Calculo Variacional

(1)

Monografia do Curso GA-015

M´etodos Variacionais

Ra´ul A. Feij´oo

(1)

, Edgardo Taroco

(1)

e Claudio Padra

(2) (1)_{Laborat´orio Nacional de Computa¸c˜ao Cient´ıfica}

Av. Get´ulio Vargas, 333, Quitandinha, Petr´opolis, RJ, Brasil

(2) _{Centro At´omico Bariloche, 8400, Bariloche, Argentina}

Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Modelagem Computacional

LNCC–Laborat´orio Nacional de Computa¸c˜ao Cient´ıfica

(2)

(3)

´Indice

1 Motiva¸c˜ao 1

I

Introdu¸c˜

ao ao C´

alculo Variacional

15

2 Introdu¸c˜ao 17

2.1 O problema da Braquist´ocrona . . . 17

2.2 Geod´esicas em Rd_{, d≥3 . . . .} ₁₉

2.2.1 Geod´esica sobre esferas . . . 21

2.3 Problema de Controle de Dire¸c˜ao . . . 24

2.4 Problemas Isoperim´etricos . . . 25

2.4.1 Problema da caten´aria . . . 27

2.5 M´ınima Superf´ıcie de Revolu¸c˜ao . . . 28

2.6 Coment´arios . . . 29

3 Formaliza¸cão do Cálculo Variacional 33 3.1 Diferencial Gâteaux de um Operador . . . 33

3.2 Diferencial Gˆateaux de um Funcional . . . 36

3.3 Nota¸c˜ao Variacional . . . 45

3.4 Lemas de du Bois-Raymond e Lagrange . . . 46

4 Equa¸c˜oes de Euler 51 4.1 Extremos, Extremos locais . . . 52

4.2 Equa¸c˜ao de Euler . . . 54

4.3 Casos Especiais da Equa¸c˜ao de Euler . . . 55

4.4 Segunda Forma da Equa¸c˜ao de Euler . . . 61

4.5 Gradiente de um funcional . . . 62

4.6 Problemas Variacionais com Condi¸c˜oes Subsidi´arias. Multiplicadores de Lagrange . . . 71

4.7 Condi¸c˜oes subsidi´arias finitas . . . 75

4.8 Funcionais Dependendo de V´arias Vari´aveis Independentes . . . 79

4.9 Funcionais Dependendo de Derivadas de Ordem Superior a Primeira . . . . 82

4.10 Funcionais dependendo de v´arias fun¸c˜oes . . . 84

4.11 Condi¸c˜oes Naturais de Contorno . . . 86 i

(4)

4.13 Extremos com Pontos Angulosos. Condi¸c˜oes de Weierstrass-Erdmann . . . 100

4.14 Problema Inverso no C´alculo Variacional. Operadores Potenciais . . . 108

II

Os M´

etodos Diretos no C´

alculo Variacional

111

5 M´etodos Variacionais 113 5.1 Introdu¸c˜ao . . . 113

5.2 M´etodo dos Res´ıduos Ponderados . . . 114

5.2.1 M´etodo de Coloca¸c˜ao . . . 116

5.2.2 M´etodo de Galerkin . . . 119

5.2.3 Condi¸cões de Contorno Não-homogêneas . . . 137

5.3 M´etodo de Ritz . . . 141

5.3.1 M´ınimo de um Funcional . . . 141

5.3.2 Sequˆencias Minimizantes . . . 146

5.3.3 M´etodo de Ritz . . . 147

5.3.4 Condi¸c˜oes de Contorno Homogˆeneas . . . 158

5.4 M´etodo de M´ınimos Quadrados . . . 165

5.5 Conclus˜oes . . . 168

III

O C´

alculo Variacional na Mecˆ

anica

171

6 A Formula¸c˜ao Variacional 173 6.1 Introdu¸c˜ao . . . 173

6.2 Cinem´atica . . . 174

6.2.1 Deforma¸c˜oes . . . 174

6.2.2 Movimento. Taxa de Deforma¸c˜ao . . . 178

6.2.3 A¸cões de Movimento. Restri¸cões Cinemáticas . . . 183

6.3 Dualidade entre For¸cas e A¸c˜oes de Movimento. . . 186

6.4 Dualidade entre Esfor¸cos Internos e Taxas de Deforma¸c˜ao . . . 187

6.5 Equil´ıbrio e Compatibilidade em Corpos Livres . . . 190

6.5.1 Princ´ıpio da Potˆencia Virtual . . . 191

6.5.2 O Teorema da Representa¸c˜ao . . . 192

6.5.3 Princ´ıpio da Potˆencia Virtual Complementar . . . 195

6.6 Equil´ıbrio e Compatibilidade em Corpos com Restri¸c˜oes Bilaterais . . . 196

6.6.1 Princ´ıpio da Potˆencia Virtual . . . 197

6.6.2 O Teorema da Representa¸c˜ao . . . 198

6.6.3 Princ´ıpio da Potˆencia Virtual Complementar . . . 201 ii

(5)

7 Princ´ıpios Variacionais em Elasticidade. Pequenas Deforma¸c˜oes 203

7.1 Introdu¸c˜ao . . . 203

7.2 Material El´astico. Comportamento Uniaxial . . . 203

7.3 Extens˜ao a Estados M´ultiplos . . . 207

7.4 Princ´ıpios Variacionais (Corpos Livres) . . . 210

7.4.1 Princ´ıpio do Trabalho Virtual (Corpos Livres) . . . 212

7.4.2 Princ´ıpio de M´ınima Energia Potencial Total (Corpos Livres) . . . . 213

7.4.3 Equa¸c˜oes Locais e Condi¸c˜oes de Contorno (Corpos Livres) . . . 213

7.4.4 Compatibilidade. Princ´ıpio do Trabalho Virtual Complementar. Princ´ıpio de M´ınima Energia Complementar (Corpos Livres) . . . . 215

7.4.5 Princ´ıpio de M´ınima Energia Complementar P.M.E.C. (Corpos Livres)217 7.5 Princ´ıpios Variacionais. Restri¸c˜oes Bilaterais. . . 218

7.5.1 Princ´ıpio do Trabalho Virtual (Restri¸c˜oes Bilaterais): . . . 220

7.5.2 Princ´ıpio de M´ınima Energia Potencial Total P.M.E.P.T. (Restri¸c˜oes Bilaterais) . . . 221

7.5.3 Princ´ıpio do Trabalho Virtual Complementar P.T.V.C. (Restri¸c˜oes Bilaterais) . . . 222

7.5.4 Princ´ıpio de M´ınima Energia Complementar P.M.E.C. (Restri¸c˜oes Bilaterais) . . . 223

7.6 Pr´ıncipios Variacionais. Restri¸c˜oes Unilaterais Perfeitas (Sem Atrito) . . . 223

7.6.1 Princ´ıpio de M´ınima Energia Potencial Total (Restri¸c˜oes Unilaterais)224 7.6.2 Princ´ıpio de M´ınima Energia Complementar (Restri¸c˜oes Unilaterais)226 7.7 Princ´ıpio de Min-Max. Funcional de Hellinger-Reissner . . . 226

7.7.1 Princ´ıpio de Hellinger-Reissner . . . 228

7.8 Funcional Generalizado . . . 230

7.8.1 Princ´ıpio Variacional Generalizado . . . 230

7.9 Teorema de Castigliano . . . 231

7.10 Cotas para Deslocamentos e Cargas Generalizadas . . . 234

7.11 Problema da Elastodinˆamica (Restri¸c˜oes Bilaterais) . . . 239

7.12 Solu¸c˜ao Aproximada dos Problemas Variacionais . . . 242

7.13 Problema da Elastost´atica. Restri¸c˜oes Bilaterais . . . 242

7.14 Solu¸c˜ao Aproximada do Problema Variacional de Hellinger-Reissner . . . . 248

7.15 Solu¸c˜ao Aproximada do Princ´ıpio Variacional Generalizado . . . 251

7.16 Algoritmos Num´ericos para Problemas de Contato em Elastost´atica . . . . 254

IV

Apˆ

endices

259

A Defini¸c˜oes e Nota¸c˜oes 261 A.1 Espa¸co Vetorial Real . . . 261

A.1.1 Subespa¸co . . . 262

A.1.2 Variedade Linear. Transla¸c˜ao de um Subespa¸co . . . 262

A.2 Transforma¸c˜oes Lineares. . . 263 iii

(6)

A.4 Funcionais . . . 264

A.5 O Espa¸co Dual Alg´ebrico . . . 264

A.6 Alguns Elementos de An´alise Real . . . 265

A.6.1 Sequˆencias . . . 267

A.7 Limite e Continuidade de Fun¸c˜oes . . . 269

A.8 Espa¸cos M´etricos . . . 270

A.9 Espa¸cos Normados . . . 273

A.10 Espa¸cos com Produto Interno . . . 279

B A Convexidade no C´alculo Variacional 281 B.1 Introdu¸c˜ao . . . 281

B.2 Fun¸c˜oes Convexas . . . 283

B.3 Semicontinuidade . . . 283

B.4 Diferencial no Sentido de Gateaux . . . 284

B.5 Minimiza¸cão de Funcionais Convexos. Caracteriza¸cão do Ponto de M´ınimo 284 C Exerc´ıcios 287 C.1 Introdu¸cão . . . 287

