Conceitos B´asicos sobre Otimiza¸c˜ao - AO MULTI-OBJETIVO PARA O PROJETO DE SISTEMAS DE ENGENHA

Nesta se¸cão é apresentada a idéia geral sobre o conceito de otimiza¸cão, a classifica- ¸cão dos métodos de otimiza¸cão, o procedimento geral para resolvê-los e os obstáculos encontrados durante sua resolu¸cão.

2.1.1 Otimiza¸c˜ao: O Que ´e e Por que Utilizar?

Otimizar é melhorar o que já existe, projetar o novo com mais eficiência e menor custo. A otimiza¸cão visa determinar a melhor configura¸cão de projeto sem ter que testar todas as possibilidades. A otimiza¸cão tem como vantagens: diminuir o tempo dedicado ao projeto, possibilitar o tratamento simultâneo de uma grande quantidade de variáveis e restri¸cões de dif´ıcil visualiza¸cão gráfica, possibilitar a obten¸cão de “algo melhor” com me- nor custo. Como limita¸cões, tem-se o aumento do tempo computacional quando o número de variáveis de projeto cresce, o surgimento de fun¸cões descont´ınuas que apresentam lenta convergência, ou de fun¸cões com vários m´ınimos locais onde o m´ınimo global raramente é obtido (SARAMAGO, 1999).

2.1.2 Categorias de Otimiza¸c˜ao

Os algoritmos de otimiza¸c˜ao podem ser classificados segundo seis categorias. A Figura 2.1 ilustra esse particionamento, cujas principais caracter´ısticas s˜ao apresentadas a seguir (HAUPT; HAUPT, 1998): xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx OTIMIZAÇÃO 3 4 5 2 1 7 Uni-

dimensional _{dimensional Estático}Multi-

Dinâmico Discreto Contínuo Não Restrito Restrito Multi-objetivo Mono-objetivo Função Tentativa e Erro 6 Randômica Não Randômica

Figura 2.1: Categorias dos algoritmos de otimiza¸c˜ao (Reproduzido deHaupt e Haupt

(1998)).

❶ _{A Otimiza¸c˜ao por Tentativa e Erro refere-se ao ajuste de parˆametros de um processo}

onde não se conhece a priori sua formula¸cão, como por exemplo, o ajuste da imagem de um televisor e o descobrimento e refinamento da Penicilina como antibiótico. Por outro lado, quando se conhece o processo através de sua formula¸cão matemática, esta é definida como Otimiza¸cão por Fun¸cão.

❷ _{Essa classifica¸cão leva em considera¸cão a quantidade de variáveis do projeto. Caso}

exista apenas uma variável, este é denominado uni-dimensional, caso contrário, multi-dimensional.

❸ _{A Otimiza¸cão Dinâmica caracteriza-se pela dependência da sa´ıda com respeito ao}

tempo, enquanto a Estática é independente do tempo. Por exemplo, deseja-se encon- trar a melhor rota para chegar ao trabalho: se for analisada a distância, o problema é estático, e a solu¸cão pode ser obtida através da escolha do percurso por meio do mapa da cidade ou de um medidor de distância. Na prática, este problema não é simples devido à combina¸cão de rotas. Além disso, a menor distância não é neces- sariamente a mais rápida, pois deve-se levar em conta a hora do dia, os acidentes, dentre outros aspectos. O problema estático já é dif´ıcil, mas a adi¸cão do tempo em sua formula¸cão aumenta consideravelmente a dificuldade de solu¸cão de problemas dinâmicos.

2.1. Conceitos Básicos sobre Otimiza¸cão 9 ❹ _{O processo de otimiza¸cão pode ser discreto ou cont´ınuo. O primeiro se refere ao tra-}

tamento de problemas com um número finito de poss´ıveis valores para as variáveis, enquanto que, no segundo, essas tendem a infinitas possibilidades. Devido à com- plexidade inerente aos processos reais, a modelagem é geralmente caracterizada por formula¸cões algébrico-diferenciais. Isto faz com que tais problemas sejam tratados como um conjunto de pontos obtidos por discretiza¸cão das equa¸cões originais.

