forma de descrever a colora¸cão de arestas semiforte canˆonica λ do Teorema 2.3.17.

2.3. Rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total 35

Lema 2.3.23 [39] Seja n um inteiro par, n ≥ 6. Ent˜ao, Kn tem um emparelhamento

perfeito M e uma (n − 1)-colora¸c˜ao de arestas onde cada aresta de M ´e colorida com uma cor diferente.

Prova: Seja V (Kn) = {v1, v2, . . . , vn} e σ : E(Kn) → C a colora¸c˜ao de arestas de Kn definida anteriormente.

Como n ´e par, ent˜ao n ´e equivalente a 0, 2, 4 ou 6 m´odulo 8. Se n ≡ 2 (mod 8) ou n ≡ 6 (mod 8), ent˜ao n ≡ 2 (mod 4). Logo, podemos dividir a prova em trˆes casos:

n ≡ 2 (mod 4); n ≡ 4 (mod 8); n ≡ 0 (mod 8). Seja n = 2k.

Se n ≡ 2 (mod 4), k é ´ımpar. Seja M = {vnv1, v2v3, v4v5, . . . , vn−2vn−1}. As arestas em M , com exce¸cão de vnv1, s˜ao da forma vjvj+1com j par, 2 ≤ j ≤ n − 2. Logo, (2j + 1) mod (∆(G)) s˜ao inteiros dois a dois distintos, portanto, as cores dessas arestas são duas a duas distintas. Note tamb´em que a aresta v1vn possui a mesma cor da aresta vkvk+1, por´em vkvk+1 6∈ M pois k é ´ımpar. Então M ´e um emparelhamento perfeito onde todas as arestas possuem cores distintas. A Figura 2.33 apresenta M para n = 10.

Figura 2.33: Emparelhamento multicolorido para K10.

Se n ≡ 4 (mod 8), k ≡ 2 (mod 4). Seja M = A ∪ B, onde A = {vnv1, vn−2vn−1} e

B = {vivi+2, vi+1vi+3, i = 2, 6, . . . , n − 6}. Primeiro, σ(vnv1) 6= σ(vn−2vn−1), pois n ≥ 6 e ent˜ao (n + 1) mod (n − 1) 6= (2n − 3) mod (n − 1), ou seja, 2 mod (n − 1) 6= (n − 2) mod (n − 1). Note que todas as arestas em B possuem alcance 2, logo possuem cores distintas, e são duas a duas disjuntas. Além disso, a única aresta de alcance 2 com a mesma cor de vnv1 ´e vn−1v2 que n˜ao pertence a M e a ´unica aresta de alcance 2 com a mesma cor de vn−2vn−1 ´e a aresta vk−2vk que n˜ao pertence a M , pois k ≡ 2 (mod 4). Ent˜ao M ´e um emparelhamento perfeito onde todas as arestas possuem cores distintas. A Figura 2.34 apresenta M para n = 12.

Se n ≡ 0 (mod 8), k ≡ 0 (mod 4). Seja M = A ∪ B onde A = {vnv1, vn−3vn−1, vn−2v2

Figura 2.34: Emparelhamento multicolorido para K12. ´

e um emparelhamento perfeito. Observe tamb´em que todas as arestas em B tˆem alcance 2, portanto possuem cores distintas. As arestas em A tamb´em possuem cores duas a duas distintas. A ´unica aresta de alcance 2 com a mesma cor de vk−1vk ´e vn−2v1 que não pertence a M ; e a única aresta de alcance 2 com a mesma cor de vn−2v2 ´e vk−1vk+1 que também n˜ao pertence a M . A Figura 2.35 apresenta M para n = 16.

Figura 2.35: Emparelhamento multicolorido para K16.

Portanto, M ´e um emparelhamento perfeito onde todas as arestas possuem cores distintas.

Teorema 2.3.24 [39] Seja G um grafo (n − 2)-regular de ordem n, com n ≥ 4. Ent˜ao

χT(G) = χ0a(G) = (

∆(G) + 2 = 4 para n = 4,

∆(G) + 1 = n − 1 caso contr´ario.

Prova: Como o n´umero de v´ertices de grau ´ımpar em um grafo ´e par, tem-se que n ´

2.3. Rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total 37

ent˜ao G ∼= C4 e a prova segue do Teorema 2.3.15. Suponha, ent˜ao, que n ≥ 6. Pelo Lema 2.3.23, existe um emparelhamento perfeito M de Kn e uma (n − 1)-colora¸c˜ao de arestas de forma que todas as arestas em M possuem cores distintas. Para cada v´ertice v de Kn, atribu´ımos a v a cor da aresta em M incidente em v e exclu´ımos todas as arestas de Knque pertencem a M . O resultado ´e uma colora¸c˜ao total de G utilizando n − 1 cores. Como ∆(G) = n − 2, ent˜ao χT(G) = ∆(G) + 1 = n − 1. Pelo Teorema 2.3.3 temos que

χT(G) = χ0a(G) = ∆(G) + 1 = n − 1

Zhang et al. [39] propuseram a seguinte conjectura para grafos regulares.

Conjectura 2.3.25 [39] Seja G um grafo regular conexo com |V (G)| ≥ 3. Se G 6= C5,

ent˜ao χ0_a(G) = χT(G).

Para grafos arbitr´arios, os mesmos autores propuseram a seguinte conjectura.

Conjectura 2.3.26 [39] Seja G um grafo conexo com |V (G)| ≥ 3. Se G 6= C5, ent˜ao

χ0_a(G) ≤ χT(G).

Nos pr´oximos cap´ıtulos estudamos os grafos split. (Uma classe que possui grafos n˜ao

No documento Coloração de arestas semiforte de grafos split (páginas 48-70)