(7)

Lista de Figuras

1.1 Viga . . . 2

1.2 Ponto de cela . . . 5

1.3 M´aximos, m´ınimos e pontos estacion´arios . . . 5

1.4 Viga apoiada em ambas extremidades . . . 11

1.5 Viga engastada em x=0 . . . 11

1.6 Viga engastada em x=0 com descontinuidade em x=a . . . 11

2.1 Problema da Brachistochrone . . . . 17

2.2 Geod´esica em <3 _{. . . .} ₂₀

2.3 Geod´esica numa esfera . . . 22

2.4 Problema de control da dire¸c˜ao . . . 24

2.5 Problema de Dido . . . 25

2.6 Analogia f´ısica para o problema isoperim´etrico de Dido . . . 26

2.7 Problema isoperim´etrico . . . 26

2.8 Problema da caten´aria . . . 27

2.9 Superf´ıcie m´ınima de revolu¸c˜ao . . . 28

2.10 M´ınima superf´ıcie de revolu¸c˜ao para L muito maior que r1 e r2 . . . 28

2.11 M´ınima superf´ıcie de revolu¸c˜ao para L suficientemente grande . . . . 29

4.1 Diferentes conci¸c˜oes de contorno . . . 52

4.2 Fun¸c˜oes convexas . . . 57

4.3 Convexidade para fun¸c˜oes f ∈ C1_{[I] . . . .} ₅₇

4.4 Problema de Dido . . . 71

4.5 Variao geral de um funcional . . . 91

4.6 Curva Braquist´ocrona com extremo livre . . . 94

4.7 Extremos livres via An´alise de Sensibilidade . . . 95

4.8 Fun¸c˜oes extremos com pontos angulosos . . . . 100

4.9 Extremos com pontos angulosos . . . 101

4.10 Viga el´astica com propriedades geom´etricas/material descont´ınuas . . . 105

5.1 Matriz (a) banda e (b) skyline . . . 122

5.2 Barra elástica homogenea de se¸cão transversal e carregamento constante . 122 5.3 Fun¸cão φi linear por parte. . . 128

5.4 Parti¸c˜ao de [0, L] em 4 intervalos. . . . 129 v

(8)

5.6 Restri¸c˜ao de φ1 e φ2 em Ωe= Ω2. . . 132

5.7 Montagem da matriz global. . . 133

5.8 Viga sob funda¸c˜ao felx´ıvel. . . 137

5.9 Fun¸c˜oes c´ubicas de suporte compacto. . . 139

5.10 Exerc´ıcio 5.4. . . 140

5.11 Exerc´ıcio 5.7, tor¸c˜ao numa barra retangular . . . 140

5.12 Fun¸c˜ao ϕ. . . . 143

5.13 Exemplo 5.9, Viga simplesmente apoiada com carga uniforme . . . 151

5.14 Exemplo 5.10. . . 153

5.15 Fun¸c˜oes de interpola¸c˜ao de suporte compacto. . . 157

5.16 Contribui¸cão da região e nas fun¸cões de interpola¸cão de suporte compacto. 158 5.17 Exerc´ıcio 5.10 . . . 163 5.18 Exerc´ıcio 5.11. . . 164 5.19 Exerc´ıcio 5.12. . . 164 5.20 Exerc´ıcio 5.13. . . 165 5.21 Exemplo 5.12. . . 167 6.1 Deforma¸cão. . . 175 6.2 Configura¸cões admiss´ıveis. . . 184

6.3 Espa¸cos vetoriais e demais elementos introduzidos pela cinem´atica. . . 186

6.4 Formula¸c˜ao Variacional: principais elementos. . . 190

6.5 Corpo com restri¸c˜oes cinem´aticas bilaterais. Exemplo de carga externa compat´ıvel com o equil´ıbrio. . . 197

7.1 Propriedade das fun¸c˜oes π e π∗ _{. . . .} ₂₀₆

7.2 Princ´ıpio do Trabalho Virtual para corpos de Material Hiperel´astico . . . . 215

7.3 Principios Variacionais na teoria da elasticidade em pequenas deforma¸c˜oes e deslocamentos . . . 232

7.4 Viga engastada em um extremo do exemplo 7.1 . . . 235

7.5 Viga engastada do exemplo 7.2 . . . 238

A.1 O espa¸co C(0, 1) com a norma definida em (A.6) n˜ao ´e completo. . . . 275

A.2 O espa¸co C(0, 1) com a norma definida em (A.7) n˜ao ´e completo. . . . 275

C.1 Problema da Braquist´ocrona . . . 288

C.2 Problema da Geod´esica: Cone . . . 289

C.3 Problema da Geod´esica: Cilindro . . . 290

C.4 Problema do bote . . . 290

C.5 Barra el´astica submetida a tors˜ao . . . 293

(9)

Prefacio

Os métodos e princ´ıpios variacionais têm um papel importante na Modelagem e Simula¸cão Computacional. Como veremos nesta monografia, a forma variacional das leis que go-vernam o comportamento dos meios cont´ınuos, é a maneira mais natural e rigorosa de institu-las.

O emprego da formula¸cão variacional permite reduzir em uma única expressão integral todos os elementos que participam na modelagem do problema que se está analisando, tais como: equa¸cões de equil´ıbrio, equa¸cões constitutivas (comportamento do material), condi¸cões de contorno, condi¸cões iniciais, de descontinuidade, etc.

Por exemplo, as formas locais das equa¸cões que regem o movimento de um corpo, podem ser obtidas diretamente a partir da própria formula¸cão variacional. Por sua vez, e isto é importante desde o ponto de vista das aplica¸cões, a formula¸cão variacional propor-ciona, de maneira natural, os métodos de resolu¸cão para a obten¸cão de solu¸cões aproxi-madas. Estes métodos, chamados Métodos Variacionais, permitem determinar solu¸cões aproximadas muitas vezes de fácil implementa¸cão computacional independentemente da complexidade da geometria do dom´ınio onde o problema está definido.

Outro aspecto importante dos Métodos Variacionais na Modelagem e Simula¸cão Com-putacional quando comparada com a formula¸cão clássica (local), é a de permitir reunir dentro de um mesmo formalismo diferentes problemas aparentemente não relacionados entre si. Este poder de s´ıntese, permite distinguir as hipóteses e aspectos fundamentais dos modelos que estejam sendo analisados. Finalmente, os Métodos Variacionais propor-cionam, através das ferramentas da Análise Funcional, os elementos necessários ao estudo da existência e unicidade da solu¸cão e das estimativas a priori e a posteriori do erro de aproxima¸cão.

Iniciado por Aristóteles a mais de 300 anos antes de Cristo, formulado pela primeira vez nos celebres trabalhos de J. Bernoulli e definitivamente estabelecido a partir dos trabalhos de D’Alambert, podemos concluir (ver [Lan70]) que os Métodos Variacionais têm um significado muito mais que acidental. De fato, os Métodos Variacionais têm uma importância fundamental na elabora¸cão dos modelos constituindo-se na formula¸cão natural para os mesmos.

Com o intuito de facilitar o aprendizado deste tema, fornecendo uma introdu¸cão do Cálculo Variacional, dos Métodos Variacionais e de suas aplica¸cões em Mecânica, esta monografia foi elaborada para o curso GA-015 Métodos Variacionais da Pós-Gradua¸cão em Modelagem Computacional do LNCC/MCT.

Como a idioma materno dos autores não é o português, agradecemos todo tipo de

(10)

as corre¸cões, sugestões e criticas referente ao conteúdo destas notas serão também muito apreciadas pelos autores já que, tanto estas como as anteriores, permitirão melhorar em muito esta monografia.

Recomendamos ainda a leitura dos seguintes livros: Calculus of Variations, de Gelfand & Fomin, PrenticeHall, 1963, ([GF63]); Variational Methods in Mathematical Physics, Pergamon Press, 1969, ([Mik64]); The Problem of the Minimum of Quadratic Function-als, Holden Day, 1965, ([Mik65]); Mathematical Physics and Advanced Course, North Holland, 1970, ([Mik70]); The Numerical Performance of Variational Methods, Nordhoff Pub., 1971, ([Mik71]); An Approximation on Rectangular Grid, Sijthoff-Noordhoff, 1979, ([Mik79]), todos de S. G. Mikhlin; Approximate Methods of Solution for Differential and Integral Equations, Elsevier, 1967, de S. G. Mikhlin & K. L. Smolitskiy ([MS67]); Variational Methods in Theoretical Mechanics, de J. T. Oden, Springer Verlag, 1983, ([OR76b]); Direct Methods in the Calculus of Variations, de B. Dacorogna, Springer Ver-lag, (1989); Ecuaciones Diferenciales y C´alculo Variacional, de L. Elsgoltz, Editorial MIR, 1969, ([Els69]).

