DE PHILIPPE DE LA HIRE DE 1679.
O USO DA CARACTERIZAÇÃO BIFOCAL.
As proposições foram justificadas essencialmente através da caracterização bifocal. Observando a tabela anterior, podemos verificar que todas as proposições de todas as três cônicas usaram a definições inicial, ou seja, a caracterização feita a partir dos focos das cônicas foi utilizada direta ou indiretamente (através de uma proposição que usou diretamente a definição) na demonstração das 61 proposições do texto. O uso foi direto em 19 proposições e indireto em 42 proposições.
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Capítulo 6 - Descrição e Comentários Sobre a Obra A INTERAÇÃO ENTRE AS PROPOSIÇÕES.
O texto mostrou-se bastante encadeado. A maior parte das proposições (35) foi usada para demonstrar proposições seguintes. Já em 26 delas, não houve aproveitamento para proposições seguintes. Abaixo, serão listadas estas proposições que não foram utilizadas para resultados posteriores:
• Parábola: II, III, V, VIII, XV, e XVII. (total = 6)
• Elipse: V, VII, VIII, IX, X, XII, XIX e XX. (total = 8)
• Hipérbole: III, V, VII, VIII, X, XV, XVI, XVIII, XX, XXII, XXIII e XXIV. (total = 12)
A LINGUAGEM GREGA.
O USO DE EQUIVALêNCIA ENTRE POLÍGONOS
La Hire utilizou no texto das proposições e das demonstrações a equivalência entre polígonos com grande freqüência. A seguir, serão citadas as proposições onde este uso de polígonos com áreas iguais aparece:
• Parábola (I, X, XI, XII e XIV)
• Elipse (I, II, III, IV, V, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX e XX)
• Hipérbole (I, III, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XXI, XXII e XXIII)
Ao todo, somando as 5 de parábola, as 13 de elipse e as 16 de hipérbole, totalizam 34 proposições que utilizam a equivalência de áreas.
AS PROPRIEDADES MAIS FREQüENTES NAS DEMONSTRAÇÕES
Na tabela anterior que mostrou as ferramentas mais utilizadas, vemos que tirando as próprias proposições do texto, as idéias geométricas mais comuns usadas como argumento de demonstração foram as seguintes:
• Semelhança de triângulos • Propriedade transitiva • Paralelismo
• Propriedades de proporção
Estas 4 idéias, além da Equivalência entre Áreas, fazem parte da linguagem usual grega. Ou seja, o que La Hire afirma no prefácio sobre o uso
dos primeiros 6 livros dos “Elementos” de Euclides se confirma. Ele realmente utiliza apenas a linguagem sintética típica da matemática grega.
A DEFINIÇÃO DE “TANGENTE”.
A definição de “Tangente” a uma cônica foi feita por La Hire exigindo que seus pontos fossem exteriores à cônica (exceto o ponto da tangência) na parábola e na hipérbole. Faltam as páginas do original em francês da parte de elipse. Nas provas onde aparece a reta tangente, ele não fez a demonstração da segunda parte (que exige que a reta tenha apenas pontos exteriores). Isso nos leva a desconfiar que ele possa não ter definido a reta tangente à elipse da mesma forma que fez com as outras duas. A tradução para o inglês não contém essa exigência. Assim, ele pode não ter exigido que os pontos fossem exteriores, talvez pelo fato da elipse ser a única curva fechada entre as três apresentadas e, Consequentemente, fica mais clara a noção de interior e exterior. La Hire, talvez, tenha tirado a exigência da reta tangente ser exterior por achar tal característica clara e perceptível.
AS DEFINIÇÕES CONFLITANTES DE “ORDENADA” E “DIâMETRO”.
La Hire define “Ordenada” para a hipérbole e “Diâmetro” da parábola, da elipse e da hipérbole de uma forma, mas durante o texto os utiliza outra maneira.
No caso da Ordenada, a definiu como a distância de um ponto da cônica até o eixo, mas utilizou também o mesmo termo para o segmento que é o dobro da definição anterior, ou seja, que une dois pontos da cônica através de uma perpendicular ao eixo (proposição 14 de hipérbole, páginas 130 em La Hire [6] e 98 em Robinson [7]).
No caso do diâmetro da parábola, o definiu como uma semi-reta (embora não use esse termo), mas o utilizou como reta (corolário da proposição 5, corolário da proposição 7 e problema 3 da parte 4). Neste caso, podemos desconfiar da origem dessa dupla utilização pelo fato de ele tratar o diâmetro como uma linha. Esta possui um conceito mais abrangente, podendo significar tanto reta como semi-reta.
No caso do diâmetro da elipse e da hipérbole (demonstração da proposição 20 de hipérbole), ele chamou também por “Diâmetro” aquilo que chamaríamos semidiâmetro, ou seja, metade do diâmetro.
A GENERALIZAÇÃO DO CONCEITO DE “PARâMETRO DO EIXO”.
