5 CONHECIMENTO MATEMÁTICO PARA O ENSINO
5.2 Conhecimentos adquiridos na formação sobre o campo conceitual
5.2.5 Representação tabular e gráfica da função linear
Esta categoria foi selecionada a partir de debates com os futuros professores acerca do conceito de função até chegar nas representações tabulares e gráficas. Para este momento da formação nossa intenção era discutir sobre as representações tabulares e gráficas da função linear, mas os futuros professores propuseram antes do trabalho com representações um debate sobre o conceito de função, como nosso trabalho aconteceu de forma colaborativa acatamos a proposta.
Começamos o debate trazendo que o conceito de função foi criado e desenvolvido a partir da atividade humana, sua origem se deu a partir da necessidade do homem em resolver problemas. Nesse contexto, os futuros docentes demonstram perceber o conceito de função de uma forma mais ampla do que uma simples substituição de valores.
I3 - O conceito de função vai além de uma lei de formação, é fruto de fatores históricos e sociais.
N5 - Por isso que devemos levar os estudantes a formalizarem seus próprios conceitos pela resolução de problemas e não chegar já dando a fórmula do f(x).
Evidenciamos que a compreensão dos futuros professores em relação ao conceito de função vai ao encontro das ideias abordadas por Caraça (2000). Este autor destaca o movimento histórico e a necessidade de produção de conhecimento para a formalização do conceito de função, afirmando que este conteúdo é um organismo vivo, impregnado de condição humana e subordinado às grandes necessidades do homem. Além disso,
evidenciamos na fala da participante N5 a proposta do trabalho por meio da resolução de problemas que vai ao encontro dos pressupostos teóricos de Vergnaud (2009).
Debatemos também sobre os aspectos de variável dependente e independente como fundamentais para a compreensão da covariação das funções e as três partes componentes de uma função f: A → B, um conjunto A, chamado o domínio da função, ou o conjunto onde a função é definida. Um conjunto B, chamado o contradomínio da função, ou o conjunto onde a função toma valores, e uma regra que permite associar cada elemento x
ϵ
A um único elemento f(x)ϵ
B, chamado o valor que a função assume em x. Vejamos o que os futuros professores relataram sobre o assunto.D2 - Em qualquer função existe a relação de dependência e covariância.
J4 - Podemos relacionar a variável independente com o domínio e a variável dependente com o contradomínio e esse valor que a função assume é a imagem.
Os futuros docentes demonstraram ter um conhecimento especializado (BALL; THAMES; PHELPS, 2008) sobre o conceito de função. Em suas explanações os licenciandos explicitam as variáveis e a relação de dependência e covariância, que são fundamentais na compreensão deste conceito. De posse de alguns conceitos relevantes sobre funções passaremos a discutir sobre a sua representação tabular.
Iniciamos este momento apresentando um quadro, a partir de uma pesquisa feita pelos futuros professores, em que relaciona o preço de uma carne com a quantidade de quilogramas. Consideramos este momento relevante para ampliar ainda mais o conhecimento dos futuros docentes na coordenação da covariação das funções. No quadro abaixo, são apresentadas duas grandezas que dependem uma da outra. Ela mostra a covariação do preço de uma carne por quilograma.
Quadro 4 – Representação de grandezas Quantidade de
Carne (Kg) 1 2 3 4 5
Preço (R$) 16,00 32,00 48,00 64,00 80,00
Neste caso, o valor que pagaremos depende da quantidade de carne que comprarmos. Neste contexto, solicitamos aos licenciandos para calcularem o valor a ser pago por 40 kg de carne. Seguem as estratégias de resolução explicitadas:
D2 – Se 4 Kg desta carne custa R$ 64,00 então 40 Kg custa R$ 640,00, é só aumentar 10 vezes o valor.
I3 – Utilizei proporção simples. Se 1 Kg de carne custa R$ 16,00 então 40 Kg custará quanto? Basta encontrar o operador funcional
J4 – Multipliquei 40 por 16
N5 – Há! Podemos multiplicar qualquer valor por 16 que dá certo Pesquisador - Como assim, qualquer valor que dá certo?
