Elementos e mapeamentos ´ uteis do di´oide C

Nesta se¸cão, são apresentados dois elementos do dióide C que se destacam por facilitarem a descri¸cão de restri¸cões de elementos de redes de comunica¸cões. São eles: as fun¸cões do tipo λB, que facilitam a descri¸cão de restri¸cões de backlog; e as fun¸cões do tipo δD, úteis para

representar restri¸cões de atraso máximo. Em seguida, são definidos os mapeamentos x, ´_b uteis 4_{Note-se que ε(s, s) = +∞, ∀s.}

para representar restri¸cões apenas no intervalo de tempo (0, t]; e os mapeamentos de proje¸cão C_{-superior e C -inferior de fun¸c˜}_{oes de C em C}_t_{, importantes quando se quer determinar poss´ıveis} limitantes em Ct de fun¸cões em Ct. Por último, são apresentadas propriedades que facilitam a

análise de redes com agrega¸cão (multiplexa¸cão) de fluxos. Para cada um desses elementos e mapeamentos especiais de C , destacam-se algumas propriedades interessantes. Para garantir a fluidez do texto, as demonstra¸cões dessas propriedades são apresentadas no Apêndice B; para facilitar uma consulta posterior, as propriedades estão apresentadas em forma de tabelas (repetidas no Apêndice A).

Defini¸cão 16 (Fun¸cão de deslocamento vertical). Seja uma fun¸cão B : Z+ _→ _R+ _{∪ {+∞}.}

Define-se a fun¸c˜ao de deslocamento vertical, λB ∈ C, da seguinte maneira:

λB(s, t) =        0, s > t, B(t), s = t, +∞, s < t.

A Figura 3.3 ilustra a fun¸c˜ao λB(s, t), para algum valor de s dado. Da equa¸c˜ao (3.5),

claramente, λB ∈ C. Essa fun¸c˜ao foi anteriormente definida por Chang et al. (2002, Example 6.7).

λB(s, t)

+∞

s = t t − s B(t)

Figura 3.3: Fun¸c˜ao de deslocamento vertical: λB ∈ C .

As fun¸cões do tipo λB são úteis para representar limita¸cões de capacidade de

armazenagem de dados em elementos de redes de comunica¸cões, conforme apresentado no próximo cap´ıtulo. A Tabela 3.4 apresenta propriedades dessas fun¸cões. Suas demonstra¸cões podem ser encontradas no Apêndice B, Se¸cão B.1.

Outros elementos de C que facilitam a representa¸cão de restri¸cões impostas a elementos de redes de comunica¸cões são as fun¸cões do tipo δD, definidas a seguir.

Defini¸c˜ao 17 (Fun¸c˜ao de atraso). Dado um D ∈ Z+_{∪ {+∞}, define-se a fun¸c˜}_{ao de atraso}

δD ∈ C da seguinte maneira: δD(s, t) =    0, se t ≤ s + D, +∞, caso contr´ario.

Validade Propriedade Referˆencia ∀x ∈ C (x ⊗ λB)(s, t) =  x(s, t) + B(t), se s ≤ t 0, se s > t (PL.1) ∀x ∈ C (λB⊗ x)(s, t) =  x(s, t) + B(s), se s ≤ t 0, se s > t (PL.2) ∀x ∈ C (x /◦ λB)(s, t) = [x(s, t) − B(t)]+ (PL.3) ∀x ∈ C (λB\◦ x)(s, t) = [x(s, t) − B(s)]+ (PL.4)

Tabela 3.4: Propriedades da fun¸c˜ao de deslocamento vertical: λB∈ C .

A Figura 3.4 representa graficamente uma fun¸cão do tipo δD. Essas fun¸cões são

uteis para representar restri¸cões de atrasos em elementos de redes de comunica¸cões. Esse tipo de fun¸cão foi anteriormente definido na literatura (Chang, 1998b; Agrawal et al., 1999).

