Após um grande período de poucos progressos no conhecimento científico no velho continente, ressurge o interesse pela legado dos gregos e, por conseqüência, pelas curvas cônicas na Europa. Dois novos métodos para visualização das cônicas surgem: um que as interpreta como projeção de um círculo e outro que utiliza retas como referências, as conhecidas coordenadas da geometria analítica.
JOHANNES WERNER E MAUROLICO
Bongiovanni (página 85 de [1]) cita René Taton para afirmar que Johannes Werner (1522) dá os primeiros passos na direção do entendimento das cônicas sob um ponto de vista projetivo. Maurolico prossegue nessa nova abordagem.
KEPLER
Kepler (1571 – 1630) pesquisa a trajetória dos planetas do sistema solar e afirma ser a elipse a curva descrita pela terra no seu movimento ao redor do sol, estando a referida estrela em um dos focos dessa elipse. Bongiovanni afirma (páginas 85 e 86 de [1]) que essa descoberta causa grande impacto e impulsiona o estudo dessas curvas. Kepler retoma a abordagem grega que parte do cone. Em outra obra (onde utiliza a hipérbole para medições do fenômeno da reflexão) faz uma apresentação unificada das cônicas. Ele obtém uma das cônicas a partir de outras, por deformação, sem se servir do cone. Através de uma interpretação mecânica e intuitiva, apresenta pela primeira vez a parábola como limite de uma elipse ou de uma hipérbole (página 86 de [1]). A sua construção da parábola utiliza a eqüidistância dos seus pontos até o foco
e até a diretriz. É pioneiro também no uso da palavra “foco”. Inova, outra vez, ao afirmar que a parábola possui o segundo foco no infinito, introduzindo esse conceito de “Infinito” na geometria, de acordo com Chasles (página 56 de [4]).
CLAUDE MYDORGE
Chasles afirma (página 88 de [4]) que Claude Mydorge (1585 – 1647) é o primeiro francês a escrever tratados sobre cônicas (1631 e 1641) retomando o legado grego. Segundo Coolidge [5], suas demonstrações são mais simples que as feitas por Apolônio. De acordo também com Bongiovanni, na página 88 de [1], ele usa pela primeira vez a palavra “parâmetro” para descrever um elemento fundamental das seções cônicas.
GRÉGOIRE DE SAINT-VICENT
Grégoire de Saint-Vicent (1584 – 1667) calcula, pela primeira vez, a área entre a hipérbole a as assíntotas, de acordo com Chasles (página 92 de [4]). Embora utilize como caracterização aquela de Apolônio, faz outras abordagens, entre elas a obtenção das cônicas por transformações geométricas partindo, por exemplo, de retas. Coolidge afirma (página 35 de [5]) que sua obra de 1647 contém 204 teoremas sobre elipse, 364 sobre parábola e 249 sobre hipérbole.
DESCARTES
Motivado pela tentativa de resolução de um famoso problema proposto por Pappus no seu sétimo livro, Descartes (1596 – 1650) lança em um apêndice do seu “Discurso do Método” as bases da “Geometria Analítica Moderna”. Seu método traz a álgebra para dentro universo predominante da geometria da época.
Bongiovanni afirma na página 100 de [1]:
"Cette méthode permet une simplification des méthodes d’Apollonius et permet l’étude de nouvelle courbes. Pour rechercher les propriétés d’une courbe il suffit de choisir comme définition une propriété géometrique caractéristique de cette courbe et de l’exprimer au moyen d’une équation entre les coordonnées d’un point quelconque de la courbe. Le traitment de cette équation permet de trouver toutes les autres propriétés de la courbe."
"Este método permite uma simplificação dos métodos de Apolônio e permite o estudo de novas curvas. Para localizar as propriedades de uma curva é só escolher como definir uma propriedade geométrica característica dessa curva e expressá-la através de uma equação entre as coordenadas de qualquer
33
Capítulo 2 - A Justificativa da Relevância da Obra
ponto da curva. O manuseio desta equação permite encontrar todas as outras propriedades da curva."
