Coloração de arestas semiforte de grafos split

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Alo´ısio de Menezes Vilas-Bˆ

oas

“Colora¸

c˜

ao de arestas semiforte de grafos split”

CAMPINAS

2015

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Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Vilas-Bôas, Aloísio de Menezes,

V71c VilColoração de arestas semiforte de grafos split / Aloísio de Menezes Vilas-Bôas. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

VilOrientador: Célia Picinin de Mello.

VilDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Computação.

Vil1. Teoria dos grafos. 2. Coloração de grafos. I. Mello, Célia Picinin de,1950-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Computação. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Adjacent strong edge-coloring of split graphs Palavras-chave em inglês:

Graph theory Graph coloring

Área de concentração: Ciência da Computação Titulação: Mestre em Ciência da Computação Banca examinadora:

Célia Picinin de Mello [Orientador] Vagner Pedrotti

Orlando Lee

Data de defesa: 05-03-2015

Programa de Pós-Graduação: Ciência da Computação

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

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Instituto de Computa¸c˜ao Universidade Estadual de Campinas

Colora¸

c˜

ao de arestas semiforte de grafos split

Alo´ısio de Menezes Vilas-Bˆ

oas

1

05 de mar¸co de 2015

Banca Examinadora:

• Profa. Dra. C´elia Picinin de Mello (Orientadora) • Prof. Dr. Orlando Lee

Instituto de Computa¸c˜ao - UNICAMP • Prof. Dr. Vagner Pedrotti

Faculdade de Computa¸c˜ao - UFMS • Prof. Dr. Jorge Stolfi

Instituto de Computa¸c˜ao - UNICAMP (Suplente) • Profa. Dra. Sheila Morais de Almeida

Departamento Acadˆemico de Inform´atica - UTFPR (Suplente)

1_{Apoio financeiro: Bolsa CNPq (132194/2010-4)}

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Abstract

Let G be a simple graph. An adjacent strong edge-coloring of G is an edge-coloring of

G such that for each pair of adjacent vertices u, v of G, the set of colors assigned to the

edges incident with u differs from the set of colors assigned to the edges incident with

v. The adjacent strong chromatic index, denoted χ0_a(G), of G is the minimum number

of colors required to produce an adjacent strong edge-coloring for G. This coloring was proposed by Z. Zhang et al. [38]. In the same article, the authors conjectured that every simple connected graph G with at least three vertices and G 6∼= C5 (a 5-cycle) has

χ0_a(G) ≤ ∆(G) + 2. This conjecture is open for arbitrary graphs, but it holds for some classes of graphs.

In this dissertation, we present some results on adjacent strong edge-coloring. Then, we focus on split graphs. We prove the conjecture for some families of split graphs including split-complete graphs and split-indifference graphs. Moreover, we determine a necessary condition for split-complete graphs G to have χ0_a(G) = ∆(G) + 1 and we determine the adjacent strong chromatic index for split-indifference graphs with a universal vertex. For a split-indifference graph G without universal vertices, we give conditions for its adjacent strong chromatic index to be ∆(G) + 1 and we conjecture that χ0_a(G) = ∆(G) + 2, otherwise.

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Resumo

Seja G um grafo simples. Uma colora¸cão de arestas semiforte de G ´e uma colora¸cão de arestas de G onde para cada par de vértices adjacentes u, v de G, o conjunto das cores atribu´ıdas `as arestas de u ´e diferente do conjunto das cores atribu´ıdas `as arestas de v. O ´ındice cromático semiforte de G, denotado por χ0_a(G), é o menor número de cores necessário para construir uma colora¸c˜ao de arestas semiforte para G. Esta colora¸c˜ao foi proposta por Zhang et al. em 2002 [38]. Nesse mesmo artigo, os autores conjecturaram que todo grafo simples conexo G, G 6= C5, com pelo menos três v´ertices possui χ0a(G) ≤ ∆(G) + 2. Esta conjectura conhecida como conjectura da colora¸cão de arestas semiforte

está aberta para grafos arbitrários, mas é válida para algumas classes de grafos.

Nesta disserta¸cão, apresentamos alguns resultados sobre a colora¸cão de arestas se-miforte. Em seguida, focamos em grafos split. Provamos a conjectura da colora¸cão de arestas semiforte para algumas fam´ılias destes grafos, dentre elas, os split-completos e os split-indiferen¸ca. Além disso, determinamos o ´ındice cromático semiforte dos grafos split-indiferen¸ca com vértice universal. Para grafos split-indiferen¸ca sem vértice univer-sal, exibimos condi¸cões para que seu ´ındice crom´atico semiforte seja igual a ∆(G) + 1 e conjecturamos χ0_a(G) = ∆(G) + 2 caso contrário.

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`

A minha m˜ae, C´elia Maria.

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Agradecimentos

- Agrade¸co à Prof. Dra. Célia pela orienta¸cão impecável e por ser sempre compreen-siva e atenciosa inclusive em momentos de dificuldades pessoais minhas. Concluo o mestrado tendo a certeza de que tive muita sorte de tê-la como orientadora.

- Agrade¸co à minha mãe Célia Maria pelo exemplo de vida, de luta e de princ´ıpios. - Agrade¸co ao meu pai Marcelo pelo exemplo de caráter e de perseveran¸ca na vida

acadˆemica.

- Agrade¸co ao meu irm˜ao Marcelo, pela cumplicidade em todos os desafios e conquis-tas de nossas vidas.

- Agrade¸co `a minha namorada Maiara, por todo o amor e paz que foram essenciais para tornar poss´ıvel a conclus˜ao deste trabalho.

- Agrade¸co ao meu primo Gustavo pelo exemplo de disciplina e pelos debates fi-los´oficos que tanto me fazem evoluir como pessoa.

- Agrade¸co a Esteban Rodriguez, Pedro Hokama e Priscila Biller pela amizade sempre dispon´ıvel.

- Agrade¸co aos amigos do CampinamB. pelas conversas e pela parceria que tanto nos ajuda no ambiente acadˆemico.

- Agrade¸co aos membros da banca por terem aceitado participar da avalia¸c˜ao deste trabalho.

- Agrade¸co ao CNPq pela bolsa de mestrado concedida no primeiro ano de pesquisa.

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Sum´

ario

Abstract ix

Resumo xi

Dedicat´oria xiii

Agradecimentos xv

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Defini¸c˜oes B´asicas . . . 1

2 Colora¸c˜ao de arestas semiforte 5 2.1 Colora¸c˜ao de arestas . . . 5

2.2 Colora¸c˜ao de arestas semiforte . . . 7

2.3 Rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total . . . 11

2.3.1 Colora¸c˜ao expans´ıvel e colora¸c˜ao redut´ıvel . . . 12

2.3.2 Classes de grafos regulares . . . 18

3 Grafos Split 39 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 39

3.2 Colora¸c˜ao total de grafos split . . . 40

3.3 Colora¸c˜ao de arestas semiforte de grafos split . . . 42

3.3.1 Colora¸c˜ao de arestas semiforte de grafos split-completos . . . 50

3.3.2 Conclus˜ao . . . 55

4 Grafos split-indiferen¸ca 59 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 59

4.2 Colora¸c˜ao de arestas semiforte para grafos split-indiferen¸ca . . . 64

4.2.1 G ´e um grafo completo . . . 64 xvii

(18)

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4.2.2 G ´e a uni˜ao de dois grafos completos G[A], G[B] tal que G[A] \

G[B] ∼= K1 . . . 65

4.2.3 G ´e a uni˜ao de trˆes grafos completos G[A], G[B] e G[C] de forma que G[A] \ G[B] ∼= K1, G[C] \ G[B] ∼= K1 e A ∪ C = V (G). . . . 77

4.2.4 G ´e a uni˜ao de trˆes grafos completos G[A], G[B], G[C] de forma que

G[A] \ G[B] ∼= K1, G[C] \ G[B] ∼= K1 e A ∩ C = ∅. . . . 99

5 Conclus˜oes 115

Referˆencias Bibliogr´aficas 117

(20)

(21)

Lista de Tabelas

3.1 Compara¸c˜ao entre χT(G) e χ0a(G) para grafos split-completos G. . . . 56

3.2 Tabela de cores para um grafo split G com ∆(G) = 8. . . . 56

4.1 χ0_a(G) e χT(G) para G = (A0, AB, B0), |V (G)| ´ımpar . . . 77

4.2 χ0_a(G) e χT(G) para G = (A0, AB, B0), |V (G)| par . . . . 77

4.3 Valores de |AB| e d para cada um dos casos. . . . 86

4.4 Para cada caso, λ(vivi+d) 6= |AB|. . . . 87

4.5 χ0_a(G) e χT(G) para G = (A0, AB, ABC, BC, C0), |V (G)| ´ımpar . . . 99

4.6 χ0_a(G) e χT(G) para G = (A0, AB, ABC, BC, C0), |V (G)| par . . . . 99

4.7 Lπ0(v_i) para 0 ≤ i ≤ ∆(G) − 1 . . . 108

4.8 Lπ(vi) para 0 ≤ i ≤ ∆(G)−1₂ + 2p . . . 110

4.9 Lπ(vi) para ∆(G)−1₂ + 2p < i ≤ ∆(G) − 1 . . . 110

4.10 χ0_a(G) e χT(G) para G = (A0, AB, B0, BC, C0), |V (G)| par . . . 113

4.11 χ0_a(G) e χT(G) para G = (A0, AB, B0, BC, C0), |V (G)| ´ımpar. . . . 113

(22)

(23)

