Este trabalho está divido em seis capítulos. No Capítulo 2 serão introduzidas algumas definições comumente utilizadas em trabalhos da área de finanças, os modelos GARCH e MGARCH mais usuais na literatura, os modelos que serão utilizados nesta dissertação, bem como seus métodos de estimação mais comuns, previsão e algumas vantagens e desvantagens dos modelos.
O Capítulo 3 contém as medidas de avaliação que serão utilizadas nos estudos de simu- lação e aplicação em dados reais. Esse capítulo contém quatro medidas estatísticas e três medidas econômicas sendo elas, respectivamente: static portfolio performance, carteira de mínima variância, tracking error minimization, relative performance, turnover, índice de Sharpe e VaR.
O estudo de simulação de Monte Carlo se encontra no Capítulo 4. Nele, utilizamos os modelos BEKK, DCC, ADCC, e o modelo GO-GARCH, tanto para a geração de dados, quanto para a construção de carteiras. Assim, serão aplicadas as medidas apresentadas no Capítulo 3 como critérios de seleção, diagnóstico e desempenho de modelos.
Já, no Capítulo 5, utilizaremos séries reais de retornos de ativos brasileiros. São eles 10 ações de alta liquidez de empresas de diferentes setores da economia. Os modelos utilizados na aplicação serão: CCC, DCC, ADCC, cDCC, O-GARCH e o GO-GARCH. As mesmas medidas do Capítulo 3 serão utilizadas para avaliar o desempenho de cada modelo.
Por fim, no Capítulo 6, encontram-se a síntese e conclusões sobre o presente trabalho, acerca do estudo dos diversos modelos e medidas de avaliação econômicas e estatísticas.
Capítulo 2
Modelos para a Volatilidade de
Séries Temporais
Seja 𝑃𝑡 uma série de preços no tempo 𝑡, o retorno 𝑅𝑡 no período [𝑡 − 1, 𝑡] é dado pela variação relativa dos preços nesse período:
𝑅𝑡= 𝑃𝑡− 𝑃𝑡−1 𝑃𝑡−1 = Δ𝑃𝑡 𝑃𝑡−1 . (2.0.1)
Outra forma de calcular a rentabilidade é através do "retorno composto continua- mente", ou mais conhecido por "log-retorno":
𝑟𝑡= log
𝑃𝑡
𝑃𝑡−1
= log(1 + 𝑅𝑡) = 𝑝𝑡− 𝑝𝑡−1, (2.0.2)
em que 𝑝𝑡 = log 𝑃𝑡 e, para 𝑅𝑡 pequeno, log(1 + 𝑅𝑡) ≈ 𝑅𝑡. No presente trabalho, será utilizada a definição de retorno dada em (2.0.1).
No caso das séries financeiras, geralmente se trabalha com grandes conjuntos de dados, sendo destacada a importância da frequência a ser utilizada: por minuto, horária, diária, mensal, etc. Outra característica importante das séries financeiras é a existência dos chamados "fatos estilizados": propriedades estatísticas frequentemente encontradas em séries financeiras.
Francq e Zakoian (2011, p. 7–10) descrevem os principais fatos estilizados para séries de retornos financeiros diários:
• Estacionariedade das séries de retornos: ao contrário das séries de preços, que são não-estacionárias;
• Ausência ou baixa autocorrelação nas séries de retornos: as séries de retorno apre- sentam pequenas autocorrelações, tornando-as próximas a um ruído branco;
• Presença de autocorrelação nos quadrados dos retornos;
• Conglomerados de volatilidade: pequenas variações tendem a ser sucedidas por pe- quenas variações, e grandes variações tendem a ser sucedidas por grandes variações, gerando a tendência de valores de pequenas variações de retorno ocorrerem agrupa- dos, o mesmo ocorrendo com grandes variações de retornos;
• Distribuições com caudas mais pesadas em relação à distribuição normal;
• Efeito alavancagem: o efeito alavancagem remete à assimetria dos impactos sobre a volatilidade causado por retornos positivos e negativos. Em geral, retornos negativos impactam mais a volatilidade do que retornos positivos;
• Sazonalidade: em dados intradiários pode existir um efeito da hora do dia na vo- latilidade (hora seguinte à abertura ou próxima ao fechamento, por exemplo); em dados diários pode existir o efeito do dia da semana.
