Reordenador de bits - Modelagem e determinação de parametros de desempenho de redes de comunica

No contexto deste trabalho, um “reordenador de bits” é um sistema abstrato que permite modelar altera¸cões na ordem de servi¸co de bits em rela¸cão à ordem de recep¸cão. Reordenadores de bits são interessantes, para modelar diferen¸cas de prioridade entre fluxos e serão utilizados nas próximas se¸cões na análise de multiplexadores.

Seja x ∈ Ct o fluxo de entrada de um reordenador de bits. Um reordenador de bits

pressupõe inversões na ordem de servi¸co de bits em rela¸cão à ordem de chegada. Por exemplo, seja B1 um bit de um fluxo x particular que chega a um reordenador de bits no instante t. É

poss´ıvel que existam bits que chegam ao sistema depois do instante t, mas que devem ser servidos antes de B1. Dessa forma, o instante de servi¸co do bit B1 depende do futuro recebimento de

dados pelo sistema. Considere-se as defini¸cões de atraso e backlog de reordena¸cão abaixo. Defini¸cão 28 (Atraso de reordena¸cão). Neste trabalho, chama-se atraso de reordena¸cão em um dado instante t, o intervalo de tempo que um bit que entra em um reordenador de bits no instante t deve esperar pela recep¸cão de dados que chegam ao reordenador após o instante t. Defini¸cão 29 (Backlog de reordena¸cão). Neste trabalho, chama-se backlog de reordena¸cão em um dado instante t, a quantidade de bits que, embora tenham entrado em um reordenador de bits depois do instante t, são servidos antes de um bit qualquer que entra no sistema em t.

Seja d(t) o atraso de reordena¸c˜ao do bit B1. Antes de deixar o sistema, B1 deve

esperar que uma quantidade de bits

b(t) = [x(0, t + d(t)) − x(0, t)] (7.21) seja recebida pelo sistema.

A fun¸cão b(t) definida pela equa¸cão (7.21) representa o backlog de reordena¸cão de um reordenador de bits para uma fun¸cão x particular, em um instante t fixo. Seja a fun¸cão v ∈ C definida da seguinte maneira:

v(s, t) =    x(0, t + d(t)), se s = 0, ε(s, t), se s 6= 0. (7.22)

Nesse caso, das equa¸c˜oes (7.21) e (7.22), tem-se: ∀t ∈Z+_{: b(t) = v(0, t) − x(0, t).}

O atraso d(t) sofrido por um bit depende do fluxo de entrada x. Seja D(t) um limitante independente de x para este atraso. Tem-se, ∀t ∈ Z+_{: x(0, t + d(t)) ≤ x(0, t + D(t)).}

Portanto, o backlog de reordena¸cão de um bit qualquer que entra em um reordenador de bits no instante t é limitado pela fun¸cão B(t) definida da seguinte forma:

B(t) = [x(0, t + D(t)) − x(0, t)] . (7.23) Do exposto anteriormente, as seguintes inequa¸c˜oes devem ser satisfeitas, ∀t ∈Z+_:

v(0, t) = x(0, t + d(t)) ≤ x(0, t + D(t)), (7.24)

b(t) = v(0, t) − x(0, t) ≤ B(t). (7.25)

Das inequa¸c˜oes (7.24) e (7.25), tˆem-se, respectivamente:

bv < bx /◦ ∂D, (7.26)

bv < bxλB. (7.27)

Considere-se que o fluxo x satisfaz uma curva de regula¸cão σ ∈ C. A Figura 7.15 é obtida a partir das restri¸cões (7.26) e (7.27), utilizando os blocos básicos definidos no Cap´ıtulo 4 e na Se¸cão 7.2 (Tabela 7.3).

σ D

u x v

Figura 7.15: Reordenador de bits com fluxo de entrada sujeito a uma curva de regula¸c˜ao σ ∈ C. O sistema da Figura 7.15 satisfaz as seguintes equa¸c˜oes em C :

b x =x ⊕b u,b b x =x ⊕_b xσ,_b (7.28) b x =x ⊕_b _bv, (7.29) bv = bv ⊕ bx /◦ ∂D, (7.30) bv = bv ⊕ bxλB. (7.31)

Das equa¸c˜oes (7.28)-(7.29),x <b bvσ∗_{. Al´em disso, da equa¸c˜}_{ao (7.30),}_{bv < b}_{x /}_{◦ ∂}

D. Da´ı,

bv < (bvσ∗_{) /}_{◦ ∂}

D. Mas, da propriedade (PR.6), Tabela 3.2, (bvσ∗) /◦ ∂D <bv(σ∗/◦ ∂D). Dessa forma,

tem-se: bv < bv(σ∗_/_{◦ ∂}

Proposi¸c˜ao 42). Por outro lado, da equa¸c˜ao (7.31), bv < bxλB. Da´ı, fazendo novamente bx <bvσ∗,

tem-se_{bv < bv(σ}∗λB), o que implica quebv < bv(σ∗λB)∗ =bv(e⊕σ∗λB) (caso an´alogo ao demonstrado

no Apêndice G, Proposi¸cão 41). Nesse caso, a seguinte equa¸cão deve ser satisfeita:

bv = bv[e ⊕ (σ∗/◦ ∂D) ⊕ (σ∗λB)] . (7.32)

