Neste capítulo, analisamos as medidas de avaliação do Capítulo 3 como critérios de seleção, diagnóstico e desempenho através de um estudo de simulação considerando os modelos DCC, ADCC, GO-GARCH e BEKK. As principais conclusões foram as seguintes: • Como critérios de seleção, as medidas que geraram resultados mais satisfatórios fo- ram a variância acumulada observada pela carteira de mínima variância, o tracking
error minimization e a volatilidade incondicional, que foi apresentada conjunta-
mente com o índice de Sharpe, todas elas medidas para o risco das carteiras; • Os critérios de diagnóstico, no geral, apresentaram tamanhos próximos ao nominal
rejeição alto quando os modelos são incorretamente especificados;
• A medida static portfolio performance apresentou alguns resultados satisfatórios para os critérios de seleção e diagnóstico, porém, nunca bons o suficiente para os objetivos das análises;
• As medidas econômicas turnover e índice de Sharpe não serviram como critérios de seleção para os propósitos deste estudo;
• O VaR, apesar de não ter apresentado somente resultados insatisfatórios, falhou como critério de diagnóstico;
• As medidas, no geral, apresentaram maior similaridade para os resultados dos mo- delos DCC e ADCC, principalmente quando o modelo DCC é o processo gerador de dados. Esse fato não era inesperado, pois o modelo DCC para as covariâncias e GARCH(1,1) para as variâncias marginais são casos particulares do modelo ADCC e GJR-GARCH(1,1,1), respectivamente.
• No geral, os modelos que apresentaram os melhores desempenhos foram o DCC e ADCC. O modelo GO-GARCH apresentou as maiores perdas de eficiência, recor- rentemente muito maiores que os demais modelos, sendo um dos motivos os valores aberrantes decorrentes de problemas de convergência nas estimações;
• Os modelos DCC e ADCC se mostraram consistentes nas análises nos seguintes sentidos: além dos bons resultados, a estimação procedeu de maneira relativamente rápida e sem problemas de convergência. Como referência, todo o procedimento de previsão por janela móvel para as 1000 replicações durou cerca de 18 horas para o modelo DCC e 22 horas para o modelo ADCC.
• O modelo BEKK levou mais de dez vezes para estimar os conjuntos de dados que os modelos DCC e ADCC (cerca de dez dias para todo o procedimento de previsão para as mil replicações), fato ainda amenizado por termos utilizado a versão diagonal do modelo, o que diminui o número de parâmetros. Na prática, o modelo BEKK se torna muito difícil de estimar, ainda mais para um número maior de ativos. Esse
custo computacional alto é conhecido e decorrente dos problemas de convergência na estimação (Silvennoinen e Teräsvirta, 2009);
• O modelo GO-GARCH, em questão de tempo de estimação, se mostrou muito me- lhor que os demais: cerca de 7 horas para todo o procedimento de previsão por janela móvel para as 1000 replicações, sugerindo ser uma opção viável para ana- lisar uma quantidade grande de ativos, enquanto outros modelos vão tornando-se computacionalmente inviáveis. Porém, sua estimação apresentou problemas de con- vergência em alguns momentos, em média a cada 50 séries, além de, no geral, não ter aproximado tão bem os dados como os demais modelos, sendo apenas razoável nos casos em que era o processo gerador de dados.
Capítulo 5
Aplicação
Neste capítulo serão apresentadas as aplicações das metodologias estudadas em dados reais. Os dados correspondem aos preços de fechamento diários do índice BOVESPA, mais 9 ativos que o compõem, no período de 02/01/2002 à 24/08/2015, totalizando 3381 dados por ação. A escolha dos ativos que compõem o IBOV foi feita buscando-se maior liquidez em ações ordinárias de grandes empresas, sendo elas: Ambev (ABEV3), Banco do Brasil (BBAS3), Bradesco (BBDC4), Braskem (BRKM5), Souza Cruz (CRUZ3), Pe- trobras (PETR4), Vale (VALE3), Itaú (ITUB4) e Grupo Pão de Açúcar (PCAR4). Os dados foram retirados da plataforma Bloomberg e, como todos são transacionados no mesmo mercado, não houve problemas de falta de sincronização dos dias de negociação. Para o tratamento dos dias em que não há pregão (feriados e finais de semana), apenas desconsidera-se tal dia sem negociação, passando para o próximo dia útil, como é o usual na literatura. Para as modelagens, foram utilizados os retornos dos preços como na Equa- ção (2.0.1) em porcentagens. Desta forma, o retorno de uma carteira é a combinação linear dos retornos de cada ação, com pesos iguais aos pesos definidos da carteira, i.e., (𝑤1, . . . , 𝑤𝑛).
