Conceitos matemáticos

O que é a Programação Linear

Como uma definição mais lata, poder-se-á considerar a afirmação de Tavares, Oliveira, Themido e Correia, (1996) quando afirmam que a expressão Programação Linear se justifica pelo seu objetivo central em “estabelecer os «programas» de ação mais aconselháveis para as operações complexas em estudo no campo dos sistemas económicos, de produção industrial ou das intervenções militares”. Acrescentam ainda que esses “«programas» deveriam incluir a lista de atividades a desenvolver, a sua

sequência, a sua calendarização, os recursos a afetar”. Esta definição apoia-se nas aplicações práticas que estão na génese dos primeiros conceitos desenvolvidos em PL.

Numa perspetiva mais matemática, poder-se-á considerar como definição o que afirmam Hillier e Lieberman (2010):

«A Programação Linear utiliza um modelo matemático para descrever o problema em questão. O adjetivo linear significa que todas as funções matemáticas no modelo são lineares. A palavra programação não se refere a programação de computadores, antes é essencialmente um sinónimo para

planeamento. Assim, a PL envolve o planeamento de atividades para obter um

resultado otimal, isto é, um resultado, de entre várias alternativas possíveis, que alcança da melhor forma o objetivo específico. De facto, qualquer problema cujo modelo matemático se ajusta ao formato genérico de um modelo de PL é um problema de PL.» (pág. 23)

A primeira parte desta definição, presente nas três primeiras frases, disseca detalhadamente o significado matemático da expressão que dá o nome da PL. A segunda, presente nas duas últimas frases, vai ao encontro, ainda que mais geral, da definição anterior. Uma característica muito própria da PL é que o contexto matemático não se separa do contexto da realidade que modela, pelo que as duas definições apresentadas estão intimamente interligadas.

Um modelo genérico de um problema de PL

De que formato falam Hillier e Lieberman (2010) quando, na definição acima referida, mencionam «o formato genérico de um problema de PL»? Um problema de PL apresenta uma forma canónica que envolve uma função de várias variáveis (função objetivo) que se pretende otimizar (maximizar ou minimizar) e um sistema de muitas equações e/ou inequações (restrições).

Ao nível do Ensino Secundário, os problemas de PL envolvem apenas duas variáveis e até cinco restrições, usualmente sob a forma de inequações. A seguir, apresenta-se um modelo genérico a duas variáveis e cinco restrições para um problema de PL para aquele nível de ensino.

Min/Max ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

As variáveis e por vezes designam-se por variáveis de decisão, representando as incógnitas do problema às quais se associam as decisões a tomar. A função designa-se por função objetivo ( ) e é a função a que se associa o objetivo de a otimizar, isto é, maximizar ou minimizar o seu valor. Esse valor representa uma medida da vantagem ou da desvantagem atribuída pela decisão a cada solução do problema. Otimizar consiste, portanto, em determinar o par ( ) para o qual toma o valor máximo ou mínimo.

As inequações a designam-se por restrições das variáveis e são condições impostas às variáveis resultantes do contexto do problema. Observe-se em particular as restrições e : muitas vezes as variáveis de decisão representam quantidades não negativas, como são níveis de atividade (muitas vezes medidos em termos de tempo), utilização de recursos (número de trabalhadores ou de máquinas...) ou quantidades de recursos transportadas. As restrições a podem ser representadas graficamente. Considerando-as como a conjunção de condições, a sua interseção define um domínio plano que contém o conjunto de todos os pontos que satisfazem as restrições, designado por região admissível ou domínio de validade. Os pontos que satisfazem todas as restrições designam-se por soluções admissíveis, sendo candidatos à solução que otimiza a função objetivo, a solução ótima.

Resolver um problema de PL

Tome-se como exemplo o modelo sobredito. Para resolver um problema de PL consideram-se as seguintes etapas:

I. Analisar os dados, identificando e definindo as variáveis de decisão ( e ):

representa a quantidade de um recurso representa a quantidade de outro recurso

II. Identificar o objetivo e a função objetivo:

Conforme o problema o objetivo será maximizar ou minimizar algo (por exemplo, o lucro ou a quantidade de recurso a ser transportado). Associado ao objetivo está a função objetivo ( ), a qual é mais facilmente identificada após definidas as variáveis de decisão.