Finalmente, para os interessados em adquirir maiores conhecimentos nestes temas, tamb´em recomendamos a leitura dos cap´ıtulos 3 e 4 de C. Lanczos ([Lan70]), os livros de Duvaut e Lions ([DL72]), de Ekeland y Temam ([ET74]), de P. Germain ([Ger80]), de Y. C. Fung ([Fun65]), de M. Fremond ([Fre80]), de Oden e colaboradores ([Ode79], [OCB81], [OC83a], [OC83b], [OR76b]), de P. D. Panagiotopoulos ([Pan90]), de Rektorys ([Rek75]), os trabajos de P. Germain ([Ger72], [Ger73a], [Ger73b], [Ger82]) , de M. A. Maugin ([Mau80]), de Romano e colaboradores ([Rom75], [Rom79], [Rom82], [Rom84], [RA], [RR79], [RRMdSB93], [RRMdS93a], [RRMdS93c], [RRMdS93b]) , e os trabalhos [FT83], [FT80], [FT82], [TF83], citados na bibliografia.

R. A. Feij´oo, E. Taroco e C. Padra

LNCC/MCT - Laboratóio Nacional de Compurta¸cão Cient´ıfica. Petrópolis, Rio de Janeiro, Brasil

Fevereiro, 2004

(11)

Cap´ıtulo 1

Motiva¸c˜

ao

Neste cat´ıtulo pretendemos fornecer uma visão panorâmica do papel que jogam os Métodos

Variacionais no contexto da Modelagem Computacional. De fato, durante a etapa de

es-tudo e defini¸cão do modelo (matemático) que governa (ou que aproxima) um determinado problema f´ısico podemos distinguir dois caminhos. O primeiro, que chamaremos clássico, consistira em modelar o problema f´ısico através de um problema de valor de contorno. O segundo, que chamaremos variacional, consistirá em formular o problema através de uma expressão integral que poderemos requerer

i) alcance um valor extremal (m´aximo ou m´ınimo), neste caso a express˜ao integral recebe o nome de funcional;

ii) que seja nula, neste caso a express˜ao integral recebe o nome de equa¸c˜ao variacional;

iii) que seja menor ou igual a zero, neste caso a express˜ao integral recebe o nome de

inequa¸c˜ao variacional;

Como veremos mais adiante, esta última forma de modelar um determinado problema f´ısico ainda proporciona de maneira natural procedimentos (Métodos Variacionais) para obter uma solu¸cão aproximada quando a solu¸cão exata é dif´ıcil ou, muitas vezes, imposs´ıvel de ser calculada.

Para entendermos melhor o anterior, suponha que estamos estudando o problema de uma viga de material elástico submetida a um carregamento transversal q como indicado na Figura 1.1. Empregando o primeiro caminho, o problema consistira em determinar a fun¸cão u = u(x) tal que satisfa¸ca a seguinte equa¸cão

d2 dx2 · E(x)I(x)d 2_u dx2 ¸ = q(x) (1.1)

onde E = E(x) ´e o Modulo de Elasticidade de Young que satisfaz a propriedade

E ≥ E0 > 0, ∀x ∈ [0, L] (1.2)

(12)

Figura 1.1: Viga

I = I(x) é o Momento de Inércia da se¸cão transversal que também satisfaz a condi¸cão I ≥ I0 > 0, ∀x ∈ [0, L] (1.3)

Da equa¸cão (1.1) podemos observar que, se existe uma solu¸cão u, existirão infinitas já que v = u + f (x), onde f (x) é uma fun¸cão arbitraria tal que sua derivada segunda seja identicamente nula, também é uma solu¸cão. Vemos assim que o problema ainda não esta totalmente definido sendo necessário incluir outras informa¸cões. Estas informa¸cões adicionais estão associadas ao valor que a poss´ıvel solu¸cão u = u(x) e suas derivadas até um certo ordem (no presente problema até a terceira ordem) assumem nos extremos do intervalo [0, L] isto é, em x = 0 e x = L. Estas condi¸cões são chamadas condi¸cões de

contorno que, para o exemplo da Figura 1.1, correspondem `a condi¸c˜ao de viga engastada u(0) = du

dx(0) = u(L) = du

dx(L) = 0 (1.4)

Para completar a defini¸cão do problema, falta ainda definir o grau de regularidade da fun¸cão u. Desde o ponto de vista clássico, a equa¸cão (1.1) terá sentido somente se admitirmos como m´ınimo que o carregamento transversal q seja uma fun¸cão continua (q ∈ C(0, L)), o dado f´ısico (comportamento do material - Modulo de Elasticidade de Young) e o dado geométrico (momento de inércia) sejam fun¸cões de classe C2 _{(E, I ∈}

C2_{(0, L)). Com estas restri¸c˜oes, o modelo fica definido pelo seguinte problema de valor de}

contorno-P.V.C.:

Determinar u ∈ C4_{(0, L) tal que}

d2 dx2 · E(x)I(x)d2u dx2 ¸ = q(x), ∀x ∈ (0, L) u(0) = du dx(0) = u(L) = du dx(L) = 0 (1.5) q ∈ C[0, L], E, I, ∈ C2_{(0, L)}

Como o leitor pode observar, este tipo de abordagem para formular (modelar) um determinado problema apresenta s´erias desvantagens. Por exemplo, no problema f´ısico

(13)

3

que desejamos modelar dificilmente encontraremos tanta regularidade. O carregamento q geralmente é caracterizado por uma fun¸cão descontinua e, muitas vezes pode ser repre-sentado por uma fun¸cão tipo delta-Dirac (que corresponde a um carregamento pontual). Algo similar pode acontecer com as propriedades do material e/ou geometria da viga que poderão também ser caracterizadas por fun¸cões descontinuas. Neste caso o P.V.C. (1.5) não poderá ser visto da maneira clássica sendo necessário estender (ou genera-lizar) o conceito de derivada (derivada generalizada). Outra desvantagem da formula¸cão clássica surge no momento de tratar de calcular a solu¸cão do P.V.C. Em geral, os métodos dispon´ıveis exigem um grau de conhecimento matemático muitas vezes fora do alcance dos profissionais em engenharia, biologia, etc. Em outros casos, os métodos existentes não são suficientes para determinar uma solu¸cão seja pela complexidade do P.V.C. (por exemplo não linearidade), seja pela complexidade do dom´ınio onde esta definido o P.V.C. Como mencionamos no inicio desta se¸cão, outra forma de modelar o problema f´ısico é empregando a formula¸cão variacional. Neste caso, o problema é formulado, por exemplo, através da algumas das seguintes formas

• Determinar u ∈ U tal que

udef= arg min

v∈U ½ F(v) = Z Ω f (v)dΩ ¾ (1.6)

F(u, v) =

Z Ω

f (u, v)dΩ = 0 ∀v ∈ V (1.7)

F(u, v) =

Z Ω

f (u, v)dΩ ≥ 0 ∀v ∈ V (1.8)

onde U é o conjunto de fun¸cões admiss´ıveis ou fun¸cões testes e V é a variedade linear associada. Como veremos no decorrer deste curso, esta abordagem pode ser considerada

natural tendo em vista sua rela¸c˜ao intr´ınseca com o homem.

Em particular, os problemas variaicionais despertaram o interesse do homem desde sua origem. Por exemplo, o caminhar em linha reta para alcan¸car um ponto vis´ıvel de destino ´e uma solu¸c˜ao instintiva do homem para encontrar o extremal do problema: dados

dois pontos em um plano, A de partida e B de destino, determinar o caminho que tenha o menor comprimento poss´ıvel. Outro exemplo surge quando desejamos realizar uma tarefa

f´ısica. Neste caso o ser humano tratara de realiz´a-la seguindo o caminho do menor esfor¸co

poss´ıvel.

Mais formalmente, empregaremos a express˜ao problema extremal toda vez que se deseje determinar o maior ou o menor valor poss´ıvel de uma certa quantidade. Por exemplo, desejamos determinar o ponto mais alto de uma montanha (ou o ponto mais baixo num

(14)

vale) ou o caminho de menor comprimento unindo dois pontos de uma superf´ıcie. A

formula¸cão e solu¸cão destes e outros problemas similares, é uma área da matemática

conhecida como C´alculo Variacional e M´etodos Variacionais respectivamente.

Desde um ponto de vista formal, o problema de minimizar (ou maximizar) uma dada expressão integral é considerada como o dom´ınio próprio do Cálculo Variacional. Por outro lado, o problema de minimizar (ou maximizar) uma fun¸cão pertence ao Cálculo (de fun¸cões).

Historicamente ambos problemas surgiram simultaneamente não existindo uma clara distin¸cão entre ambos até que Euler, em 1732 (tinha somente 25 anos!), deu os primeiros passos no desenvolvimento de um método geral para a solu¸cão de problemas variacionais quando apresentou a solu¸cão geral do problema isoperimétrico: encontrar entre as curvas

planas de comprimento dado aquela que limite a maior ´area poss´ıvel.

Outro grande passo no desenvolvimento do Cálculo Variacional teve origem nas con-tribui¸cões de Lagrange quando, aos 19 anos!, manteve ativa correspondência com Euler. Euler trabalhou intensamente no desenvolvimento do método proposto por Lagrange, publicando seus resultados somente apos os trabalhos de Lagrange serem publicados em 1760 e 1761. Estes trabalhos conjuntamente com o trabalho de Lagrange (Méchanique Analytique, 1788) estabeleceram as bases para a solu¸cão geral dos problemas variacionais. Antes de proceder ao desenvolvimento formal das ferramentas do Cálculo Variacional (e métodos associados) vamos a considerar um conjunto de exemplos simples que permitira fornecer uma visão geral dos elementos que integram o Cálculo Variacional.