D2 – O operador funcional é 16, fica f(x) = 16x J4 – É lei de formação da função linear
Evidenciamos que D2 utilizou uma estratégia de raciocínio do pensamento proporcional, percebeu que quatro quilos de carne custam sessenta e quatro reais, então quarenta quilos são dez vezes o valor. O sujeito I3 já menciona como forma de resolução a proporção simples, isto demonstra uma familiaridade com a teoria dos campos conceituais com foco nas estruturas multiplicativas (VERGNAUD, 2009). J4 relata que basta multiplicar 40 por 16, em um momento posterior o futuro professor explicitou que foi buscar relação com um quilo de carne, ou seja, a relação um para muitos. E, por fim, a participante N5 inicia um processo de generalização até que os licenciandos chegam a conclusão da lei de formação da função linear, f(x) = 16x, ou seja, o operador funcional é 16.
As tabelas são formas de representações que desempenham um relevante papel nas generalizações, pois permitem o registro de resultados e a busca de padrões de um determinado conjunto de dados (CASTRO, 2016). A compreensão do padrão desta tabela se deu, principalmente, pelo operador funcional. Os futuros professores demonstram compreender como essas relações funcionais estabelecidas influenciam no conjunto de dados que compõem cada grandeza envolvida na tabela, atestando, portanto, o entendimento da covariação.
Carraher, Schliemann e Brizuela (2000) explicam que é mais comum o indivíduo perceber a relação aditiva entre as linhas do que as relações funcionais entre as colunas. Nesta perspectiva, levar os futuros professores a pensarem sobre a relação invariante entre as grandezas requer momentos didáticos específicos. Nesse contexto, constatamos a efetividade da formação colaborativa ao possibilitar aos futuros professores perceberem e explicitarem as relações funcionais dos dados tabulares. A compreensão das relações funcionais é também requisitada na interpretação e construção dos gráficos lineares, que são debatidos a seguir.
Iniciamos este momento apresentando um gráfico construído no software Geogebra, a partir de um problema criado pelos futuros professores, em que relaciona o crescimento (cm) de certa espécie de bambu em virtude do tempo (dias). Consideramos este momento relevante para ampliar ainda mais o conhecimento dos futuros docentes na coordenação da covariação das funções. No gráfico abaixo, são apresentadas duas grandezas que dependem uma da outra.
Figura 22 – Representação gráfica no Geogebra
Fonte: Elaboração dos futuros professores
I3 – Pelo gráfico dá pra perceber que 1cm cresce em 3 dias
N5 – Utilizando a proporção simples a gente encontra os pares ordenados para representar no gráfico
D2 – O operador escalar é 2 e o funcional é 3. Pelo operador funcional a gente sabe que a lei de formação da função é f(x) = 3x
J4 – É o gráfico de uma função linear, pois é uma reta [...] que passa
pela origem
I3– A reta passa sempre pelos pares ordenador (cm, dias)
Constatamos que os futuros professores conseguiram explicitar as grandezas envolvidas, estabelecer as relações funcionais para a reta representada. Assim, evidenciamos a compreensão dos licenciandos em relação aos conceitos de covariação na situação representada no gráfico. Elencamos como exemplo quando D2 aborda a coordenação dos operadores escalar e funcional.
I3 ponderou que a reta é formada por pontos que relacionam as duas medidas, quais sejam, centímetros e dias. Constatou ainda que a relação centímetros por dias, origina o
par ordenado (1,3) que representa um ponto (x;y) no plano cartesiano. A verificação desses pontos é relevante, porque é a partir da ideia de par ordenado e da relação formada por esses pares que foi introduzido o uso do software Geogebra.
Salientamos que os debates nos momentos de formação foram fundamentais para que os futuros professores tivessem esta compreensão sobre a representação gráfica da função linear. Evidenciamos que os licenciandos passaram a analisar um conjunto de dados seguindo o mesmo padrão, ou seja, avançaram na análise de gráficos. Passaram, portanto, a coordenar a variação de duas variáveis (CONFREY; SMITH, 1995), aqui apresentado como grandezas ou por x e f(x). Castro (2016) afirma que a coordenação de grandezas é um aspecto relevante para o entendimento da covariação.
A partir do que foi discutido na presente pesquisa, percebemos que o raciocínio covariacional tem relevância na interpretação e representação de informações em um gráfico de uma função (conhecimento especializado do conteúdo) e também é fundamental para se pensar sobre a prática pedagógica. Entendemos que os futuros professores precisam conhecer o conteúdo que ensinam e serem capazes de usar a Matemática que é necessária no trabalho docente, ou seja, precisa também conhecer sobre a prática pedagógica.
5.3 Conhecimento especializado do conteúdo a partir da utilização pedagógica das