r´ıgida, n˜ao podemos estabelecer esta tens˜ao, mas se provoca uma deforma¸c˜ao, a medida da potˆencia dispendida neste processo nos dir´a o valor da tens˜ao na correia.
Assim, conclu´ımos que a introdu¸c˜ao de a¸c˜oes de movimento para evaluar as for¸cas externas e internas que atuam sobre um corpo numa configura¸c˜ao dada assume um sig- nificado f´ısico incontest´avel.
A fim de formalizar a id´eia anterior, consideremos o corpo numa configura¸c˜ao Bt livre
de restri¸c˜oes, logo Kinu ≡ U e o conjunto de todas as a¸c˜oes de movimento cinematicamente
admiss´ıveis Kinv ≡ V. O sistema de for¸cas externas f que no instante t atua sobre o corpo
B est´a caracterizado pelo funcional linear e cont´ınuo em V, cujo valor em < para cada v ∈ V, ´e a potˆencia virtual do sistema de for¸cas f para esta a¸c˜ao de movimento v, Pe = hf, vi. O conjunto de todos os sistemas de for¸cas f , isto ´e, de todos os funcionais
lineares e cont´ınuos de V, define o espa¸co vetorial V0 chamado espa¸co vetorial de for¸cas
externas.
Notamos ent˜ao, que nesta apresenta¸c˜ao dos fundamentos da mecˆanica, dois aspectos surgem como fundamentais
• Dado o problema mecˆanico, a primeira atitude a tomar ´e definir o espa¸co de a¸c˜oes de movimento V e seu correspondente conceito de a¸c˜oes r´ıgidas.
• O segundo conceito fundamental ´e o da dualidade entre o espa¸co V e o espa¸co de for¸cas V0. Em outras palavras, dado o modelo cinem´atico, o sistema de for¸cas que
s˜ao compat´ıveis com este modelo fica totalmente definido por dualidade atrav´es da forma bilinear
h·, ·i : V0× V 7→ <
f, v 7→ Pe= hf, vi
O anterior tamb´em nos mostra que, quanto mais rico for nosso espa¸co V, isto ´e, quanto mais ampla for a defini¸c˜ao de a¸c˜ao de movimento, mais refinada ser´a nossa defini¸c˜ao de for¸cas.
6.4
Dualidade entre Esfor¸cos Internos e Taxas de De-
forma¸c˜ao
Outro conceito introduzido na Mecˆanica do Cont´ınuo ´e o de esfor¸cos internos. Para defin´ı-lo, recorremos ao exemplo da correia. Ali vimos que era necess´ario introduzir uma a¸c˜ao de movimento e esta a¸c˜ao de movimento devia implicar em uma a¸c˜ao de deforma¸c˜ao n˜ao r´ıgida, para podermos evaluar sua tens˜ao.
O anterior nos leva a estabelecer como hip´otese para a Mecˆanica do Cont´ınuo que os esfor¸cos interiores est˜ao dados por um funcional linear e cont´ınuo sobre as a¸c˜oes de movimento e seu gradiente. Seu valor ´e chamado potˆencia virtual interna Pi. Das hip´oteses
de continuidade estabelecidas na Mecˆanica do Cont´ınuo, Pi pode expressar-se atrav´es do produto escalar Pi = Z Bt pidV = − Z Bt (` · v + T · grad v) dV, (6.70)
onde o sinal negativo resultar´a evidente mais adiante. Por sua vez, da observa¸c˜ao de que toda a¸c˜ao r´ıgida n˜ao nos permite avaliar o esfor¸co interior teremos que
Pi = 0 ∀v ∈ N (D). (6.71)
Seja ent˜ao
• v uma transla¸c˜ao, logo v = conste. ∀x ∈ Bt. Temos que grad v = 0 ⇒ D = W = 0.
Temos assim que
Pi = −
Z
Bt
` · v dV = 0 (6.72)
para toda transla¸c˜ao v, o que implica em
` · v = 0 ∀v ∈ V e x ∈ Bt. (6.73)
Portanto teremos
` = 0 em todo x ∈ Bt. (6.74)
• v uma a¸c˜ao r´ıgida, logo v = vo + W (x − o) onde vo e W s˜ao constantes. Temos
assim que
grad v = W (6.75)
onde W ´e constante e antisim´etrico e portanto
Pi = −
Z
Bt
T · W dV = 0 (6.76)
para todo W antisim´etrico e constante. Isto nos leva a concluir que
T ∈ Sym (6.77)
em todo x ∈ Bt.
