2.3 Estimação e Previsão
3.2.3 Valor em Risco
Segundo Jorion (1997, p. 22), o VaR é a máxima perda esperada de um investimento em um horizonte de tempo a um dado nível de confiança. Ou seja, o VaR descreve o quantil das perdas de um investimento em um horizonte de tempo. Portanto, se a probabilidade escolhida da perda exceder o VaR for 𝑝, o VaR ao nível 100(1 − 𝑝)% é denotado por VaR100(1−𝑝)%. Dessa forma, por exemplo, a probabilidade do retorno da carteira ter uma
perda maior do que o VaR95% é igual a 0,05.
Para demonstrar como é calculado o VaR, vamos supor que estamos interessados em saber o risco de uma posição financeira no período de tempo. Denote por 𝑟𝑃
𝑡 o retorno de uma carteira do tempo 𝑡 e 𝐹𝑡(·) sua função de distribuição. Assim, para o VaR𝑡 de uma
posição comprada no período de um dia dada uma probabilidade 𝑝, temos que:
𝑝= Pr(𝑟𝑃𝑡 ≤ −VaR𝑡|ℱ𝑡−1) = 𝐹𝑡(−VaR𝑡). (3.2.5)
Portanto, a probabilidade de interesse 𝑝 e a função de distribuição acumulada 𝐹𝑡(·) são fatores importantes para se determinar o cálculo do VaR.
Para avaliar o VaR, será utilizado o número de vezes que perda observada ultrapassou o intervalo de confiança estimado, ou seja, o número de violações. Além disso, serão utili- zados os testes propostos por Kupiec (1995), com o teste de cobertura incondicional, e por Christoffersen (1998) com os testes de cobertura condicional e de teste de independência. Apresentamos esses testes a seguir.
• Teste de Cobertura Incondicional
O teste de cobertura incondicional procura encontrar se a probabilidade de cobertura,
𝑝𝑐 é igual ao nível de confiança adotado. Ou seja, interessa testar H0 : 𝑝𝑐 = 1 − 𝑝, em
que 𝑝 é a probabilidade associada ao VaR adotada. Para 𝑋 sendo o número de violações e 𝑛 = (𝑇 − 𝑅) sendo o número de coberturas testadas, a estatística do teste de razão de verossimilhança é definida como
RV𝐶𝐼 = 2ln [︃ (1 − (𝑋/𝑛))𝑛−𝑋(𝑋/𝑛)𝑋 (1 − 𝑝)𝑛−𝑋𝑝𝑥] ]︃ , (3.2.6)
que, sob a hipótese nula, segue assintoticamente uma distribuição 𝜒2
1. Caso a hipótese
nula seja rejeitada, o VaR calculado pelo modelo pode ser considerado impreciso. Se o número de violações for maior que o nível de confiança estipulado, o risco está sendo subestimado e, caso o contrário ocorra, o risco estará sendo superestimado.
O ponto fraco desse teste é que ele não leva em consideração a existência ou não de dependência serial entre as violações. Ou seja, o VaR de um modelo pode estar bem estimado em termos da média de cobertura, mas pode acabar produzindo conglomerados de violações.
Para detectar esse problema, temos o teste de dependência das violações que, sob a hipótese nula, uma violação em 𝑡 não influencia na probabilidade de violação em 𝑡 + 1. Primeiro, vamos definir a função:
𝐼𝑡= ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1, se 𝑟𝑡 < −VaR𝑡 0, c.c.,
ou seja, a função assume valor 1 caso seja uma violação, e 0 no caso contrário. Tal função pode ser tratada como uma cadeia de Markov de primeira ordem que, sob a hipótese alternativa de dependência, possui a matriz de transição:
Π1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ (1 − 𝜋01) 𝜋01 (1 − 𝜋11) 𝜋11 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , (3.2.7)
em que 𝜋𝑖𝑗 = P(𝐼𝑡 = 𝑗|𝐼𝑡−1 = 𝑖). A verossimilhança associada, condicionada à primeira observação, é dada por:
L(Π1; 𝐼2, . . . , 𝐼𝑁|𝐼1) = (1 − 𝜋01)𝑛00𝜋01𝑛01(1 − 𝜋11)𝑛10𝜋𝑛1111, (3.2.8)
em que 𝑛𝑖𝑗 é o número de 𝐼𝑡 que possuem o valor 𝑖 seguidas do valor 𝑗. O estimador de máxima verossimilhança da matriz de transição Π1 é
^ Π1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑛00 𝑛00+𝑛01 𝑛01 𝑛00+𝑛01 𝑛10 𝑛10+𝑛11 𝑛11 𝑛10+𝑛11 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ . (3.2.9)
Agora, sob a hipótese H0 = independência serial das violações, temos que 𝜋01= 𝜋11=
𝜋0, resultando na matriz de transição
Π2 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ (1 − 𝜋0) 𝜋0 (1 − 𝜋0) 𝜋0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , (3.2.10)
e verossimilhança dada por
L(Π2; 𝐼2, . . . , 𝐼𝑁|𝐼1) = 𝜋
(𝑛00+𝑛10)
que é maximizada quando ^𝜋0 = 𝑛00+𝑛𝑛0010+𝑛+𝑛1001+𝑛11.