O objetivo deste estudo é analisar modelos MGARCH na construção de carteiras através das medidas de avaliação apresentadas no Capítulo 3, de forma a identificar os melhores modelos e como os resultados dessas medidas se relacionam.
Na Seção 5.1 são apresentados os dados e uma breve análise descritiva dos mesmos. Na Seção 5.2 são apresentadas as metodologias e os resultados do estudo. Por fim, a Seção
5.3 contém a síntese do estudo de aplicação em dados reais.
5.1
Análise Descritiva dos Dados
As cotações das 10 séries estudadas (índice mais as nove ações) e seus respectivos retornos podem ser vistos nas Figuras B.1 à B.10 no Apêndice B. Para cada série, temos as cotações de 3381 dias, resultando em séries de retornos de tamanho 3380. Podemos observar que todos os ativos valorizaram no período, ou seja, possuem retorno positivo entre a data inicial e a data final, merecendo destaque a maior valorização bruta entre os ativos, que foi de 983% proveniente da ação da empresa AMBEV. Por outro lado, temos a ação da empresa estatal Petrobras, valorizando apenas 21%, decorrente não somente pela queda dos preços internacionais do petróleo a partir de 2014 mas, principalmente, por conta dos problemas financeiros enfrentados pela empresa a partir desse mesmo ano. Assim, nesse período a volatilidade ficou tão grande quanto no período de 2008, em decorrência da crise de crédito imobiliário subprime nos Estados Unidos da América.
Pela análise gráfica, vemos que não existem indicações de não estacionariedade nas séries de retornos, no geral. Excluindo o caso da Petrobras pelos motivos já apontados, todos os outros ativos demonstram volatilidade mais intensa no período que começa em 2008 e continua até meados de 2009/2010, impactadas pela crise subprime.
A Tabela 5.1 desta seção contém algumas estatísticas descritivas dos retornos relativos dos preços de cada ativo. Todas as séries apresentaram a média dos retornos positiva, sendo as ações da empresa Souza Cruz a detentora da maior média e a Petrobras com o pior rendimento médio. As séries possuem desvios-padrão próximos, no geral, e a série da BRASKEM, apresentou o maior desvio-padrão. Os retornos das ações da AMBEV, além de possuírem a maior valorização histórica e a segunda maior média dos retornos, possui o menor desvio-padrão, indicando ser um bom investimento dentre os estudados, pois gerou um dos maiores retornos com a menor volatilidade. O excesso de curtose indica que as séries apresentam distribuição não condicional com caudas mais pesadas do que a distribuição normal, e todas as séries apresentaram algum grau de assimetria positiva.
Tabela 5.1: Estatísticas descritivas referentes aos retornos dos preços dos ativos da pri- meira coluna, do período de 02/01/2002 à 24/08/2015.
Média D. P. Mínimo 1º Q Mediana 3º Q Máximo Curtose Assimetria
IBOV 0,05 1,79 -11,39 -0,93 0,07 1,08 14,66 4,74 0,10 ABEV3 0,09 1,79 -14,97 -0,86 0,00 1,05 11,53 4,34 0,05 BBAS3 0,08 2,69 -15,37 -1,51 0,00 1,61 20,71 3,49 0,39 BBDC4 0,07 2,21 -11,49 -1,21 0,00 1,28 22,13 5,10 0,54 BRKM5 0,06 2,82 -19,78 -1,60 0,00 1,57 21,24 3,53 0,28 CRUZ3 0,09 2,12 -9,93 -1,10 0,00 1,26 13,21 2,20 0,22 PETR4 0,04 2,47 -13,76 -1,31 0,09 1,34 15,47 3,54 0,09 VALE3 0,07 2,44 -18,58 -1,29 0,00 1,37 14,52 3,74 0,19 ITUB4 0,07 2,30 -12,14 -1,27 0,00 1,25 23,37 6,15 0,65 PCAR4 0,05 2,09 -8,62 -1,13 0,00 1,19 15,22 2,65 0,39
A matriz de correlações incondicionais e as variâncias dos retornos são apresentadas na Tabela 5.2. Os dados apresentam correlações grandes e, como é de se esperar, to- dos possuem correlações elevadas com o IBOV, pois são as ações de maior liquidez que compõem este índice. A média geral das correlações é de 0,52.