Lista de Figuras

1.1 Grafo simples G. . . . 2 2.1 Exemplo de grafo classe 1. . . 5 2.2 Exemplo de grafo sobrecarregado: C5 . . . 6

2.3 Exemplo de grafo Classe 2 n˜ao sobrecarregado: Grafo de Petersen . . . 6 2.4 Uma 4-colora¸c˜ao de arestas semiforte para G. . . . 7 2.5 Colora¸c˜ao de arestas semiforte de G e H. . . . 8 2.6 χ0_a(G1) = ∆(G1); χ0a(G2) = ∆(G2) + 1; χ0a(G3) = ∆(G3) + 2. . . 9

2.7 χ0_a(G1) = ∆(G1) + 1; χ0a(G2) = ∆(G2) + 2. . . 9

2.8 χ0_a(C5) = 5 = ∆(C5) + 3. . . 10

2.9 Colora¸c˜ao de arestas semiforte de P5, C5, G e H. . . . 10

2.10 Uma colora¸c˜ao total redut´ıvel de G . . . . 13 2.11 Uma colora¸c˜ao total redut´ıvel de G. . . . 14 2.12 Uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G n˜ao expans´ıvel. . . 14 2.13 Uma colora¸c˜ao total de G n˜ao redut´ıvel. O conjunto associado a cada

v´ertice v representa o complemento do r´otulo de v. . . . 15 2.14 Uma 5-colora¸c˜ao de arestas semiforte para K3,3. O conjunto associado a

cada v´ertice v representa o complemento do r´otulo de v. . . . 15 2.15 O grafo K4,4e seus subgrafos H com arestas representadas por linhas s´olidas

e K com pontilhadas. . . . 17 2.16 Uma colora¸c˜ao total para o K4,4. . . 17

2.17 Colora¸c˜ao de arestas semiforte π para o C8. . . 19

2.18 Os blocos de C14. . . 20

2.19 Colora¸c˜ao de arestas semiforte π para C14. . . 20

2.20 Colora¸c˜ao de arestas γ0 para K6 e colora¸c˜ao de arestas γ para K4. . . 22

2.21 Grafo K5 com as cores atribu´ıdas por γ. `A direita, os complementos dos

r´otulos para v ∈ V (K5). . . 24

2.22 χ0_a(C2

7) = 6 . . . 26

2.23 Exemplo de grafo jun¸c˜ao G1∨ G2. . . 27

2.24 Colora¸c˜ao σ para K5,5. . . 28

(24)

(25)

2.25 Colora¸c˜ao σ para K6,6. . . 28

2.26 As duas c´opias F e H de 2K2. . . 30

2.27 Colora¸c˜ao de arestas semiforte para 2K2∨ 2K2. . . 31

2.28 Colora¸c˜ao de arestas semiforte para o C4∨ C4. . . 31

2.29 Grafo K7,7 e Lσ(v), v ∈ V (K7,7). . . 32

2.30 Constru¸c˜ao parcial do grafo C7 ∨ C7 e o complemento do r´otulo de cada

v´ertice. . . 32 2.31 Constru¸c˜ao parcial do grafo C7 ∨ C7 e o complemento do r´otulo de cada

vértice. . . 33 2.32 Constru¸c˜ao final do grafo C7∨C7 e o complemento do rótulo de cada vértice. 33

2.33 Emparelhamento multicolorido para K10. . . 35

3.1 Grafo split G = [Q, S]. . . . 39 3.2 Grafo split completo G = [Q, S] com |Q| = 4 e |S| = 4 e seu complemento G. 41 3.3 Grafos G = [Q, S], K|Q| e B. . . . 42

3.4 Grafo split G = [Q, S], |Q| ´ımpar e a colora¸c˜ao π. . . . 44 3.5 Grafo split G = [Q, S], |Q| par. e G[Q] colorido por γ. . . . 45 3.6 Grafo split G = [Q, S], |Q| par. e G[Q] colorido por γ. . . . 46 3.7 Grafo split G = [Q, S], |Q| par. . . . 46 3.8 Grafo split G = [Q, S], |Q| ´ımpar. . . . 48 3.9 Grafo split G = [Q, S], |Q| par. . . . 48 3.10 Grafos split G1 = [Q1, S1] e G2 = [Q2, S2]. . . 49

3.11 Grafo split G = [Q, S], d(Q) = d(S) = 3. . . . 50 3.12 Grafo split G = [Q, S], d(Q) = d(S) = 3. . . . 50 3.13 Uma 6-colora¸c˜ao de arestas semiforte para o grafo split-completo G = [Q, S]

com |Q| = 4 e |S| = 2. . . . 52 3.14 Grafo split-completo G = [Q, S] e colora¸cão de arestas semiforte de G. . . . 54 3.15 Grafo split-completo G = [Q, S] e colora¸cão de arestas semiforte de G. . . . 55 3.16 Grafo split G e colora¸c˜ao de arestas n˜ao semiforte de G. . . . 57 4.1 Grafo de intervalos formado por seis vértices e sete arestas. . . 59 4.2 Grafo indiferen¸ca formado por quatro vértices e três arestas. . . 60 4.3 Grafo G split-indiferen¸ca formado por duas cliques A e B. . . . 61 4.4 Grafo G split-indiferen¸ca formado por três cliques A, B e C onde A ∪ C =

V (G). . . . 61

4.5 Grafo G split-indiferen¸ca formado por trˆes cliques A, B e C onde A ∩ C = ∅. 62 xxv

(26)

(27)

4.6 Colora¸c˜ao de arestas semiforte para G com ∆(G) = 2. O conjunto agregado a cada v´ertice v ´ındica L(v). . . . 66 4.7 Colora¸c˜ao de arestas semiforte π para G com ∆(G) + 1 cores. As arestas

coloridas por γ est˜ao omitidas. O conjunto agregado a cada v´ertice v ´ındica

L(v). . . . 67

4.8 Grafo split-indiferen¸ca com a colora¸c˜ao π. As arestas vivj que recebem a cor γ(vivj) est˜ao omitidas. . . 68 4.9 Um grafo G = (A0, AB, B0). As arestas foram omitidas e o conjunto

agre-gado a cada v´ertice v ´ındica Lπ(v). . . . 69 4.10 Os conjuntos A0, AB, B0 de dois grafos split-indiferen¸ca G = (A0, AB, B0). . 72 4.11 Emparelhamento M de G = (A0, AB, B0) quando (a) |AB| par e (b) |AB|

´ımpar. As demais arestas de G est˜ao omitidas. . . 72 4.12 Emparelhamento M de G = (A0, AB, B0) quando (a) ∆(G)−1₂ ´ımpar e (b)

∆(G)−1

2 par. As demais arestas de G est˜ao omitidas. . . 73

4.13 A colora¸c˜ao π para os grafos G = (A0, AB, B0): as cores π(xvi), vi ∈ AB est˜ao representadas; as arestas de M est˜ao pontilhadas e recebem a cor ∆(G); as arestas vivj com vi, vj ∈ B que recebem a cor λ(vivj) est˜ao omitidas. . . 74 4.14 Colora¸c˜ao π para um grafo split-indiferen¸ca G com ∆(G) = 8, |AB| = 2,

|ABC| = 3 e |BC| = 2. As arestas vivj que recebem a cor γ(vivj) est˜ao omitidas. . . 78 4.15 Colora¸c˜ao π para G = (A0, AB, ABC, BC, C0), |AB| = 1, |ABC| = 3 e

|BC| = 2. . . 80 4.16 Os conjuntos A0, AB, ABC, BC, C0 quando ∆(G) = 14, |AB| = 7 e |BC| = 5. 83 4.17 Emparelhamento M para cada paridade de |AB| e cada diferen¸ca entre

|AB| e |BC|. . . . 84 4.18 Exemplos da colora¸c˜ao π para cada paridade de |AB| e cada diferen¸ca entre

|AB| e |BC|. As arestas que recebem a cor ∆(G) − 1 est˜ao pontilhadas. As arestas vivj com vi, vj ∈ B que recebem a cor λ(vivj) est˜ao omitidas. . . 85 4.19 Colora¸c˜ao π para grafo split-indiferen¸ca G = (A0, AB, ABC, BC, C0) onde

|AB| = 2, |ABC| = 1 e |BC| = 1. As arestas vivj com vi, vj ∈ B que recebem a cor λ(vivj) estão omitidas. . . 88 4.20 Divisão dos v´ertices de B ∪ C, |ABC| > ∆(G)+1₂ . . . 90 4.21 Divisão dos v´ertices de B ∪ C, |ABC| ≤ ∆(G)+1₂ . . . 91 4.22 Diagrama de divisão dos v´ertices de AB ∪ BC em X e X. . . . 91 4.23 Divisão dos v´ertices de B ∪ C para os casos 1.1 e 1.2 . . . . 93 4.24 Divisão dos v´ertices de B ∪ C para os casos 2.1 e 2.2 . . . . 94 4.25 Passos da constru¸c˜ao de G1. . . 95

(28)

(29)

4.26 Grafo G1 . . . 95

4.27 Grafo G = (A0, AB, B0, BC, C0) onde (a) |V (G)| ´e par, (b) |V (G)| ´e ´ımpar e as cores π(xvi) e π(yvi), vi ∈ AB ∪ BC. . . 100 4.28 Os conjuntos A0, AB, B0, BC, C0 quando ∆(G) = 13, |AB| = 7 |B0| = 3 e

|BC| = 3. . . 104 4.29 Emparelhamento M para G da Figura 4.28. . . 104 4.30 Os conjuntos A0, AB, B0, BC, C0 quando ∆(G) = 13, |AB| = 7 |B0| = 3

e |BC| = 3. As arestas que recebem a cor ∆(G) est˜ao pontilhadas. As arestas vivj com vi, vj ∈ B que recebem a cor λ(vivj) est˜ao omitidas. . . 105 4.31 Os conjuntos A0, AB, B0, BC, C0 quando ∆(G) = 13 e p = 2. . . 107 4.32 Emparelhamento m´aximo para G[B] quando (a) ∆(G) = 13 e (b) ∆(G) = 15.108 4.33 Colora¸c˜ao π para G com ∆(G) = 13 e p = 2. As arestas que recebem a cor

∆(G) est˜ao pontilhadas. As arestas vivj com vi, vj ∈ B que recebem a cor

λ(vivj) est˜ao omitidas. . . 109

(30)

(31)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

A área de pesquisa de colora¸cão em grafos tem origem em 1852 a partir do estudo da então Conjectura das Quatro Cores. Essa conjectura que foi confirmada mais de 100 anos depois, afirmava que qualquer mapa territorial poderia ser colorido utilizando no máximo quatro cores. Na tentativa de resolver o problema diversas técnicas foram desenvolvidas, o que contribuiu para o avan¸co da teoria dos grafos e o surgimento de diversas outras questões envolvendo colora¸cão em grafos. Dentre esses problemas, surgiu o problema da colora¸cão de arestas, que consiste em identificar o número m´ınimo de cores para colorir as arestas de um grafo seguindo algumas restri¸cões.

