Conclus˜ ao - Colora¸c˜ ao de arestas semiforte de grafos split

3.3 Colora¸c˜ ao de arestas semiforte de grafos split

3.3.2 Conclus˜ ao

Neste cap´ıtulo estudamos o problema da colora¸cão de arestas semiforte para fam´ılias de grafos split que possuem número cromático total já determinado.

Provamos que grafos split G = [Q, S] com Q = 1 possuem χ0_a(G) = ∆(G) (Lema 3.3.2) e aqueles com |Q| ≥ 2 onde todo v´ertice de Q tem grau ∆(G) possuem χ0_a(G) = ∆(G) + 1, se χT(G) = ∆(G) + 1 (Teorema 3.3.3).

Mostramos tamb´em que para grafos split G = [Q, S] tal que ∆(G) = ∆(G[Q]) + ∆(B), o ´ındice crom´atico semiforte ´e ∆(G) + 1 (Teorema 3.3.5).

Verificamos que a conjectura da colora¸cão de arestas semiforte é válida para grafos split-completos G = [Q, S] (Corol´ario 3.3.10) e determinamos uma condi¸cão necessária para que G possua χ0_a(G) = ∆(G) + 1. A Tabela 3.1 compara número cromático total determinado por Chen, Fu e Ko (Teorema 3.2.5) e o ´ındice cromático semiforte destes grafos. O s´ımbolo ”*” na quinta linha da tabela 4.1.5 indica que o valor de χ0_a(G) para ∆(G) ´ımpar e |S|2 − |S| < |Q| ≤ |S|2 _{permanece n˜}_{ao determinado e ´}_{e proposto pela} Conjectura 3.3.13.

Restri¸c˜oes χT(G) χ0a(G) ∆(G) par e |Q| = 1 ∆(G) + 1 ∆(G) Lem. 3.3.2 ∆(G) par e |Q| ≥ 2 ∆(G) + 1 ∆(G) + 1 Teo. 3.3.8 ∆(G) ´ımpar e |Q| = 1 ∆(G) + 1 ∆(G) Lem. 3.3.2 ∆(G) ´ımpar e 2 ≤ |Q| ≤ |S|2_{− |S|} _{∆(G) + 1} _{∆(G) + 1} _{Teo. 3.3.8} ∆(G) ´ımpar e |S|2_{− |S| < |Q| ≤ |S|}2 _{∆(G) + 2} _{∆(G) + 1*} _{Conj. 3.3.13} ∆(G) ´ımpar e |Q| > |S|2 ∆(G) + 2 ∆(G) + 2 Teo. 3.3.12 Tabela 3.1: Compara¸c˜ao entre χT(G) e χ0a(G) para grafos split-completos G.

Outra fam´ılia de grafos split com ´ındice cromático total determinado são aqueles com grau máximo par. No Teorema 3.2.7, Chen, Fu e Ko provaram que estes grafos, possuem número crom´atico total igual a ∆(G)+1. Descrevemos abaixo a colora¸cão total τ proposta pelos autores para colorir estes grafos.

Seja G um grafo split com ∆(G) par. Inicialmente, ´e constru´ıda uma matriz de cores

M de tamanho (∆(G) + 1) × (∆(G) + 1) onde a cor ci,j da linha i, coluna j ´e definida por

ci,j = ( _i+j

2 se i + j ´e par, i+j+∆(G)+1

2 caso contr´ario.

A Tabela 3.2 apresenta a matriz de cores para um grafo split G = [Q, S] com ∆(G) = 8.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 6 2 7 3 8 4 9 5 2 6 2 7 3 8 4 9 5 1 3 2 7 3 8 4 9 5 1 6 4 7 3 8 4 9 5 1 6 2 5 3 8 4 9 5 1 6 2 7 6 8 4 9 5 1 6 2 7 3 7 4 9 5 1 6 2 7 3 8 8 9 5 1 6 2 7 3 8 4 9 5 1 6 2 7 3 8 4 9

Tabela 3.2: Tabela de cores para um grafo split G com ∆(G) = 8.