Tabela 5.2: Variâncias dos retornos dos ativos da primeira coluna na diagonal principal, e correlações entre os retornos dos ativos da primeira coluna com o cabeçalho nas demais posições, do período de 02/01/2002 à 24/08/2015.
IBOV ABEV3 BBAS3 BBDC4 BRKM5 CRUZ3 PETR4 VALE3 ITUB4 PCAR4
IBOV 3,21 0,52 0,70 0,79 0,57 0,47 0,76 0,68 0,78 0,52 ABEV3 3,20 0,36 0,46 0,31 0,35 0,35 0,36 0,45 0,37 BBAS3 7,21 0,63 0,40 0,31 0,49 0,41 0,62 0,38 BBDC4 4,91 0,42 0,37 0,58 0,50 0,85 0,47 BRKM5 7,95 0,28 0,36 0,34 0,41 0,30 CRUZ3 4,50 0,32 0,30 0,36 0,29 PETR4 6,10 0,56 0,56 0,38 VALE3 5,93 0,50 0,36 ITUB4 5,27 0,47 PCAR4 4,38
Na Figura 5.1 nesta seção, apresentamos as funções de autocorrelação das séries de retornos. Apesar de pequenas, algumas correlações significativas em baixas ordens su- gerem que algum ajuste deve ser feito para filtrar a média condicional antes de utilizar as abordagens por modelos GARCH nas séries. Intencionalmente não apresentadas no trabalho, as funções das autocorrelações cruzadas dos retornos não apresentaram picos
relevantes, mas apresentam persistência. As funções de autocorrelação dos quadrados dos retornos também mostraram persistência, como podemos ver na Figura 5.2.
Figura 5.1: Funções de autocorrelação dos retornos no período de 02/01/2002 à 24/08/2015.
Figura 5.2: Funções de autocorrelação dos quadrados dos retornos no período de 02/01/2002 à 24/08/2015.
5.2
Metodologia e Resultados
Neste estudo de caso, analisamos oito modelos GARCH multivariados via medidas de avaliação de modelos descritas no Capítulo 3. Todas as estimações e testes foram realizados no software R 3.2.3 (R Core Team, 2015). Os ajustes dos modelos GARCH
univariados foram realizados pelo pacote rugarch 1.3-0 (Ghalanos, 2015b). Os modelos DCC, ADCC e GO-GARCH foram estimados utilizando o pacote rmgarch 1.3-6 (Ghala- nos, 2015a), e o modelo cDCC pelo pacote ccgarch2 0.0.0-40 (Nakatani, 2015). Já para a estimação das covariâncias dos modelos CCC e O-GARCH, foram desenvolvidos os pro- gramas pelos autores. Assim como no Capítulo 4, o sistema computacional utilizado foi um Intel Core i5 com 2,30 GHz e 10,0 GB de memória RAM.
Para avaliação fora da amostra, utilizamos a estimação por janela móvel com as últimas 1000 observações de cada série sendo o período de teste. Dessa forma, na observação 2381 iniciou-se as previsões um passo à frente, reestimando o modelo a cada 5 novas observações. Como mencionado na seção anterior, vimos a necessidade de se filtrar as séries, es- timando as médias condicionais dos ativos estudados. O filtro AR(1) foi suficiente para explicar quase todas as correlações no nível dos retornos. Filtradas as médias condici- onais, vamos analisar através das medidas de avaliação estudadas os seguintes modelos multivariados: CCC, DCC, ADCC, cDCC, O-GARCH e GO-GARCH, sendo os quatro primeiro pertencentes à classe de modelos por correlações condicionais e os dois restantes da classe dos modelos por fatores.