Soták et al. [27] e Burris et al. [6] introduziram independentemente uma varia¸cão da colora¸cão de arestas, onde o conjunto das cores atribu´ıdas às arestas de um vértice o distinguem dos demais. Burris et al. denominaram essa colora¸cão como colora¸cão de arestas forte (strong edge coloring).

A partir desta colora¸cão, Zhang et al. [38] em 2001 propuseram a colora¸cão de arestas semiforte, onde o conjunto das cores atribu´ıdas às arestas de um vértice o distinguem dos seus vértices adjacentes. O foco deste trabalho é o estudo da colora¸cão de arestas semiforte.

Na próxima se¸cão, definimos os conceitos matemáticos utilizados neste trabalho. No cap´ıtulo 2, introduzimos os problemas da colora¸cão de arestas e a colora¸cão de arestas semiforte. No Cap´ıtulo 3 estudamos a colora¸cão de arestas semiforte para grafos split e no Cap´ıtulo 4 para grafos split-indiferen¸ca. Finalmente, no Cap´ıtulo 5 apresentamos as conclusões.

1.1 Defini¸

c˜

oes B´

asicas

Seja X um conjunto. A cardinalidade de X, o número de elementos em X, ´e expressa por |X|. Se |X| = 0, X é vazio e ´e denotado por ∅ ou {}. As opera¸cões entre conjuntos,

(32)

união, interseçcão e diferen¸ca, ser˜ao representadas por ∪, ∩, \ respectivamente. Dizemos que P = {P1, P2, . . . , Pn} é uma parti¸cão de X se Pi ⊂ X, Pi 6= ∅, Pi ∩ Pj = ∅ para 1 ≤ i, j ≤ n e P1∪ P2∪ · · · ∪ Pn= X.

Seja C um conjunto e P uma propriedade dos subconjuntos de C. Dizemos que X ⊆ C ´

e maximal em rela¸c˜ao a P se X satisfaz P e todo subconjunto de C que cont´em X n˜ao satisfaz P .

Seja uma fun¸c˜ao f : X → Y e X0 um subconjunto de X. Definimos f0 : X0 → Y como a restri¸c˜ao de f a X0, se f0(x) = f (x), para x ∈ X0.

Um grafo G é uma tupla ordenada (V (G), E(G), ψ(G)) que consiste em um conjunto n˜ao vazio V (G) de vértices disjunto de um conjunto E(G) de arestas e uma fun¸cão de

incidˆencia ψ(G) que associa cada aresta e de G a um par n˜ao ordenado de v´ertices u, v

de G denominados extremos de e. Se existem duas arestas e1 e e2 em E(G) tal que os

extremos de e1 s˜ao iguais aos extremos de e2, ent˜ao G possui arestas m´ultiplas. Se uma

aresta e possui ambos os extremos no mesmo v´ertice, dizemos que e ´e um la¸co. Dizemos

que G é simples se G n˜ao possui la¸cos ou arestas m´ultiplas e G é trivial se cont´em apenas um vértice e nenhuma aresta. Neste trabalho, o termo grafo será utilizado para designar um grafo simples.

Sejam e ∈ E(G) e u, v ∈ V (G) tal que ψG(e) = {u, v}. Neste caso, dizemos que u e v s˜ao v´ertices adjacentes ou vizinhos. Dizemos tamb´em que e incide em u e em v e denotamos a aresta e por uv. Se duas arestas e1 e e2 incidem em um mesmo v´ertice,

tamb´em dizemos que e1 e e2 s˜ao adjacentes.

Grafos podem ser representados graficamente no plano. Os vértices são representados por pontos e cada aresta por uma curva que liga os pontos que são os seus extremos. A Figura 1.1 exibe o grafo G onde V (G) = {v0, v1, v2, v3, v4} e E(G) = {v0v1, v1v4, v0v4,

v1v2, v2v3, v3v4}.

Figura 1.1: Grafo simples G.

Seja G um grafo. Definimos a vizinhan¸ca de um vértice v em G como o conjunto formado pelos vizinhos de v em G e o denotamos por NG(v). O grau de um vértice v em G, denotado por dG(v), ´e o n´umero de arestas incidentes em v, la¸cos contados duas vezes. Quando não há dúvida quanto ao grafo em que o v´ertice v pertence, podemos denotar o grau de v por d(v). O grau máximo de G ´e o maior grau entre todos os vértices e ´e denotado por ∆(G). Um vértice v de G é universal se N (v) = V (G) \ {v}. Se

(33)

1.1. Defini¸c˜oes B´asicas 3

|N (v)| = |V (G)| − 2, dizemos que v é quase universal. No grafo G da Figura 1.1, temos que ∆(G) = 3, d(v2) = 2 e d(v1) = 3 = |V (G)| − 2, ou seja, v1 é um vértice quase

universal.

Um subgrafo H de um grafo G ´e um grafo tal que V (H) ⊆ V (G), E(H) ⊆ E(G) e ψ(H) ´e a restri¸c˜ao de ψ(G) a E(H). Seja X ⊆ V (G). O subgrafo H de G tal que |V (H)| = X e toda aresta em E(G) com extremos em X pertence a E(H) ´e um subgrafo

induzido ou gerado de G e ´e denotado por G[X].

Dados dois grafos simples G e H. Dizemos que G e H s˜ao isomorfos, e denotamos

G ∼= H, se existe uma bije¸c˜ao f : V (G) → V (H) de tal forma que quaisquer dois v´ertices

u, v ∈ V (G) s˜ao adjacentes se e somente se f (u), f (v) ∈ V (H) s˜ao adjacentes.

Um caminho P em um grafo simples G ´e uma sequência de v´ertices (v1, v2, . . . , vk), sem repeti¸cão, tal que para quaisquer dois v´ertices vi, vi+1 consecutivos na sequência, tem-se que vi e vi+1 s˜ao adjacentes. O comprimento de P é k − 1. A distância d(u, v) entre u e

v é o comprimento do menor caminho de u a v em G. Se não existe caminho de u a v, ent˜ao d(u, v) = ∞. O diâmetro de G ´e a maior distância entre quaisquer dois vértices de

G.

Um grafo ´e conexo, se para todo par de v´ertices distintos, u, v, existe um caminho de

u a v no grafo. Um componente conexo de um grafo ´e um subgrafo conexo maximal do

grafo.

Um grafo completo de n vértices, Kn, é um grafo onde para qualquer par de vértices distintos u, v, existe uma aresta uv. Uma clique é um subconjunto Q de v´ertices de um grafo G onde G[Q] é grafo completo. Um conjunto independente S ´e um subconjunto dos v´ertices de um grafo G tal que G[S] ´e um grafo sem arestas.

Dados dois grafos G e H, o grafo uni˜ao destes grafos, representado por G ∪ H, ´e o grafo U onde V (U ) = V (G) ∪ V (H) e E(U ) = E(G) ∪ E(H).

Outras defini¸cões são apresentadas ao longo deste trabalho. Defini¸cões auxiliares que por ventura n˜ao estejam presentes, podem ser encontradas no livro Graph Theory de Bondy e Murty [5].

(34)

(35)

Cap´ıtulo 2

Colora¸

c˜

ao de arestas semiforte

Neste cap´ıtulo definimos a colora¸cão de arestas e a colora¸cão de arestas semiforte. Em seguida, tra¸camos uma rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total e comparamos essas colora¸cões para algumas classes de grafos regulares.

2.1 Colora¸

c˜

ao de arestas

Sejam G um grafo e C um conjunto de cores. Uma atribui¸c˜ao π : E(G) → C ´e uma

colora¸c˜ao de arestas de G se a arestas adjacentes s˜ao atribu´ıdas cores distintas. O ´ındice

crom´atico de G, χ0(G), ´e o n´umero m´ınimo de cores para o qual G admite uma colora¸c˜ao

de arestas. Uma colora¸c˜ao de arestas de G utilizando k cores ´e denominada k-colora¸c˜ao de arestas.

Em 1964, Vizing [35] revolucionou a teoria da colora¸cão das arestas provando que para qualquer grafo simples G, χ0(G) ≤ ∆(G) + 1. Dessa forma, surgiu o Problema da Classifica¸c˜ao, que consiste em decidir se um grafo possui χ0(G) = ∆(G) ou χ0(G) = ∆(G) + 1. No primeiro caso, diz-se que o grafo ´e classe 1; caso contrário, é classe 2. Dessa forma, para provar que um grafo G é classe 1, basta exibir uma ∆(G)-colora¸c˜ao de arestas para G. O grafo G da Figura 2.1 ´e um exemplo de grafo classe 1.