δD(s, t)

+∞

s = t D t − s

Figura 3.4: Fun¸c˜ao de atraso constante: δD ∈ C .

Seja Cs o conjunto dos elementos de C n˜ao-crescentes em s, ou seja,

Cs= {x ∈ C : x(s1, t) ≥ x(s2, t), ∀t, se s1≤ s2} . (3.16)

A Tabela 3.5 traz algumas propriedades relacionadas `as fun¸c˜oes δD e aos elementos dos conjuntos

Ct (equa¸c˜ao 3.15) e Cs (equa¸c˜ao 3.16).

A seguir s˜ao definidos alguns mapeamentos ´uteis em C . Sejam x, y ∈ C. De (3.10), dizer que ∀s, t ∈Z+_{: y(s, t) ≤ x(s, t) equivale a dizer que y = y ⊕ x, ou ainda, que y < x ou que}

x = x ∧ y. Em alguns casos, porém, só é poss´ıvel afirmar que y(0, t) ≤ x(0, t), ∀t, seja porque não se tem informa¸cão sobre a rela¸cão entre y(s, t) e x(s, t) para s 6= 0, ou simplesmente porque y(s, t) x(s, t), ∀s, t. Em qualquer desses casos, pode-se usar o artif´ıcio descrito a seguir. Defini¸cão 18 (Mapeamento x ∈ C). Seja x ∈ C. Define-se o mapeamentob x de C em C dab seguinte maneira: b x(s, t) =    x(0, t), se s = 0, ε(s, t), se s 6= 0. (3.17)

Validade Propriedade Referência ∀x ∈ Ct (x ⊗ δD)(s, t) = 8 < : x(s, t − D), se t ≥ s + D x(s, s), se s ≤ t < s + D 0, se s > t (PD.1) ∀x ∈ Cs (δD⊗ x)(s, t) = 8 < : x(s + D, t), se t ≥ s + D x(t, t), se s ≤ t < s + D 0, se s > t (PD.2) ∀x ∈ Ct (x ⊗ δD) ∈ Ct (PD.3) ∀x ∈ Cs (δD⊗ x) ∈ Cs (PD.4) ∀x ∈ Ct Se x(s, s) = 0, ∀s, então (x ⊗ δD)(s, t) = x(s, (t − D)+) (PD.5) ∀x ∈ Cs Se x(s, s) = 0, ∀s, então (δD⊗ x)(s, t) = x(s + D, t) (PD.6) ∀x ∈ Ct (x /◦ δD)(s, t) =  x(s, t + D), se s ≤ t 0, se s > t (PD.7) ∀x ∈ Ct (x ⊗ δD) /◦ δD= x ⊗ (δD/◦ δD) = x (PD.8) ∀x, y ∈ Ct (x ⊕ y) /◦ δD= x /◦ δD⊕ y /◦ δD (PD.9) ∀x, y ∈ Ct Se xδD<y, então x < y /◦ δD (PD.10) ∀x, y ∈ Ct Se x(s, s) ≤ y(s, s), ∀s, então xδD<y ⇔ x < y /◦ δD (PD.11) ∀x ∈ Cs (δD\◦ x)(s, t) =  x`(s − D)+, t´, se s ≤ t 0, se s > t (PD.12) ∀x, y ∈ Cs δD\◦ (x ⊕ y) = δD\◦ x ⊕ δD\◦ y (PD.13) ∀x, y ∈ Cs Se δDx < y, então x < δD\◦ y (PD.14) ∀x, y ∈ Cs Se x(t, t) ≤ y(t, t), ∀t, então δDx < y ⇔ x < δD\◦ y (PD.15) Tabela 3.5: Propriedades da fun¸cão de atraso constante: δD ∈ C .