❺ _{Os problemas de otimiza¸c˜ao podem ser divididos em restritos (que apresentam res-}

tri¸cões) e não restritos (que não apresentam nenhum tipo de restri¸cão). Contudo, qualquer processo, por mais simples que seja, possui algum tipo de restri¸cão: igualdade, desigualdade ou laterais, oriundas de limita¸cões operacionais, f´ısicas, ambien- tais, entre outras. Os algoritmos de otimiza¸cão tradicionalmente foram concebidos para o tratamento de problemas sem restri¸cão. Devido aos fatores descritos anteriormente, a literatura apresenta metodologias para a transforma¸cão de problemas restritos em irrestritos (EDGAR et al., 2001; VANDERPLAATS, 1999). Uma maneira simples, mas de pouca aplicabilidade, seria a mudan¸ca de variáveis para essa finali- dade. Por exemplo, para minimizar f (x) no intervalo −1 ≤ x ≤ 1, o problema se torna sem restri¸cões fazendo x = sin(u). Como sin(u) é uma fun¸cão limitada, o problema se reduz à minimiza¸cão de f (sin(u)).

❻ _{Os algoritmos clássicos tentam minimizar uma fun¸cão partindo de uma configura¸cão}

inicial de projeto, movendo-se em dire¸cão ao ponto ótimo através de uma seqüência de passos. Por outro lado, os métodos randômicos, que são baseados no cálculo de probabilidades, fazem uso de um conjunto de configura¸cões iniciais de projeto para a obten¸cão do ótimo. Neste sentido, não investem tudo em um único ponto, ou seja, o enfoque de otimiza¸cão é repartido na popula¸cão de pontos.

❼ _{O problema de otimiza¸c˜ao pode ter um objetivo (mono) ou m´}_{ultiplos objetivos}

(multi). Esses se diferenciam pela forma como o ótimo é definido, pela metodologia de tratamento empregada, e pela presen¸ca, além do espa¸co de projeto, do espa¸co de objetivos para o problema multi-objetivo.

2.1.3 Procedimento Geral para a Solu¸c˜ao de Problemas de

Otimiza¸c˜ao

Não existe nenhum algoritmo de otimiza¸cão que possa ser aplicado eficientemente a todas as classes de problemas (EDGAR et al., 2001). O método escolhido para um caso particular é fortemente dependente da natureza da fun¸cão objetivo, das restri¸cões e do número de variáveis dependentes e independentes.

A seguir são apresentados os passos gerais para a análise e solu¸cão de problemas de otimiza¸cão (EDGAR et al., 2001):

• Passo 1: Análise do problema, identificando suas variáveis e principais caracter´ıs- ticas (número de graus de liberdade);

• Passo 2: Especifica¸cão do critério a ser alcan¸cado (fun¸cão objetivo em termos das variáveis definidas anteriormente);

• Passo 3: Uso de expressões matemáticas que validam o processo e relacionam variáveis de entrada e parâmetros. Inclusão das restri¸cões de igualdade, desigualdade e laterais;

• Passo 4: Se o problema é complexo, pode-se tentar quebrá-lo em problemas menores ou simplificar suas equa¸cões através de hipóteses simplificadoras;

• Passo 5: Aplica¸cão de uma técnica de otimiza¸cão conveniente;

• Passo 6: Verifica¸cão das respostas, examinando a sensibilidade dos resultados a mudan¸cas nos parâmetros do processo, do algoritmo utilizado e das hipóteses utilizadas na formula¸cão do modelo.

Os passos 1, 2 e 3 tratam da formula¸cão matemática do problema, que é a identifica¸cão das variáveis, a especifica¸cão da fun¸cão objetivo e restri¸cões. O quarto passo sugere que o problema possa ser simplificado. Inicialmente, pode-se decidir ignorar algumas variáveis que não afetam significativamente a fun¸cão objetivo. Isto é baseado numa análise f´ısica, matemática ou na importância de cada variável (análise de sensibilidade). Uma outra maneira seria a elimina¸cão de variável(is) através da utiliza¸cão de restri¸cões de igualdade. O quinto passo busca o ponto de ótimo. Geralmente a solu¸cão de problemas de otimiza¸cão envolvem o uso de computadores, através de um processo iterativo. A eficiência da técnica dependerá de sua metodologia e da estimativa inicial utilizada. Já o sexto passo consiste, primeiramente, no atendimento das condi¸cões necessárias e suficientes para a obten¸cão do ótimo e posterior análise da sensibilidade do ótimo em rela¸cão à mudan¸ca dos parâmetros do processo, do algoritmo e das hipóteses utilizadas na formula¸cão do problema (VANDERPLAATS, 1999; EDGAR et al., 2001).

2.1.4 Obst´aculos para se Otimizar

Se a fun¸cão objetivo e as restri¸cões do problema de otimiza¸cão são “bem comportadas” ou são fun¸cões lineares, o problema não apresenta grandes dificuldades. Entretanto, a maioria dos problemas são inerentemente não lineares.

No documento AO MULTI-OBJETIVO PARA O PROJETO DE SISTEMAS DE ENGENHARIA (páginas 55-59)