Figura 2.1: Exemplo de grafo classe 1.

Por´em, para afirmar que G ´e classe 2, é necess´ario mostrar que G n˜ao tem uma ∆(G)-colora¸cão de arestas. O conceito de grafo sobrecarregado (overfull) ´e uma condi¸cão

(36)

suficiente para a classifica¸c˜ao de um grafo como classe 2 [3]. Um grafo G = (V, E) ´e

sobrecarregado e portanto classe 2 se |E(G)| > ∆(G)b|V (G)|₂ c. A Figura 2.2 apresenta um

exemplo de grafo sobrecarregado. Por´em, existem grafos G com χ0(G) = ∆(G) + 1 que n˜ao s˜ao sobrecarregados, como por exemplo, o grafo de Petersen, apresentado na Figura 2.3.

Figura 2.2: Exemplo de grafo sobrecarregado: C5

Figura 2.3: Exemplo de grafo Classe 2 n˜ao sobrecarregado: Grafo de Petersen

São conhecidas, também, condi¸cões suficientes para que um grafo seja Classe 1. Uma delas, descrita no Teorema 2.1.1, será utilizada posteriormente.

Teorema 2.1.1 [20] Seja G grafo. Se o subgrafo induzido pelos v´ertices de grau m´aximo

de G é uma floresta, então G é Classe 1.

Holyer [26] provou que decidir se um grafo G arbitr´ario é classe 1 é um problema NP-Completo e continua NP-Completo mesmo quando restrito a algumas classes de gra-fos [7]. Porém, o problema da classifica¸cão está resolvido para classes de grafos tais como grafos completos [5], bipartidos [5], grafos multipartidos completos [25], grafos com vértice universal [33], grafos split-indiferen¸ca [31].

Na próxima se¸cão, introduzimos a colora¸cão que é foco deste trabalho: a colora¸cão de arestas semiforte.

(37)

2.2. Colora¸c˜ao de arestas semiforte 7

2.2 Colora¸

c˜

ao de arestas semiforte

Seja π : E(G) → C uma colora¸cão de arestas de G. O rótulo de um vértice v de G em rela¸c˜ao a π, Lπ(v), é o conjunto formado pelas cores das arestas que incidem em v. Se para cada aresta uv de G, Lπ(u) 6= Lπ(v), π é uma colora¸cão de arestas semiforte de G. Uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G utilizando k cores é denominada k-colora¸cão de

arestas semiforte. Dizemos que a cor i ∈ C ocorre em um v´ertice v de G se i ∈ Lπ(v),

caso contr´ario, i falta em v. Neste ´ultimo caso, i ∈ Lπ(v) onde, Lπ(v) = C \Lπ(v). O sub´ındice π ser´a omitido tanto no r´otulo de v quanto no seu complemento quando n˜ao houver ambiguidade.

O ´ındice cromático semiforte de G, χ0_a(G), é o menor n´umero de cores para o qual G admite uma colora¸c˜ao de arestas semiforte. Se G ´e um grafo trivial, ent˜ao, χ0_a(G) = 0, e se G contém um componente conexo isomorfo a K2, ent˜ao G n˜ao admite uma colora¸cão de

arestas semiforte. Neste caso, dizemos que χ0_a(G) = ∞. Estamos, portanto, interessados em grafos cujos componentes conexos possuem pelo menos trˆes v´ertices.

A Figura 2.4 exibe um grafo G e uma colora¸cão de arestas semiforte de G. O conjunto associado a cada v´ertice v da Figura 2.4 representa o complemento do r´otulo do vértice (L(v)). Esta representa¸c˜ao será utilizada sempre que houver necessidade.

Figura 2.4: Uma 4-colora¸c˜ao de arestas semiforte para G.

Podemos restringir o estudo da colora¸cão de arestas semiforte a grafos conexos, pois se G é um grafo desconexo com k componentes conexos G1, G2, ..., Gk e |V (Gi)| ≥ 3, 1 ≤ i ≤ k, então χ0

a(G) = max {χ0a(Gi) | i = 1, 2, ..., k} [38].

Neste trabalho consideramos grafos G, simples, conexos com trˆes ou mais v´ertices. Logo, ∆(G) ≥ 2.

Lema 2.2.1 Seja G um grafo com grau m´aximo ∆(G). Ent˜ao χ0_a(G) ≥ ∆(G). Se os

graus de quaisquer dois vértices adjacentes de G são distintos, então χ0_a(G) = ∆(G).

Prova: Seja G um grafo com grau máximo ∆(G) e π uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G. Então χ0_a(G) ≥ χ0(G) ≥ ∆(G), pois π é colora¸c˜ao de arestas de G.

(38)

Suponha que d(u) 6= d(v) para quaisquer u e v com uv ∈ E(G). Então, |L(u)| 6= |L(v)| para qualquer colora¸c˜ao de arestas de G. Portanto, χ0_a(G) = χ0(G). Além disso, o subgrafo induzido pelos vértices de grau máximo é um grafo desconexo onde cada componente é o grafo trivial. Logo, pelo teorema 2.1.1, χ0(G) = ∆(G).

Lema 2.2.2 [38] Seja G um grafo com grau m´aximo ∆(G). Se G possui pelo menos

dois vértices adjacentes com grau máximo, então χ0_a(G) ≥ ∆(G) + 1.

Prova: Seja G um grafo com grau m´aximo ∆(G) e π uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G. Seja uv ∈ E(G) tal que d(u) = d(v) = ∆(G). Para que L(u) 6= L(v), devem existir pelo menos duas combina¸c˜oes de χ0_a(G) com ∆(G) cores, ou seja, χ0a(G)

∆(G)

≥ 2. Logo,

χ0_a(G) ≥ ∆(G) + 1.

Na Figura 2.4 exibimos uma 4-colora¸c˜ao de arestas semiforte para G. Logo, χ0_a(G) = 4 = ∆(G) + 1, pois G cont´em dois v´ertices de grau m´aximo adjacentes.

Na Figura 2.5 apresentamos dois grafos G e H que n˜ao possuem vértices de grau máximo adjacentes e duas colora¸cões de arestas que também s˜ao semifortes. A de G utiliza ∆(G) + 1 e a de H, ∆(H) cores. Logo, χ0_a(H) = ∆(H). Em rela¸cão ao grafo G mostramos a seguir que n˜ao existe uma ∆(G)-colora¸c˜ao de arestas semiforte provando que χ0_a(G) = ∆(G) + 1 = 7.

Figura 2.5: Colora¸c˜ao de arestas semiforte de G e H.

Teorema 2.2.3 O grafo G da Figura 2.5 n˜ao possui v´ertices de grau m´aximo adjacentes e χ0_a(G) = ∆(G) + 1.

Prova: Considere o grafo G da Figura 2.5. Note que ∆(G) = 6. Seja V (G) =

(39)

2.2. Colora¸c˜ao de arestas semiforte 9

uma 6-colora¸c˜ao de arestas semiforte, π, para G. Ent˜ao para quaisquer dois v´ertices vi,

vj, 1 ≤ i, j ≤ 6, se vivj ∈ E(G), ent˜ao Lπ(vi) 6= Lπ(vj) e, em cada vi, |Lπ(vi)| = 1, pois

d(vi) = 5. Al´em disso todas as cores ocorrem nos v´ertices v7 e v8. Logo, ocorrem em

pelo menos dois v´ertices de G0. Assim, uma cor c ocorre ou falta sempre em um número par de v´ertices de G0. Além disso, n˜ao existe cor c tal que c ocorra em exatamente dois v´ertices de G0, pois caso contr´ario, c faltaria em outros 4 vértices de G0. Como G0 ∼= K3,3

e |L(vi)| = 1, existiria pelo menos 2 vértices adjacentes com rótulos iguais. Portanto, toda cor c ocorre em todos os vértices de G0 ou falta em dois v´ertices de G0.

Como |E(G0)| = 9, então existem três cores tais que cada uma falta em dois vértices e três outras cores ocorrem em todos os vértices. Sendo que três cores faltam em dois vértices, não é poss´ıvel que estas cores faltem em vértices n˜ao adjacentes pois G0 ∼= K3,3.

Portanto, χ0_a(G) > 6.

Uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G utilizando 7 cores ´e apresentada na Figura 2.5. Portanto, χ0_a(G) = ∆(G) + 1.

A seguir exibimos grafos G que s˜ao Classe 1 e possuem ´ındice crom´atico semiforte igual a ∆(G), ∆(G) + 1 e ∆(G) + 2. Apresentamos tamb´em, grafos Classe 2 com ´ındice crom´atico semiforte igual a ∆(G) + 1 e ∆(G) + 2. Os trˆes grafos G1, G2 e G3 da Figura 2.6

s˜ao Classe 1 tais que χ0_a(G1) = ∆(G1), χ0a(G2) = ∆(G2)+1 e χ0a(G3) = ∆(G3)+2. Observe

que G1 n˜ao possui v´ertices de grau m´aximo adjacentes, enquanto G2 e G3 possuem.

Figura 2.6: χ0

a(G1) = ∆(G1); χ0a(G2) = ∆(G2) + 1; χ0a(G3) = ∆(G3) + 2.

A Figura 2.7 exibe dois grafos sobrecarregados e portanto Classe 2, G1 e G2, tais que

χ0_a(G1) = ∆(G1) + 1 e χ0a(G2) = ∆(G2) + 2.

