Classificação de pontos 3D utilizando o conceito de análise de

uma das possibilidades a partir do conceito da análise de componentes principais, uma vez que o tamanho do autovalor e a direção do autovetor podem indicar o tipo de primitiva (BELTON e LICHTI, 2006). Esse tipo de classificação tem sido explorada por vários autores (GROSS e THOENNESSEN, 2006; BELTON e LICHTI, 2006; JUTZI e GROSS, 2009; e DEMANTKE et al.,2011).

Na Figura 2.12 são apresentadas as relações entre os autovalores para diferentes primitivas geométricas ou estruturas, apresentadas em Demantke et al. (2011) e Yang e Dong (2013).

Figura 2.12 - Autovalores relacionados às diferentes estruturas. Fonte: Adaptado de Lichti (2009).

estruturas típicas de objetos de interesse, com os respectivos autovalores teóricos e as dimensões correspondentes. Em Jutzi e Gross (2009) pode-se ver como estes valores são determinados.

Tabela 2.1 -Autovalores e dimensão associados a algumas estruturas (JUTZI e GROSS, 2009). Autovalores Dimensão Estrutura λ1 λ2 λ3 0 1 2 Ponto isolado 0 0 0 Final de linha 1/12 0 0 Linha 1/3 0 0 Meio plano 1/4 0 0 Plano 1/4 1/4 0 Quarto de plano 0,09 0 0 Dois planos 1/4 1/8 0,03 Três Planos 0,11 0,11 0,03

Deste modo, a partir dos valores teóricos (Tabela 2.1) e dos valores dos autovalores obtidos a partir de dados reais, é possível realizar a classificação dos pontos nas diferentes estruturas consideradas.

Na sequência são apresentados os princípios utilizados na classificação da nuvem de pontos 3D em relação algumas estruturas (quinas, bordas, planos, etc), tomando os valores determinados por Jutzi e Gross (2009) como referência. Os princípios envolvem técnicas exploratórias de dados da análise multivariada tais como a análise de componentes principais, já descrita na subseção 2.2.1, e a análise discriminante, bem como o método que possibilita determinar o conjunto de pontos (vizinhança ótima) utilizado no cálculo da matriz de variâncias e covariâncias.

2.2.2.1 Análise discriminante

Segundo Mingoti (2005) análise discriminante é uma técnica que pode ser utilizada para classificação de elementos de uma amostra ou população. Para a sua aplicação, é necessário que os grupos para os quais cada elemento amostral pode ser classificado sejam predefinidos. Este conhecimento permite a elaboração de uma função matemática chamada regra de classificação ou discriminação, a qual é utilizada para classificar os novos elementos amostrais nos grupos já existentes. A classificação ou alocação pode ser definida como um

conjunto de regras que são usadas para alocar novos objetos (JOHNSON e WICHERN, 1999).

Para classificar um indivíduo em um grupo já existente pode-se utilizar a função de densidade probabilidade, como regra de classificação, ou então utilizar distâncias como medidas de similaridade, como por exemplo, a distância euclidiana ou a distância de mahalanobis. Para maiores detalhes sobre esse assunto sugere-se Mingoti (2005).

Tomando os autovalores apresentados na Tabela 2.1 como referência, o processo de classificação do conjunto de pontos 3D pode ser executado utilizando como medida de similaridade a distância euclidiana no espaço tridimensional dos autovalores (JUTZI e GROSS, 2009), como mostra a Equação 2.12.

Dji

λ₁j, λ₂j, λ₃j = λ₁j- λi 21 + λ2j- λ2i 2+ λ3j- λ3i 2 (2.12)

onde Dji é distância entre o ponto j (i =1, 2,..., m) e a estrutura i (i = 1, 2,...,8) (Tabela 2.1); sendo λ₁j, λ₂j e λ₃j os autovalores obtidos a partir da MVC do ponto j; e λ1i, λ2i e λ3i os autovalores esperados para a estrutura i, conforme Tabela 2.1.