Em seguida, é realizada a colora¸c˜ao das arestas em G[Q]. Sendo Q = {u1, u2, . . . , u|Q|}, a cor ci,j é atribu´ıda `a aresta uiuj. Para colorir cada v´ertice ui ´e utilizada a cor ci,i. Até aqui, as cores ci,|Q|+1, ci,|Q|+2, . . . , ci,∆(G)+1 não são utilizadas para colorir nenhuma aresta

3.3. Colora¸c˜ao de arestas semiforte de grafos split 57

uiuj ∈ E(G[Q]). Essas cores s˜ao utilizadas para colorir arestas uivj, ui ∈ Q, vj ∈ S da seguinte forma.

Colore-se primeiro as arestas incidentes em u1, com as cores c1,|Q|+1, c1,|Q|+2, . . . ,

c1,∆(G)+1, em seguida as incidentes em u2 e assim por diante. Para cada ui, primeiro encontra-se uma aresta de B incidente em ui a qual pode ser atribu´ıda a cor ci,|Q|+1, em seguida uma outra aresta a qual pode ser atribu´ıda a cor ci,|Q|+2, e assim por diante até colorir a ´ultima aresta incidente em ui. Finalmente, a cor |Q| ´e atribu´ıda aos vértices em S, concluindo a colora¸c˜ao. Não existe conflito entre as cores atribu´ıdas às arestas incidentes em ui, pois todas essas cores pertencem `a linha i da matriz M e s˜ao distintas entre si. Assim, a dificuldade em provar que a colora¸cão constru´ıda é uma colora¸cão total consiste em mostrar que é poss´ıvel utilizar esta estratégia para atribuir cores às arestas incidentes em vj ∈ S sem produzir conflito. Os autores provam que para qualquer grafo split G com ∆(G) par, é poss´ıvel colorir as arestas de G utilizando este algoritmo.

No entanto, esta colora¸cão total não ´e redut´ıvel. A Figura 3.16 apresenta um grafo G com ∆(G) par e a colora¸c˜ao proposta por Chen, Fu e Ko restrita `as arestas de G. Note que Lπ(u3) = Lπ(u6) = {3, 6}. Porém, se trocarmos a cor 2 da aresta u6v5 pela cor 3, a colora¸cão resultante é uma colora¸c˜ao de arestas semiforte de G.

Figura 3.16: Grafo split G e colora¸c˜ao de arestas n˜ao semiforte de G.

Apesar da colora¸c˜ao total proposta por Chen, Fu e Ko para grafos split G com ∆(G) par não ser redut´ıvel, para todos grafos observados nestas condi¸cões, foram necessárias apenas algumas altera¸cões na colora¸cão de Chen, Fu e Ko para produzir uma colora¸cão de arestas semiforte. Al´em disso, todos os grafos split G estudados possuem χ0_a(G) ≤ χT(G).

Dessa forma, conjecturamos que para grafos split G com ∆(G) par, χ0

a(G) ≤ ∆(G)+1. Conjectura 3.3.14 Seja G = [Q, S] um grafo split G com ∆(G) par. Ent˜ao χ0_a(G) ≤ ∆(G) + 1.

Nos casos em que ∆(G) ´e ´ımpar, para χT(G) = ∆(G) + 1, pelo Teorema 3.3.3 tem-se

χ0_a(G) = ∆(G) + 1. Para χT(G) = ∆(G) + 2, identificamos que existem grafos G com

χ0_a(G) = ∆(G)+1 e grafos com χ0_a(G) = ∆(G)+2. Por exemplo, os grafos split-completos

G = [Q, S] da Figura 3.14 e grafos com |Q| > |S|2.

No entanto, para um grafo split G qualquer, com ∆(G) ´ımpar, permanece em aberto identificar se χ0_a(G) = ∆(G) + 1 ou χ0_a(G) = ∆(G) + 2.

No Cap´ıtulo 4 estudamos a colora¸c˜ao de arestas semiforte de grafos que s˜ao simultaneamente split e indiferen¸ca.

Cap´ıtulo 4

Grafos split-indiferen¸ca

4.1 Introdu¸c˜ao

Um grafo de intervalos pode ser representado por um conjunto de intervalos dispostos em uma reta onde cada v´ertice representa um intervalo e cada aresta corresponde a um par de intervalos que se intersectam.

Formalmente, seja I = {I1, I2, . . . , In} um conjunto de intervalos da reta real. Um grafo G ´e um grafo de intervalos se V (G) = I e existe aresta entre dois v´ertices Ii e Ij se e somente se Ii∩ Ij 6= ∅. Veja a Figura 4.1.

