Relações entre grandezas

Como parte dos objetivos desta pesquisa nos propomos a desenvolver estratégias pedagógicas voltadas ao conhecimento da compreensão das estruturas multiplicativas selecionados em alguns objetos de aprendizagem. Para trabalharmos didaticamente o conhecimento das relações entre grandezas, identificamos os objetos de aprendizagem: Equilibrando proporções e GP Funcional.

As situações do equilibrando proporções são problemas de proporção simples com correspondência muitos-para-muitos e exploram o campo numérico dos números racionais, com relações entre as grandezas (CASTRO, 2016). Diante das possibilidades existentes no recurso para explorar as representações de uma grandeza e suas relações de diferentes formas, solicitamos que os futuros professores identificassem o tipo de relação das grandezas e, quando as grandezas fossem diretamente proporcionais.

A seguir, detalhamos um dos problemas trabalhados durante esta pesquisa. O problema está apresentado na figura 23, seguido dos debates acontecidos com os futuros professores.

Figura 23 - Problema explorado com o OA Equilibrando Proporções

Fonte: Captura de tela do Equilibrando Proporções

Este problema apresenta uma situação de correspondência muitos-para-muitos, de multiplicação e divisão. O recurso permite a interação com seus ícones, sendo possível aumentar ou diminuir a quantidade de uma grandeza e ver como essa variação influencia na

quantidade da outra grandeza, já que elas estão relacionadas. Temos, ainda, a representação da relação entre as grandezas de forma tabular. Segue o debate sobre o referido problema:

J4 - Temos uma grandeza diretamente proporcional.

Pesquisador - Diretamente, por quê?

J4 - Porque quanto mais tempo eu tenho, mais a torneira vai encher o tanque.

D2 - Então se em quinze minutos uma torneira encheu cinco centímetros, se aumentar o número de minutos então vai aumentar os centímetros.

Pesquisador - Qual seria o nosso operador escalar e funcional?

I3 –O operador escalar é 12 e o funcional é 3.

Pesquisador –Em relação ao operador funcional: Seria vezes três ou dividido por três?

J4 - f(x)= 3x

Pesquisador - Quem seria o f(x)? O f(x) seria os centímetros ou os minutos?

D2 - A variável x seria os centímetros e o f(x) os minutos! f(x) = 3x

J4 - Mas também a variável x pode ser os minutos e o f(x) os centímetros! f (x) = x/3

Evidenciamos que o debate dos futuros docentes girou em torno de quem seria a variável dependente e independente, ou seja, uma relação entre as grandezas tempo e comprimento. Além disso, percebemos que os licenciandos chegaram à conclusão de que, em determinado momento, a variável dependente poderia ser os minutos e a independente os centímetros e vice-versa. Tudo isso fica a depender da relação entre as grandezas na lei de formação que estabelecemos. A “lei” citada é uma generalização que vai além de uma simples fórmula. Diante do exposto, evidenciamos que ocorreu uma integração do conhecimento pedagógico da tecnologia e do conteúdo (MISHRA; KOEHLER, 2006). A seguir continuamos um debate sobre o problema escolhido no equilibrando proporções:

Pesquisador: Sabemos que as funções f(x) = 3x e f(x) = x/3 indicam as relações entre grandezas. Nestas funções o que significa o f(x), o x, o 3x, o x/3, o 3 e o 1/3?

N5: O f(x) e o x significam a imagem e o domínio de uma função, no problema que discutimos a imagem e o domínio eram os minutos e os centímetros a depender da lei de formação que seria escolhida.

J4: O 3x e o x/3 é uma relação funcional que estabelecemos entre as grandezas.

D2: E o 3 e o 1/3 são os operadores funcionais.

A modificação de estratégias entre o domínio e a imagem mostra a ampliação de competências que foram possibilitadas pela interação com recurso digital ao simular, por meio de múltiplas representações, situações de correspondência muitos-para-muitos de diferentes

formas, possibilitando o desenvolvimento da compreensão da covariação (CASTRO, 2016), a partir das relações entre grandezas.

Segundo Schliemann e Carraher (2016), o ensino de Matemática que enfatiza relações entre as grandezas, incluindo as relações funcionais, contribui para a compreensão das operações de aritmética e álgebra. Além disso,contribui para a abordagem dos conceitos de grandezas, proporções e funções, inter-relacionando esses tópicos como parte de um campo conceitual mais amplo (VERGNAUD, 1996).

O entendimento do conceito de grandezas é necessário para que os futuros professores compreendam as três partes componentes de uma função: domínio, imagem e o valor que a função assume. A formalização de que em uma função linear existe uma variável dependente e outra independente é um passo fundamental para a compreensão de covariação.

No problema debatido, em determinado momento, a lei de formação envolvia uma multiplicação. Em outro momento, uma divisão ou uma relação entre ambas. Neste contexto, reforçamos os pressupostos da teoria dos campos conceituais com foco nas estruturas multiplicativas acerca da indissociabilidade entre as operações de multiplicação e de divisão (SANTOS, 2015).