Os modelos de ajuste da volatilidade foram propostos para tentar reproduzir os fatos estilizados. Ao longo deste capítulo, serão apresentadas e descritas algumas formas en- contradas na literatura de se modelar a volatilidade através da abordagem das famílias dos modelos GARCH e MGARCH. Primeiramente, na Seção 2.1, será introduzido o mo- delo pioneiro de heterocedasticidade condicionada aos valores passados da série: o modelo ARCH, e sua generalização para o popular GARCH. Ainda, será descrito uma de suas versões assimétricas, o GJR-GARCH, e algumas outras extensões. Já na Seção 2.2, apre- sentaremos os seguintes modelos GARCH multivariados e como os mesmos modelam as matrizes de covariâncias: VEC, BEKK, DCC, cDCC, ADCC e GO-GARCH. Esta não é uma revisão exaustiva de modelos GARCH, uma lista mais completa pode ser encontrada em Bollerslev (2008).
2.1
Modelos de Volatilidade Univariados
A volatilidade é uma variável não observável, e a tentativa de estimá-la tem sido de grande interesse, tanto do mercado, quanto da academia, devido, principalmente, a grande utilidade em problemas relacionados ao mercado financeiro. Engle (1982) introduziu na literatura o modelo ARCH, que teve sua generalização proposta por Bollerslev (1986) com o modelo GARCH. Esses modelos se tornaram muito populares na literatura e, na sequência, explicaremos com mais detalhes esses modelos e algumas generalizações.
2.1.1
ARCH
No modelo autorregressivo de variância condicional heterocedástica de Engle (1982), o processo de retornos, {𝑟𝑡} satisfaz:
𝑟𝑡= 𝜇𝑡+ 𝜎𝑡𝜖𝑡, 𝑡 ∈ Z, (2.1.1) em que 𝜇𝑡é a média condicionada às informações passadas que, por simplificação, pode ser considerada nula, e 𝜖𝑡é uma sequência de variáveis aleatórias independentes (denominadas inovações), com média zero e variância igual a um. Temos também que 𝜖𝑡é independente de 𝜎𝑡−𝑗 e 𝑟𝑡−1−𝑗, para 𝑗 = 0, 1, . . . As distribuições mais usuais na literatura que se assume para as inovações são: distribuição normal (Engle, 1982), t-Student ou t-Student assimétrica (Bollerslev, 1987), e distribuição generalizada de erro ou GED (Nelson, 1991). Adicionalmente, seja ℱ𝑡 o conjunto de informações até o período de tempo 𝑡. Então a distribuição condicionada dos retornos, i.e., 𝑟𝑡|ℱ𝑡−1, tem média zero e variância 𝜎2
𝑡. A variável 𝑟𝑡 segue um processo ARCH(q) se 𝜎2
𝑡 for dado por:
𝜎2𝑡 = 𝜔 +
𝑞
∑︁
𝑖=1
𝛼𝑖𝑟𝑡−𝑖2 , (2.1.2)
em que 𝜔 > 0, 𝛼𝑖 ≥ 0, sendo as condições suficientes para que 𝜎2
𝑡 ≥ 0. A condição de estacionariedade é∑︀𝑞
2.1.2
GARCH
Posteriormente, uma extensão do modelo ARCH foi apresentada por Bollerslev (1986) através dos modelos ARCH generalizados (GARCH). No processo GARCH(p,q) a variân- cia condicional 𝜎2 𝑡 é dado por: 𝜎2𝑡 = 𝜔 + 𝑞 ∑︁ 𝑖=1 𝛼𝑖𝑟𝑡−𝑖2 + 𝑝 ∑︁ 𝑗=1 𝛽𝑗𝜎2𝑡−𝑗, (2.1.3)
em que 𝑝 ≥ 0, 𝑞 > 0, e as condições suficientes para a positividade de 𝜎2
𝑡 são 𝜔 > 0,
𝛼𝑖 ≥0, 𝑖 = 1, . . . , 𝑞, 𝛽𝑗 ≥0, 𝑗 = 1, . . . , 𝑝.
