2.2
Colora¸c˜ao de arestas semiforte
Seja π : E(G) → C uma colora¸c˜ao de arestas de G. O r´otulo de um v´ertice v de G em rela¸c˜ao a π, Lπ(v), ´e o conjunto formado pelas cores das arestas que incidem em v. Se para cada aresta uv de G, Lπ(u) 6= Lπ(v), π ´e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G. Uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G utilizando k cores ´e denominada k-colora¸c˜ao de arestas semiforte. Dizemos que a cor i ∈ C ocorre em um v´ertice v de G se i ∈ Lπ(v), caso contr´ario, i falta em v. Neste ´ultimo caso, i ∈ Lπ(v) onde, Lπ(v) = C \Lπ(v). O sub´ındice π ser´a omitido tanto no r´otulo de v quanto no seu complemento quando n˜ao houver ambiguidade.
O ´ındice crom´atico semiforte de G, χ0a(G), ´e o menor n´umero de cores para o qual G admite uma colora¸c˜ao de arestas semiforte. Se G ´e um grafo trivial, ent˜ao, χ0a(G) = 0, e se G cont´em um componente conexo isomorfo a K2, ent˜ao G n˜ao admite uma colora¸c˜ao de arestas semiforte. Neste caso, dizemos que χ0a(G) = ∞. Estamos, portanto, interessados em grafos cujos componentes conexos possuem pelo menos trˆes v´ertices.
A Figura 2.4 exibe um grafo G e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G. O conjunto associado a cada v´ertice v da Figura 2.4 representa o complemento do r´otulo do v´ertice (L(v)). Esta representa¸c˜ao ser´a utilizada sempre que houver necessidade.
Figura 2.4: Uma 4-colora¸c˜ao de arestas semiforte para G.
Podemos restringir o estudo da colora¸c˜ao de arestas semiforte a grafos conexos, pois se G ´e um grafo desconexo com k componentes conexos G1, G2, ..., Gk e |V (Gi)| ≥ 3, 1 ≤ i ≤ k, ent˜ao χ0
a(G) = max {χ0a(Gi) | i = 1, 2, ..., k} [38].
Neste trabalho consideramos grafos G, simples, conexos com trˆes ou mais v´ertices. Logo, ∆(G) ≥ 2.
Lema 2.2.1 Seja G um grafo com grau m´aximo ∆(G). Ent˜ao χ0a(G) ≥ ∆(G). Se os
graus de quaisquer dois v´ertices adjacentes de G s˜ao distintos, ent˜ao χ0a(G) = ∆(G).
Prova: Seja G um grafo com grau m´aximo ∆(G) e π uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G. Ent˜ao χ0a(G) ≥ χ0(G) ≥ ∆(G), pois π ´e colora¸c˜ao de arestas de G.
Suponha que d(u) 6= d(v) para quaisquer u e v com uv ∈ E(G). Ent˜ao, |L(u)| 6= |L(v)| para qualquer colora¸c˜ao de arestas de G. Portanto, χ0a(G) = χ0(G). Al´em disso, o subgrafo induzido pelos v´ertices de grau m´aximo ´e um grafo desconexo onde cada componente ´e o grafo trivial. Logo, pelo teorema 2.1.1, χ0(G) = ∆(G).
Lema 2.2.2 [38] Seja G um grafo com grau m´aximo ∆(G). Se G possui pelo menos dois v´ertices adjacentes com grau m´aximo, ent˜ao χ0a(G) ≥ ∆(G) + 1.
Prova: Seja G um grafo com grau m´aximo ∆(G) e π uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G. Seja uv ∈ E(G) tal que d(u) = d(v) = ∆(G). Para que L(u) 6= L(v), devem existir pelo menos duas combina¸c˜oes de χ0a(G) com ∆(G) cores, ou seja, χ0a(G)
∆(G)
≥ 2. Logo,
χ0a(G) ≥ ∆(G) + 1.
Na Figura 2.4 exibimos uma 4-colora¸c˜ao de arestas semiforte para G. Logo, χ0a(G) = 4 = ∆(G) + 1, pois G cont´em dois v´ertices de grau m´aximo adjacentes.
Na Figura 2.5 apresentamos dois grafos G e H que n˜ao possuem v´ertices de grau m´aximo adjacentes e duas colora¸c˜oes de arestas que tamb´em s˜ao semifortes. A de G utiliza ∆(G) + 1 e a de H, ∆(H) cores. Logo, χ0a(H) = ∆(H). Em rela¸c˜ao ao grafo G mostramos a seguir que n˜ao existe uma ∆(G)-colora¸c˜ao de arestas semiforte provando que χ0a(G) = ∆(G) + 1 = 7.
Figura 2.5: Colora¸c˜ao de arestas semiforte de G e H.
Teorema 2.2.3 O grafo G da Figura 2.5 n˜ao possui v´ertices de grau m´aximo adjacentes e χ0a(G) = ∆(G) + 1.
