Conhecimentos em relação aos conceitos de proporção simples

Para constatar os conhecimentos adquiridos de proporção simples dos futuros professores aplicamos um instrumental do OBEDUC E-MULT, solicitando aos licenciandos que identificassem e explorassem os problemas que podem ser abordados com o operador funcional, conceito fundamental para a compreensão de funções. O referido instrumental tinha 13 problemas dentre os quais 6 problemas eram possíveis fazer a relação com o operador funcional. A seguir explicitaremos os problemas, por ordem de numeração, que os participantes da pesquisa poderiam resolver com o operador funcional e em seguida analisaremos os dados produzidos pelos futuros professores.

1) Joana sabe que em um pacote há 6 biscoitos. Ela tem 5 pacotes. Quantos biscoitos Joana tem?

3) Para fazer 3 fantasias são necessários 5m de tecido. Ana tem 35m de tecido. Quantas fantasias ela pode fazer?

4) A Escola Recanto fará uma festa para 36 convidados. Em cada mesa ficarão 4 convidados. Quantas mesas a escola precisará alugar?

6) Caio comprou 9 caixas de suco e pagou 15 reais. Se ele comprasse 3 caixas de suco quanto precisaria pagar?

8) Um supermercado fez uma promoção: “Leve 4 litros de suco por apenas 12 reais”. Quanto vai custar cada litro de suco?

12) Em uma gincana na Escola Saber, a cada 3 voltas correndo na quadra o aluno marca 4 pontos. Alex deu 15 voltas correndo na quadra. Quantos pontos ele marcou?

Quanto a identificação dos 6 problemas que poderiam ser trabalhados com o operador funcional, os participantes da pesquisa demonstraram o seguinte conhecimento: D2 e J4 identificaram todos os problemas de forma correta; já I3 e N5 selecionaram 5 problemas que podem ser trabalhados com o operador funcional e deixaram o problema oito de fora desta possibilidade. Em uma reflexão posterior com os participantes da pesquisa, D2 e J4

relataram que não sentiram nenhuma dificuldade na identificação dos problemas. I3 e N5 relataram que têm algumas dúvidas relativas à ideia de função, por isso não conseguiram identificar que o problema de número oito abordava o operador funcional.

Consideramos relevante o momento de identificar os problemas que trabalham com o operador funcional para continuar o debate com os futuros professores sobre os diversos significados da multiplicação (GITIRANA et al., 2014). De acordo com a abordagem teórica de Ball, Thames e Phelps (2008), podemos considerar a identificação do operador funcional com um conhecimento matemático necessário para o ensino.

No momento posterior da formação, solicitamos aos futuros professores que resolvessem as referidas questões com o objetivo de gerar um debate para entender a forma de raciocínio dos futuros professores. Dentre os seis problemas selecionados, fizemos a seguinte divisão: os problemas um para muitos, quais sejam, 1, 4 e 8 e os problemas muitos para muitos, quais sejam, 3, 6 e 12.

Após o referido momento, dentre os seis problemas selecionamos dois que geraram maior debate entre os participantes da pesquisa para explorarmos a resolução feita pelos licenciandos e analisarmos o conhecimento comum e especializado do conteúdo (BALL; THAMES; PHELPS, 2008) dos futuros professores.

6) Caio comprou 9 caixas de suco e pagou 15 reais. Se ele comprasse 3 caixas de suco quanto precisaria pagar?

12) Em uma gincana na Escola Saber, a cada 3 voltas correndo na quadra o aluno ma rca 4 pontos. Alex deu 15 voltas correndo na quadra. Quantos pontos ele marcou?

Figura 14 – Resoluções de D2 para os problemas 6 e 12

Figura 15 – Resoluções de I3 para os problemas 6 e 12

Fonte: Material utilizado na pesquisa.

O participante D2 resolveu ambas as questões utilizando o procedimento da regra de três. Teve dificuldades em entender a ideia do operador funcional, é tanto que na questão de número seis o pesquisador teve que demonstrar como seria uma maneira de identificar o operador funcional. Além disso, embora chegando ao resultado correto fez a sexta questão de maneira errada, utilizou apenas uma divisão 15:5 = 3, mas na verdade a questão pedia bem mais do que isso. O sujeito I3 errou a solução de ambas as questões, utilizou uma relação ternária e deixou explícito que não conseguiu compreender os significados da covariação, ou seja, coordenar os operadores escalar e funcional.

Constatamos que uma concepção predominante é de que as proporções simples formam uma relação de três termos e não de quatro. Vergnaud (1983) explica que esse tipo de resolução é correto apenas se forem consideradas as variáveis como números e não como dimensão. Convém ressaltar, que mesmo com uma formação colaborativa sobre o campo conceitual multiplicativo, alguns dos futuros professores continuam com o conhecimento comum em relação a estes conceitos.

Figura 16 – Resoluções de J4 para os problemas 6 e 12

Figura 17 – Resoluções de N5 para os problemas 6 e 12

Fonte: Material utilizado na pesquisa.

J4 resolveu ambas as questões de forma correta, mas pela regra de três e disse que pela razão é mais fácil. O participante fez um indicativo de trabalho com o operador escalar, mas em momento algum mencionou o operador funcional. N5 também acertou a resolução, mas resolveu pelo operador escalar por também considerar menos complicado. A partir da resolução das questões, constatamos que mesmo com a formação os futuros professores não compreenderam por completo a ideia de covariação, pois para o entendimento deste conceito é necessário a coordenação de ambos os operadores e isto não aconteceu em nenhum momento. Os sujeitos que avançaram mais conseguiram chegar ao operador escalar.

Ao refletirmos sobre as resoluções listadas acima, todos os participantes da pesquisa relataram que preferem resolver pelo procedimento da regra de três, maneira que aprenderam na escola, em vez de resolver utilizando o operador funcional. Quanto à resolução, pelo operador funcional os futuros professores relataram ter dificuldades em relacionar as grandezas e que muitas vezes a relação é dada com números fracionários fato que dificulta mais ainda a resolução. Santos (2015) alerta que o contato com a resolução por meio do operador funcional é fundamental para a compreensão do conceito de função linear. Nesta perspectiva, evidenciamos que o não entendimento da relação de grandezas pode acarretar em dificuldades posteriores em relação ao ensino e à aprendizagem de funções e do entendimento de covariação.

Os dados que foram relatados acima vão ao encontro dos pressupostos teóricos de Ball, Thames e Phelps (2008), pois evidenciamos que os futuros professores têm apenas um

conhecimento comum sobre o operador funcional que não é suficiente para exercer a profissão docente. A partir destes achados, vamos tentar amenizar esta situação no decorrer de nossa formação, até chegarmos ao conhecimento especializado do conteúdo.