O conceito de “Parâmetro do Eixo Determinado” usado por La Hire para a hipérbole 4 . ID . DT / IT se aplica, na verdade, para as três curvas (no caso da elipse, chamou por “Parâmetro do Grande Eixo”), como foi citado durante este capítulo da descrição na proposição 2 de hipérbole. Sendo que, no caso da
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Capítulo 6 - Descrição e Comentários Sobre a Obra parábola, fica simplificado ao quádruplo da distância entre o foco e o vértice (4 . DT). Atualmente esse parâmetro é chamado também por Corda Focal Mínima por ser a menor das cordas que passam pelo foco.
A DEFINIÇÃO DE “FIGURA DE UM EIXO”.
La Hire definiu “Figura de um Eixo” como o produto entre o Eixo (que é um segmento) e o Parâmetro desse Eixo. Ele o fez para a elipse (tanto em relação ao Grande Eixo quanto ao Pequeno Eixo) e para a hipérbole (apenas para o Eixo Determinado, embora fosse possível fazê-lo também para o Eixo Indeterminado conforme sugerimos através da nova definição 4 no capítulo 7 das novas proposições), mas não para a parábola. O motivo é que o Eixo na parábola é uma reta (ou seja, é infinitamente grande).
A “Figura de um Eixo” equivale ao quadrado do outro Eixo. Só existe na elipse e na hipérbole pelo motivo citado acima.
A DEFINIÇÃO DE “FIGURA DE UM DIâMETRO”.
Da mesma forma, definiu “Figura de um diâmetro” como o produto do diâmetro (que é um segmento) e o Parâmetro desse diâmetro. Na elipse, definiu duas figuras para um dado par de diâmetros conjugados. Na hipérbole, apenas para o diâmetro determinado, embora fosse possível fazê-lo também para o “Diâmetro Indeterminado”. Na parábola, nenhuma definição foi feita pelo mesmo motivo citado no parágrafo anterior.
A “Figura de um Diâmetro” equivale ao quadrado do outro diâmetro. Só existe na elipse e na hipérbole pela razão acima citada.
A LOCALIZAÇÃO DA ORIGEM DOS EIXOS COORDENADOS.
Atualmente, a forma usual de se escrever as equações das cônicas coloca a origem do par de eixos ortogonais no centro da cônica (elipse e da hipérbole) e no vértice (parábola). Essa escolha simplifica as equações das cônicas, mas dificulta a interligação entre as cônicas, uma vez que a variável x tem significados diferentes para a parábola e para a elipse e a hipérbole. Se todos fossem postos no vértice, as equações da elipse e da hipérbole ficariam maiores, mas a interligação ficaria mais nítida.
O PAPEL DO EIXO QUE CONTêM OS FOCOS.
O Grande Eixo (Eixo Maior da elipse) e o Eixo Determinado (Eixo real da hipérbole) desempenham o mesmo papel e são associados a uma determinada quantidade (número). Na parábola, este segmento se transforma em reta e, assim, não pode ser associado a número algum.
EQUIVALêNCIA DE ÁREAS.
A ordenada de um diâmetro que é limitado por um ponto P da cônica é metade da corda (paralela à tangente à cônica que passa por P) que a contém. Para provar essas proposições (XIII na parábola, XVI e XVIII na elipse e XIX e XX na hipérbole), La Hire utilizou a última das proposições sobre equivalências entre áreas formadas com elementos das cônicas (XII na parábola e XV na elipse), exceto na hipérbole, uma vez que não fez essas proposições sobre equivalências de áreas. Estas proposições são feitas no capítulo das novas proposições (proposições XXVII, XXVIII e XIX do capítulo 7).
A PROPOSIÇÃO 6 DA PARÁBOLA.
Esta proposição parece ter chegado “de pára-quedas” na obra de La Hire. Ela só é enunciada para ser usada na demonstração da proposição 13 de parábola. Mas ela poderia ser enunciada de forma análoga para a elipse e para a hipérbole.
NA ELIPSE, EXISTE RETA TANGENTE EM QUALQUER DIREÇÃO.
Na hipérbole, só existem tangentes cujos ângulos com o eixo real estejam entre 90° e o ângulo formado entre a assíntota e o eixo real. Ou seja, só existem tangentes paralelas aos diâmetros Indeterminados. A partir dessa idéia, podemos entender a assíntota como uma direção que separa os “Diâmetros Determinados” dos “Indeterminados”.
LA HIRE TRABALHOU COM OBJETOS ANÁLOGOS DE FORMAS DIFERENTES.
CENTRO COMO PONTO MÉDIO DE UM DIâMETRO.
As proposições VI de elipse e IV de hipérbole são análogas, mas tiveram demonstrações diferentes. A primeira foi por absurdo supondo que o centro não dividisse o diâmetro ao meio, enquanto a segunda foi por congruência de triângulos.
DEFINIÇÃO DE “PARâMETRO DE UM EIXO”.
La Hire define Parâmetro de um Eixo como um segmento para a parábola (Proposição 1 – o quádruplo da distância entre o foco eo vértice) e como uma razão para a elipse (Proposição 5 – entre o quadrado de um eixo pelo outro eixo) e para a hipérbole (Proposição 3 – entre o retângulo cujos lados são as distâncias do foco aos dois vértices pelo outro eixo).
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Capítulo 6 - Descrição e Comentários Sobre a Obra