Otimo de Pareto ´

Em contraste com a otimiza¸c˜ao de um ´unico objetivo, a solu¸c˜ao de um problema com m´ultiplos objetivos ´e mais um conceito do que uma defini¸c˜ao (MARLER; ARORA, 2004). A no¸c˜ao de “´otimo” foi inicialmente proposta por Francis Ysidro Edgeworth (Fig. 2.3(a)) em 1881 (EDGEWORTH, 1881). O aperfei¸coamento dessa id´eia foi apresentado pelo economista e socialista Vilfredo Pareto (PARETO, 1896) (Fig. 2.3(b)).

(a) Francis Y. Edgeworth. (b) Vilfredo Pareto.

Figura 2.3: Idealizadores do conceito de ´otimo para o problema multi-objetivo (Repro- duzido de_{http://www.lania.mx/∼ccoello/EMOO} (acessado em 15 abril de 2005)).

A defini¸c˜ao de ´otimo segundo Edgeworth-Pareto ´e baseada na convic¸c˜ao intuitiva de que um ponto x∗ _{´e tomado como ´otimo se “nenhum crit´erio utilizado pode melhorar a so-} lu¸c˜ao, sem piorar pelo menos um outro crit´erio”. Todavia, o ´otimo de Edgeworth-Pareto quase sempre n˜ao nos fornece uma solu¸c˜ao ´unica, mas sim um conjunto de solu¸c˜oes de- nominadas n˜ao inferiores ou solu¸c˜oes n˜ao-dominadas. O Postulado de Edgeworth-Pareto ou Postulado de Pareto, como ´e mais conhecido, tem sido base para o desenvolvimento de

2.4. Otimo de Pareto´ 15

teoremas importantes na teoria de otimiza¸c˜ao multi-crit´erios (ESCHENAUER et al., 1990; OSYCZKA, 1984).

Para se fixar o conceito de dominˆancia, considera-se o seguinte exemplo descrito em Ticona (2003): na hora de comprar um carro, suponha-se que se est´a procurando por pre¸co e conforto. A Figura 2.4 ilustra v´arias alternativas de escolha.

1

Figura 2.4: Op¸c˜oes de compra de um carro: custo versus conforto (Reproduzido de

Ticona(2003)).

O objetivo ´e minimizar o custo e maximizar o conforto. Neste caso, tem-se cinco poss´ıveis op¸c˜oes de compra. Intuitivamente, descarta-se a solu¸c˜ao 1, j´a que a solu¸c˜ao 5 fornece mais conforto por igual pre¸co. A solu¸c˜ao 2 ´e descartada pela mesma raz˜ao. Tem-se ent˜ao trˆes solu¸c˜oes: 3, 4, 5, que s˜ao boas alternativas de compra. Em termos quantitativos, nenhuma ´e melhor que a outra, pois uma ´e mais confort´avel, mas menos barata, e vice-versa. Existe ent˜ao um “compromisso” entre os objetivos. Quanto maior o conforto, maior o pre¸co do autom´ovel e vice-versa. Diz-se que uma solu¸c˜ao domina uma outra se seus valores s˜ao melhores em todos os objetivos. Por exemplo, a solu¸c˜ao 5 domina a solu¸c˜ao 1. Ent˜ao a solu¸c˜ao 5 n˜ao ´e dominada por nenhuma outra. O mesmo acontece com as solu¸c˜oes 3 e 4. Se n˜ao se conhece a priori a importˆancia relativa de cada objetivo, pode-se dizer que as solu¸c˜oes 3, 4, e 5 s˜ao igualmente boas. Portanto, existe um conjunto de solu¸c˜oes ´otimas, sendo este conjunto chamado de conjunto n˜ao-dominado. As outras solu¸c˜oes (1 e 2) formam o conjunto dominado.

Estes conjuntos tˆem as seguintes propriedades (DEB, 2001):

❑ _{Qualquer solu¸c˜ao do conjunto n˜ao-dominado deve ser n˜ao-dominado em rela¸c˜ao `a}

outra solu¸c˜ao desse mesmo conjunto;

❑ _{Qualquer solu¸c˜ao n˜ao contida no conjunto n˜ao-dominado deve ser dominado, no}

2.4.1

Operador de Dominˆancia de Pareto

A maioria dos algoritmos para otimiza¸c˜ao multi-objetivo usam o conceito de domi- nˆancia. Se existem M fun¸c˜oes objetivo fj, com j = 1, ..., M , o operador ✁ entre duas solu¸c˜oes, x1✁x2, significa que a solu¸c˜ao x1´e melhor que x2para um objetivo em particular. Reciprocamente, x1 ✄x2 denota que a solu¸c˜ao x1 ´e pior que x2 para algum objetivo. J´a o operador ⋫ denota a nega¸c˜ao para ✄.