Os modelos da classe de correlações condicionais foram estimados via maximização da quase verossimilhança em dois estágios. Antes de prosseguir com o método de estimação por janela móvel, queremos encontrar quais especificações utilizaremos para as variâncias marginais dos modelos de correlações condicionais. Para tal, comparamos alguns ajustes de modelos GARCH univariados para todo o conjunto de dados, o qual esperamos que também sejam adequados para o estudo via janela móvel. Para tanto, foram estimados os modelos GARCH e GJR-GARCH considerando as distribuições normal e t-Student, tanto simétricas quanto assimétricas para as inovações, chegando na escolha dos seguintes modelos apresentados na Tabela 5.3.
Tabela 5.3: Modelos GARCH e distribuições escolhidas para cada ativo da primeira co- luna.
Ativo Modelo Inovações
IBOV GARCH(2,1) t-Student assimétrica
ABEV3 GJR-GARCH(2,2,1) t-Student assimétrica
BBAS3 GARCH(1,2) t-Student assimétrica
BBDC4 GJR-GARCH(1,1,1) t-Student assimétrica
BRKM5 GARCH(1,1) t-Student
CRUZ3 GARCH(1,1) t-Student assimétrica
PETR4 GARCH(1,1) t-Student assimétrica
VALE3 GJR-GARCH(1,1,2) t-Student assimétrica
ITUB4 GARCH(1,1) t-Student assimétrica
PCAR4 GJR-GARCH(1,1,1) t-Student assimétrica
As escolhas dos modelos marginais, ordens e distribuição foram feitas através:
• dos testes Weighted Ljung-Box e Weighted ARCH LM (Fisher e Gallagher, 2012) para os quadrados dos resíduos, a fim de verificar se não havia autocorrelação nos mesmos;
• dos testes de viés de sinais de Engle e Ng (1993), para detectar efeito de alavancagem; • do teste qui-quadrado para bondade de ajuste baseado no teste de Palm (1996), que
compara a distribuição empírica com a distribuição teórica adotada.
Após selecionarmos os modelos marginais para as variâncias condicionais, foram esti- madas as covariâncias condicionais através dos modelos de correlações condicionais. As ordens para os modelos foram: DCC(1,1), ADCC (1,1,1) e cDCC (1,1). No segundo estágio, adotou-se a maximização da verossimilhança gaussiana.
Já nos casos dos modelos de fatores, utilizamos os modelos GARCH(1,1), e sua ver- são assimétrica, GJR-GARCH(1,1,1), para estimar as variâncias condicionais marginais dos fatores, via maximização da verossimilhança gaussiana. O modelo GO-GARCH foi estimado via o algoritmo fastICA, e o modelo O-GARCH foi estimado via análise de com- ponentes principais utilizando-se três fatores, motivado pelos estudos de precificação de ativos encontrados na literatura, que dizem que poucos fatores, como três, são suficien- tes para explicar a variabilidade e correlações entre ativos (ver Fama e French (1993) e Carhart (1997)).
Como descrito na Subseção 2.2.3, dependendo do número de fatores utilizados, nem sempre o modelo O-GARCH gerará matrizes de covariâncias positivas-definidas, resul- tando em problemas para se utilizar medidas de análise que necessitem inverter essas matrizes. Para contornar este problema, foi implementado o procedimento de aproxima- ção da matriz de covariâncias para sua versão positiva-definida mais próxima, através do método de Higham (Higham, 2002).
Na Tabela 5.4 temos um resumo do total de parâmetros estimados em cada modelo. O número de parâmetros a serem estimados torna-se grande para esse número de ativos quando usamos os modelos CCC, DCC, cDCC e, principalmente, ADCC, o que se reflete no maior tempo de estimação em relação aos modelos de fatores. Os modelos DCC, ADCC e cDCC levam cerca de duas horas em todo o processo de previsão por janela móvel descrito no início da seção. Porém, apesar do elevado número de parâmetros, o modelo CCC possui uma estimação simples e mais rápida que os demais (cerca de 30 minutos para o todo o processo). Os modelos de fatores possuem o número de parâmetros reduzido, principalmente o modelo O-GARCH, além de possuir uma estimação mais rápida em relação aos demais (cerca de 10 minutos para todo o procedimento de previsão por janela móvel). Maior número de parâmetros não significa, necessariamente, maior dificuldade de estimação, já que alguns modelos são estimados por dois estágios. Existem outros pontos, como o comportamento da função objetivo em cada estágio.
