MICHEL CHASLES – [4]
Michel Chasles utiliza cerca de 12 páginas das cerca de 565 do seu livro sobre métodos em geometria para La Hire, sendo 1 relativa à obra sobre a qual escrevemos.
Na página 127 de [4], afirma que diversos autores tiveram essa obra como referência:
"Dans le traité de 1679, De La Hire définit les sections coniques des courbes, telles que la somme ou la différence des distances de chacun de leurs points à deux points fixes, est constante, ou bien dont chaque point est à égale distance d’un point et d’une droite fixes. De ce seul point de départ, il conclut un grand nombre de propriétés de ces courbes.
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Capítulo 2 - A Justificativa da Relevância da Obra
Cette manière de présenter la théorie des coniques a été adoptée par plusieurs géomètres, qui en ont fait la base de leurs ouvrages; tels que marquis de Lhopital, R. Simson, Guisnée, Mauduit, etc."
Traduzindo:
“No tratado de 1679, De La Hire define as seções cônicas das curvas, de modo que a soma ou diferença das distâncias de cada um de seus pontos em dois pontos fixos é constante, ou ainda como os pontos equidistantes de um ponto e uma linha fixa. A partir desse ponto de partida, ele encontrou um grande número de propriedades destas curvas.
Esta forma de apresentar a teoria das cônicas foi adotada por um grande número de geômetras que a tomaram como base para suas obras, como Marquês de Lhopital, R. Simson, Guisnée, Mauduit, etc.“ Chasles se concentra na primeira e terceira obras e faz diversos comentários ressaltando a originalidade de La Hire. Mas indica que a obra de 1679 serviu de referência para outras obras feitas posteriormente. Entre elas destacamos a do Marquês de L’Hôpital [14] que apresentaremos mais adiante.
VINCENZO BONGIOVANNI – [1]
Nas 96 páginas do seu resumo histórico das cônicas, Vincenzo Bongiovanni [1] dedica 6 páginas a La Hire, sendo 3 relativas à obra que nos concentramos nessa dissertação. Não faz qualquer comentário sobre qual seria a relevância dessa obra de Philippe de La Hire. Ao contrário de Chasles e Coolidge, dedica sua maior atenção a esta obra de 1679.
JULIAN COOLIDGE – [5]
Julian Coolidge dedica 5 páginas a La Hire, sendo 1 relativa à obra que escolhemos, dentre as 154 páginas do seu resumo histórico relativo às cônicas. Ele faz o seguinte comentário sobre a referida obra: “It would be hard to find a book offering an easier introduction to the conics”. Coolidge, portanto, considera fácil a compreensão dessa obra. Talvez seja este o seu maior mérito: a simplicidade. Como fala La Hire no seu prefácio, para a leitura do texto se faz necessário apenas os seis primeiros livros de Euclides, ou seja, a geometria euclidiana usual. Coolidge dedica maior atenção à terceira obra (1685).
CARL B. BOYER – [2] E [3]
Além dos três comentadores já citados, tivemos acesso ainda a dois livros de Carl B. Boyer: “History of Analitic Geometry” [2] e “A History of
Mathematics” [3]. Neles, fica evidente a influência dos dois últimos livros da obra de 1679 de La Hire para a geometria analítica.
La Hire é citado como inovador quando apresenta, pela primeira vez (página 211 de [6]), uma equação analítica para uma superfície (no caso, um parabolóide de equação 2ax + a2 = y2 + z2, em linguagem atual)1.
Boyer escreve na página 121 de [2]: “This is important as the first example of a surface given analytically by means of an equation”. Traduzindo: “Isso é importante como o primeiro exemplo de uma superfície dada analiticamente por meio de uma equação.”
Na página 412 de [3]: “Lahire provided one of the first examples of a surface given analytically through an equation in three unknows – which was the first real step toward solid analytic geometry”.Traduzindo: “Lahire deu um dos primeiros exemplos de uma superfície dada analíticamente através de uma equação em três variáveis - que foi o primeiro passo real para uma geometria analítica sólida.”
Boyer afirma que La Hire teve pelo menos um termo por ele criado que foi adotado pela maior parte da comunidade matemática: “A Origem” do par de eixos coordenados (página 216 de [6]).
Na página 121 de [2] afirma: “Of Lahire’s notation analytic, only the word ‘origin’ was retained by his successors”.Traduzindo: “Da notação analítica de Lahire, apenas a palavra “origem” foi mantida por seus sucessores.”
Diz ainda, na página 411 de [3]: “Of his analytic language only the term ‘origin’ survived.”. Traduzindo: “De sua linguagem analítica apenas o termo 'origem' sobreviveu.”
Esta divisão em três partes desta obra de La Hire (um início sobre cônicas, seguida da definição de lugares geométricos e, finalmente, da construção geométrica das equações) foi adotada por outros autores como Jacques Ozanam (citado na página 126 de [2]):
“This triple division of the new geometry – made up of first a general theory of conics; then a study of equations, especially of second degree; and finally the application of intersecting curves to the solution of equations – had become a tradition which persisted well into the following century.”
Traduzindo: “Esta divisão tripla da nova geometria - formado primeiro por uma teoria geral das cónicas, em seguida, um estudo de
Obs. 1: Boyer comete um erro tanto na obra mais geral [3] quanto na mais específica [2] ao indicar a superfície que aparece no segundo livro da obra de 1679 de La Hire. Em vez da equação do parabolóide mostrada acima (presente em La Hire [6]), Boyer escreve uma equação de um cone x2 + 2ax + a2 = y2 + z2, supostamente
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Capítulo 2 - A Justificativa da Relevância da Obra equações, especialmente de segundo grau e, finalmente, a aplicação de interseção das curvas para a solução de equações - tinha se tornado uma tradição que se manteve no século seguinte.”
Também foi seguido por N. Guisnée, como mostra na página 149 de [2]: “This work is a direct continuation of the tradition set in the preceding century by Descartes, de Witt, Lahire e Ozanam”. Traduzindo: “Este trabalho é uma continuação direta da tradição firmada no século anterior por Descartes, de Witt, Lahire e Ozanam”.
La Hire transita com habilidade nas duas geometrias existentes na sua época, o que suscita os seguintes comentários de Boyer na página 119 de [2]:
“Lahire was one of the very exceptional geometers who were able to appreciate both the analitic and synthetic developments in the theory of conic sections”. Já na página 412 de [3]: “He was the first modern specialist in geometry, both analitic and synthetic”.
Traduzindo:
“Lahire foi um dos muitos geômetras excepcionais que foram capazes de apreciar tanto os desenvolvimentos analíticos e sintéticos na teoria das secções cónicas”. Já na Página 412 de [3]: “Ele foi o primeiro especialista em geometria moderna, tanto analítico e sintético”.