Quando, ∀t ∈Z+_{: y(0, t) ≤ x(0, t), ent˜}_{ao ∀t ∈}_Z+_:_{y(0, t) ≤}_b _{x(0, t). Por outro lado,}_b

∀s, t ∈ Z+_{, se s 6= 0:} _b_{y(s, t) =}_{x(s, t) = ε(s, t). Assim, quando ∀t ∈}_b _Z+_{: y(0, t) ≤ x(0, t), ent˜}_ao

∀s, t ∈Z+_:_{y(s, t) ≤}_b _{x(s, t) e, portanto, como em (3.10), as seguintes equivalˆencias s˜ao satisfeitas:}_b

∀t ∈Z+: y(0, t) ≤ x(0, t) ⇔ ∀s, t ∈Z+:y(s, t) ≤b x(s, t) ⇔b by =y ⊕b bx ⇔by <x ⇔b bx =bx ∧y.b A Tabela 3.6 mostra as equivalˆencias entre restri¸c˜oes discutidas anteriormente; e a Tabela 3.7, propriedades do mapeamentox._b

∀x, y ∈ C :

∀s, t ∈Z+_{: y(s, t) ≤ x(s, t)} _{y = y ⊕ x} _{y < x} _{x = x ∧ y}

∀t ∈Z+_{: y(0, t) ≤ x(0, t)}

y =by ⊕bx by <bx x =b bx ∧by

Tabela 3.6: Equivalências entre restri¸cões na álgebra convencional e no dióide C .

Validade Propriedade Referˆencia

∀a, b ∈ C, b(0, 0) = 0 b ⊗_{ba = ba} (PH.1)

∀a, b ∈ C _{ba ⊗ b = d}(ab) (PH.2)

∀a, b ∈ C (ba \◦ b)(s, t) = 

[b(0, t) − a(0, s)]+_, _{se s ≤ t,}

0, caso contr´ario (PH.3)

∀a, b ∈ C (b /◦_{ba)(s, t) =} (

sup

τ ≥0

{b(0, τ ) − a(0, τ )}+, se s = t = 0

0, caso contr´ario

(PH.4) ∀a, b ∈ C, b(s, t) < +∞, se s, t < +∞ b \◦ba = ε (PH.5) ∀a, b ∈ C, b(s, t) < +∞, se s, t < +∞ ba /◦b = \(a /◦ b) (PH.6) ∀a ∈ C (ba∗_{)(s, t) =}  a(0, t), se s = 0 e(s, t), se s 6= 0 (PH.7) ∀a, b ∈ C b ⊗_ba∗_{= b ⊕} ba (PH.8)

∀a ∈ Ct (ba \◦ba)∗= (ba \◦ba) (PH.9)

Tabela 3.7: Propriedades do mapeamentobx.

Conforme mencionado anteriormente, este trabalho trata da determina¸cão de limitantes de parâmetros de QoS em redes de comunica¸cões. A determina¸cão desses limitantes, muitas vezes, está ligada à determina¸cão de limitantes de fun¸cões em C. Adicionalmente, neste trabalho, considera-se que x(s, t) representa a quantidade de dados que passam por um dado ponto da rede no intervalo de tempo (s, t]. Assim, é natural partir da considera¸cão de que, para cada s, x(s, t) é uma fun¸cão não-decrescente de t, ou seja, x ∈ Ct. Nesse caso, é natural

procurar limitantes de x tamb´em em Ct. Contudo, para garantir o fechamento da opera¸c˜ao ⊗ no

conjunto C, admite-se fun¸cões com por¸cões decrescentes em t. Surge, então, a questão de como se pode garantir limitantes em Ct para fun¸cões em Ct. A solu¸cão escolhida nesta tese foi a de

trabalhar no conjunto C e depois fazer uma proje¸c˜ao dos limitantes encontrados, do conjunto C para o conjunto Ct, da maneira descrita a seguir.

