Neste cap´ıtulo, foram apresentados os conceitos que formam a base matem´atica deste trabalho. Primeiramente, foram apresentados conceitos gerais da ´algebra de di´oides presentes na literatura. Em seguida, foi introduzido o di´oide C proposto neste trabalho, e foram definidas algumas fun¸c˜oes e mapeamentos importantes para a descri¸c˜ao de sistemas de comunica¸c˜oes. Conforme mencionado, o di´oide C proposto neste trabalho se baseia na estrutura definida em Chang et al. (2002), com as altera¸c˜oes necess´arias para garantir o fechamento da opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao e, desta forma, permitir a defini¸c˜ao de um di´oide.
A rela¸c˜ao de ordenamento parcial representada pelos s´ımbolos < e 4 n˜ao aparece na literatura associada ao Network Calculus. A opera¸c˜ao ∧, por outro lado, ´e comumente encontrada, mas com significado oposto ao utilizado na literatura de di´oides.5 Neste trabalho, preferiu-se a conformidade com seu significado na teoria de di´oides.
Na literatura do NC, em geral, trabalha-se na estrutura (Ct, min, +), chamada de
“di´oide min-plus”. Nesta estrutura, para tornar poss´ıvel a representa¸c˜ao de restri¸c˜oes de sistemas de comunica¸c˜oes, definem-se v´arios mapeamentos6. Por exemplo, conforme mencionado no
Cap´ıtulo 2, a multiplica¸c˜ao definida pela equa¸c˜ao (3.7) ´e apresentada como um mapeamento chamado de “convolu¸c˜ao min-plus”. Conseq¨uentemente, resultados conhecidos da literatura de di´oides, como a existˆencia de residua¸c˜oes para o produto `a esquerda e `a direita e as propriedades da Tabela 3.2 n˜ao s˜ao diretamente aplic´aveis para a multiplica¸c˜ao definida na equa¸c˜ao (3.7), tendo que ser individualmente demonstrados.
Entre os elementos do di´oide C , foi destacada a importˆancia das fun¸c˜oes δD e λB. A
primeira ´e particularmente interessante para a representa¸c˜ao de atrasos constantes; a segunda, para a representa¸c˜ao de restri¸c˜oes de backlog. Embora as fun¸c˜oes δD e λB j´a estejam presentes na
literatura (Chang, 1998b, e Chang et al., 2002, por exemplo), a quase totalidade das propriedades apresentadas nas Tabelas 3.4 e 3.5 s˜ao contribui¸c˜oes deste trabalho. S˜ao tamb´em contribui¸c˜oes deste trabalho a defini¸c˜ao e utiliza¸c˜ao sistem´atica da opera¸c˜ao de residua¸c˜ao e suas propriedades, assim como todas as defini¸c˜oes e propriedades de mapeamentos apresentadas.
Cinco mapeamentos foram definidos neste cap´ıtulo e s˜ao uma contribui¸c˜ao deste trabalho. O mapeamentox, permite extrair de uma fun¸c˜b ao x ∈ C apenas as informa¸c˜oes referentes ao intervalo (0, t], ∀t ∈ Z+. Os mapeamentos Pr {·} e Pr {·} permitem a obten¸c˜ao de fun¸c˜oes
no conjunto Ct a partir de fun¸c˜oes em C. Finalmente, os mapeamentos F {·} e G {·} facilitam a
representa¸c˜ao de restri¸c˜oes relacionadas `a multiplexa¸c˜ao de tr´afegos.
5Na literatura relacionada ao Network Calculus, a opera¸c˜ao ∧ ´e utilizada como um sinˆonimo do operador
de m´ınimo da ´algebra convencional dos n´umeros reais. Portanto, seu significado ´e praticamente o oposto do apresentado neste trabalho para o di´oide C .
Restri¸c˜oes matem´aticas b´asicas e
elementos b´asicos associados
Este trabalho trata da determina¸c˜ao de parˆametros de QoS tais como m´aximo atraso fim-a-fim, m´aximo backlog e curvas de regula¸c˜ao e de servi¸co. O termo “parˆametro”1 ´e utilizado neste contexto para fazer referˆencia a curvas, em geral elementos do di´oide C . Neste ponto, cabe estabelecer a diferen¸ca entre curva parametrizada (uso comum) e uma curva ela pr´opria entendida como um parˆametro (utiliza¸c˜ao feita neste trabalho). Restri¸c˜oes matem´aticas podem ser associadas a parˆametros de QoS, para descrever o comportamento de elementos de sistemas de comunica¸c˜oes. Essas restri¸c˜oes (igualdades ou desigualdades) podem expressar:
• Especifica¸c˜oes de desempenho. • Limita¸c˜oes f´ısicas do sistema.
Considere-se o di´oide C e a interpreta¸c˜ao f´ısica de seus elementos conforme descrito na Se¸c˜ao 3.2. Sejam x, y ∈ C os fluxos de entrada e sa´ıda, respectivamente, de um dado sistema S, como ilustrado pela Figura 4.1.
x S y
Figura 4.1: Elemento gen´erico com fluxo de entrada x e fluxo de sa´ıda y.
A seguir, cinco tipos de restri¸c˜oes entre os fluxos x e y s˜ao descritos, no di´oide C : as restri¸c˜oes de fluxo, de agrega¸c˜ao ou acoplamento, de regula¸c˜ao, de servi¸co e de backlog. Em seguida, mostra-se que restri¸c˜oes de atraso m´aximo s˜ao um caso especial das restri¸c˜oes de servi¸co. 1De acordo com Michaelis, “parˆametro” ´e “todo elemento cuja varia¸c˜ao de valor altera a solu¸c˜ao de um problema
sem alterar-lhe a natureza” (Melhoramentos, 2008). Neste sentido, fun¸c˜oes como as curvas de regula¸c˜ao e de servi¸co tamb´em s˜ao consideradas “parˆametros”.
Um aspecto importante deste trabalho ´e ressaltar que o conjunto de restri¸c˜oes acima permite o tratamento de uma classe abrangente de problemas relacionados aos parˆametros de QoS mencionados anteriormente. Por essa raz˜ao, esse conjunto de restri¸c˜oes ser´a chamado conjunto b´asico de restri¸c˜oes. Estas restri¸c˜oes n˜ao necessariamente formam um conjunto completo, capaz de tratar qualquer problema relacionado a sistemas de comunica¸c˜oes. Outras restri¸c˜oes podem ser adicionadas a este conjunto, conforme a necessidade de modelagem de problemas diferentes dos aqui apresentados.
4.1
Restri¸c˜oes de fluxo
A restri¸c˜ao de fluxo garante que a quantidade de dados que entram em um sistema desde o instante inicial, s = 0, nunca ´e maior do que a quantidade de dados que o deixam. Matematicamente, essa restri¸c˜ao pode ser expressa da seguinte maneira:
∀t ∈Z+: y(0, t) ≤ x(0, t). (4.1)
A inequa¸c˜ao (4.1) significa que se considera que os sistemas n˜ao criam tr´afego, mas apenas o atrasam, quando necess´ario. Essa restri¸c˜ao est´a sempre presente em sistemas causais.
De acordo com a Tabela 3.6, a inequa¸c˜ao (4.1) pode ser rescrita em C da seguinte maneira:
b
y =y ⊕b x.b (4.2)