Suponha que desejamos encontrar o ponto mais alto em uma montanha onde a altura esta dada pela fun¸c˜ao

h = f (x, y) (1.9)

onde, para simplificar, suporemos que f (x, y) é uma fun¸cão cont´ınua e suficientemente regular nas variáveis x e y.

O problema do ponto m´aximo (ou m´ınimo) esta associado intimamente com o conceito natural de compara¸c˜ao e distancia. De fato, se a gente se encontra no topo da montanha

todos os pontos da mesma dever˜ao ter altura menor. Encontramos aqui uma caracter´ıstica

dos problemas de extremo: a compara¸cão entre pontos que poderão estar próximos ou

distantes do ponto onde estamos parados. Logo, na defini¸c˜ao do conceito de ponto mais alto (baixo) devemos primeiro definir o conjunto dos pontos com os quais faremos a

compara¸cão. Se neste conjunto todos os pontos que o integram estão próximos ao ponto onde estamos parados teremos que o conceito de extremal é um conceito local. Neste caso diremos que estamos procurando um máximo (ou m´ınimo) local. Se o conjunto engloba

todos os pontos da montanha teremos um m´aximo (ou m´ınimo) global.

Na procura do extremal local, podemos restringir a compara¸cão a pontos arbitraria-mente próximos (infinitesimal) a nossa posi¸cão. Neste caso, todos os pontos terão, dentro de uma aproxima¸cão de primeira ordem, a mesma altura. Em outras palavras a taxa de varia¸cão da altura deve ser nula em qualquer dire¸cão adotada (estamos supondo que o ponto onde estamos parados é um ponto interior do conjunto e esta é uma condi¸cão fun-damental em nossa análise). Certamente, se a taxa de varia¸cão para uma dada dire¸cão for positiva isto diz que existem, nessa dire¸cão, pontos mais altos próximos a nos. Por outro

(15)

5

Figura 1.2: Ponto de cela

Figura 1.3: M´aximos, m´ınimos e pontos estacion´arios

lado, se a taxa for negativa a gente poderá mover-se em dire¸cão oposta dando lugar a uma mudan¸ca positiva indicando, mais uma vez, pontos mais altos. Assim, vemos que valores negativos ou positivos da taxa de varia¸cão da altura são exclu´ıdos se um máximo (ou m´ınimo) local é requerido no ponto onde estamos parados. Chegamos assim formalmente ao principio de que a fun¸cão alcan¸ca um ponto extremal máximo se

∇f (x, y) · dx ≤ 0 ∀dx admiss´ıvel (1.10)

e um ponto extremal m´ınimo se

∇f (x, y) · dx ≥ 0 ∀dx admiss´ıvel (1.11) onde ∇f (x, y) = [∂f ∂x, ∂f ∂y], dx = [dx, dy] (1.12)

Se o ponto (x, y) é interior, verificamos que se dx é admiss´ıvel então −dx também é admiss´ıvel, logo da expressão (1.10) ou da expressão (1.11) obtemos

∇f (x, y) · dx ≤ 0 ∀dx ⇒ ∇f (x, y) = 0 (1.13)

Entretanto, devemos observar que satisfazer este principio não é suficiente para garan-tir um ponto extremal. Como mostrado na Figura 1.2, para certa dire¸cão temos um máximo e para outra um m´ınimo. De maneira mais simples, a Figura 1.3 nos apresenta todos os casos discutidos.

O estudo de pontos onde a taxa de varia¸cão em toda dire¸cão é nula é importante. Pontos onde isto acontece, são pontos excepcionais que recebem o nome de pontos

(16)

para uma certa expressão integral (ver a expressão (1.6) onde estamos procurando a fun¸cão

u ∈ U de maneira a minimizar (ou maximizar) o valor que toma a express˜ao integral F(u)), ou requer que o valor que toma uma certa express˜ao integral seja nula ou satisfa¸ca

uma desigualdade para toda dire¸cão admiss´ıvel (ver expressões (1.7) e (1.8) onde v ∈ V corresponde a uma dire¸cão admiss´ıvel).

Retornando ao problema da viga, cuja modelagem clássica foi caracterizada pelo pro-blema de valor de contorno (1.5), veremos agora como este propro-blema fica caracterizado através da formula¸cão variacional.

Para isto, definamos primeiro o conjunto de fun¸c˜oes admiss´ıveis ou fun¸c˜oes testes

U =

½

u suficientemente regular, u(0) = du

dx(0) = u(L) = du

dx(L) = 0

¾

(1.14)

Com a expressão suficientemente regular desejamos enfatizar que a fun¸cão u deve ter a regularidade necessária para que as opera¸cões matemáticas a serem realizadas tenham sen-tido. Fora deste requisito, a caracteriza¸cão de U somente requer a imposi¸cão de restri¸cões f´ısicas evidentes (condi¸cões principais de contorno). Como as restri¸cões são homogêneas, este conjunto é um espa¸co vetorial onde as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar estão definidas.

Seja u = u(x) solu¸cão do P.V.C. dado pelo conjunto de expressões (1.5). Neste caso é evidente que

u ∈ U (1.15)

Por sua vez, para toda v ∈ U se verifica que Z _L 0 ½ d2 dx2 · E(x)I(x)d2u dx2 ¸ − q(x) ¾ v(x)dx = 0, ∀v ∈ U (1.16)

Com este resultado, podemos pensar em caracterizar a solu¸cão do problema da viga pela expressão anterior (compare isto com a equa¸cão variacional (1.7)). Para que isto seja correto, temos que verificar que, satisfazer a expressão (1.16) seja equivalente a satisfazer o P.V.C. (1.5). De fato, do grau de regularidade existente em U e admitindo a regularidade necessária nos dados geométricos (I = I(x)), nos dados associados ao material da viga (E = E(x)) e de carregamento (q = q(x)), temos

Φ(x) = ½ d2 dx2 · E(x)I(x)d2u dx2 ¸ − q(x) ¾ ∈ C(0, L) (1.17)

Admitindo a existˆencia de um ponto xo ∈ (0, L) tal que

Φ(x) = ½ d2 dx2 · E(x)I(x)d2u dx2 ¸ − q(x) ¾ |x=xo 6= 0 (1.18)

pela continuidade de Φ, existe um intervalo Ixo = (xo− ², xo+ ²) para ² suficientemente

(17)

7

escolher a fun¸c˜ao v ∈ U que tenha o mesmo sinal de Φ no intervalo Ixo e seja nula fora

do mesmo. Do anterior obtemos Z _L 0 ½ d2 dx2 · E(x)I(x)d2u dx2 ¸ − q(x) ¾ v(x)dx = = Z _x_o_+δ xo−δ ½ d2 dx2 · E(x)I(x)d2u dx2 ¸ − q(x) ¾ v(x)dx > 0. (1.19)

Chegamos assim a uma contradi¸c˜ao resultante de supor que Φ(xo) 6= 0. Por tanto

Φ(xo) = 0 (1.20)

e, como xo ´e um ponto arbitr´ario do intervalo (0, L), temos

Φ(x) = ½ d2 dx2 · E(x)I(x)d 2_u dx2 ¸ − q(x) ¾ ≡ 0, ∀x ∈ (0, L) (1.21)

Chegamos assim a dois resultados. O primeiro ´e chamado Lema Fundamental do

C´alculo das Varia¸c˜oes: seja Φ ∈ C(a, b) tal que

Z _b

a

Φ(x)v(x)dx = 0 ∀v ∈ C[a, b] ⇒ Φ ≡ 0 ∈ [a, b] (1.22)

O segundo resultado esta associado `a equivalˆencia entre o problema de valor de con-torno (1.5) e o Problama Variacional:

Determinar u ∈ U tal que

F(u, v) = Z _L 0 ½ d2 dx2 · E(x)I(x)d2u dx2 ¸ − q(x) ¾ v(x)dx = 0, ∀v ∈ U (1.23)

compare este resultado com a express˜ao (1.7).