Descartes afirma que para investigar as várias propriedades geométricas de uma curva é necessário que se conheça uma delas que será usada como definição e exprimir por meio de uma equação as coordenadas de um ponto qualquer dessa curva. Inicia um novo método de classificação das curvas por meio das equações. Em outra obra, utiliza construções mecânicas simples (conhecidas como as “Construções do Jardineiro”) para a elipse e para a hipérbole. Para a primeira curva, usa um fio, dois pinos e um lápis e para a segunda, os mesmos elementos e uma régua a mais. Tais construções são justificadas de maneira imediata pela propriedade bifocal da soma e da diferença constante.
FERMAT
Fermat (1601 – 1665) também classifica as curvas pela sua equação. Seu método consiste em manipular as coordenadas de um ponto da curva até que propriedades familiares apareçam. Produz as equações das cônicas, segundo Bongiovanni (páginas 103 e 104 de [1]).
VAN SCHOOTEN
Van Schooten (1615 – 1660), discípulo de Descartes, publica um tratado “Description Organique des Coniques” que fornece vários métodos de descrição das cônicas por movimento contínuo, de acordo com Chasles (página 98 de [4]).
Entre eles, um proposto por Proclus, que gera a elipse através do movimento de um ponto contido num segmento cujas extremidades deslizam sobre um par de retas (essa construção é conhecida hoje como “Compasso Elíptico”, pois pode ser usada para uma construção mecânica da elipse).
GIRARD DESARGUES
Para Chasles (páginas 74 a 88 de [4]), Girard Desargues (1593 – 1662) trata as cônicas sem se servir do “Triângulo pelo Eixo” proposto por Apolônio, lançando as bases da geometria projetiva. Vê as cônicas como perspectivas de um círculo como base, visto a partir do vértice do cone, dentro de um plano secante de projeção que pode ser uma mesa. Isto permitiu transportar para as cônicas as propriedades válidas para o círculo. Este tratamento permitiu o primeiro tratamento unificado de diversas cônicas incluindo o círculo e um par de retas. Sua abordagem permite uma generalização maior que qualquer outra. Ao procurar as propriedades do círculo que se conservavam por perspectiva, introduziu um novo objeto matemático: a involução. Uma grande parte da
sua obra publicada em 1639 se dedica a este conceito. Parte da sua produção, inclusive o resultado que ficou conhecido como “Teorema de Desargues”, só foi descoberta em 1845 graças a uma cópia feita por Philippe de La Hire.
BLAISE PASCAL
Na mesma visão projetiva, Blaise Pascal (1623 – 1662) enuncia em sua obra de 1640 (com 17 anos!) o Teorema do Hexagrama Místico que ocupa lugar central na sua teoria de cônicas. Segundo Chasles (página 70 de [4]), este teorema produz uma aplicação importante: qualquer cônica é completamente definida por cinco pontos. Esta obra foi perdida, mas foi teve o seu início resgatado por Leibniz (1676) e, na sua totalidade, por M. Bossut (1779).
BONAVENTURA CAVALIERI, JAN DE WITT E ISAAC NEWTON Nas páginas 106 a 110 de [1], Bongiovanni afirma que Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647), Jan de Witt (1629 – 1672) e Isaac Newton (1643 – 1727) apresentam construções das cônicas a partir de retas sem se servir do cone. Este último, interessado no movimento dos planetas, tem especial interesse na geração das cônicas a partir da reta tangente que representa a velocidade do planeta. Jan de Witt é citado por La Hire no prefácio do livro “Novos Elementos das Seções Cônicas” como uma referência para a sua época, embora achasse o seu método de obtenção das cônicas confuso.
PHILIPPE DE LA HIRE
Philippe de La Hire (1640 – 1718) escreve três obras (1673, 1679 e 1685) dedicadas às seções cônicas.