Figura 4.1: Grafo de intervalos formado por seis v´ertices e sete arestas.

Quando os intervalos possuem o mesmo tamanho temos um grafo indiferen¸ca. Logo,

os grafos indiferen¸ca formam um subclasse dos grafos de intervalos. Eles também são chamados de grafos de intervalo unitário ou grafos de intervalos próprios.

Um exemplo de grafo que é de intervalos mas não é indiferen¸ca ´e o grafo K1,3 apresentado na figura 4.2, pois não é poss´ıvel representá-lo utilizando apenas intervalos unitários. Os grafos indiferen¸ca s˜ao caracterizados como grafos de intervalos livres de K1,3 indu- zido [21] e são reconhecidos em tempo linear [14, 17].

Uma outra caracteriza¸cão dos grafos indiferen¸ca que tem sido útil na resolu¸cão de 59

Figura 4.2: Grafo indiferen¸ca formado por quatro v´ertices e trˆes arestas.

diversos problemas é que os vértices de um grafo indiferen¸ca podem ser ordenados linear- mente de forma que vértices contidos em uma mesma clique maximal sejam consecutivos nessa ordem [34]. Essa ordem ´e denominada ordem indiferen¸ca.

Os grafos que são simultaneamente split e indiferen¸ca são os grafos split-indiferen¸ca. Uma caracteriza¸cão destes grafos foi elaborada por Ortiz et al. [31] e a reproduzimos no seguinte teorema.

Teorema 4.1.1 Um grafo G conexo ´e um grafo split-indiferen¸ca se e somente se

1. G ´e um grafo completo, ou

2. Existem A e B conjuntos de vértices tal que G é a união de dois grafos completos G[A], G[B] com G[A] \ G[B] ∼= K1, ou

3. Existem A, B e C conjuntos de vértices tal que G é a união de três grafos completos G[A], G[B], G[C] de forma que G[A] \ G[B] ∼= K1, G[C] \ G[B] ∼= K1, A ∩ B 6= ∅ e

A ∪ C = V (G), ou

4. Existem A, B e C conjuntos de vértices tal que G é a união de três grafos completos G[A], G[B], G[C] de forma que G[A] \ G[B] ∼= K1, G[C] \ G[B] ∼= K1 e A ∩ C = ∅. A seguir descrevemos a nota¸cão relacionada aos grafos split-indiferen¸ca que utilizamos neste cap´ıtulo.

• Seja G um grafo split-indiferen¸ca definido em (2) no Teorema 4.1.1. Note que A e

B são cliques maximais de G e que a ordem indiferen¸ca de G induz uma parti¸c˜ao de V (G) em cliques A0, AB e B0, onde A0 = A \ B, AB = A ∩ B e B0 = B \ A. Por defini¸c˜ao de G, |A0| = 1. Essa parti¸c˜ao de V (G) é denotada por (A0, AB, B0). Reciprocamente, (A0, AB, B0) com |A0| = 1 e A, B cliques, caracteriza um grafo split-indiferen¸ca definido em (2) no Teorema 4.1.1. Dessa forma, denotamos G = (A0, AB, B0). Nesta nota¸cão est´a subentendido que |A0| = 1. A Figura 4.3 apresenta

4.1. Introdu¸c˜ao 61

Figura 4.3: Grafo G split-indiferen¸ca formado por duas cliques A e B.

um exemplo de um grafo split-indiferen¸ca definido em (2) no Teorema 4.1.1. As arestas est˜ao omitidas.

Sejam G = (A0, AB, B0), x ∈ A0, u ∈ AB e v ∈ B0. Ent˜ao d(x) = |AB|, d(u) = ∆(G) = |V (G)| − 1 = |B| e d(v) = ∆(G) − 1.

• Seja G um grafo split-indiferen¸ca definido em (3) do Teorema 4.1.1. Analogamente, (A0_{, AB, ABC, BC, C}0_{), onde A}0 _{= A \ B, AB = A ∩ B \ C, ABC = A ∩ B ∩ C,}

BC = B ∩ C \ A e C0 = C \ B ´e a parti¸c˜ao de G obtida a partir da ordem indiferen¸ca de G. Neste caso, denotamos G = (A0, AB, ABC, BC, C0). Nesta nota¸cão está subentendido que |A0| = |C0_{| = 1. A Figura 4.4 apresenta um exemplo de um grafo} split-indiferen¸ca definido em (3) no Teorema 4.1.1. As arestas estão omitidas.