III. Organizar os dados (usualmente, em tabela):

Recurso

Quantidade de Recurso utilizado por unidade na Contribuição do Recurso Para

Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3

Total

Quantidade de Recurso disponível

Tabela I: Organização dos dados em tabela, adaptada de Hillier e Lieberman (2010)

Existem várias formas de organizar os dados e usualmente mais simplificadas. Nesta apresenta-se uma organização e tabela que condensa todas as informações contidas no problema do modelo genérico anterior. Observe-se como, uma vez definida a função objetivo na etapa anterior, a terceira coluna é desnecessária.

IV. Identificar as restrições:

A quantidade total de recursos utilizados numa dada atividade não pode exceder a quantidade de recursos disponível para essa atividade. Daí que resultem restrições como , e . Como já foi mencionado, e resultam da não negatividade das quantidades dos recursos considerados, pelo que se podem designar estas por restrições

V. Representar graficamente as restrições, destacando a região admissível:

Exemplo:

Figura 3.2.1: Representação gráfica de uma região admissível

A região admissível de um problema de PL forma o que se designa por conjunto

convexo – um conjunto tal que o segmento de reta que una quaisquer dois pontos desse

conjunto está contido nele. Este resultado permite concluir-se que no caso de existir mais que uma solução admissível, existirá um número infinito de soluções admissíveis.

VI. Determinar a solução ótima:

A determinação da solução ótima pode ser realizada segundo dois métodos: o

analítico ou o gráfico.

Para qualquer dos métodos, é preciso primeiro considerar o seguinte teorema:

Teorema Fundamental da PL:

Seja a região admissível para um problema de PL e seja ( ) a função objetivo.

Se é limitada, então tem máximo e mínimo em e cada um destes ocorre pelo menos num dos vértices de .

Se é não limitada, então o valor máximo ou mínimo de pode não existir. Contudo, se existir, ocorre pelo menos num vértice de .

É preciso também considerar dois tipos de região admissível. A região admissível apresentada na figura 3.2.1 é um exemplo de uma região limitada. Um exemplo de uma região não limitada é o da figura 3.2.2:

Figura 3.2.2: Representação gráfica de uma região admissível não limitada

Método gráfico

Neste método de resolução representa-se graficamente a região admissível e também algumas retas duma família de retas da forma ( ) , sendo a função objetivo e . Estas retas, designadas por retas de nível indicam os pontos do plano em que a função objetivo toma o valor .

Para o caso em que a região admissível é limitada: pelo teorema enunciado, esta função toma o máximo ou o mínimo num vértice da região admissível. Traça-se, então, a reta de nível 0 como referência e traçam-se, com o auxílio da régua e do esquadro, retas paralelas à anterior que contenham os vértices da região admissível. A reta com maior ou menor valor de é aquela que contém a solução ótima do problema.

Existe também a situação em que todos os pontos de um segmento de reta – uma aresta do polígono convexo como o acima representado – são solução do problema. Isto é, se dois vértices são simultaneamente soluções ótimas, então qualquer ponto do segmento de reta por eles definido é também uma solução ótima, como se apresenta na figura 3.2.4.

Figura 3.2.4: Região admissível em que uma f.o. contém um segmento de reta como solução

Procede-se de modo análogo, para o caso em que a região admissível é não limitada.

Há ainda a situação em que, se existir solução, existe numa infinidade de pontos pertencentes a uma semirreta contida na região admissível, que são solução do problema.

Figura 3.2.5: Região admissível em que uma f.o. contém uma semirreta como solução

A seguir, na figura 3.2.6, apresenta-se um exemplo em que, para uma função objetivo considerada, não existe solução ótima.

Figura 3.2.6: Região admissível em que uma f.o. não contém solução

Método analítico

Caso 1) Região limitada

Determinam-se as coordenadas dos vértices, sabendo que são os pontos de interseção das retas originadas pelas restrições, duas a duas. Substituem-se as coordenadas de cada vértice na função objetivo e escolhe-se como solução ótima aquela para a qual se obtiver o maior ou o menor valor de ( ), conforme o objetivo seja maximizar ou minimizar, respetivamente.

Existe também a situação em que todos os pontos de um segmento de reta – uma aresta da região limitada na figura 3.2.1 – são solução ótima do problema.

Caso 2) Região não limitada

A existir uma solução, esta ocorre num dos vértices. Procede-se então de modo análogo ao caso anterior.

Existem ainda situações em que, se existir solução, existe numa infinidade soluções que são pontos pertencentes a uma semirreta contida na região admissível.