Defini¸cão 19 (Proje¸cões de C em Ct). Seja a fun¸cão x ∈ C. Definem-se Pr {x} e Pr {x},

respectivamente, as proje¸c˜oes C -inferior e C -superior de x em Ct, da seguinte maneira, ∀s, t ∈

Z+_:

(Pr {x})(s, t) = max

0≤τ ≤t{x(s, τ )} ,

(Pr {x})(s, t) = inf

τ ≥t{x(s, τ )} .

A Figura 3.5 ilustra o significado das proje¸cões C -inferior e C -superior de uma fun¸cão x ∈ C no conjunto Ct (respectivamente, Pr {x} e Pr {x}). Para facilitar a distin¸cão entre as

curvas, os gr´aficos foram criados considerando s, t ∈R+_{. Note-se que os operadores de proje¸c˜}_ao

são isotônicos, por exemplo, se a 4 b, então Pr {a} 4 Pr {b}.

x(s, t)

Pr {x} x Pr {x}

t − s

Figura 3.5: Proje¸c˜oes de uma fun¸c˜ao x(s, t) de C em Ct, para um certo valor de s.

Proposi¸c˜ao 6 (Limitantes em Ct de fun¸c˜oes em Ct). Sejam x♯, x♭ ∈ C, poss´ıveis limitantes da

fun¸cão x ∈ Ct tais que x♭ 4x 4 x♯. As proje¸cões Pr {x♭} e Pr {x♯} de x♭ e x♯ em Ct também são

poss´ıveis limitantes de x. Nesse caso,

Pr {x♭} 4 x 4 Pr {x♯} .

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão dessa propriedade encontra-se no Apêndice B, Se¸cão B.4. Sob certas condi¸cões, duas fun¸cões a, b ∈ Ct levam a uma fun¸cão (a ⊗ b) ∈ Ct, o que

implica que Pr {(a ⊗ b)} = Pr {(a ⊗ b)} = (a ⊗ b). Considere-se o seguinte conjunto:

C_t′ = {x ∈ Ct: x(t, t) ≤ x(t + 1, t + 1), ∀t} . (3.18)

Validade Propriedade Referˆencia

∀x ∈ Ct Pr {x} = Pr {x} = x (PP.1)

∀a, b ∈ C′

t Pr {a ⊗ b} = Pr {a ⊗ b} = a ⊗ b (PP.2) Tabela 3.8: Propriedades das proje¸c˜oes de C em Ct.

Das defini¸c˜oes de C′

t (equa¸c˜ao 3.18) e de produto em C (Tabela 3.3), se a, b ∈ Ct′,

tem-se:

(a ⊗ b)(t, t) = a(t, t) + b(t, t) ≤ a(t + 1, t + 1) + b(t + 1, t + 1) = (a ⊗ b)(t + 1, t + 1). Assim, o produto definido na equa¸c˜ao (3.7) ´e fechado em C′

Observa¸cão 12. O fato do produto definido na equa¸cão (3.7) ser fechado em C_t′ pode induzir à conclusão de que uma maneira simples de contornar o não-fechamento do conjunto Cté trabalhar

no conjunto C′_t. Essa solu¸cão, embora realmente poss´ıvel, não foi levada em conta nesta tese, porque implicaria trabalhar com fun¸cões λB tais que B(t) ≤ B(t + 1) (ver Defini¸cão 16) e isso

significaria, por sua vez, trabalhar com sistemas com backlog crescente no tempo, o que não é interessante. Esse último aspecto será aprofundado no próximo cap´ıtulo.

Por fim, seja x ∈ C um fluxo formado pela agrega¸c˜ao de dois outros fluxos, x1, x2∈ C.

Nesse caso, tem-se, ∀s, t ∈ Z+_{: x(s, t) = x}

1(s, t) + x2(s, t). Dessa forma, ∀s, t ∈Z+: x1(s, t) =

x(s, t) − x2(s, t) e x2(s, t) = x(s, t) − x1(s, t). Para tornar poss´ıvel a representa¸c˜ao em C desse

tipo de restri¸cões relacionadas à multiplexa¸cão de fluxos, definem-se os mapeamentos F : C → C e G : C → C a seguir.