Figura 4.4: Grafo G split-indiferen¸ca formado por trˆes cliques A, B e C onde A ∪ C =

V (G).

Sejam G = (A0, AB, ABC, BC, C0), x ∈ A0, y ∈ C0, u ∈ ABC e v ∈ AB ∪ BC.

Ent˜ao d(x) = |AB|, d(y) = |BC|, d(u) = ∆(G) = |V (G)| − 1 = |B| + 1 e d(v) = ∆(G) − 1 = |B|.

• Seja G um grafo split-indiferen¸ca definido em (4) do Teorema 4.1.1. Neste caso, a ordem indiferen¸ca de G origina a qu´ıntupla de cliques A0, AB, B0, BC, C0, tal que

conjunto B0 pode ser vazio, (A0, AB, B0, BC, C0) ´e denominada uma pseudoparti¸c˜ao

de G. Denotamos G = (A0, AB, B0, BC, C0). Nesta nota¸cão está subentendido que |A0_{| = |C}0_{| = 1. A Figura 4.5 apresenta um exemplo de um grafo split-indiferen¸ca} definido em (4) no Teorema 4.1.1. As arestas estão omitidas.

Figura 4.5: Grafo G split-indiferen¸ca formado por trˆes cliques A, B e C onde A ∩ C = ∅. Sejam G = (A0, AB, B0, BC, C0), x ∈ A0, y ∈ C0, u ∈ AB ∪ BC e v ∈ B0. Ent˜ao

d(x) = |AB|, d(y) = |BC|, d(u) = ∆(G) = |V (G)| − 2 = |B| e d(v) = ∆(G) − 1 =

|B| − 1.

Em rela¸cão ao problema da colora¸cão de arestas, sabemos que o problema da clas- sifica¸cão entre Classe 1 e Classe 2 está aberto para os grafos indiferen¸ca. Entretanto, existem alguns resultados parciais. Grafos indiferen¸ca G onde ∆(G) ´e ´ımpar têm o seu ´ındice crom´atico definido. Neste caso, χ0(G) = ∆(G), caso contrário, conjectura-se que

G ´e Classe 2, se e somente se, G possui um subgrafo H onde H ´e sobrecarregado e ∆(G) = ∆(H) [15].

Para os grafos split-indiferen¸ca, no mesmo trabalho em que são caracterizados, são determinados os ´ındices cromáticos para cada caso. O Teorema 4.1.2 apresenta esses resultados.

Teorema 4.1.2 [31] Seja G um grafo split-indiferen¸ca com |V (G)| > 1. Então: (a) Se G é um grafo completo, então

χ0(G) = ( ∆(G) para |V (G)| par, ∆(G) + 1 para |V (G)| ´ımpar. (b) Se G = (A0, AB, B0), ent˜ao χ0(G) = (

∆(G) para |V (G)| par ou |A| ≤ |V (G)|+1₂

∆(G) + 1 caso contr´ario. (c) Se G = (A0, AB, B0, BC, C0), ent˜ao

4.1. Introdu¸c˜ao 63

χ0(G) = (

∆(G) para |V (G)| ´ımpar ou |A|, |C| ≤ |V (G)|₂

∆(G) + 1 caso contr´ario. (d) Se G = (A0, AB, ABC, BC, C0), ent˜ao χ0(G) =

(

∆(G) para |V (G)| par ou |AB| + |BC| ≥ |V (G)|−3₂

∆(G) + 1 caso contr´ario.

Na classe dos grafos indiferen¸ca, além do problema da colora¸cão de arestas, foi também estudada a colora¸cão total e a colora¸cão total semiforte.