Os resultados anteriores nos levam a concluir que
Pi = Z Bt pidV = − Z Bt T · D dV, (6.78)
isto ´e, o esfor¸co interno est´a caracterizado por um funcional linear e cont´ınuo sobre o espa¸co de a¸c˜oes de deforma¸c˜ao W. O conjunto de todos estes funcionais lineares constitui o espa¸co de esfor¸cos interiores W0, dual de W e cujos elementos est˜ao dados por campos
tensoriais sim´etricos T chamados campos de tens˜oes de Cauchy.
Resumindo temos que, para estabelecer um determinado modelo mecˆanico, procede- mos segundo o esquema abaixo
6.4. Dualidade entre Esfor¸cos Internos e Taxas de Deforma¸c˜ao 189
1. Consideramos nosso corpo B ocupando no instante t a configura¸c˜ao Bt (ou ut) de
E. Suporemos tamb´em nossa fronteira bem definida e regular 4.
2. Em cada configura¸c˜ao Bt, hemos definido o espa¸co vetorial V cujos elementos hemos
designado por a¸c˜oes de movimento. Para sua constru¸c˜ao ser´a necess´ario levar em considera¸c˜ao as hip´oteses cinem´aticas do modelo.
3. Definido V, construimos o espa¸co de taxas de deforma¸c˜ao W.
4. Atrav´es do operador taxa de deforma¸c˜ao D, que para o caso de corpos tridimensonais est´a dado (grad ·)s, definimos as a¸c˜oes r´ıgidas, isto ´e o espa¸co N (D).
5. Conhecidas as restri¸c˜oes cinem´aticas ao movimento estabelecemos tamb´em Kinv e
Varv.
6. Com estes elementos e defini¸c˜oes introduzimos as hip´oteses
• O esfor¸co externo f que atua sobre nosso corpo na configura¸c˜ao Bt ´e um fun-
cional linear e cont´ınuo sobre V, isto ´e, f ∈ V0, V0 dual de V e seu valor em
v ∈ V ´e a potˆencia externa virtual
Pe= hf, vi (6.79)
onde h·, ·i : V0× V 7→ < ´e uma forma bilinear, por enquanto n˜ao especificada,
que p˜oe em dualidade os espa¸cos V0 e V.
• O esfor¸co interno T ´e tamb´em um funcional linear e cont´ınuo sobre W, isto ´e,
T ∈ W0, W0 dual de W e seu valor em D ∈ W ´e a potˆencia interna virtual
Pi = −(T, D) = − Z Bt T · D dV = − Z Bt pidV. (6.80)
• Pi = 0 para toda a¸c˜ao de movimento r´ıgida.
As express˜oes 6.79 e 6.80 surgem como consequˆencia da continuidade admitida no nosso modelo. Matematicamente, s˜ao consequˆencias do teorema de Riesz (ver [Rek75, p´ag. 111]) que nos diz que todo funcional linear e limitado pode ser expresso atrav´es de um produto interno.
´
E importante ressaltar que, a partir de express˜ao da Potˆencia Interna Pi e do Princ´ıpio
das Potˆencias Virtuais, que veremos `a seguir, ser´a poss´ıvel estabelecer uma representa¸c˜ao para f . Isto ser´a feito nos exemplos que nos prestaremos a resolver, mais especificamente: tor¸c˜ao, e condu¸c˜ao.
Os conceitos anteriores est˜ao representados graficamente na Figura 6.4.
Os espa¸cos V0 e W0 s˜ao os espa¸cos duais (topol´ogicos) de V e W e h·, ·i, (·, ·) re-
presentam os pares em dualidade em V0 × V e W0 × W logo, podemos definir um novo
Figura 6.4: Formula¸c˜ao Variacional: principais elementos.
operador D∗: W0 7→ V0, chamado operador adjunto por uns ou operador transposto por
outros, aqui iremos cham´a-lo de adjunto ou de equil´ıbrio (j´a que este ser´a seu significado mecˆanico, como veremos mais adiante) e satisfar´a
(T, Dv) = hD∗T, vi ∀v ∈ V. (6.81)
´
E a partir desta defini¸c˜ao, conjuntamente com o Princ´ıpio das Potˆencias Virtuais, que iremos encontrar as chamadas Equa¸c˜oes de Euler, ou seja, as equa¸c˜oes de equil´ıbrio escritas na forma local.