Figura 2.7: χ0_a(G1) = ∆(G1) + 1; χ0a(G2) = ∆(G2) + 2.

Um exemplo interessante ´e o C5 apresentado na Figura 2.8. C5 ´e um grafo Classe

(40)

afirma¸c˜ao.

Figura 2.8: χ0_a(C5) = 5 = ∆(C5) + 3.

Sejam E(C5) = {v1v2, v2v3, v3v4, v4v5, v5v1} e π uma 4-colora¸c˜ao de arestas semiforte

para o C5. Ent˜ao duas arestas tem a mesma cor. Suponha que a cor 1 tenha sido atribu´ıda

`

a aresta v1v2 e que exista outra aresta que foi colorida com a mesma cor. A aresta v2v3

n˜ao tem a cor 1, pois o v´ertice v2 j´a possui uma aresta incidente com esta cor; a aresta

v3v4 também não tem a cor 1, pois caso contrário, os v´ertices v2 e v3 teriam o mesmo

r´otulo, independentemente da cor da aresta v2v3; a aresta v4v5 tamb´em n˜ao tem a cor 1,

pois caso contr´ario, os v´ertices v1 e v5 teriam o mesmo r´otulo, independentemente da cor

da aresta v5v1; e finalmente, a aresta v5v1 tamb´em n˜ao pode ter a cor 1 pois o v´ertice v1

j´a possui uma aresta incidente com essa cor. Logo, em uma colora¸c˜ao de arestas semiforte para o C5 todas as arestas possuem cores diferentes, ent˜ao χ0a(C5) ≥ 5. A Figura 2.8

apresenta uma 5-colora¸c˜ao de arestas semiforte para o C5. Portanto, χ0a(C5) = 5.

´

E interessante notar também que o ´ındice crom´atico semiforte de um subgrafo H de um grafo G n˜ao é necessariamente menor ou igual ao ´ındice crom´atico semiforte de G. Esta é uma diferen¸ca entre o ´ındice cromático e o ´ındice cromático semiforte já que o ´ındice crom´atico de H ´e sempre menor ou igual ao ´ındice crom´atico de G. Na Figura 2.9 são apresentados 4 grafos, cada um com uma colora¸cão de arestas semiforte com o n´umero m´ınimo de cores. Note que C5 ´e subgrafo de G e de H e χ0a(G) < χ

0

a(C5) e

χ0_a(H) < χ0_a(C5).Por´em, P5 ´e subgrafo de H e de G, e χ0a(P5) = χ0a(H).

Figura 2.9: Colora¸c˜ao de arestas semiforte de P5, C5, G e H.

No mesmo artigo [38] em que a colora¸c˜ao de arestas semiforte foi definida os autores formularam a seguinte conjectura, denominada conjectura da colora¸c˜ao de arestas semi-forte.

(41)

2.3. Rela¸cão entre colora¸cão de arestas semiforte e colora¸cão total 11

Conjectura 2.2.4 [38] Para todo grafo simples G, G 6∼= C5, ∆(G) ≤ χ0a(G) ≤ ∆(G) + 2. Esta conjectura continua aberta, porém a sua veracidade foi comprovada para várias classes de grafos. Neste trabalho serão tratadas algumas dessas classes.

2.3 Rela¸

c˜

ao entre colora¸

c˜

ao de arestas semiforte e

colora¸

c˜

ao total

Uma colora¸cão total de G, τ : E(G) ∪ V (G) → C, ´e uma atribui¸cão de cores aos vértices e `as arestas de G, tal que

• para quaisquer duas arestas adjacentes e1, e2 ∈ E(G), π(e1) 6= π(e2),

• para quaisquer dois v´ertices adjacentes vi, vj ∈ V (G), π(vi) 6= π(vj),

• para qualquer aresta e ∈ E(G) incidente em um v´ertice v ∈ V (G), π(e) 6= π(v).

O n´umero crom´atico total de G, χT(G), ´e menor n´umero de cores para o qual G

admite uma colora¸c˜ao total. Uma colora¸c˜ao total de G utilizando k cores ´e denominada

k-colora¸c˜ao total.

Observa¸c˜ao 2.3.1 Seja G um grafo com grau m´aximo ∆(G). Então χT(G) ≥ ∆(G) + 1. Prova: Seja v um vértice de grau ∆(G) e τ uma colora¸cão total de G. Então τ utiliza ∆(G) cores nas arestas incidentes em v e mais uma cor para v. Portanto χT(G) ≥ ∆(G) + 1.

Behzad [1] e Vizing [35] formularam independentemente a seguinte conjectura acerca do limite superior de χT(G):

Conjectura 2.3.2 Para todo grafo G, χT(G) ≤ ∆(G) + 2.

Um grafo G é regular se todos os vértices de G têm o mesmo grau. Dizemos que G ´e

k-regular se para qualquer v´ertice v ∈ V (G), d(v) = k. Se G ´e um grafo regular com pelo

menos trˆes v´ertices, pelo Lema 2.2.2, χ0_a(G) ≥ ∆(G) + 1 . Logo, na Conjectura 2.2.4, se

G ´e regular, ent˜ao ∆(G) + 1 ≤ χ0_a(G) ≤ ∆(G) + 2.

O Teorema 2.3.3 mostra uma rela¸cão entre a colora¸cão total e a colora¸cão de arestas semiforte quando apenas grafos regulares são considerados.

Teorema 2.3.3 [39] Seja G um grafo regular conexo com |V (G)| ≥ 3. Ent˜ao χ0_a(G) = ∆(G) + 1 se e somente se χT(G) = ∆(G) + 1.

(42)

Prova: Seja G um grafo regular conexo com |V (G)| ≥ 3. Suponha que χ0_a(G) = ∆(G) + 1 e seja π uma ∆(G) + 1-colora¸c˜ao de arestas semiforte de G. Como π usa ∆(G) + 1 cores e G ´e regular, em cada v´ertice v falta exatamente uma cor, ou seja, |L(v)| = 1, para todo v ∈ V (G).

Sendo π uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G, L(u) 6= L(v) para todo uv ∈ E(G). Logo a atribui¸c˜ao da cor em L(u) ao v´ertice u, para todo u ∈ V (G), origina uma colora¸c˜ao total para G com ∆(G) + 1 cores. Portanto, χT(G) = ∆(G) + 1.

Suponha agora que χT(G) = ∆(G) + 1 e seja τ uma colora¸c˜ao total de G com ∆(G) + 1 cores. Ent˜ao τ (u) 6= τ (v) para todo uv ∈ E(G).

Defina π : E(G) → C tal que π(uv) = τ (uv). ´

E claro que π ´e uma colora¸c˜ao de arestas de G e usa no m´aximo ∆(G) + 1 cores. Como

τ usa ∆(G) + 1 cores e G ´e regular, tem-se que |Lπ(u)| = 1, para todo u ∈ V (G). Logo,

π ´e uma colora¸c˜ao de arestas tal que Lπ(u) 6= L(v)π para todo uv ∈ V (G). Portanto π ´

e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G. Sendo G conexo, regular, com |V (G)| ≥ 3,

G tem pelo menos dois v´ertices de grau ∆(G) adjacentes. Logo, χ0_a(G) ≥ ∆(G) + 1.

Portanto, χ0_a(G) = ∆(G) + 1.

Corol´ario 2.3.4 Seja G um grafo regular conexo com |V (G)| ≥ 3. Se χT(G) ≥ ∆(G)+2,

ent˜ao χ0_a(G) ≥ ∆(G) + 2.

Prova: Se G ´e regular e conexo com |V (G)| ≥ 3, ent˜ao pelo Lema 2.2.2, χ0

a(G) ≥ ∆(G)+1. Por hip´otese, χT(G) ≥ ∆(G)+2. Ent˜ao, pelo Teorema 2.3.3, χ0a(G) 6= ∆(G)+1. Logo, χ0_a(G) ≥ ∆(G) + 2.

Corol´ario 2.3.5 Se um grafo G ´e regular com as conjecturas 2.2.4 e 2.3.2 v´alidas para

G, ou seja, χ0_a(G) ≤ ∆(G) + 2 e χT(G) ≤ ∆(G) + 2, ent˜ao χT(G) = χ0a(G).

Prova: Seja G um grafo regular. Pelo Lema 2.2.2, χ0_a(G) ≥ ∆(G) + 1. Se a Con-jectura 2.2.4 é v´alida para G, ∆(G) + 1 ≤ χ0_a(G) ≤ ∆(G) + 2. Se a Conjectura 2.3.2 também é v´alida para G, então, ∆(G) + 1 ≤ χT(G) ≤ ∆(G) + 2. Pelo Teorema 2.3.3,

χ0_a(G) = ∆(G) + 1 se e somente se χT(G) = ∆(G) + 1. Logo, χ0a(G) = ∆(G) + 2 se e somente se χT(G) = ∆(G) + 2. Portanto, χ0a(G) = χT(G).

McDiarmid et al. [29] provaram que para um grafo G k-regular, k ≥ 3, ´e NP-dif´ıcil decidir se χT(G) = ∆(G) + 1. Logo, tamb´em ´e NP-dif´ıcil decidir se χ0a(G) = ∆(G) + 1.