Uma colora¸c˜ao total semiforte Φ : (E(G) ∪ V (G)) → C ´e uma varia¸cão da colora¸cão total onde além das restri¸cões desta colora¸cão, para v´ertices adjacentes u e v, CΦ(u) 6=

CΦ(v) onde CΦ(u) ´e o conjunto formado pelas cores atribu´ıdas por Φ a u e `as arestas de

u. O menor n´umero de cores necess´ario para uma colora¸c˜ao total semiforte de um grafo

G é denominado número cromático total semiforte denotado por χ00_a(G). A conjectura da colora¸cão total semiforte prop˜oe que todo grafo simples G com pelo menos dois v´ertices possui χ00_a(G) ≤ ∆(G) + 3 [37]. Esta conjectura é válida para grafos indiferen¸ca [32].

Em rela¸cão à colora¸c˜ao total, sabe-se que os grafos indiferen¸ca G com ∆(G) par possuem χT(G) = ∆(G) + 1, caso contrário, χT(G) ≤ ∆(G) + 2, ou seja, a conjectura da colora¸cão total é válida para grafos indiferen¸ca [16].

Para grafos split-indiferen¸ca G, o Lema 2.3.14 define χT(G) se G ´e isomorfo ao grafo completo. Desde que G = (A0, AB, B0) e G = (A0, AB, ABC, BC, B0) possuem v´ertice universal, χT(G) ´e determinado para a partir do Teorema 3.2.3. Estes resultados est˜ao nos teoremas 4.1.3 e 4.1.4.

Teorema 4.1.3 Seja G = (A0, AB, B0) um grafo split-indiferen¸ca com grau m´aximo

∆(G). Ent˜ao χT(G) = (

∆(G) + 1 se |V (G)| ´e ´ımpar, ou |AB| ≤ ∆(G)+1₂

∆(G) + 2 caso contr´ario.

Prova: Seja G = (A0_{, AB, B}0_{) um grafo split-indiferen¸ca com grau m´}_{aximo ∆(G).} Se |V (G)| ´e ´ımpar, ent˜ao ∆(G) ´e par. Logo, pelo Teorema 3.2.7, χT(G) = ∆(G) + 1. Seja |V (G)| par e ∆(G) ´ımpar. Pelo Teorema 3.2.3 e pelo Teorema 3.2.4, temos que

χT(G) = ∆(G) + 1 se |E(G)| + α0(G) ≥ |V (G)|

2 e χT(G) = ∆(G) + 2 caso contr´ario. Logo χT(G) = ∆(G) + 1 se |B0| + 1 ≥ ∆(G)+1₂ . Sendo ∆(G) = |B| = |AB| + |B0|, ent˜ao

χT(G) = ∆(G) + 1 se e somente se |AB| ≤ ∆(G)+1₂ .

Teorema 4.1.4 Seja G = (A0, AB, ABC, BC, C0) um grafo split-indiferen¸ca com grau m´aximo ∆(G). Ent˜ao χT(G) =

(

∆(G) + 1 se |V (G)| ´e ´ımpar, ou |ABC| ≤ ∆(G)+3₂

Prova: Se |V (G)| ´e ´ımpar, ent˜ao ∆(G) ´e par. Logo, pelo Teorema 3.2.7, χT(G) = ∆(G) + 1. Seja |V (G)| par e ∆(G) ´ımpar. Pelo Teorema 3.2.3, χT(G) = ∆(G) + 1 se e somente se |E(G)| + α0(G) ≥ |V (G)|₂ . Logo χT(G) = ∆(G) + 1 se e somente se |AB| + |BC| + 3 ≥ ∆(G)+1₂ . Sendo ∆(G) = |B| = |AB| + |ABC| + |BC| + 1, ent˜ao

χT(G) = ∆(G) + 1 se e somente se |ABC| ≤ ∆(G)+3₂ .

Para grafos split-indiferen¸ca sem vértice universal, o número cromático total foi determinado por Campos et al [9] e está apresentado no Teorema 4.1.5 .

Teorema 4.1.5 [9]. Seja G = (A0, AB, B0, BC, C0) um grafo split-indiferen¸ca com grau m´aximo ∆(G) e |AB| ≥ |BC|. Ent˜ao

χT(G) = (

∆(G) + 1 se |V (G)| ´e par, ou |AB| ≤ ∆(G)+1₂

∆(G) + 2 caso contr´ario.

Nas próximas se¸cões, estudamos o ´ındice cromático semiforte dos grafos split-indiferen¸ca.

4.2 Colora¸c˜ao de arestas semiforte para grafos split-

No documento Coloração de arestas semiforte de grafos split (páginas 85-94)