O ensino e a aprendizagem de Matemática, privilegiando as relações entre grandezas e os conceitos de funções, permitem também que, a partir da análise de situações, enunciados verbais e quantidades no mundo físico e das representações intuitivas propostas pelos futuros professores, as representações convencionais como tabelas de funções, gráficos e notações algébricas, sejam introduzidas como representações alternativas dos mesmos conceitos matemáticos (SCHLIEMANN; CARRAHER, 2016).

Na continuidade da abordagem das relações entre grandezas, a seguir abordaremos a exploração do OA GP Funcional. Nesta ferramenta, é disponibilizado um jogo de corrida de Fórmula 1, que possibilitou os sujeitos a perceberem a relação entre as grandezas velocidade, distância e tempo, conforme apresentado na figura abaixo.

Figura 24 – Colocando em prática

Fonte: Captura de tela do GP Funcional

Neste momento, os futuros professores colocaram a opção largada e o carro laranja saiu da posição 30 metros e foi até à posição 80 metros em um tempo de 10 segundos. O desafio para os futuros docentes era manusear o espaço inicial e a velocidade do carro azul para conseguirem chegar na mesma posição. A seguir, vejamos o debate que aconteceu:

I3 - O carrinho azul precisa sair de 30 metros também, que é a mesma posição do carrinho laranja. Coloca aí!

D2 - Agora vamos calcular a velocidade do carrinho laranja, para colocar a mesma velocidade no carinho azul.

J4 - Basta a gente dividir o espaço percorrido pelo tempo gasto. Dá 5 m/s

N5 - Envolve os conceitos de multiplicação e divisão das estruturas multiplicativas.

D2 - Realmente não dá para ensinar multiplicação e divisão de forma separada.

J4 – Com o resultado dá para fazer uma proporção simples. Se percorrer 5 metros em 1 segundo, irá percorrer 10 metros em 2 segundos. E assim por diante.

N5– Então a função linear é f(x) = 5x.

Nestes debates os licenciandos refletiram e generalizaram situações. Elencamos como exemplo, a atividade de livre manipulação do objeto de aprendizagem; o momento de desenvolvimento das ações de elaboração dos conceitos sobre grandezas e a discussão desses momentos como oportunidade de socializar o conhecimento pedagógico do conteúdo alinhado ao uso das tecnologias digitais (MISHRA; KOEHLER, 2006).

Os futuros professores também relataram que não dá para trabalhar multiplicação e divisão de forma separada, isto foi uma concepção que adquiriram durante a formação colaborativa. As concepções dos licenciandos estão de acordo com os pressupostos teóricos de

Vergnaud (1991), que considera que o campo conceitual das estruturas multiplicativas é um conjunto de situações que pedem multiplicação, divisão ou a combinação de tais operações.

No debate acima destacamos a última fala de J4 e de N5, respectivamente. Tal destaque é pertinente para esta categoria em análise, por ser o momento do debate que o foco é na relação entre grandezas. J4 relata que com o resultado dá para fazer uma proporção simples, ou seja, se percorrer 5 metros em 1 segundo, percorrerá 10 metros em 2 segundos e assim sucessivamente. Já N5 aborda que esta relação é uma função linear, qual seja, f(x) = 5x. A percepção de J4 consistiu em uma efetiva relação entre grandezas, ao relacionar comprimento e tempo o futuro professor trabalhou com duas grandezas que indicam a compreensão de uma relação funcional. Constatou que a relação proporcional entre duas grandezas permanece a mesma após transformações proporcionais nas duas grandezas relacionadas. Evidenciamos que o futuro professor representou e compreendeu a relação entre as duas grandezas, em vez de apenas trabalhar com operações sobre dois números.

Em diálogo posterior com N5, a participante da pesquisa relatou que quando abordou a função linear teve como objetivo representar a relação entre as grandezas comprimento e tempo. A futura docente determinou que o valor de uma grandeza deveria ser multiplicado por 5 para se obter o valor de outra grandeza e produziu a função linear f(x) = 5x. Constatamos que a participante da pesquisa ao determinar que uma grandeza deveria ser multiplicada por 5 para se encontrar a outra grandeza encontrou o valor da invariância que é 5 e que ajuda a compreender a covariação.

Os participantes da pesquisa fizeram uma relação da resposta encontrada com a proporção simples e função linear. Este fato foi possível porque os futuros professores avançaram em relação ao entendimento dos conceitos de grandezas, percebendo-a não apenas como um dado numérico, mas partindo de uma compreensão indissociável entre número e unidade de medida. De acordo com Gitirana et al. (2014), o problema resolvido pelo fator funcional relaciona grandezas e é fundamental para o entendimento do conceito de funções.

A partir da interação dos participantes da pesquisa com os recursos digitais foi possível averiguar uma melhor compreensão da relação entre grandezas, permitindo aos futuros docentes o efetivo entendimento deste conceito. Tal constatação coaduna com os estudos de Castro (2016), ao perceber a importância de observar que as situações que envolvem grandezas ajudam na compreensão da covariação, por serem problemas de proporção simples. Tendo em vista que os futuros professores compreenderam as relações entre grandezas passaremos a debater a seguir as múltiplas representações da função linear.