Podemos avan¸car ainda mais. Integrando por partes a express˜ao(1.23) temos Z _L 0 ½ d2 dx2 · E(x)I(x)d 2_u dx2 ¸ − q(x) ¾ v(x)dx = = · d dx µ E(x)I(x)d 2_u dx2 ¶ v(x) ¸_L 0 | {z }

=0j´a quev∈U

+ Z _L 0 ½ − · d dx µ E(x)I(x)d 2_u dx2 ¶¸ dv dx − q(x)v(x) ¾ dx = = − · E(x)I(x)d2u dx2 dv dx ¸_L 0 | {z }

=0j´a quev∈U

+ Z _L 0 ½ E(x)I(x)d2u dx2 d2_v dx2 − q(x)v(x) ¾ dx = = Z _L 0 {E(x)I(x)d 2_u dx2 d2_v dx2 − q(x)v(x)}dx = 0, ∀v ∈ U (1.24)

(18)

Desta maneira, o Problema Variacional (1.23) ´e equivalente a: Determinar u ∈ U tal que

G(u, v) = Z _L 0 E(x)I(x)d 2_u dx2 d2_v dx2dx − Z _L 0 q(x)v(x)dx = 0, ∀v ∈ U (1.25)

Introduzindo a nota¸c˜ao mais compacta

a(u, v) = Z _L 0 E(x)I(x)d 2_u dx2 d2_v dx2dx (1.26) l(v) = Z _L 0 q(x)v(x)dx (1.27)

o problema variacional (1.25) toma a forma final: Determinar u ∈ U tal que

a(u, v) = l(v), ∀v ∈ U (1.28)

Da defini¸c˜ao da forma a(u, v) temos

a(u, v) = a(v, u) ∀u, v ∈ U ⇒ simetria (1.29)

a(u, u) ≥ 0, ∀u ∈ U ⇒ positiva semidefinida (1.30)

e das propriedades impostas aos dados f´ısico e geom´etrico ((1.2) e (1.3)) temos

a(u, u) = 0 ⇔ Z _L 0 E(x)I(x) ½ d2_u dx2 ¾2 dx = 0 ⇔ d 2_u dx2 ≡ 0 ∀x ∈ [0, L] ⇔ ⇔ du dx ≡ cte. ∀x ∈ [0, L] ⇔ du dx ≡ 0 ∀x ∈ [0, L] condi¸c˜oes de contorno! ⇔ ⇔ u ≡ cte. ∀x ∈ [0, L] ⇔ u ≡ 0 condi¸c˜oes de contorno! (1.31)

Deste ´ultimo resultado obtemos mais uma propriedade da forma a(u, v)

a(u, u) ≥ 0, e = 0 se e s´o se u = 0 ∈ U ⇔ positiva definida (1.32)

Das propriedades da forma a(u, v) podemos obter o seguinte resultado.

Proposi¸cão 1.1 (Unicidade) Se existe solu¸cão do Problema Variacional (1.28) esta solu¸cão é única.

Prova. Sejam duas solu¸c˜oes diferentes u1 e u2 ∈ U, isto ´e

u1− u2 6= 0 (1.33) Sendo solu¸c˜oes de (1.28) satisfazem respectivamente

(19)

9

subtraindo ambas express˜oes obtemos

a(u1− u2, v) = 0 ∀v ∈ U (1.35) Por sua vez como v ´e arbitr´ario, podemos adotar v = u1 − u2 ∈ U obtendo

a(u1− u2, u1− u2) = 0 (1.36) e da propriedade (1.32), temos finalmente

u1 = u2 = u (1.37) Isto é, se a solu¸cão existe ela é única.

Outro resultado importante que podemos obter das propriedades da forma a(u, v) ´e o seguinte. Definamos a seguinte express˜ao integral (funcional)

F(v) = 1

2a(v, v) − l(v); v ∈ U (1.38) Da defini¸c˜ao anterior e para todo v ∈ U temos

F(v) − F(u) = 1 2a(v, v) − l(v) − 1 2a(u, u) + l(u) = 1 2a(v, v) − 1 2a(u, u) − l(v − u) = 1 2a(v, v) − 1 2a(u, u) − a(u, v − u) = 1 2a(v, v) + 1 2a(u, u) − a(u, v) = 1 2a(v − u, v − u) ≥ 0 e = 0 se e s´o se v = u (1.39) Do resultado anterior obtemos uma outra forma de caracterizar a solu¸c˜ao do problema da viga que estamos estudando: Determinar u ∈ U tal que

udef= arg min

v∈U F(v) (1.40)

Compare este resultado com a express˜ao (1.6). ´

E importante ressaltar aqui que as formula¸cões variacionais (1.28) e (1.40) embora tenham sido obtidas através da formula¸cão clássica podem ser obtidas diretamente dos

Princ´ıpios Variacionais da Mecˆanica chamados, respectivamente, Princ´ıpio da Potencia Virtual e Princ´ıpio da M´ınima Energia Potencial Total.

Neste momento podemos j´a observar algumas vantagens da formula¸c˜ao variacional

• a caracteriza¸cão do conjunto U é simples e o termo suficientemente regular pode agora ser definido com precisão

U = {v; v,dv dx e d2_v dx2 quadrado integr´aveis em [0, L] e v(0) = dv dx(0) = v(L) = dv dx(L) = 0}; (1.41)

(20)

• permite o estudo da unicidade da solu¸c˜ao.

Outra vantagem adicional na formula¸cão variacional esta relacionada com o estabele-cimento das condi¸cões de contorno. Quando tratamos de formular o problema da viga de maneira clássica a equa¸cão diferencial não foi suficiente, sendo necessário incluir condi¸cões de contorno. Estas condi¸cões de contorno foram inferidas pelas caracter´ısticas f´ısicas do problema (viga engastada). Isto já não seria tão simples se, em lugar de solucionar o pro-blema da Figura 1.1, for necessário solucionar propro-blemas como os indicados nas Figuras 1.4 - 1.6. Assim, quais seriam as condi¸cões de contorno apropriadas para resolver estes problemas ?. Para o problema da Figura 1.4 somente podemos dizer que u(0) = u(L) = 0 e que du/dx esta livre nos extremos. De maneira similar, para o problema da Figura 1.5-1.6 temos que u(0) = du

dx(0) = 0. Qual ´e a condi¸c˜ao de salto no ponto x = a?. Assim,

não temos informa¸cões suficientes para podermos integrar a equa¸cão diferencial. Logo, como obter as condi¸cões de contorno faltantes?.

O anterior não acontece com as formula¸cões variacionais (1.28) e (1.40). As condi¸cões de contorno anteriores são suficientes para definir os diferentes problemas de viga com precisão

• Problema da viga da Figura 1.1. u(0) = u(L) = du dx(0) =

du

dx(L) = 0

• Problema da viga da Figura 1.4. u(0) = u(L) = 0

• Problema da viga da Figura 1.5-1.6. u(0) = du

dx(0) = 0

Como já mencionado, estas condi¸cões são suficientes para formular corretamente todos estes problemas. Por esta razão são chamadas condi¸cões de contorno principais. Como veremos, as outras condi¸cões de contorno, necessárias para resolver os problemas de valor de contorno (forma clássica), são automaticamente satisfeitas pela solu¸cão do problema variacional. Em outras palavras, estas condi¸cões de contorno estão naturalmente incorpo-radas na propria formula¸cão variacional. Por esta razão estas condi¸cões recebem o nome

condi¸c˜oes de contorno naturais.

Para obte-las basta integrar por parte. Para isto, tomemos a formula¸c˜ao variacional definida em (1.28) e integremos por parte

∀v ∈ U 0 = a(u, v) − l(v) = Z _L 0 E(x)I(x)d 2_u dx2 d2_v dx2dx − Z _L 0 q(x)v(x)dx = · E(x)I(x)d2u dx2 dv dx ¸_L 0 + · E(x)I(x)d2u dx2 dv dx ¸_a− a+ − Z _L 0 d dx · E(x)I(x)d 2_u dx2 ¸ dv dxdx − Z _L 0 q(x)v(x)dx = − · d dx µ E(x)I(x)d 2_u dx2 ¶ v(x) ¸_L 0 | {z } 1 − · d dx µ E(x)I(x)d 2_u dx2 ¶ v(x) ¸_a− a+ | {z } 2

(21)

11

Figura 1.4: Viga apoiada em ambas extremidades

Figura 1.5: Viga engastada em x=0

+ · E(x)I(x)d 2_u dx2 dv dx ¸_L 0 | {z } 3 + · E(x)I(x)d 2_u dx2 dv dx ¸_a− a+ | {z } 4 + Z _L 0 d2 dx2 · E(x)I(x)d 2_u dx2 ¸ v(x)dx − Z _L 0 q(x)v(x)dx | {z } 5 (1.42)

Da expressão (1.42) obtemos todas as equa¸cões e restri¸cões que a solu¸cão do problema de viga deve satisfazer

• Equa¸c˜ao de equilibrio d2 dx2 · E(x)I(x)d2u dx2 ¸ − q(x) = 0 ∀x ∈ [0, a−_{) e (a}+_{, L]} _(1.43)

• Condi¸c˜oes de contorno principais

– Para a viga de Figura 1.1

u(0) = du

dx(0) = u(L) = du

dx(L) = 0 (1.44)

u(0) = u(L) = 0 (1.45)

(22)

– Para as vigas das Figuras 1.5-1.6

u(0) = du

dx(0) = 0 (1.46)

• Condi¸c˜oes de contorno naturais

d2_u

dx2(0) =

d2_u

dx2(L) = 0 (1.47)

– Para as vigas das Figuras 1.5-1.6

d dx µ E(x)I(x)d2u dx2 ¶ (L) = 0 (1.48) µ EId 2_u dx2 ¶ (L) = 0 (1.49) • Condi¸c˜oes de salto

– Para todas as vigas · d dx µ E(x)I(x)d2u dx2 ¶¸_a− a+ = 0 (1.50) · E(x)I(x)d 2_u dx2 ¸_a− a+ = 0 (1.51)

Finalmente, outra vantagem da formula¸cão variacional quando comparada com a for-mula¸cão clássica, esta relacionada com os métodos para a obten¸cão da solu¸cão do prob-lema. Como veremos em detalhe neste curso, a formula¸cão variacional também propor-ciona de maneira natural os métodos de solu¸cão. Métodos estes que exigem um con-hecimento diferente do necessário para determinar a solu¸cão do problema de valor de contorno.