Tabela 5.4: Total de parâmetros por modelo estimado. Inclui os parâmetros das variâncias marginais.
Modelo Número de Parâmetros
CCC 84 DCC 86 ADCC 132 cDCC 86 GO-GARCH 65 GO-GJR-GARCH 75 O-GARCH 39 O-GJR-GARCH 42
Antes de utilizar os resultados do procedimento de previsão por janela móvel para as medidas de avaliação de modelos, ajustamos todos os modelos para a série inteira,
e testamos os quadrados dos resíduos padronizados de cada ajuste através do teste de
Ljung-Box multivariado, a fim de verificar se os mesmos não são correlacionados. Isso é
importante para verificar se restaram nos quadrados dos resíduos alguma heterocedasti- cidade condicional não captada pelos modelos, e esperamos que as conclusões dos testes para a série inteira se mantenham no procedimento de janela móvel. Assim como no caso univariado, testa-se a hipótese nula de ausência de correlação baseados em uma distri- buição qui-quadrado assintótica, e os p-valores resultantes para 10, 20 e 30 defasagens podem ser encontrados na Tabela 5.5. Percebe-se que os únicos modelos a rejeitarem a hipótese nula de ausência de autocorrelação nos quadrados dos resíduos ao nível de 5% de significância foram os modelos O-GARCH e o O-GJR-GARCH, indicando que estes modelos não capturaram bem a dependência. Os demais modelos apresentaram p-valores acima de 0,22, com exceção do GO-GARCH para 30 defasagens.
Tabela 5.5: P-valores resultantes do teste Ljung-Box multivariado com 10, 20 e 30 defa- sagens para os modelos da primeira coluna.
Modelo 10 lags 20 lags 30 lags
CCC 0,56 0,47 0,54 DCC 0,81 0,47 0,62 ADCC 0,81 0,47 0,63 cDCC 0,84 0,51 0,64 GO-GARCH 0,63 0,29 0,06 GO-GJR-GARCH 0,51 0,22 0,59 O-GARCH ≤10−4 ≤10−4 ≤10−4 O-GJR-GARCH ≤10−4 ≤10−4 ≤10−4
5.2.1
Resultados da Aplicação
Ajustamos os oito modelos descritos para o conjunto de dados, e computamos as 1000 previsões um passo à frente via o processo de janela móvel descrito na seção anterior. Em seguida, aplicamos as medidas de avaliação do Capítulo 3 nos ajustes de cada modelo, e sintetizamos os resultados nas Tabelas 5.6, 5.7 e 5.8. Das medidas apresentadas no Capí- tulo 3, apenas o VaR não foi utilizado pois, nas aplicações, as distribuições marginais são conhecidas, mas diferentes da gaussiana e t-Student. Apesar da distribuição multivariada condicional adotada na quase-verossimilhança ter sido a gaussiana, ela não é a adequada
na aplicação. Uma possível solução seria utilizar cópulas ou distribuição empírica, mas isto está fora dos objetivos da dissertação.
As Tabelas 5.6 a 5.8 apresentam os modelos que apresentaram o melhor desempenho dado cada critério destacado e, na sequência, explicaremos cada um.
Tabela 5.6: Modelos que apresentaram o melhor desempenho para os critérios destacados para as carteiras do static portfolio performance.
Static Portfolio Performance
Critério Carteira de 10 ativos Carteiras Long-Long Carteiras Long-Short
^𝜌2 cDCC/GO-GARCH CCC/DCC/ADCC/cDCC DCC/ADCC
(1 − ^𝜇)2 DCC DCC ADCC
Tabela 5.7: Modelos que apresentaram o melhor desempenho para os critérios destacados para as carteiras do tracking error minimization.