Defini¸c˜ao 20 (Mapeamento F). Dados a, b ∈ C, define-se o mapeamento F : C → C da seguinte forma, ∀s, t ∈Z+_:

(F {a, b})(s, t) = a(s, t) + b(s, t). (3.19) Note-se que, se a, b ∈ C, ent˜ao F {a, b} ∈ C. De fato, por um lado, ∀s, t ∈ Z+_{, se s > t :}

a(s, t) = b(s, t) = 0, e, portanto, (F {a, b})(s, t) = a(s, t) + b(s, t) = 0; por outro lado, se s ≤ t, a(s, t) ≥ 0 e b(s, t) ≥ 0, de forma que (F {a, b})(s, t) = a(s, t) + b(s, t) ≥ 0. Da´ı, F {a, b} ∈ C. Note-se tamb´em que o mapeamento F ´e tal que F {a, b} = F {b, a}.

Defini¸c˜ao 21 (Mapeamento G). Dados a, b ∈ C, define-se, o mapeamento G : C → C da seguinte forma, ∀s, t ∈Z+_:

(G {a, b})(s, t) = {a(s, t) − b(s, t)}+.

Para mostrar que, se a, b ∈ C, ent˜ao, G {a, b} ∈ C, por um lado, tem-se, ∀s, t ∈ Z+_:

∀s > t : a(s, t) = b(s, t) = 0, de forma que {a(s, t) − b(s, t)}+ = max {0, x1(s, t) − x2(s, t)} =

max {0, 0} = 0. Da´ı, G {a, b} ∈ C.

A Tabela 3.9 apresenta mapeamentos definidos nesse cap´ıtulo.

∀a, b, x ∈ C :

(Pr {x})(s, t) = max0≤τ ≤t{x(s, τ )}

(Pr {x})(s, t) = infτ ≥t{x(s, τ )}

(F {a, b})(s, t) = a(s, t) + b(s, t) (G {a, b})(s, t) = [a(s, t) − b(s, t)]+

Tabela 3.9: Mapeamentos Pr, Pr, F e G definidos em C .

A Tabela 3.10 apresenta algumas propriedades em C relacionadas aos mapeamentos F e G. As demonstra¸cões encontram-se no Apêndice B, Se¸cão B.6.

Validade Propriedade Referˆencia

∀a, b, c, d ∈ C Se a < c e b < d, ent˜ao F {a, b} < F {c, d} (PM.1) ∀a, b, c ∈ C a < F {b, c} ⇔ b 4 G {a, c} ⇔ c 4 G {a, b} (PM.2) ∀a, b, c ∈ C a 4 F {b, c} ⇔ b < G {a, c} ⇔ c < G {a, b} (PM.3)

∀a, b, c ∈ C Se a < b, ent˜ao G {c, a} 4 G {c, b} (PM.4)

∀a, b, c, d ∈ C (F {a, b}) \◦ (F {c, d}) < F {(a \◦ c), (b \◦ d)} (PM.5) ∀xk∈ Ct, k = 1, . . . , M F {x1δD, . . . , xMδD} = F {x1, . . . , xM} ⊗ δD (PM.6)

∀xk∈ C e ∀Xk: λXk∈ C, k = 1, . . . , M F {x1λX1, . . . , xMλXM} = F {x1, . . . , xM} λ(X1+...,XM) (PM.7)

∀xk, βk∈ C, k = 1, . . . , M F {x1β1, . . . , xMβM} < F {x1, . . . , xM} ⊗ F {β1, . . . , βM} (PM.8) Tabela 3.10: Propriedades dos mapeamentos F e G.

No documento Modelagem e determinação de parametros de desempenho de redes de comunicações atraves da algebra de dioides (páginas 49-56)