Nessa época, acabara de surgir a geometria analítica de Descartes e seu status era crescente no meio matemático. La Hire escreveu a primeira e a terceira obras segundo influência da geometria sintética grega. Já a segunda obra utiliza a nova abordagem analítica nos dois últimos livros, mas mantém a linguagem sintética no primeiro livro.
1 – A primeira obra, de 1673 [8], “Nouvelle methode en geometrie pour
les sections des superfícies coniques et cylindriques qui ont pour bases des circles, ou des paraboles, des elipses, & des hyperboles” tem duas partes. Na primeira parte, enuncia 20 lemas sobre divisão harmônica que usam retas e circunferência para, em seguida, utilizá-los em 30 proposições relativas às seções de um cone. Na segunda parte, a partir de retas no plano, obtém curvas exclusivamente no plano que prova serem aquelas obtidas como seções de um cone. Denomina
35
Capítulo 2 - A Justificativa da Relevância da Obra essas curvas por “planicônicas”. Não é muito bem compreendido nessa obra, o que de alguma forma motiva o surgimento da obra de 1679.
2 – A segunda obra (1679 – tema central dessa dissertação – [6]) tem 452 páginas, fora o prefácio da primeira parte e é dividida em três livros.
O primeiro livro “Novos Elementos das Seções Cônicas” faz uma abordagem exclusivamente no plano. Caracteriza as cônicas separadamente, a partir da propriedade bifocal. Seu enfoque é sintético.
Para a elipse, utiliza como caracterização a soma das distâncias de um ponto qualquer da curva a dois pontos dados (focos) constante e igual a um segmento dado. Sua construção utiliza dois círculos centrados nos focos e cuja soma dos raios vale um segmento dado.
Para a hipérbole, a diferença constante entre as distâncias de um ponto qualquer da curva a dois pontos dados (focos) e igual a um segmento dado. Sua construção utiliza dois círculos centrados nos focos e cuja diferença dos raios vale um segmento dado.
Para a parábola, utiliza a distância de um ponto qualquer P da curva até um ponto dado (foco) igual à distância de P até uma reta dada.
Tais caracterizações são usadas, em seguida, para provar 17 proposições sobre a parábola, 20 sobre a elipse (mais dois lemas) e 24 sobre a hipérbole; ao final, faz 5 problemas de construção das cônicas a partir de outros dados que não sejam os focos.
O segundo livro “Os Lugares Geométricos” apresenta diversos lugares geométricos e as respectivas equações analíticas que os representam. Em seguida, faz uma série de definições a respeito dos lugares geométricos e apresenta modelos básicos de equações a fim de transformar equações mais complicadas nesses modelos. Por fim, associa determinadas equações a lugares geométricos pré-definidos fazendo as demonstrações. Seu enfoque é totalmente analítico.
O terceiro livro “A Construção das Equações Analíticas” faz a construção geométrica das soluções das equações analíticas, utilizando os lugares geométricos apresentados no segundo livro. Seu enfoque é também analítico. Vale frisar que essa obra de 1679 (principalmente os dois últimos livros) é citada por Boyer [2], Chasles [4] e por Fontenelle [12] como de grande relevância para a história da geometria analítica.
3 – A terceira obra, de 1685 [9] – “Sectiones conicae in novem libros
distributae” ou “Grand Livre des Sections Coniques” na tradução para o francês – é a mais abrangente entre as três obras. Volta a utilizar a divisão harmônica e a sua ocorrência no espaço. Retoma a primeira e a segunda obras e as expande, organizando as suas 304 proposições em 9 livros. No final, faz uma comparação com as proposições dos livros de Apolônio, mostrando quais foram cobertas pela sua obra, podendo o leitor comparar quais os caminhos percorridos nas suas demonstrações pelos dois autores. Esta é a obra que tornou La Hire realmente conhecido em toda a Europa. É considerado o seu livro de maior destaque, entre os mais de 13 que escreveu, conforme cita Fontenelle em [12].