Portanto, o fluxo v satisfaz a seguinte curva de regula¸c˜ao:

σv = e ⊕ (σ∗◦ ∂/ D) ⊕ (σ∗λB). (7.33)

Na discussão anterior, considerou-se que as fun¸cões D(t) e B(t) (Figura 7.15) são conhecidas. A seguir, são apresentados alguns casos em que a fun¸cão D(t) pode ser determinada independentemente do fluxo de entrada, x, se for conhecida uma fun¸cão B(t), limitante para o backlog de reordena¸cão do sistema da Figura 7.15.

Proposi¸c˜ao 36. Seja x ∈ Ct o fluxo de entrada de um reordenador de bits, conforme ilustra a

Figura 7.15. Considerem-se conhecidas:

1. Uma fun¸cão que limita o quão lento o fluxo x pode ser, ou seja, uma fun¸cão ϕ ∈ C tal que, ∀s, t ∈Z+_{: x(0, t) − x(0, s) ≥ ϕ(s, t).}

2. Uma fun¸c˜ao B(t), limitante do backlog de reordena¸c˜ao do fluxo x.

O atraso de reordena¸cão do reordenador de bits da Figura 7.15 é limitado pela seguinte fun¸cão: D(t) = inf {d ≥ 0 : ϕ(t, t + d) ≥ B(t)} .

Demonstra¸cão. O backlog de reordena¸cão de um bit que entra em um reordenador de bits no instante t é dado por b(t) = [x(0, t + d(t)) − x(0, t)], sendo d(t) o atraso de reordena¸cão deste bit. Da suposi¸cão de que B(t) é um limitante para b(t), a seguinte inequa¸cão deve ser satisfeita, ∀t ∈ Z+_{: x(0, t + d(t)) − x(0, t) ≤ B(t). Mas das defini¸c˜}_{oes de D(t) e ϕ acima, tem-se: B(t) ≤}

ϕ(t, t + D(t)) ≤ x(0, t + D(t)) − x(0, t). Assim, como x ∈ Ct, ent˜ao d(t) ≤ D(t), ∀t.

No exemplo a seguir, apresenta-se uma nova forma para calcular a fun¸cão D(t) a partir de B(t) independentemente do fluxo x. Nesse caso, o fluxo u deve ser L-quantizado. Exemplo 7.7 (Inversor de pacotes com enlace de entrada conservativo). Seja um “inversor de pacotes” um sistema que inverte a ordem de transmissão dos bits dos pacotes recebidos. Dessa forma, se um pacote é formado pelos bits B1B2B3 na entrada, será formado pelos bits

B3B2B1 na sa´ıda. Considere-se que o enlace de entrada ´e conservativo e tem capacidade

C(s, t) = C · (t − s)+ _{e que o fluxo u ´e L-quantizado, conforme ilustra a Figura 7.16(a).}

1. Um limitante D(t) para o atraso m´aximo desse sistema no instante t.

2. As condi¸cões para as quais uma curva σ pode ser uma curva de regula¸cão para o fluxo x. 3. As condi¸cões para as quais as equa¸cões do enlace C são redundantes, considerando a adi¸cão

do regulador σ do item anterior em paralelo ao enlace C (Figura 7.17).

4. Uma curva de regula¸cão σv para o tráfego de sa´ıda do inversor de pacotes (equa¸cão 7.33),

dado que as condi¸c˜oes dos itens anteriores s˜ao satisfeitas ao mesmo tempo.

D x L C u = PL{u} v

(a) Inversor de pacotes com limitante de atraso D(t), backlog m´aximo L e enlace de entrada de capacidade C C δaL D x u = PL{u} v′= PL{x} L

(b) Modelo utilizado para calcular a fun¸c˜ao D(t) a ser usada na Figura 7.16(a)

Figura 7.16: Inversor de pacotes com limitante de atraso máximo D(t), enlace de entrada de capacidade C e um fluxo de entrada com pacotes de tamanho máximo L. Em (b), um modelo que permite calcular a fun¸cão D(t) a ser usada na Figura 7.16(a).

Exatamente como acontece em um buffer de recep¸cão, para que um inversor de pacotes transmita o primeiro bit de um determinado pacote pelo enlace de sa´ıda, todos os bits deste pacote devem ter sido recebidos. Assim, um inversor de pacotes apresenta o mesmo limitante de atraso máximo, D(t), de um buffer de recep¸cão nas mesmas condi¸cões (nesse caso, um enlace de entrada de capacidade C, conforme ilustra a Figura 7.16(b)). Seja L o tamanho do maior pacote do fluxo de entrada. Da equa¸cão (7.20), tem-se: D(t) = L_C, ∀t. Portanto o limitante D(t) de um buffer de recep¸cão (Figura 7.16(b)) é igual ao limitante D(t) em um inversor de pacotes (Figura 7.16(a)) nas mesmas condi¸cões para o tráfego de entrada.