2.3.1 Colora¸

c˜

ao expans´ıvel e colora¸

c˜

ao redut´ıvel

Dizemos que uma colora¸c˜ao de arestas semiforte π de um grafo G ´e expans´ıvel se π usa

(43)

e ∈ E(G) e τ (v) = c onde c ∈ Lπ(v), para todo v ∈ V (G), ou seja, se ´e poss´ıvel construir

uma χT(G)-colora¸cão total colorindo cada aresta de G com a cor dada por π e cada v´ertice de G com uma cor ainda n˜ao utilizada em suas arestas incidentes. Da mesma forma, dizemos que uma colora¸c˜ao total τ de um grafo G é redut´ıvel, se τ utiliza χT(G) cores e existe uma χ0_a(G)-colora¸cão de arestas semiforte π de forma que π(e) = τ (e),

e ∈ E(G), ou seja, se a restri¸cão, π, de τ às arestas de G é uma χT(G)-colora¸c˜ao de

arestas semiforte.

Note que se uma colora¸c˜ao total τ de um grafo G ´e redut´ıvel, ent˜ao a restri¸c˜ao de τ `

as arestas de G ´e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte expans´ıvel.

A ∆(G) + 1-colora¸c˜ao total do grafo G da Figura 2.10 ´e redut´ıvel. De fato, Lπ(u) 6=

Lπ(v) para todo uv ∈ E(G) e χ0a(G) = ∆(G) cores s˜ao utilizadas para colorir as arestas de G. Note que esta colora¸c˜ao de arestas semiforte de G ´e expans´ıvel.

Figura 2.10: Uma colora¸c˜ao total redut´ıvel de G

Encontrar condi¸cões no grafo ou na colora¸cão que determinam se uma colora¸cão total é redut´ıvel ou se uma colora¸cão de arestas semiforte é expans´ıvel é um problema inte-ressante. No entanto, conhecemos um grafo G tal que nenhuma colora¸c˜ao de arestas semiforte ´e expans´ıvel. Para mostrar isto, consideramos grafos G com χT(G) = χ0a(G).

Suponha que χ0_a(G) = χT(G) = ∆(G) + 1. Se G é regular, então pela demonstra¸cão do Teorema 2.3.3, toda colora¸c˜ao de arestas semiforte de G ´e expans´ıvel e toda colora¸cão total de G ´e redut´ıvel.

Se G n˜ao é regular, nem toda colora¸c˜ao total de G ´e redut´ıvel e nem toda colora¸cão de arestas semiforte de G ´e expans´ıvel. A colora¸c˜ao semiforte do grafo G da Figura 2.5 ´e expans´ıvel. Veja Figura 2.11. Note que χ0_a(G) = χT(G) = ∆(G) + 1 e que a colora¸cão total da Figura 2.11 é redut´ıvel.

Nas figuras 2.12 e 2.13 são apresentadas uma colora¸cão de arestas semiforte de um grafo G, π, n˜ao expans´ıvel e uma colora¸c˜ao total de G, τ , n˜ao redut´ıvel respectivamente. A colora¸c˜ao de arestas semiforte π da Figura 2.12 n˜ao é expans´ıvel a uma colora¸cão total τ , pois existe apenas uma op¸c˜ao de atribui¸cão de cor ao v´ertice v8, o que induz a

uma ´unica atribui¸c˜ao de cores aos demais v´ertices na ordem τ (v8) = 1 ⇒ τ (v3) = 5 ⇒

τ (v6) = 6 ⇒ τ (v1) = 7 ⇒ τ (v4) = 4 ⇒ τ (v5) = 3 ⇒ τ (v2) = 2. Por´em, o v´ertice v7,

(44)

Figura 2.11: Uma colora¸c˜ao total redut´ıvel de G.

Figura 2.12: Uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G n˜ao expans´ıvel.

A colora¸c˜ao total τ da Figura 2.13 n˜ao é redut´ıvel a uma colora¸cão de arestas semiforte, pois caso contrário, o vértice mais alto e o vértice mais baixo, na representa¸cão da figura, teriam rótulos iguais.

Suponha que χ0_a(G) = χT(G) = ∆(G) + 2. A seguir, utilizando grafos bipartidos completos, mostramos uma colora¸cão total que não é redut´ıvel, uma colora¸cão de arestas semiforte expans´ıvel. O Teorema 2.3.7 mostra um grafo bipartido completo no qual toda colora¸cão de arestas semiforte não é expans´ıvel.

Um grafo G ´e bipartido se seus v´ertices podem ser particionados em dois subconjuntos

U e W de forma que toda aresta de G ´e incidente a um v´ertice em U e a um v´ertice em

W . Essa parti¸c˜ao ´e chamada de biparti¸c˜ao do grafo e U , W suas partes. Se cada v´ertice

em U ´e adjacente a cada v´ertice em W , ent˜ao G ´e um grafo bipartido completo. Denota-se

Kn,m um grafo bipartido completo onde n = |U | e m = |W |.

No Lema 2.3.6 é apresentado o número cromático total de um grafo bipartido completo regular e a seguir uma colora¸cão total não redut´ıvel para esses grafos.

(45)

Figura 2.13: Uma colora¸c˜ao total de G n˜ao redut´ıvel. O conjunto associado a cada v´ertice

v representa o complemento do r´otulo de v.

Lema 2.3.6 [4] Seja Kn,n um grafo bipartido completo. Ent˜ao χT(Kn,n) = ∆(Kn,n) + 2. Seja G = Kn,n, n ≥ 2, e U = {u1, u2, . . . , un} e W = {w1, w2, . . . , wn}. Pelo Lema 2.3.6 e Corol´ario 2.3.4, χ0

a(G) ≥ ∆(G) + 2 = n + 2.

Seja τ uma colora¸c˜ao total de G com n + 2 cores, onde τ (uiwj) = (i + j) mod n,

τ (ui) = n + 1, para u ∈ U e τ (wj) = n + 2, para w ∈ W , 1 ≤ i, j ≤ n. Note que apesar da colora¸c˜ao τ ser uma colora¸cão total de G, a colora¸cão de arestas π, resultado da restri¸c˜ao de τ às arestas de G, n˜ao é uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G, pois

Lπ(v) = {n + 1, n + 2} para qualquer v ∈ V (G). Portanto, τ n˜ao ´e redut´ıvel.

O Teorema 2.3.7 mostra que toda colora¸c˜ao de arestas semiforte do K3,3, n˜ao ´e

ex-pans´ıvel. Inicialmente, exibimos na Figura 2.14 uma 5-colora¸c˜ao de arestas semiforte para

K3,3. Como χ0a(G) ≥ 5, temos χ0a(K3,3) = 5.

Figura 2.14: Uma 5-colora¸c˜ao de arestas semiforte para K3,3. O conjunto associado a

(46)

Teorema 2.3.7 [39] N˜ao existe uma colora¸c˜ao de arestas semiforte para o K3,3 que

utilize cinco cores e que seja expans´ıvel.

Prova: Sejam as partes do K3,3, U = {u1, u2, u3} e W = {w1, w2, w3}. Seja σ :

E(K3,3) → {c1, c2, c3, c4, c5} uma 5-colora¸c˜ao de arestas semiforte do K3,3 e para cada cor

c, seja t(c) o n´umero de conjuntos Lσ(ui) que cont´em a cor c. Ent˜ao, a cor c ´e utilizada

em 3 − t(c) arestas e portanto tamb´em pertence a t(c) conjuntos Lσ(wj). Al´em disso, 1 ≤ t(c) ≤ 3. Se para duas cores distintas c1, c2, t(c1) = 2 e t(c2) = 2, ent˜ao Lσ(ui) =

Lσ(wj) = {c1, c2} para algum i, j, 1 ≤ i, j ≤ 3. Logo, σ não é uma colora¸cão de arestas

semiforte. Se t(c) = 3 para algum c, ent˜ao σ colore as arestas de K3,3 com apenas quatro

cores. Por´em χ0_a(K3,3) ≥ ∆(K3,3) + 2, portanto tamb´em σ n˜ao ´e uma colora¸c˜ao de arestas

semiforte. Como em cada v´ertice ui ∈ U faltam duas cores, P5i=1t(ci) = 6. Logo, se

σ ´e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte, nos conjuntos Lσ(ui), uma cor pertence a dois conjuntos Lσ(ui) e as outras quatro cores pertencem a apenas um. Podemos supor, sem perda de generalidade, que

Lσ(u1) = {c1, c2}, Lσ(u2) = {c1, c3}, Lσ(u3) = {c4, c5},

e como Lσ(ui) 6= Lσ(wj) para qualquer 1 ≤ i, j ≤ 3, podemos supor que

Lσ(w1) = {c1, c4}, Lσ(w2) = {c1, c5}, Lσ(w3) = {c2, c3}.

Suponha que é poss´ıvel expandir a colora¸c˜ao σ a uma colora¸c˜ao total. Então devemos utilizar a cor c1 para colorir u1 ou u2 (caso contrário, não ´e poss´ıvel colorir w3); da mesma

forma, devemos utilizar a cor c1 para colorir w1 ou w2; uma contradi¸c˜ao. Logo, n˜ao existe

uma colora¸c˜ao de arestas semiforte com ∆(K3,3) + 2 cores expans´ıvel.

No entanto, se n ´e par pode-se obter uma colora¸c˜ao de arestas semiforte expans´ıvel. Seja G ∼= Kn,n, n um inteiro par, n ≥ 2 e U = {u1, . . . , un}, W = {w1, . . . , wn}. Primeiro consideramos dois subgrafos H e K de G disjuntos nas arestas. Seja H um subgrafo de G onde V (H) = V (G) e uiwj ∈ E(H) se i ´e impar e j = i ou j = i + 1 ou se

i é par e j = i − 1 ou j = i, ou seja, H ´e o grafo união de 1₂n cópias disjuntas do K2,2.

Seja K = G \ E(H). Note que K ´e bipartido e ∆(K) = ∆(G) − 2 = n − 2. Veja a Figura 2.15 com as arestas de H destacadas das arestas de K.