Para refinar o processo de classificação pode-se realizar a ponderação das distâncias. Essa ponderação consiste em pré multiplicar o valor da distância (Equação 2.12) por um dado valor de peso ou fator de ponderação. Jutzi e Gross (2009) definiram empiricamente fatores de ponderação para o cálculo da distância entre o ponto a ser classificado e as diferentes estruturas (i). O fator de ponderação p(i) leva em consideração a dimensão de cada estrutura (dim(i)) (Tabela 2.1), como pode ser visto na Equação 2.13:

p i = 1

1+ dim i (2.13)

Desta forma, o processo de classificação consiste em calcular para cada ponto a distância euclidiana ponderada, no espaço dos autovalores, que separa o ponto a ser classificado a cada uma das estruturas (Tabela 2.1). A menor distância indica a estrutura na qual o ponto pertence. Desta forma, o ponto j é classificado como pertencente à estrutura i, tal que:

2.2.2.2 Determinação do raio da esfera que delimita a vizinhança ótima

A classificação do conjunto de pontos tridimensionais baseada nos autovalores depende diretamente da matriz de variâncias e covariâncias. Desta forma, a escolha do raio da esfera que delimita a “vizinhança ótima”, utilizada no cálculo da MVC, está relacionada com a qualidade do processo de classificação.

Existem diferentes maneiras de determinar o valor do raio da esfera. Em Jutzi e Gross (2009) o raio é determinado considerando um número fixo de pontos. Já em Demantke et al. (2011) e Yang e Dong (2013) o raio é selecionado com base no conceito de entropia.

Na linguagem da termodinâmica entropia é uma medida de desordem de um sistema, sendo entropia baixa associada a pouca desordem e entropia alta a muita desordem (ATKINS e JONES, 2006).

Para selecionar o raio da esfera utilizando o conceito de entropia, deve-se adotar como critério o menor valor de entropia (DEMANTKE et al., 2011; e YANG e DONG, 2013). Para tanto, varia-se o valor do raio, dentro de um intervalo pré-estabelecido, e calcula-se para cada valor de raio a respectiva medida de entropia. O raio relacionado à menor medida de entropia é adotado como raio ótimo, sendo este utilizado para selecionar o conjunto de pontos usado no cálculo da MVC.

A Figura 2.13 ilustra o uso do conceito de entropia para determinação do raio que delimita a “vizinhança ótima”, considerando um conjunto de pontos LASER. Na Figura 2.13b nota-se que ao aumentar o raio (R) o valor de entropia (Ef) decresce até atingir a borda do telhado (círculo azul → raio ótimo). Se continuar a aumentar o raio observa-se que a entropia se torna máxima quando a vizinhança passa a conter diferentes objetos (círculo vermelho), neste caso o chão e a chaminé.

Figura 2.13 - Nuvem de pontos 3D colorida de acordo com a altura (a), e nuvem de pontos 3D colorida de acordo com o valor de entropia calculado (Ef) para um único ponto de interesse

(ponto rosa).

Fonte: Adaptado de Demantke et al. (2011).

Uma maneira de determinar o valor de entropia (Ef) é a partir dos autovalores, como apresentado em Demantke et al. (2011):

Ef = - a1ln a1 - a2ln a2 - a3ln a3 , (2.15) onde: a₁= λ1- λ2 μ , a2= λ₂- λ₃ μ , a3= λ₃ μ ;

– Fator de normalização dos coeficientes a1, a2 e a3 ( = ).

Os coeficientes a1, a2 e a3 são indicadores utilizados para descrever o comportamento da dispersão linear, planar e volumétrica respectivamente, dentro de uma vizinhança VpR onde R está relacionado ao raio da esfera e p ao ponto do centro da esfera.

Esses coeficientes podem ser utilizados para classificar a vizinhança de acordo com a sua dimensionalidade, dada por d* VpR (Equação 2.16), ou seja, linear (1D), planar (2D) ou volumétrica (3D).

Uma vez que a vizinhança é delimitada por uma esfera de raio R e centrada no ponto p, deve-se variar o valor do raio entre dois valores extremos (Rmin até Rmax) de forma a determinar a menor entropia. Assim, o comprimento de raio relacionado ao menor valor de entropia (Ef min) corresponde ao raio ótimo (Rótimo), como ilustrado na Figura 2.14. A região delimitada pela esfera de Rótimo é denominada de “vizinhança ótima”. Esse processo deve ser executado para todos os pontos.

Figura 2.14 - Representação das entropias calculadas entre o raio Rmin até Rmax, com variação de ∆r para o raio. O menor valor de entropia é destacado (Ef min).