Por exemplo, se o problema variacional consiste em determinar u ∈ U tal que

udef= arg min

v∈U F(v) (1.52)

podemos apreciar que o espa¸co U (definido em (1.41)) é um espa¸co de dimensão infinita. Uma maneira natural para obtermos uma solu¸cão aproximada undeste problema consistira

em definir o problema em um subespa¸co de dimens˜ao finita Unde U, onde n representa a

dimens˜ao deste espa¸co e ainda que para n → ∞ un → u na norma do espa¸co U. Assim,

o problema variacional toma a forma: determinar un ∈ Un tal que

undef= arg min v∈Un

(23)

13

Como Un ´e de dimens˜ao finita, sera poss´ıvel escolher uma base para este espa¸co, por

exemplo {φi}i=1,···n, isto ´e

Un= span {φi}_i=1,···n (1.54)

Do anterior, temos ainda

vn∈ Un ⇔ vn= n

X

i=1

biφi, bi ∈ R (1.55)

Substituindo este resultado em (1.53) obtemos o seguinte m´etodo num´erico: Determinar

bi ∈ R, i = 1, · · · n tal que F(vn) = n X i=1 bi ( _n X j=1 1 2bja(φi, φj) − l(φi) ) = F(b1, ..., bn) (1.56)

alcance um valor m´ınimo em Un. A expressão anterior é uma fun¸c˜ao regular de n variáveis

bi, i = 1, · · · n e, como já visto, a condi¸cão necessária de m´ınimo (em este caso também

suficiente) consiste em:

∂F(b1, ..., bn) ∂bi = n X j=1 a(φi, φj)bj− l(φi) = 0, ∀i = 1, · · · n (1.57)

A solu¸cão {b1, b2, ..., bn} do sistema de equa¸cões algébricas (lineares) anterior proporciona

a solu¸c˜ao aproximada que estamos procurando

un= n

X

i=1

biφi (1.58)

Vemos assim, que a formula¸cão variacional proporcionou de maneira natural o método numérico para a obten¸cão da solu¸cão aproximada e que a mesma é obtida através da solu¸cão de um sistema de equa¸cões algébricas. Tendo em vista os computadores, este problema resulta muito fácil de ser resolvido. O emprego de técnicas similares à presente é largamente utilizado nos problemas de Cálculo das Varia¸cões.

Resumindo, neste cap´ıtulo foi apresentado de maneira superficial diversos aspectos presentes na Formula¸cão Variacional. A mesma se apresenta como a ferramenta mais adequada (natural) para modelar (formular) e resolver problemas da f´ısica e de outras áreas do conhecimento. Esta formula¸cão proporciona de maneira natural as condi¸cões de contorno (principais e naturais) e ainda fornece de maneira direta os métodos numéricos que podem ser empregados para a obten¸cão de uma solu¸cão aproximada (por esta razão estes métodos recebem o nome de métodos diretos).

(24)

(25)

Parte I

Introdu¸c˜

ao ao C´

alculo Variacional

(26)

(27)

Cap´ıtulo 2

Introdu¸c˜

ao

Tradicionalmente o cálculo das varia¸cões está relacionado com o problema de determi-nar o máximo (ou o m´ınimo) de expressões que envolvem fun¸cões. Neste cap´ıtulo vamos apresentar alguns destes problemas, que são clássicos na literatura, e que influenciaram o desenvolvimento dos fundamentos teóricos do cálculo das varia¸cões e dos métódos as-sociados para obter suas solu¸cões. A análise destes problemas nos permitirá detectar elementos comuns que, posteriormente, serão detalhados com o objetivo de formalizar nossa apresenta¸cão.

2.1 O problema da Braquist´

ocrona

Todos sabemos que, ao cair, um objeto se acelera rapidamente sob a a¸cão da gravidade. Esta constata¸cão levou Galileo a perguntar, em 1637, por que uma part´ıcula deslizando sem atrito sob a¸cão da gravidade sobre um arco de c´ırculo requeria um tempo para varrer dois pontos A e B deste arco não maior do que empregaria movendo-se sobre a reta que os une.

Podemos dizer que o cálculo das varia¸cões inicia com Johann Bernoulli, quem em 1696 desafia os matemáticos da época a encontrar a braquistócrona (do grego βραχιστ oζ ≡ o menor, χρoνoζ ≡ tempo), ou seja, a curva plana que, unindo os pontos A e B, pro-porcione o menor tempo de percurso para uma part´ıcula deslizando sem atrito sob a¸cão

Figura 2.1: Problema da Brachistochrone

(28)

da gravidade. A solu¸cão encontrada por Bernoulli, baseada em uma analogia ótica que empregava o princ´ıpio de Fermat da ótica, assim como as solu¸cões encontradas por seu irmão Jacob, por Newton, Euler e Leibnizt, mostraram que tal curva era uma ciclóide.

De um ponto de vista mais formal este problema pode ser formulado da seguinte maneira. Para um certo instante de tempo t a velocidade da part´ıcula ser´a:

v(x) = ds dt = p dx2_{+ dy}2 dt = s 1 + µ dy dx ¶₂ dx dt (2.1)

Por outro lado, se designamos com g a acelera¸cão da gravidade e com α o ângulo entre a tangente à curva y = y(x) e o eixo vertical no ponto x, temos:

˙v = dv dt = g · cos α (2.2) ˙y = dy dt = v · cos α (2.3) De onde: dv dtv = g dy dt −→ d dt ¡ v2¢= 2gdy dt −→ v 2 _{= 2gy + cte} _(2.4)

Em particular, supondo que em A v = y = 0 (A tem coordenadas x = 0, y = 0), resulta:

v =p2gy (2.5)

Substituindo este resultado em (2.1) obtemos:

dt = √1 2g s 1 + (y0₎2 y dx (2.6) onde y0 ₌ dy dx.

Logo, o tempo T = T (y) necess´ario para que a part´ıcula, partindo de A com velocidade nula, alcance o ponto B, de coordenadas x = a e y = b, deslizando-se sem atrito sobre a curva y = y(x) ser´a:

T = T (y)√1 2g Z _a 0 µ 1 + (y0₎2 y ¶1 2 dx (2.7)

De (2.7) vemos que o problema pode ser formalmente formulado da seguinte maneira:

Problema da Braquist´ocrona: determinar u ∈ D(T ) tal que: udef= arg min

v∈D(T )T (v) (2.8)

onde:

D(T ) =©y ∈ C1_{[0, a] , y(0) = 0, y(a) = b e que a integral (2.7) esteja definida}ª _(2.9) Neste ponto surgem v´arias perguntas:

(29)

2.2. Geod´esicas em Rd_{, d≥3} ₁₉

1. O problema tem solu¸c˜ao? (existˆencia)

2. Se existe solu¸cão, ela é única? (unicidade)

3. Que outras propriedades satisfaz esta solu¸c˜ao no interior do dom´ınio e no contorno?

4. Como calcul´a-la?

5. No caso de não se poder calcular uma solu¸cão exata é poss´ıvel determinar uma boa aproxima¸cão desta solu¸cão? (solu¸cão aproximada)

6. De todas as solu¸c˜oes aproximadas ´e poss´ıvel determinar a melhor?

Ao longo deste curso trataremos de responder estas perguntas para diferentes proble-mas variacionais.

Por outro lado, e não obstante não se tenha uma resposta simples para este problema, podemos verificar que a suposi¸cão de Galileo da superioridade do arco de c´ırculo sobre a reta estava correta. Como verificar isto?

2.2 Geod´

esicas em R

d

_{, d≥3}

Outro problema clássico do cálculo das varia¸cões consiste em determinar a curva em Rd

que, estando sobre uma hipersuperf´ıcie caracterizada, por exemplo, por:

g(x) = 0, x ∈ Rd (2.10)

una os pontos A e B desta superf´ıcie com o menor comprimento poss´ıvel. A curva solu¸c˜ao deste problema recebe o nome de Geod´esica.

Podemos observar que, se as curvas são percorridas com uma velocidade constante, o problema da geodésica corresponde ao problema da braquistócrona. Quando a velocidade não é constante, ou depende do caminho, os dois problemas são totalmente diferentes e devem ser tratados separadamente.

A formula¸cão da geodésica em superf´ıcies arbitrárias do R3 _{foi iniciada por Johann} Bernoulli em 1698; posteriormente continuada por seu aluno Euler (1728), seguido por Lagrange (1760) e tratada de maneira decisiva por Gauss (1827) dando lugar a uma área importante da geometria diferencial.