Seja π : E(G) → C definida da seguinte forma. Se uiwj ∈ E(H), ent˜ao

π(uiwj) =

(

j − i + n − 2, se i ´e ´ımpar,

j − i + n + 1, se i ´e par.

Como j − i ∈ {0, 1} se i ´e ´ımpar, e j − i ∈ {−1, 0} se i ´e par, as cores utilizadas para colorir as arestas de H s˜ao n − 2, n − 1, n, n + 1 e Lπ(ui) = {n, n + 1} se i ´e par e

Lπ(ui) = {n − 2, n − 1} se i ´e ´ımpar. Se uiwj ∈ E(K), ent˜ao

(47)

Figura 2.15: O grafo K4,4 e seus subgrafos H com arestas representadas por linhas s´olidas

e K com pontilhadas.

π(uiwj) =

(

(i + j) mod (n − 2), se j < i, (i + j − 2) mod (n − 2), se j > i.

Note que se i = j, uiwj ∈ E(H). Por defini¸c˜ao, π utiliza as cores de 0 a n − 1 nas arestas de K. Sendo K um grafo bipartido com ∆(K) = n − 2, todas as cores de 0 a

n − 1 ocorrem nos v´ertices de K. Logo, o complemento do r´otulo de cada v´ertice em

G depende da colora¸c˜ao das arestas de H. Ent˜ao, Lπ(ui) = {n, n + 1} se i ´e ´ımpar e

Lπ(ui) = {n − 2, n − 1} se i ´e par, enquanto Lπ(wi) = {n − 1, n + 1} se i ´e impar e

Lπ(wi) = {n − 2, n} se i ´e par. Portanto π ´e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G. A colora¸c˜ao π ´e expans´ıvel, pois a fun¸c˜ao τ : V (G) ∪ E(G) → C tal que

τ (e) = π(e); τ (ui) = ( n, se i ´e ´ımpar, n − 1, se i ´e par; τ (wi) = ( n + 1, se i ´e ´ımpar, n − 2, se i ´e par;

´e uma colora¸c˜ao total de G. A Figura 2.16 ilustra a colora¸c˜ao π para o grafo K4,4 e a

colora¸c˜ao total τ obtida a partir de π.

(48)

2.3.2 Classes de grafos regulares

Ciclo: Um ciclo Cn, n ≥ 3, é um grafo de n v´ertices se seus vértices podem ser organiza-dos em uma sequência c´ıclica de forma que dois vértices são adjacentes se são consecutivos na sequência e não adjacentes caso contrário [5].

Lema 2.3.8 [36] Seja Cn um ciclo. Ent˜ao

χT(Cn) =

(

3 para n ≡ 0 (mod 3), 4 para n 6≡ 0 (mod 3).

A distˆancia entre duas arestas e, f , d(e, f ) ´e a menor distˆancia entre um v´ertice de e e um v´ertice de f .

Lema 2.3.9 Seja G um grafo com ∆(G) ≤ 2 e π uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de

G. Se π(e) = c e π(f ) = c, ent˜ao d(e, f ) ≥ 2.

Prova: Suponha que d(e, f ) < 2. Se d(e, f ) = 0, então π n˜ao é uma colora¸cão de arestas, uma contradi¸c˜ao. Se d(e, f ) = 1, os v´ertices que são ligados pela única aresta que separa e de f teriam o mesmo rótulo, logo, π n˜ao é uma colora¸cão de arestas semiforte, uma contradi¸c˜ao. Logo, d(e, f ) ≥ 2.

Teorema 2.3.10 [38] Seja Cn um ciclo. Ent˜ao

χ0_a(Cn) =        3 para n ≡ 0 (mod 3), 4 para n 6≡ 0 (mod 3) e n 6= 5, 5 para n = 5.

Prova: Seja Cn um ciclo com n ≡ 0 (mod 3). Pelo Teorema 2.3.3 e pelo Lema 2.3.8,

χ0_a(Cn) = 3.

Seja n 6≡ 0 (mod 3). Pelo Corol´ario 2.3.4, χ0_a(Cn) ≥ 4.

Considere n = 5. Como diam(C5) = 2, pelo Lema 2.3.9, χ0a(C5) ≥ 5. Portanto,

χ0_a(C5) = 5, desde que |E(C5)| = 5.

Falta colorir os ciclos Cn com n 6= 5, n ≡ 1 (mod 3) e n ≡ 2 (mod 3). Em cada caso, definimos uma fun¸c˜ao π : E(Cn) → C. Sejam V (Cn) = {v0, . . . , vn−1} e E(Cn) =

{e0, e1, . . . , en−1}, onde ei = vivi+1, 0 ≤ i ≤ n − 2, e en−1 = vn−1v0.

Para Cn, com n ≡ 1 (mod 3), definimos π como segue:

π(ei) =

(

i mod 3 para 0 ≤ i ≤ n − 2,

(49)

A fun¸c˜ao π ´e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte para Cn e utiliza 4 cores. De fato,

L(v0) = {0, 3}; L(vn−1) = {2, 3} e para 1 ≤ i ≤ n − 2, L(vi) =        {0, 1} para i ≡ 1 (mod 3), {1, 2} para i ≡ 2 (mod 3), {0, 2} para i ≡ 0 (mod 3).

Seja Cn, com n ≡ 2 (mod 3) e n 6= 5. Note que n ≥ 8.

π(ei) =

(

i mod 4 para 0 ≤ i ≤ 7,

(i + 1) mod 3 para 8 ≤ i ≤ n − 1.

A Figura 2.17 apresenta π para o grafo C8. Por inspe¸c˜ao de π, tem-se que para

1 ≤ i ≤ 7, o r´otulo de vi ´e:

L(v1) = L(v5) = {0, 1}

L(v2) = L(v6) = {1, 2}

L(v3) = L(v7) = {2, 3}

L(v4) = {0, 3}.

Figura 2.17: Colora¸c˜ao de arestas semiforte π para o C8.

Se n = 8, então L(v0) = {0, 3}. Seja n > 8. Então L(v8) = {0, 3} e Cn pode ser dividido em um bloco com 8 v´ertices isomorfo a um P8 e n−8₃ blocos com 3 vértices, cada

um isomorfo a um P3. Veja a Figura 2.18.

Note que n−8

3 ≡ 0 (mod 3), pois n ≡ 2 (mod 3).

Ent˜ao, para 9 ≤ i ≤ n − 1, tem-se:

L(vi) =        {0, 1} para i ≡ 0 (mod 3) {1, 2} para i ≡ 1 (mod 3) {0, 2} para i ≡ 2 (mod 3)

(50)

Figura 2.18: Os blocos de C14.

Figura 2.19: Colora¸c˜ao de arestas semiforte π para C14.

Al´em disso, n − 1 ≡ 1 (mod 3), ent˜ao L(vn−1) = {1, 2}, enquanto L(v0) = {0, 2}. A

Figura 2.19 apresenta π para o grafo C14.

Portanto, π ´e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte para Cn e utiliza 4 cores. Ent˜ao

χ0_a(Cn) = 4.

k-cubo: O k-cubo Qk é um grafo onde os vértices s˜ao conjuntos de todas as k tuplas de 0’s e 1’s de forma que dois vértices são adjacentes se diferem em exatamente uma coordenada.

Lema 2.3.11 [8] Seja Q_k um k-cubo. Ent˜ao

χT(Qk) =

(

∆(Q2) + 2 = 4 para k = 2,

∆(Qk) + 1 = k + 1 para k ≥ 3. Teorema 2.3.12 Seja Qk um k-cubo. Ent˜ao

χ0_a(Qk) =

(

∆(Q2) + 2 = 4 para k = 2,

∆(Qk) + 1 = k + 1 para k ≥ 3.

Prova: Seja Qkum k-cubo. Se k=2, Qk∼= C4. Ent˜ao pelo Teorema 2.3.10, χ0a(Q2) = 4.

Se k ≥ 3, pelo Teorema 2.3.3 e pelo Lema 2.3.11, χ0_a(Qk) = ∆(Qk) + 1

Uma colora¸c˜ao de arestas semiforte para Qk com ∆(Qk) + 1 cores pode ser encontrada em [13].

Grafos bipartidos completos com |U | = |W | = n: Pelo Lema 2.3.6, χT(G) = ∆(Kn,n) + 2.

(51)

Teorema 2.3.13 [38] Seja Kn,n um grafo bipartido completo com n ≥ 2. Ent˜ao,

χ0_a(Kn,n) = ∆(Kn,n) + 2.

Prova: Se Kn,n ´e um grafo bipartido completo com n ≥ 2, ent˜ao pelo Lema 2.3.6 e pelo Corol´ario 2.3.4, χ0_a(Kn,n) ≥ ∆(Kn,n) + 2. A seguir, definiremos uma colora¸c˜ao de arestas semiforte para Kn,n com ∆(Kn,n) + 2 cores.

Sejam U = {u1, u2, . . . un−1, un+1} e W = {w1, w2, . . . wn} as partes de Kn,n e π uma colora¸c˜ao de arestas de Kn,n onde π(uiwj) = (i + j) mod (∆(Kn,n) + 2).

Note que, L(ui) = {i − 1, i} e L(wi) = {i − 2, i} (mod ∆(Kn,n) + 2). Provaremos agora que L(ui) 6= L(wj) para ui, wj ∈ Kn,n. Suponha que L(ui) = L(wj), ent˜ao, {i − 1, i} ≡ {j−2, j} (mod ∆(Kn,n)+2). Se i = j e (i−1) ≡ (j−2) (mod ∆(Kn,n)+2), (i−1) ≡ (i−2) (mod ∆(Kn,n) + 2), uma contradi¸c˜ao. Logo i ≡ (j − 2) (mod ∆(Kn,n) + 2) e j ≡ (i − 1) (mod ∆(Kn,n) + 2). Por´em, dessa forma, i ≡ (i − 3) (mod ∆(Kn,n) + 2), uma contradi¸c˜ao. Logo, π ´e uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de Kn,n com ∆(Kn,n) + 2 cores. Portanto,

χ0_a(Kn,n) = ∆(Kn,n) + 2.