Defini¸c˜ao 2: Uma solu¸c˜ao x1 domina uma outra solu¸c˜ao x2 (representado como x1 _{¹ x}2) se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:

• A solu¸c˜ao x1 n˜ao ´e pior que x2 para todos os objetivos, ou seja fj(x1) ⋫ fj(x2) para todo j = 1, 2, ..., M ;

• A solu¸c˜ao x1 ´e estritamente melhor que x2 pelo menos em um objetivo, ou seja fj(x1) ✁ fj(x2) pelo menos para um valor de j = 1, 2, ..., M .

Se ambas as condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas, pode-se dizer que x2 ´e dominada por x1, x1 ´e n˜ao-dominada por x2 e x1 ´e n˜ao-dominada com rela¸c˜ao a x2.

2.4.2

Otimalidade de Pareto

Quando o conjunto de solu¸c˜oes ´e finito, ´e poss´ıvel fazer compara¸c˜ao entre as solu- ¸c˜oes duas a duas e pode-se dividir o conjunto em solu¸c˜oes dominadas e n˜ao-dominadas. Portanto, tem-se um conjunto n˜ao-dominado e um conjunto dominado.

Defini¸c˜ao 3: Dado o conjunto de solu¸c˜oes P1_{, o conjunto n˜ao-dominado P}2_{´e formado} por aquelas solu¸c˜oes que s˜ao n˜ao-dominadas por qualquer elemento de P1_.

Quando o conjunto P1 _{´e o espa¸co completo de busca (P}1 _{= S), o conjunto n˜ao-} dominado P2 _{´e chamado de conjunto ´otimo de Pareto. A Figura 2.5 mostra exemplos de} conjuntos ´otimos de Pareto, conforme v´arias combina¸c˜oes de objetivos para as fun¸c˜oes f1 e f2. A curva cheia indica onde o conjunto est´a localizado. Ent˜ao, ´e poss´ıvel ter conjuntos ´otimos de Pareto formados por uma regi˜ao cont´ınua ou pela uni˜ao de regi˜oes descont´ınuas.

Defini¸c˜ao 4: O conjunto n˜ao dominado para a totalidade do espa¸co de busca fact´ıvel S, ´e chamado de conjunto ´otimo de Pareto global.

2.4. Otimo de Pareto´ 17

1

2

min f₁, minf₂ min , maxf₁ f₂

max , maxf₁ f₂ Espaço de Objetivos Espaço de Objetivos Espaço de Objetivos Espaço de Objetivos

Figura 2.5: Exemplos de conjuntos ´otimos de Pareto (Reproduzido de Deb (2001)).

Defini¸c˜ao 5: Se cada elemento x1 do conjunto P1 _{n˜ao ´e dominado por alguma} solu¸c˜ao x2 na vizinhan¸ca de x1 _{tal que kx}2 − x1k∞ ≤ ǫ, onde ǫ ´e um n´umero positivo arbitrariamente pequeno, ent˜ao o conjunto P ´e chamado de conjunto ´otimo de Pareto local. A Figura 2.6 mostra dois conjuntos ´otimos de Pareto locais que s˜ao n˜ao-dominados, mostrando a sua vizinhan¸ca no seu espa¸co de objetivos e no espa¸co de vari´aveis (`a direita).

1

2

f

x

x

f

Espaço de Objetivos Ótimo de Pareto Global Espaço de Variáveis S S

Defini¸c˜ao 6: A Fronteira de Pareto ´e formada pelo conjunto de vetores de fun¸c˜oes objetivo f (x) = (f1(x), f2(x), ..., fM(x))T_{, para cada solu¸c˜ao x que est´a no conjunto ´otimo} de Pareto.

A Fronteira de Pareto ´e formada ent˜ao por valores das fun¸c˜oes objetivo (ponto no espa¸co de objetivos) correspondentes a cada solu¸c˜ao no espa¸co de busca. A rela¸c˜ao de dominˆancia tamb´em pode ser classificada em dominˆancia forte e fraca. A dominˆancia forte ´e definida como:

Defini¸c˜ao 7: A solu¸c˜ao x1 domina fortemente a solu¸c˜ao x2 (representado como x1 _≺ x2) se ´e estritamente melhor que a solu¸c˜ao x2 para todos os M objetivos. Se os pontos n˜ao-dominados est˜ao em um espa¸co cont´ınuo, pode-se desenhar uma curva. Todos os pontos contidos na curva formam a Frente de Pareto ou Fronteira de Pareto.