Por fim, chegamos à estatística do teste da razão de verossimilhanças da forma: RV𝐷𝑆 = 2ln [︃ L(Π1; 𝐼2, . . . , 𝐼𝑁|𝐼1) L(Π2; 𝐼2, . . . , 𝐼𝑁|𝐼1) ]︃ , (3.2.12)
que também segue assintoticamente uma distribuição 𝜒2
1 sob a hipótese nula.
• Teste de Cobertura Condicional
A fim de combinar os dois últimos testes, ou seja, testar a hipótese nula para a igual- dade entre a média da proporção das violações e a proporção esperada e a independência serial das violações, temos o teste de cobertura condicional, que é a junção das duas estatísticas de forma que:
𝑅𝑉𝐶𝐶 = 𝑅𝑉𝐶𝐼 + 𝑅𝑉𝐷𝑆, (3.2.13)
que segue assintoticamente uma distribuição 𝜒2
2 sob a hipótese nula.
Outra abordagem utilizada neste trabalho para análise do VaR foi o uso da metodologia de Giacomini e White (2006) como usada no artigo de Santos et al. (2013), que compara os VaR obtidos a partir de estimativas diferentes das matrizes de covariâncias através do teste CPA. Para isso, utilizamos uma função perda assimétrica:
L𝑝
𝑡 = (𝑝 − 𝐼(𝑒𝑡<0))𝑒𝑡, (3.2.14)
em que 𝑝 é a probabilidade associada ao VaR estudado, e 𝑒𝑡 = 𝑟𝑃
𝑡 + VaR
(1−𝑝)
𝑡 , sendo que VaR(1−𝑝)
𝑡 é o VaR com (1 − 𝑝) de confiança. Essa função perda é a função implícita de quando o objeto de interesse é a estimativa de um quantil 𝑝 em particular da distribuição condicional de 𝑟𝑃
𝑡 , e a penalização aumenta quanto maior for o tamanho da violação (ver Giacomini e Komunjer (2005)). Portanto, podemos comparar os resultados da Equação (3.2.14) para diferentes previsões do VaR.
através de um teste Wald do tipo: CPA𝑝 = 𝑛 (︃ 𝑛−1 𝑛−1 ∑︁ 𝑡=1 𝐽𝑡LD𝑝𝑡+1 )︃′ ^Ω−1 (︃ 𝑛−1 𝑛−1 ∑︁ 𝑡=1 𝐽𝑡LD𝑝𝑡+1 )︃ , (3.2.15) em que LD𝑝
𝑡+1 é a diferença da função perda entre dois modelos, 𝐽𝑡 = (1, LD 𝑝
𝑡) e ^Ω−1 é uma estimativa consistente da matriz de covariâncias de 𝐽𝑡LD𝑝𝑡+1. Sob a hipótese nula, a estatística segue uma distribuição 𝜒2
Capítulo 4
Simulação de Monte Carlo
Denote por 𝑃𝑖, 1 = 1, · · · , 4 os quatro modelos utilizados como processos geradores de dados e por 𝑀𝑗, 𝑗 = 1, · · · , 4 os modelos ajustados, onde 𝑃𝑖 = 𝑀𝑖, 1 = 1, · · · , 4. Para
alcançar os objetivos da dissertação serão geradas 1000 séries para cada processo gerador de dados 𝑃𝑖, 1 = 1, · · · , 4 e para cada série serão ajustados os modelos 𝑀𝑗, 𝑗 = 1, · · · , 4, para a construção de carteiras, e realizadas as seguintes análises:
1. Desempenho das medidas como critério de seleção: uma medida de desempenho é considerado como um bom critério de seleção se, dado um processo gerador de dados
𝑃𝑖, o critério seleciona o modelo 𝑀𝑖, qualquer que seja o processo gerados de dados.
2. Desempenho das medidas como diagnóstico: uma medida de desempenho pode ser utilizado como um teste de diagnóstico se, dada uma série gerada por um processo gerador de dados 𝑃𝑖, e utilizado o modelo 𝑀𝑗, a probabilidade de rejeitar a hipótese de que o modelo é adequado é próximo do nível de significância quando 𝑗 = 𝑖 e alto quando 𝑗 ̸= 𝑖.
3. Perda de eficiência. Ao contrário dos casos anteriores onde eram comparados as medidas de performance, neste caso estamos analisando os modelos. Para cada série gerada por um processo gerador de dados, 𝑃𝑖, 1 = 1, · · · , 4, são construídas carteiras utilizando-se os modelos 𝑀𝑗, 𝑗 = 1, · · · , 4. Dado um processo gerado de dados 𝑃𝑖, um modelo 𝑀𝑗 tem pouca perda de eficiência em relação ao modelo 𝑀𝑖,
segundo uma dada medida de desempenho, quando seu desempenho é próximo do desempenho quando o modelo correto 𝑀𝑖 é utilizado.
Na Seção 4.1 são apresentados os modelos utilizados, os processos geradores de dados para as simulações e os métodos de simulação e estimação. Na Seção 4.2, temos os resultados dos ajustes e aplicações das medidas de avaliação estatísticas e econômicas, a fim de estudar a funcionalidade das mesmas como critérios de seleção. Já na Seção 4.3, as medidas são utilizadas como critérios de diagnóstico de modelos e, na Seção 4.4, apresentamos o estudo da perda de desempenho. Por fim, na Seção 4.5, temos uma síntese de todo o estudo de simulação de Monte Carlo.