C D

u = PL{u} x v

L σ

Figura 7.17: Inversor de pacotes com enlace de entrada conservativo de capacidade C e fluxo de entrada com tamanho de pacote m´aximo L, sujeito a uma curva de regula¸c˜ao σ.

Para a segunda parte deste problema, considere-se que o fluxo x das Figuras 7.16 também é limitado pela curva de regula¸cão σ ∈ C, conforme ilustra a Figura 7.17. O backlog de reordena¸cão de um reordenador de bits é igual a [x(0, t + d(t)) − x(0, t)], sendo d(t)

o atraso de um bit que chega ao sistema em t. Para esse exemplo, essa quantidade de bits é limitada pelo tamanho do maior pacote, L. Portanto, a seguinte inequa¸cão deve ser satisfeita: ∀t ∈ Z+ _{: x(0, t + d(t)) − x(0, t) ≤ L. Da´ı, é poss´ıvel que, para alguma entrada x, a igualdade}

x(0, t + d(t)) − x(0, t) = L seja satisfeita. Por outro lado, a fun¸cão σ é uma curva de regula¸cão para o fluxo x, e d(t) ≤ D(t), ∀t. Então, ∀t ∈Z+_{: x(0, t + d(t)) − x(0, t) ≤ σ}∗_{(t, t + D(t)). Dessa}

forma, a fun¸c˜ao σ deve atender a seguinte inequa¸c˜ao:

∀t ∈Z+_{: σ}∗_{(t, t + D(t)) ≥ L.} _(7.34)

Ao adicionar um regulador σ a um sistema com curva de regula¸c˜ao C, de acordo com a Tabela 5.2, o filtro resultante ´e um regulador (σ ⊕ C)∗_{. Assim, as equa¸c˜}_{oes do enlace de}

capacidade C s˜ao redundantes, se a curva σ satisfizer a seguinte inequa¸c˜ao:

σ < C. (7.35)

Finalmente, considere-se que as equa¸c˜oes (7.34) e (7.35) s˜ao satisfeitas ao mesmo tempo. Para esse exemplo, para todo s ≤ t, tem-se: C∗(s, t + D(t)) = C · (t − s + _CL)+ = C · (t − s) + L. Da´ı, C∗_{(t, t + D(t)) = L. Assim, para que as equa¸c˜}_{oes (7.34) e (7.35) sejam}

satisfeitas concomitantemente, a fun¸c˜ao σ deve atender a seguinte igualdade: σ∗(t, t + D(t)) = L, ∀t.

Da´ı, da sub-aditividade da fun¸c˜ao σ∗, ∀s, t ∈Z+_{: σ}∗_{(s, t + D(t)) ≤ σ}∗_{(s, t) + σ}∗_{(t, t + D(t)) =}

σ∗_{(s, t) + L. Dessa forma, tem-se: σ}∗_/_{◦ ∂}

D <σ∗λL. Portanto, da equa¸c˜ao (7.33), σv pode ser

definida da seguinte maneira:

σv = e ⊕ (σ∗◦ ∂/ D), (7.36)

sendo D(t) = _CL, ∀t.

Considere-se o sistema da Figura 7.18(a). A correspondência citada no exemplo anterior entre as fun¸cões limitantes de atraso em um buffer de recep¸cão e um inversor de pacotes sob as mesmas condi¸cões para o tráfego de entrada pode ser utilizada de uma forma geral para a determina¸cão do limitante de atraso máximo D(t). Nesse caso, é necessário que as seguintes condi¸cões sejam atendidas:

1. A fun¸c˜ao u seja L-quantizada (u = PL{u});

2. Seja conhecido um limitante B(t) para o backlog de reordena¸c˜ao do sistema da Figura 7.18(a).

As Figuras 7.18 apresentam a correspondˆencia de atrasos entre buffer de recep¸c˜ao e reordenador de bits.

D x B β σ u = PL{u} v

(a) Reordenador de bits com limitante de atraso máximo D(t), backlog de reordena¸cão máximo B(t), e fluxo de entrada que atende uma curva de regula¸cão σ e uma curva de servi¸co β

δaL β σ x u = PL{u} v′= PL{x} B D

(b) Modelo auxiliar, utilizado para calcular a fun¸c˜ao D(t) a ser usada na Figura 7.18(a)

Figura 7.18: Reordenador de bits e buffer de recep¸cão sob as mesmas condi¸cões dos tráfegos de entrada, evidenciando a correspondência de suas fun¸cões limitantes de atraso, D(t).

No documento Modelagem e determinação de parametros de desempenho de redes de comunicações atraves da algebra de dioides (páginas 136-141)