Como descrito em Francq e Zakoian (2011, p. 29–30), a condição para se atingir a estacionariedade estrita em modelos GARCH está baseada no conceito do expoente de Lyapunov 𝛾 . Definindo uma sequência de matrizes aleatórias {A𝑡, 𝑡 ∈ Z}, de dimensão (𝑝 + 𝑞) × (𝑝 + 𝑞) da forma: A𝑡 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝛼1,𝑡𝜖2𝑡 · · · 𝛼𝑞,𝑡𝜖2𝑡 𝛽1,𝑡𝜖2𝑡 · · · 𝛽𝑝,𝑡𝜖2𝑡 1 0 · · · 0 0 · · · 0 0 1 · · · 0 0 · · · 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 · · · 1 0 0 · · · 0 0 𝛼1 · · · 𝛼𝑞 𝛽1 · · · 𝛽𝑝 0 · · · 0 1 0 · · · 0 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 · · · 0 0 0 · · · 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , (2.1.4)
temos que a restrição necessária e suficiente para a existência da estacionariedade estrita do modelo GARCH(𝑝, 𝑞), como definido na Equação (2.1.3), é que o coeficiente de Lya- punov relacionado à sequência {A𝑡, 𝑡 ∈ Z} seja menor que zero, ou seja, 𝛾 < 0, em que:
𝛾 = inf 1
sendo ||·|| qualquer norma no espaço das (𝑝 + 𝑞) × (𝑝 + 𝑞) matrizes.
A condição de estacionariedade estrita é complicada, sendo geralmente utilizadas nas aplicações as condições suficientes de estacionariedade de segunda ordem, que no modelo geral GARCH(𝑝, 𝑞) é∑︀𝑞
𝑖=1𝛼𝑖+∑︀𝑝𝑗=1𝛽𝑗 <1 para 𝜔 > 0. A soma dos 𝛼𝑖 e 𝛽𝑖 é conhecida como "persistência"do modelo.
Satisfeita a condição de estacionariedade de segunda ordem, a variância incondicional é igual a
𝜎2 = 𝜔
1 −∑︀𝑞
𝑖=1𝛼𝑖−∑︀𝑝𝑗=1𝛽𝑗
. (2.1.6)
Devido a sua simplicidade, é mais comum encontrar o uso do GARCH(1,1) na litera- tura, descrito como segue:
𝜎2𝑡 = 𝜔 + 𝛼𝑟𝑡−12 + 𝛽𝜎𝑡−12 , (2.1.7)
em que 𝛼 + 𝛽 < 1 é a restrição para atingir a estacionariedade de segunda ordem. Ver mais detalhes sobre as condições de estacionariedade estrita e de segunda ordem em Nelson (1990), Bougerol e Picard (1992) e Nelson e Cao (1992).