Critério Tracking Error Minimization
Tracking Error ADCC
(Excessor de Retorno)2 ADCC
Excesso de Variância CCC
A Tabela 5.6 é referente às carteiras do static portfolio performance. Aplicamos a medida para o caso da carteira com todos os 10 ativos estudados, com pesos iguais e, assim como em Engle e Sheppard (2008), para as carteiras compostas de dois a dois ativos em posições compradas (long-long), e carteiras compostas de dois a dois ativos em posições opostas (long-short), resultando em 45 combinações de carteiras diferentes tanto nas carteiras long-long, quanto nas carteiras long-short. Dessa forma, calculamos, os ^𝜌2
e (1 − ^𝜇)2 para cada carteira, e calculamos suas médias entre as 45 carteiras long-long e
long-short. Estes resultados se encontram na quarta e quinta coluna da Tabela B.1 no
Apêndice B.
Assim como no estudo de simulação, os modelos de correlação condicionais se desta- caram em termos de desempenho sobre os modelos de fatores, que foram notadamente piores. Dos modelos de fatores, dentre os melhores desempenhos, apenas o GO-GARCH apresentou um destaque, que foi para o ^𝜌2 na carteira de 10 ativos, juntamente com o
em termos de desempenho, seguido do ADCC e pelo cDCC.
Na Tabela 5.7, os resultados apresentados são referentes às carteiras formadas pelo
tracking error minimization. Nesta medida de avaliação, dez carteiras compostas por
nove ativos foram construídas, cada uma buscando replicar o ativo benchmark que ficou fora de sua composição. Assim, para medir o desempenho dos modelos, foram calculadas as médias dos tracking errors como na Equação (3.1.11), dos quadrados dos excessos de retornos, descrito na Subseção 3.3.3, e dos módulos dos excessos de variância entre as 10 carteiras. Os resultados se encontram na primeira, segunda e terceira coluna da Tabela B.2 no Apêndice B.
Nos critérios formados pela medida tracking error minimization, o destaque vai para o modelo ADCC, que apresentou os melhores desempenhos para o tracking error e o quadrado do excesso de retorno, seguido do melhor desempenho pelo modelo CCC para o módulo do excesso de variância. Como vimos no estudo de simulação, o modelo ADCC também foi o mais frequentemente selecionado, quando correto e, junto do modelo DCC, apresentaram o melhor desempenho geral. Todos os modelos de fatores se mostraram muito ineficientes em relação aos demais, principalmente os modelos O-GARCH e O- GARCH-GJR, que apresentaram quase o dobro dos valores para os quadrados dos excessos de retorno e os módulos do excesso de variância em relação às suas versões generalizadas GO-GARCH e GO-GJR-GARCH. O modelo GO-GARCH foi o que mais perdeu eficiência quando não era o modelo correto no estudo de simulação.
A Tabela 5.8 apresenta os modelos mais eficientes para os critérios aplicados às car- teiras de mínima variância. Para a carteira de mínima variância, assim como Engle e Sheppard (2008), estudamos os casos:
1. Sem restrições aos pesos de cada ativo que compõe a carteira (CMV 1);
2. Somente posições compradas (long) podem ser tomadas para os ativos (CMV 2); 3. Cada ativo pode ter um máximo de peso de 10% na posição vendida (short) (CMV
3);
Tabela 5.8: Modelos que apresentaram o melhor desempenho para os critérios destacados para as carteiras de mínima variância.
Critério CMV 1 CMV 2
Retorno Observado cDCC cDCC
Retorno Observado líquido GO-GARCH-GJR GO-GARCH-GJR
Variância Observada DCC CCC
Excesso de Variância DCC DCC
Turnover O-GARCH GO-GARCH-GJR
^𝜎2 DCC CCC
Índice de Sharpe cDCC cDCC
Índice de Sharpe líquido O-GARCH/O-GARCH-GJR GO-GARCH-GJR
Relative Performance DCC CCC
CMV 3 CMV 4
Retorno Observado cDCC cDCC
Retorno Observado líquido GO-GARCH-GJR GO-GARCH-GJR
Variância Observada DCC DCC
Excesso de Variância DCC DCC
Turnover GO-GARCH-GJR GO-GARCH-GJR