Para analisar este problema consideremos o caso mais simples, que consiste em n˜ao restringir a curva a uma dada superf´ıcie, e consideraremos d = 3

Uma curva poderá ser parametrizada em fun¸cão de um parâmetro t tal que, para t = 0 estejamos no ponto A, para t = 1 estejamos no ponto B e para t ∈ (0, 1) arbitrário, em um ponto desta curva dada por:

u(t)def= (u1(t) , u2(t) , u3(t)) , t ∈ [0, 1] (2.11) Em particular, a reta que une os pontos A e B estar´a definida por:

(30)

Figura 2.2: Geod´esica em <3

Admitindo que cada componente ui(t) ´e continuamente diferenci´avel em [0, 1], o

prob-lema consiste em determinar u(t) ∈ [C1_{[0, 1]]}3 _{tal que minimize o comprimento da curva:}

L(u) = Z ₁ 0 sµ du1 dt ¶₂ + µ du2 dt ¶₂ + µ du3 dt ¶₂ dt (2.13)

com a condi¸c˜ao adicional

u(0) = A, e u(1) = B (2.14)

Em forma compacta o problema pode ser formulado da seguinte maneira

udef= arg min

v∈D(L)L(v) = Z ₁ 0 k v0 _{k dt} _(2.15) onde: v0 ₌ µ dv1 dt , dv2 dt , dv3 dt ¶ (2.16) k v0 _{k = (v}0_.v0₎1 2 (2.17) D(L) = nv ∈£C1_{[0, 1]}¤3_{, v(0) = A, v(1) = B}o _(2.18) Como u0(t) ∈ D(L), temos que se existe a curva u que minimiza L(v) seu comprimento

Lmin ter´a que satisfazer:

Lmin ≤ L(u0) = Z ₁

0

k B − A k dt =k B − A k (2.19)

Quer dizer, terá que ser menor ou igual à distância euclideana entre os pontos A e B. Para confirmar a suposi¸cão natural de que Lmin =k B − A k temos que mostrar que:

(31)

2.2. Geod´esicas em Rd_{, d≥3} ₂₁

Para isto fa¸camos uso do Teorema Fundamental do C´alculo:

f (1) − f (0) = Z ₁ 0 df dtdt (2.21) logo B − A = v(1) − v(0) = Z ₁ 0 v0dt (2.22)

Multiplicando escalarmente ambos membros da express˜ao anterior por (B − A), temos (B − A) · (B − A) = k B − A k2_{= (B − A) ·} Z ₁ 0 v0_{dt =} Z ₁ 0 (B − A) · v0_dt ≤ Z ₁ 0 kB − Ak kv0k dt = kB − Ak Z ₁ 0 kv0k dt (2.23)

Donde se conclui, para A 6= B (que ´e o caso, sen˜ao o problema seria trivial)

kB − Ak ≤ L(v) =

Z ₁ 0

kv0_{k dt ∀v ∈ D(L)} _(2.24)

Aplica¸cões práticas do problema da geodésica, não tão simples como o anterior, surgem ao procurarmos encontrar a solu¸cão para o seguinte tipo de proposi¸cão.

2.2.1 Geod´

esica sobre esferas

Se considerarmos que a Terra ´e esf´erica temos

i) Qual é a trajetória mais curta que um avião, voando a uma velocidade constante, deve percorrer para unir duas cidades;

ii) Se o custo de perfura¸cão de um túnel é constante, qual é a trajetória mais curta do túnel que une dois pontos dados;

Para caracterizar este problema consideremos que o ponto A se encontra no p´olo norte da esfera e B 6= A ser´a um outro ponto na esfera, conforme a Figura 2.3.

Empregando coordenadas esf´ericas, (R, ϕ, θ), temos que um ponto arbitr´ario x sobre a esfera tem as seguintes coordenadas cartesianas

x = R (senϕ cos θ; senϕsenθ; cos ϕ) (2.25)

onde ϕ ∈ (0, π) e θ ∈ [0, 2π). Por sua vez, as coordenadas esf´ericas de A e B s˜ao

A = (R, 0, 0) , B = (R, ϕB, 0) , ϕB > 0 (2.26)

Uma curva, u, sobre esta esfera pode ser caracterizada pela parametriza¸c˜ao

(32)

Figura 2.3: Geod´esica numa esfera

e se esta curva passa por A e B temos

ϕ (0) = θ (0) = 0, θ (1) = 0 e ϕ (1) = ϕB > 0 (2.28)

desta maneira a curva fica caracterizada por

u(t) = (Rsenϕ(t) cos θ(t); Rsenϕ(t)senθ(t); R cos ϕ(t)) (2.29)

Também, supondo que cada uma destas fun¸cões, ϕ (t) e θ (t), são continuamente difer-enciáveis em [0, 1], de (2.29) temos

u0_{(t) = R (cos θ cos ϕϕ}0_{− senϕsenθθ}0_{, senθ cos ϕϕ}0_{+ senϕ cos θθ}0_{, −senϕϕ}0_{) (t)} _(2.30)

e o comprimento da curva ´e dado por

L(u) = Z ₁ 0 ku0_{k dt = R} Z ₁ 0 s sen2_{ϕ (t) θ}02_(t) | {z } ≥0 +ϕ02_(t)dt ≥ R Z ₁ 0 ϕ0dt = Rϕ(t)|1₀ = Rϕ(1) = RϕB (2.31)

e a igualdade s´o ocorre se e somente se

sen2_{ϕ (t) θ}02_{(t) = 0, ∀t ∈ [0, 1]} _(2.32)

donde

θ0_{(t) ≡ 0 ⇒ θ(t) = cte} _(2.33)

e como θ (1) = 0 ⇒ cte = 0, a curva que minimiza (geodésica sobre a esfera) é a dada pelo menor arco de c´ırculo unindo A e B. Com isto confirmamos uma suposi¸cão que se conhecia desde a antiguidade.

Para uma superf´ıcie arbitr´aria dada por

(33)

2.2. Geod´esicas em Rd_{, d≥3} ₂₃

uma curva, r, em esta superf´ıcie pode ser parametrizada da seguinte forma

r(t) = r(u(t), v(t)) (2.35)

tal que

A = r(u(0), v(0)), B = r(u(1), v(1)) (2.36)

Um elemento diferencial sob esta curva est´a dado por

dr = (∂r ∂u du dt + ∂r ∂v dv dt)dt = (u 0∂r ∂u + v 0∂r ∂v)dt (2.37)

O comprimento deste elemento ser´a

k dr k= (dr · dr)12 = { µ ∂r ∂u · ∂r ∂u ¶ (u0)2+ µ ∂r ∂v · ∂r ∂v ¶ (v0)2+ 2∂r ∂u · ∂r ∂vu 0_v0_}1 2 (2.38)

Assim, o comprimento desta curva entre estes dois pontos ´e dada por:

L(r(u, v)) =

Z ₁ 0

p

Eu02_{+ 2F u}0_v0_{+ Gv}02_dt _(2.39)

onde E, F e G s˜ao os coeficientes da Primeira Forma Fundamental (forma quadr´atica) da superf´ıcie. Em particular: E = ∂r ∂u · ∂r ∂u, F = ∂r ∂u · ∂r ∂v, G = ∂r ∂v · ∂r ∂v (2.40)

Logo, o problema da geodésica sobre uma superf´ıcie arbitrária é da forma Determinar r(u, v) ∈ D(L) tal que:

r(u, v)def= arg min

q(u,v)∈D(L)L(q(u, v)) (2.41)

onde:

• L(q(u, v)) est´a definido por (2.39) e (2.40) com q(u, v) dado por (2.35)

• D(L) definido por

D(L) = {q(u(t), v(t)); u(t), v(t) ∈ C1[0, 1], q(u(0), v(0)) = A, q(u(1), v(1)) = B,

g(q(u(t), v(t))) ≡ 0, t ∈ [0, 1]} (2.42)

Surge assim um novo tipo de restri¸cão, conhecida como Lagrangiana, que deve ser sa-tisfeita pelas curvas admiss´ıveis q(u(t), v(t)) e que corresponde à exigência de que todo ponto da curva seja ponto da superf´ıcie g(u, v) = 0 isto é

(34)

Figura 2.4: Problema de control da dire¸c˜ao

2.3 Problema de Controle de Dire¸c˜

ao

Este tipo de problema surgiu pela primeira vez no século XX. Se propõe, por exemplo, controlar a dire¸cão quando se está navegando em uma corrente variável de maneira a obter o menor percurso. Por exemplo, dados dois pontos A e B em margens opostas de um rio com corrente variável se procura conhecer qual é o caminho que um barco deve percorrer para que, viajando a velocidade constante com rela¸cão à água, una os pontos A e B no menor tempo poss´ıvel. A Figura 2.4 representa o problema anterior.

Para uma velocidade constante do barco (w = 1) e chamando com v = v(x) a veloci-dade da corrente no rio, o tempo empregado pelo barco para unir os pontos A = (0, 0) e

B = (h, yB) seguindo um percurso dado pela curva y = y(x) est´a dado pela express˜ao

T (y) =

Z _h 0

[α(x)p1 + (αy0₎2_{(x) − (α}2_vy0_)(x)]dx _(2.44)

onde α = (1 − v2_(x))−1/2_{. Assim o problema variacional consiste em}

udef= arg min

y∈D(T )T (y) (2.45)

onde

D(T ) = {y = y(x) ∈ C1_{(0, h); y(0) = 0, y(h) = y}

B} (2.46)

Neste exemplo, temos simplificado ao m´aximo:

• as margens do rio s˜ao paralelas (podemos generalizar para curvas dadas);

• a velocidade do barco ´e constante (poderia ser vari´avel);

(35)

2.4. Problemas Isoperim´etricos 25

Figura 2.5: Problema de Dido

De fato, em 1931, Zarmelo investigou este problema mais geral, de interesse de um comandante de submarino ou de uma embarca¸cão, ou de um piloto de avião. Se pergunta-mos agora como operar estas embarca¸cões de maneira a obter o caminho ótimo, entrapergunta-mos no que chamamos de problema de controle ótimo considerado pela primeira vez por Minorsky em 1920.