2.1.3
GJR-GARCH
Introduzido na literatura por Glosten et al. (1993), o modelo GJR-GARCH possui as iniciais dos nomes de seus autores. Atualmente é um dos modelos mais populares e utilizados na literatura que incorporam o efeito alavancagem. Este modelo possui uma relação próxima ao Threshold GARCH (TGARCH), de Zakoian (1994) e ao Asymmetric
Power ARCH (APARCH), de Ding et al. (1993). Sua estrutura é a seguinte:
𝜎2𝑡 = 𝜔 + 𝑞 ∑︁ 𝑖=1 𝛼𝑖𝑟2𝑡−𝑖+ 𝑝 ∑︁ 𝑗=1 𝛽𝑗𝜎2𝑡−𝑗+ 𝑞 ∑︁ 𝑖=1 𝛿𝑖𝑟2𝑡−𝑖I(𝑟𝑡−𝑖 <0), (2.1.8) em que 𝜔 > 0, 𝛼𝑖 ≥ 0, 𝛽𝑗 ≥ 0, 𝛿𝑖 é o parâmetro de alavancagem e I(.) é uma função indicadora que assume o valor 1 se o argumento entre parênteses for verdadeiro, e 0 caso contrário.
Em Duan et al. (2006) temos as condições de positividade e estacionariedade para o GJR-GARCH(p,q) em distribuições simétricas, que são: 𝜔 > 0; 𝛼𝑖, 𝛽𝑖 ≥0; ∑︀𝑞
𝑖=1𝛼𝑖+ 𝛿𝑖 ≥ 0;∑︀𝑞 𝑖=1𝛼𝑖+∑︀ 𝑝 𝑗=1𝛽𝑗 + 0, 5∑︀ 𝑞 𝑖=1𝛿𝑖 <1.
Já na forma mais simples, no caso GJR-GARCH(1,1,1), em que os índices correspon- dem às ordens dos parâmetro 𝛼𝑖, 𝛽𝑖 e 𝛿𝑖, respectivamente, temos:
𝜎𝑡2 = 𝜔 + 𝛼𝑟𝑡−12 + 𝛽𝜎𝑡−12 , se 𝑟𝑡−𝑖 ≥0; (2.1.9)
𝜎𝑡2 = 𝜔 + (𝛼 + 𝛿)𝑟𝑡−12 + 𝛽𝜎2𝑡−1, se 𝑟𝑡−𝑖<0, (2.1.10)
em que as condições de positividade e estacionariedade são, respectivamente: 𝜔 > 0, 𝛼,
𝛽, 𝛿 ≥ 0, e 𝛿 < 2(1 − 𝛼 − 𝛽). Desta forma, caso retornos negativos tenham maior impacto
na volatilidade do que retornos positivos, temos que o coeficiente 𝛿 deve ser positivo. Satisfeitas essas condições, a variância incondicional é dada por
𝜎2 = 𝜔
1 − 𝛼 − 𝛽 − 0, 5𝛿. (2.1.11)
2.1.4
Outros Modelos
Desde a introdução dos modelos ARCH e GARCH na literatura, uma série de extensões univariadas surgiram, criando uma vasta gama de opções para esse tipo de modelagem. Na sequência, serão mencionadas algumas versões conhecidas que ainda não foram citadas neste trabalho.
Desenvolvido por Engle et al. (1987), temos o ARCH-M, que incorpora o prêmio pelo investidor segurar posições de risco, e de que modo esse prêmio varia no tempo.
O GARCH integrado (IGARCH), proposto por Engle e Bollerslev (1986), impõe que a soma dos parâmetros 𝛼𝑖 e 𝛽𝑖 associados aos quadrados dos retornos e variâncias, seja igual a um, implicando uma persistência igual a um.
O GARCH integrado fracionalmente (FIGARCH), de Baillie et al. (1996), permite ordens fracionadas de integração no polinômio autorregressivo da representação ARMA.
Já Nelson (1991) introduziu na discussão o efeito alavancagem através do modelo EGARCH. Além disso, o mesmo traz uma nova parametrização para 𝜎2
𝑡 que retira as restrições para se atingir a positividade de 𝜎2
𝑡 .
Para alguns outros modelos GARCH, ver,por exemplo, Higgins e Bera (1992) (NGARCH), Bollerslev (1987) (GARCH-t), Sentana (1995) (GQARCH) e Klüppelberg et al. (2004) (COGARCH).