Grafos completos: Um grafo G ´e completo se quaisquer dois v´ertices de G s˜ao adja-centes. Denota-se por Kn um grafo completo de n v´ertices.

Lema 2.3.14 [2] Seja Kn, n ≥ 1, um grafo completo. Ent˜ao

χT(Kn) =

(

∆(Kn) + 1, para n ´ımpar; ∆(Kn) + 2, para n par.

Teorema 2.3.15 [38] Seja Kn, n ≥ 3, um grafo completo. Ent˜ao,

χ0_a(Kn) =

(

∆(Kn) + 1, para n ´ımpar; ∆(Kn) + 2, para n par.

Prova: Seja Kn um grafo completo com n v´ertices, n ≥ 3. Se n ´e ´ımpar, pelo Teo-rema 2.3.3 e pelo Lema 2.3.14, χ0_a(Kn) = ∆(Kn) + 1. Se n ´e par, pelo Lema 2.3.14 e pelo Corol´ario 2.3.4, χ0_a(Kn) ≥ ∆(Kn) + 2.

A seguir constru´ımos uma colora¸c˜ao de arestas semiforte com ∆(Kn) + 2 cores para

Kn, n par, n ≥ 4, provando neste caso que χ0a(G) = ∆(Kn) + 2. Seja ∆ = ∆(Kn).

Considere um grafo completo Kn+2, V (Kn+2) = {v0, . . . , vn, w}, n ≥ 4. Note que ∆(Kn+2) = ∆ + 2. Seja γ0 uma colora¸c˜ao de arestas de Kn+2 onde

γ0(vivj) = (i + j) mod (∆ + 2) para 0 ≤ i, j ≤ n,

(52)

Note que γ0 utiliza ∆ + 2 cores e que em cada v´ertice ocorrem todas as cores.

Sejam vp, vp+1 ∈ V (Kn+2) \ {w}. Observe que, Kn ∼= Kn+2\ {vp, vp+1}. A seguir provamos que a restri¸c˜ao, γ, de γ0 `as arestas de Kn, é uma ∆ + 2-colora¸cão de arestas semiforte. A Figura 2.20 apresenta a colora¸c˜ao de arestas γ0 para Kn+2 e a colora¸cão de arestas γ para Kn onde n = 4.

Figura 2.20: Colora¸c˜ao de arestas γ0 para K6 e colora¸c˜ao de arestas γ para K4.

Desde que γ0 ´e uma colora¸c˜ao de arestas de Kn+2, γ ´e uma colora¸c˜ao de arestas de

Kn. Como em cada v´ertice de Kn+2 ocorrem todas as cores e cada cor pinta pelo menos trˆes arestas, temos que γ utiliza ∆ + 2 cores nas arestas de Kn, para n ≥ 4.

Provamos agora que γ ´e semiforte. Inicialmente, observe que em cada vi ∈ V (Kn), faltam as cores {γ0(vivp), γ0(vivp+1)} = {i + p, i + p + 1} (mod ∆ + 2) e em w, faltam as cores {γ0(vpw), γ0(vp+1w)} = {2p, 2(p + 1)} (mod ∆ + 2).

Suponha que Lγ(vi) = Lγ(vj), i 6= j, e vi, vj 6= w. Desde que 0 ≤ i, j ≤ n e n = ∆ + 1, n˜ao existem i e j, i 6= j, de forma que (i+p) ≡ (j+p) (mod ∆+2). Logo, (i+p) ≡ (j+p+1) (mod ∆ + 2) e (i + p + 1) ≡ (j + p) (mod ∆ + 2). Ent˜ao (2i + 2p + 1) ≡ (2j + 2p + 1) (mod ∆ + 2). Segue que 2i ≡ 2j (mod ∆ + 2). Por hip´otese, n = ∆ + 1 ´e um inteiro par. Logo ∆ + 2 ´e ´ımpar e, portanto, i ≡ j (mod ∆ + 2). Desde que 0 ≤ i, j ≤ ∆ + 1, conclui-se que i = j, uma contradi¸c˜ao.

Falta provar que Lγ(vi) 6= Lγ(w), vi ∈ V (Kn). Suponha que Lγ(vi) = Lγ(w), para algum vi ∈ V (Kn). Ent˜ao {i + p, i + p + 1} (mod ∆ + 2) = {2p, 2(p + 1)} (mod ∆ + 2). Se (i+p) ≡ 2p (mod ∆+2), então i ≡ p (mod ∆+2). Novamente, como 0 ≤ i, p ≤ ∆+ 1, tem-se i = p. Porém, vp 6∈ V (Kn). Suponha, ent˜ao, que (i + p) ≡ 2(p + 1) (mod ∆ + 2) e (i + p + 1) ≡ 2p (mod ∆ + 2). Então i ≡ (p + 2) (mod ∆ + 2) e i ≡ (p − 1) (mod ∆ + 2). Sendo n ≥ 4 e 0 ≤ i, p ≤ ∆ + 1 não existem i, p que satisfa¸cam simultaneamente ambas as congruências, uma contradi¸c˜ao. Segue-se que γ ´e uma colora¸cão de arestas semiforte para Kn. Portanto, χ0a(Kn) = ∆ + 2.

Seja Kn, n par, com V (Kn) = {w, v0, . . . , vl−1, vl, . . . , vn−2} e considere a colora¸c˜ao de arestas para Kn, n par, definida, no Teorema 2.3.15, por

(53)

γ0(vivj) = (i + j) mod ∆(Kn),

γ0(wvi) = (2i) mod ∆(Kn).

A seguir, mostramos que a restri¸c˜ao, γ, de γ0 `as arestas de Kp, com 3 ≤ p < n, onde

V (Kp) = {w, vl, . . . , vp+l−2}, ´e uma ∆(Kn)-colora¸c˜ao de arestas semiforte de Kp. Note que ∆(Kn) = ∆(Kp) + l, onde l = n − p, l ≥ 1, e que ∆(Kp) + l ´e ´ımpar.

Teorema 2.3.16 Seja G ∼= Kp e l um inteiro positivo tal que ∆(G)+l ´e ´ımpar. Considere

V (G) = {w, vl, . . . , vp+l−2} e γ : E(G) → C definida da seguinte forma:

γ(vivj) = (i + j) mod (∆(G) + l),

γ(wvi) = 2i mod (∆(G) + l).

Então γ é uma ∆(G) + l-colora¸cão de arestas semiforte de G e o complemento dos

r´otulos em G ´e dado por

Lγ(vi) = {i, i + 1, . . . , i + l − 1} (mod (∆(G) + l)),

Lγ(w) = {0, 2, . . . , 2(l − 1)} (mod ∆(G) + l).

Prova: Seja G ∼= Kp com V (G) = {w, vl, . . . , vp+l−2} e l um inteiro positivo tal que ∆(G) + l ´e ´ımpar. Grafo G ´e subgrafo de K∆(G)+l+1. Seja V (K∆(G)+l+1) = V (G) ∪

{v0, . . . , vl−1} = {w, v0, . . . , vl−1, vl, . . . , v∆(G)+l−1}. Note que γ0´e uma colora¸c˜ao de arestas

de K∆(G)+l+1 com |C| = ∆(G) + l = ∆(K∆(G)+l+1).

Desde que G é subgrafo de K∆(G)+l+1, γ é uma ∆(G) + l-colora¸cão de arestas de G.

Primeiro calculamos o complemento do r´otulo de vi, w ∈ V (G), l ≤ i ≤ ∆(G) + l − 1. Para v ∈ V (G) as cores que n˜ao ocorrem nos r´otulos de v s˜ao as cores das arestas uv onde u ∈ {v0, . . . , vl−1}. Logo,

Lγ(vi) = {i, i + 1, i + l − 1} (mod ∆(G) + l), e

Lγ(w) = {0, 2, . . . , 2(l − 1)} (mod ∆(G) + l).

A Figura 2.21 exibe a 7-colora¸c˜ao de arestas γ para K5. Note que l = 3.

Seja vk ∈ V (K∆(G)+l−1) \ V (G). Ent˜ao 0 ≤ k ≤ l − 1. Para provar que γ ´e semiforte,

inicialmente reescrevemos Lγ(vi), vi ∈ V (G). Ent˜ao l ≤ i ≤ ∆(G) + l − 1.

Se i < ∆(G) + 1, ent˜ao i + k < ∆(G) + l. Logo, γ(vivk) = i + k. Portanto neste caso, temos Lγ(vi) = {i, i + 1, . . . , i + l − 1}.

Seja i ≥ ∆(G) + 1, então i + k < ∆(G) + l para 0 ≤ k ≤ (∆(G) + l) − i − 1. Logo, para esses valores de k, temos γ(vivk) = i + k. Porém, para (∆(G) + l) − i ≤ k ≤ l − 1, temos i + k ≥ ∆(G) + l e então γ(vivk) = i + k − (∆(G) + l). Portanto, Lγ(vi) = {i, i + 1, . . . , ∆(G) + l − 1} ∪ {0, 1, . . . , i − ∆(G) − 1}. Observe que 0 ∈ Lγ(vi), pois desde que i ≥ ∆(G) + 1 temos que i − ∆(G) − 1 ≥ 0.