Prova: Considere o grafo G da Figura 2.5. Note que ∆(G) = 6. Seja V (G) = {v1, v2, . . . , v7, v8} e G0 = G\{v7, v8}. Note que G0´e isomorfo ao K3,3. Suponha que exista
2.2. Colora¸c˜ao de arestas semiforte 9
uma 6-colora¸c˜ao de arestas semiforte, π, para G. Ent˜ao para quaisquer dois v´ertices vi,
vj, 1 ≤ i, j ≤ 6, se vivj ∈ E(G), ent˜ao Lπ(vi) 6= Lπ(vj) e, em cada vi, |Lπ(vi)| = 1, pois
d(vi) = 5. Al´em disso todas as cores ocorrem nos v´ertices v7 e v8. Logo, ocorrem em pelo menos dois v´ertices de G0. Assim, uma cor c ocorre ou falta sempre em um n´umero par de v´ertices de G0. Al´em disso, n˜ao existe cor c tal que c ocorra em exatamente dois v´ertices de G0, pois caso contr´ario, c faltaria em outros 4 v´ertices de G0. Como G0 ∼= K3,3 e |L(vi)| = 1, existiria pelo menos 2 v´ertices adjacentes com r´otulos iguais. Portanto, toda cor c ocorre em todos os v´ertices de G0 ou falta em dois v´ertices de G0.
Como |E(G0)| = 9, ent˜ao existem trˆes cores tais que cada uma falta em dois v´ertices e trˆes outras cores ocorrem em todos os v´ertices. Sendo que trˆes cores faltam em dois v´ertices, n˜ao ´e poss´ıvel que estas cores faltem em v´ertices n˜ao adjacentes pois G0 ∼= K3,3. Portanto, χ0a(G) > 6.
Uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G utilizando 7 cores ´e apresentada na Figura 2.5. Portanto, χ0a(G) = ∆(G) + 1.
A seguir exibimos grafos G que s˜ao Classe 1 e possuem ´ındice crom´atico semiforte igual a ∆(G), ∆(G) + 1 e ∆(G) + 2. Apresentamos tamb´em, grafos Classe 2 com ´ındice crom´atico semiforte igual a ∆(G) + 1 e ∆(G) + 2. Os trˆes grafos G1, G2 e G3 da Figura 2.6 s˜ao Classe 1 tais que χ0a(G1) = ∆(G1), χ0a(G2) = ∆(G2)+1 e χ0a(G3) = ∆(G3)+2. Observe que G1 n˜ao possui v´ertices de grau m´aximo adjacentes, enquanto G2 e G3 possuem.
Figura 2.6: χ0
a(G1) = ∆(G1); χ0a(G2) = ∆(G2) + 1; χ0a(G3) = ∆(G3) + 2.
A Figura 2.7 exibe dois grafos sobrecarregados e portanto Classe 2, G1 e G2, tais que
χ0a(G1) = ∆(G1) + 1 e χ0a(G2) = ∆(G2) + 2.
Figura 2.7: χ0a(G1) = ∆(G1) + 1; χ0a(G2) = ∆(G2) + 2.
Um exemplo interessante ´e o C5 apresentado na Figura 2.8. C5 ´e um grafo Classe 2, pois ´e sobrecarregado, com χ0a(C5) = 5 = ∆(C5) + 3. Na sequˆencia, provamos esta
afirma¸c˜ao.
Figura 2.8: χ0a(C5) = 5 = ∆(C5) + 3.
Sejam E(C5) = {v1v2, v2v3, v3v4, v4v5, v5v1} e π uma 4-colora¸c˜ao de arestas semiforte para o C5. Ent˜ao duas arestas tem a mesma cor. Suponha que a cor 1 tenha sido atribu´ıda `
a aresta v1v2 e que exista outra aresta que foi colorida com a mesma cor. A aresta v2v3 n˜ao tem a cor 1, pois o v´ertice v2 j´a possui uma aresta incidente com esta cor; a aresta
v3v4 tamb´em n˜ao tem a cor 1, pois caso contr´ario, os v´ertices v2 e v3 teriam o mesmo r´otulo, independentemente da cor da aresta v2v3; a aresta v4v5 tamb´em n˜ao tem a cor 1, pois caso contr´ario, os v´ertices v1 e v5 teriam o mesmo r´otulo, independentemente da cor da aresta v5v1; e finalmente, a aresta v5v1 tamb´em n˜ao pode ter a cor 1 pois o v´ertice v1 j´a possui uma aresta incidente com essa cor. Logo, em uma colora¸c˜ao de arestas semiforte para o C5 todas as arestas possuem cores diferentes, ent˜ao χ0a(C5) ≥ 5. A Figura 2.8 apresenta uma 5-colora¸c˜ao de arestas semiforte para o C5. Portanto, χ0a(C5) = 5.
´
E interessante notar tamb´em que o ´ındice crom´atico semiforte de um subgrafo H de um grafo G n˜ao ´e necessariamente menor ou igual ao ´ındice crom´atico semiforte de G. Esta ´e uma diferen¸ca entre o ´ındice crom´atico e o ´ındice crom´atico semiforte j´a que o ´ındice crom´atico de H ´e sempre menor ou igual ao ´ındice crom´atico de G. Na Figura 2.9 s˜ao apresentados 4 grafos, cada um com uma colora¸c˜ao de arestas semiforte com o n´umero m´ınimo de cores. Note que C5 ´e subgrafo de G e de H e χ0a(G) < χ
0
a(C5) e
χ0a(H) < χ0a(C5).Por´em, P5 ´e subgrafo de H e de G, e χ0a(P5) = χ0a(H).
Figura 2.9: Colora¸c˜ao de arestas semiforte de P5, C5, G e H.
No mesmo artigo [38] em que a colora¸c˜ao de arestas semiforte foi definida os autores formularam a seguinte conjectura, denominada conjectura da colora¸c˜ao de arestas semi- forte.