2.4 Problemas Isoperim´

etricos

Um dos problemas mais antigo da otimiza¸cão corresponde a encontrar a máxima área que pode ser fechada por uma curva de comprimento determinado. De acordo com Virg´ılio, a rainha Dido de Cartago, quando disse que sua prov´ıncia teria toda a superf´ıcie que poderia ser fechada pelo couro de um touro, cortou este couro em finas tiras que unidas formaram uma corda de longitude L cujos extremos ancorou-os na costa (reta) do Meditarrâneo (ver figura 2.5). Esta corda foi colocada formando um semi-c´ırculo que, nessa época (850 a.c.) acreditáva-se que conduzia a maior superf´ıcie e, desta forma, nascia na mitologia a prov´ıncia de Cartago.

O geômetra grego Zenodoros aparentemente conhecia que o c´ırculo proporcionava a maior área entre pol´ıgonos com o mesmo per´ımetro. Posteriormente, Pappus (390 d.c.) concluiu que o c´ırculo era o que realmente maximizava a área entre todas as curvas fechadas de igual per´ımetro (por isto o nome dado a estes problemas: problema

isoperim´etrico).

Uma forma intuitiva de ver que o c´ırculo é a resposta correta a este problema é a seguinte. Suponha para isto um cilindro de paredes inextens´ıveis mas completamente flex´ıvel que se deforma se colocarmos água (ver figura 2.6). Devido a a¸cão da gravidade, a água tende a adquirir a menor altura poss´ıvel. Por outro lado, como a pressão depende somente da altura, o estado de esfor¸co a que a parede do cilindro está submetido é o mesmo em todo ponto de sua se¸cão transversal. Logo, a configura¸cão de equil´ıbrio tenderá a ter uma curvatura constante. Em outras palavras, a configura¸cão de equil´ıbrio é a de um cilindro com se¸cão transversal circular. Por sua vez, como a água tende a adquirir a menor altura poss´ıvel, a área da se¸cão transversal terá que ser máxima. Logo, dasta análise teremos que a solu¸cão imaginada pela rainha Dido estava correta.

Do ponto de vista matem´atico, o problema pode ser formulado da seguinte maneira (figura 2.7). Vamos supor que a curva ´e suave (suficientemente regular), de longitude L

(36)

Figura 2.6: Analogia f´ısica para o problema isoperim´etrico de Dido

Figura 2.7: Problema isoperim´etrico

e que podemos representa-la parametricamente da seguinte maneira:

u(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [0, 1] (2.47)

tal que

u(0) = u(1) (2.48)

por ser uma curva fechada.

A ´area fechada por esta curva est´a dada por

A(u) = Z ₁ 0 x(t)dy(t) = Z ₁ 0 x(t)dy(t) dt dt (2.49)

e o problema isoperim´etrico consistir´a em: Determinar u(t) ∈ D(A) tal que

u(t)def= arg max

v∈D(A)A(v) (2.50)

onde

D(A) =

½

v suficientemente regular, tal que L(v) =

Z ₁ 0 ° ° ° °dv_dt ° ° ° ° dt = L ¾ (2.51)

Uma versão moderna que combina aspectos do problema isoperimétrico com o pro-blema de controle da trajetória ótima discutida na se¸cão anterior, se deve a Chaplygin (1938). Consiste, por exemplo, ao problema de um avião de reconhecimento que voando a velocidade constante com rela¸cão ao vento deve realizar em um tempo predeterminado e conhecido um caminho fechado varrendo a maior área poss´ıvel.

Zenodoros considerou uma generaliza¸cão do problema isoperimétrico ao procurar o maior volume limitado por uma superf´ıcie de área prefixada.

(37)

2.4. Problemas Isoperim´etricos 27

Figura 2.8: Problema da caten´aria

2.4.1 Problema da caten´

aria

Um outro problema similar ao isoperimétrico, atraibuido a Euler, mas segundo Golds-tine originalmente proposto por Galileo que inclusive acreditava que a forma ótima era parabólica e que foi analisado por Bernoulli em 1701, consiste em encontrar a forma que um cabo inextens´ıvel, de peso por unidade de comprimento dado por W e de comprimento

L, assume devido a seu peso pr´oprio quando suportado em seus extremos separados de

uma distˆancia H (figura 2.8)

Para formular este problema, adotamos a seguinte parametriza¸c˜ao

y(s), s ∈ [0, L] e H < L (2.52)

A forma que toma a corda dever´a ser tal que minimize a energia potencial total ou, por ser o cavo inextens´ıvel, maximize o trabalho realizado pelo peso pr´oprio

F (y) = Z _L 0 W y(s)ds = W Z _L 0 y(s)ds (2.53)

com a restri¸cão adicional (restri¸cão subsidiária) que a proje¸cão sobre o eixo x da corda seja o valor H. Para isto tenhamos em mente que

dx2+ dy2 = ds2 → µ dx ds ¶₂ + µ dy ds ¶₂ = 1 (2.54) de onde dx(s) = s 1 − µ dy ds ¶₂ ds (2.55) logo G(y) = Z _L 0 s 1 − µ dy ds ¶₂ ds = H (2.56)

e o problema se formula como: Determinar y(s) ∈ D(F ) tal que

y(s)def= arg max

v∈D(F )F (v) (2.57)

onde

(38)

Figura 2.9: Superf´ıcie m´ınima de revolu¸c˜ao

Figura 2.10: M´ınima superf´ıcie de revolu¸c˜ao para L muito maior que r1 e r2

2.5 M´ınima Superf´ıcie de Revolu¸c˜

ao

Considere os aros circulares indicados na Figura 2.9. Queremos encontrar a superf´ıcie que apoiada sobre estes dois c´ırculos tenha a menor superf´ıcie de revolu¸c˜ao. Este problema foi analisado por Euler em 1744.

Para formular este problema teremos que calcular a superf´ıcie de revolu¸c˜ao associada a uma curva y = y(x) suficientemente regular

S(y) = Z _L 0 Z _2π 0 (y(x)dθ) ds(x) = 2π Z _L 0 y(x) s 1 + µ dy dx ¶₂ dx (2.59) e onde y(0) = r1 e y(L) = r2 (2.60) com r1 e r2 os raios dos respectivos c´ırculos. O problema pode assim ser formulado: Determinar y ∈ D(S) tal que

ydef= arg min

E fácil ver neste problema que se vamos aumentando a distância entre ambos os c´ırculos, a solu¸cão terá que ser do tipo indicado na Figura 2.10.

Espera-se, portanto, que para L suficientemente grande em rela¸c˜ao a r1 e r2, a solu¸c˜ao se degenere da forma como indicado na Figura 2.11.

Ou seja, a solu¸cão é agora uma fun¸cão y /∈ D(S)!. A superf´ıcie se obtem através da

rota¸cào da fun¸cão indicada na Figura 2.11. Temos assim duas alternativas. A primeira simplesmente é dizer que a solu¸cão não existe no espa¸co D(S). A segunda alternativa consiste em estender este espa¸co de maneira a incluir fun¸cões com pontos angulosos.

(39)

2.6. Coment´arios 29

Figura 2.11: M´ınima superf´ıcie de revolu¸c˜ao para L suficientemente grande

2.6 Coment´

arios

Em todos os problemas que temos apresentado podemos distinguir aspectos comuns. Em primeiro lugar, teremos que minimizar (ou maximizar) uma certa fun¸cão F de valor real definida em um certo dom´ınio D de fun¸cões y e dada por expressões do tipo

F(y) = Z _b a f µ x, y(x),dy dx ¶ dx (2.63)

para uma fun¸cão de valor real f conhecida. As fun¸cões y são de valor real (vetorial) suficientemente regulares. D é o conjunto destas fun¸cões que devem satisfazer condi¸cões de contorno de defini¸cão do problema, em nosso caso, nos extremos x = a e x = b. Ainda mais, em alguns problemas vimos que estas fun¸cões deveriam satisfazer restri¸cões adicionais do tipo isoperim´etrico, ou seja, dadas por uma expressão do tipo L (y) igual a um valor prescrito.

Outras vezes, a restri¸cão adicional é do tipo Lagrangiana, ou seja, é uma restri¸cão que deve ser satisfeita em todo ponto do dom´ınio de integra¸cão

g µ x, y(x),dy dx ¶ = 0, x ∈ (a, b) (2.64)

como ocorre com o problema da geod´esica.

Finalmente, e como vimos com o problema da superf´ıcie de revolu¸cão, em alguns casos a solu¸cão não existe em D, mas sim em um conjunto maior.

Nos pr´oximos cap´ıtulos trataremos de formalizar estas id´eias.

Antes de finalizar com este cap´ıtulo, vamos observar mais um detalhe. Todos os problemas apresentados dão lugar ao que é conhecido na literatura com o nome de Cálculo das Varia¸cões. Com este nome se distingue fundamentalmente o problema de determinar uma fun¸cão que minimiza (maximiza) um certo funcional.

Atualmente, esta terminologia ´e mais abrangente. De fato, se observamos todos os casos estudados, o valor que estes funcionais tomam depende:

• da fun¸c˜ao (ou fun¸c˜oes) u;

• das condi¸cões de contorno e/ou condi¸cões isoperimétricas ou lagrangianas;