Ao longo deste cap´ıtulo, apresentou-se uma s´erie de m´etodos que permitem determinar uma solu¸c˜ao aproximada de um dado problema de valor de contorno.
Foi poss´ıvel apreciar que o M´etodo de Ritz recai no M´etodo de Galerkin. Este ´ultimo m´etodo ´e mais geral que o de Ritz j´a que n˜ao requer a existˆencia do funcional a minimizar. Por sua vez, n˜ao ´e dif´ıcil estender o m´etodo a problemas n˜ao lineares.
Tamb´em foi visto que o M´etodo dos M´ınimos Quadrados ´e um caso particular do M´etodo dos Res´ıduos Ponderados, fazendo que o res´ıduo seja ortogonal `as fun¸c˜oes bases
Aφi, i = 1, 2, . . . , etc.
Agora bem, em todos estes m´etodos a caracter´ıstica geral ´e a defini¸c˜ao das fun¸c˜oes coordenadas que, em geral, foram denotadas por {φi}∞i=1. Para cada m´etodo, estas fun¸c˜oes
dever˜ao satisfazer adequadas condi¸c˜oes de regularidade e, por sua vez, dever˜ao satisfazer parte ou todas as condi¸c˜oes de contorno.
A constru¸c˜ao destas fun¸c˜oes ´e uma das tarefas mais dif´ıceis destes m´etodos e na escolha das mesmas est´a concentrada grande parte do sucesso do m´etodo.
Em todos os casos (Coloca¸c˜ao, Galerkin, Ritz, M´ınimos Quadrados) uma vez intro- duzidas estas fun¸c˜oes coordenadas, chegou-se a um sistema de equa¸c˜oes alg´ebricas cuja solu¸c˜ao determina o valor dos coeficientes da combina¸c˜ao de fun¸c˜oes φi que melhor se
aproxima da solu¸c˜ao exata.
Como se sabe, o comportamento num´erico da solu¸c˜ao do sistema depende do chamado
n´umero P da matriz do sistema. Em geral, quando as fun¸c˜oes bases est˜ao definidas em
toda a regi˜ao, a matriz do sistema ´e cheia e o condicionamento num´erico tende a deteriorar- se ´a medida que o n´umero de equa¸c˜oes aumenta.
5.5. Conclus˜oes 169
Esta tendˆencia pode diminuir e muitas vezes eliminar-se por completo quando trabalha- se com fun¸c˜oes coordenadas localmente suportadas. Em particular, o M´etodo de Elemento Finitos se constitui em um m´etodo sistem´atico, e simples, para a constru¸c˜ao dessas fun¸c˜oes coordenadas. Em outras palavras, o M´etodo de Elemento Finitos fornecer´a unicamente as fun¸c˜oes bases ou coordenadas e posteriromente, para a obten¸c˜ao da solu¸c˜ao aproximada, aplica-se alguns dos m´etodos estudados.
Parte III
O C´alculo Variacional na Mecˆanica
Cap´ıtulo 6
A Formula¸c˜ao Variacional
6.1
Introdu¸c˜ao
Veremos, neste cap´ıtulo, a importˆancia que a Formula¸c˜ao Variacional assume na mo- delagem dos problemas de Mecˆanica, mais ainda, poder-se-`a concluir ser esta uma for- mula¸c˜ao de car´ater natural para os problemas que iremos tratar.
O uso da Formula¸c˜ao Variacional permite-nos colocar numa ´unica express˜ao todos os elementos relevantes ao problema que se est´a analisando, tais como: as equa¸c˜oes de equil´ıbrio, as condi¸c˜oes de contorno, as equa¸c˜oes constitutivas, as condi¸c˜oes de discon- tinuidade. Mais ainda, ela ´e capaz de fornecer, de maneira natural, o tipo de condi¸c˜ao de contorno compat´ıvel com o modelo estudado. Outra grande vantagem no seu uso est´a no fato de nos sugerir o m´etodo de resolu¸c˜ao que devemos empregar. Estes m´etodos, co- nhecidos com o nome de M´etodos Variacionais s˜ao, muitas vezes, de f´acil implementa¸c˜ao computacional, alguns deles prestando-se para a resolu¸c˜ao de problemas com as mais variadas e complexas geometrias.
Neste cap´ıtulo iremos analizar a cinem´atica dos meios cont´ınuos como ponto de partida para o estabelecimento do nosso modelo, o conceito de esfor¸cos, externos e internos, ao qual um corpo poder´a estar submetido, os conceitos de equil´ıbrio e compatibilidade dentro do enfoque variacional, mostrando que as leis de Newton s˜ao uma consequˆencia do Princ´ıpio das Potˆencias Virtuais se o admitirmos como um Princ´ıpio Fundamental.
O ´ultimo ir´a caracterizar perfeitamente as duas formas de tratamento dos problemas em Mecˆanica: a que denominamos cl´assica e a variacional. A primeira ´e caracterizada pelo conhecimento de um ente abstrato denominado for¸ca pertencente a um campo veto- rial e sendo a Lei de Newton o princ´ıpio fundamental no qual iremos basear toda a teoria mecˆanica constru´ıda `a partir da´ı. No segundo enfoque, estaremos nos baseando no estudo de um funcional linear nos campos de deslocamento, ou seja, de uma fun¸c˜ao de vetores em n´umeros reais correspondente a uma medida da Potˆencia associada com o deslocamento do nosso corpo. O anterior n˜ao passa de uma formaliza¸c˜ao daquilo que somos obrigados a fazer sempre que desejamos saber o quanto alguma coisa se op˜oe ao movimento que lhe desejamos efetuar. Assim ´e que, para sabermos o quanto pesa uma mala, realizamos uma s´erie de experiˆencias: primeiro a levantamos e notamos que existe uma potˆencia
dispendida nesse movimento (isto pode ser visto pelo quanto suamos!), depois a movi- mentamos no sentido horizontal e notamos que n˜ao foi dispendido nenhum esfor¸co nessa a¸c˜ao de movimento (suposto eliminado o atrito) assim, por simples averigua¸c˜ao de como se comporta essa fun¸c˜ao somos capazes de dizer que existe um vetor, denominado peso
do corpo com dire¸c˜ao normal ao plano do ch˜ao e intensidade medida atrav´es da potˆencia
dispendida numa a¸c˜ao de movimento virtual.
Por tudo isto, vemos que a ´ultima maneira de definir os esfor¸cos ´e mais natural que a primeira, j´a que vem a expressar uma realidade mecˆanica que vivemos no dia–a–dia.