2.6
Conjuntos limitados
Introduziremos agora uma no¸c˜ao de conjuntos limitados em espa¸cos admiss´ıveis que generaliza o conceito de conjuntos limitados em espa¸cos m´etricos.
Defini¸c˜ao 2.6.1. Seja X um espa¸co admiss´ıvel e O uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas em X. Seja U ∈ O uma cobertura de X. Um subconjunto Y ⊂ X diz-se U -limitado se existir algum x ∈ X tal que Y ⊂ St[x, U ].
O conjunto Y ´e O-limitado se for U -limitado para algum U ∈ O. Seguem alguns exemplos de conjuntos U -limitados.
Exemplo 2.6.1. Obviamente as U -estrelas de x s˜ao exemplos de conjuntos U - limitados.
Exemplo 2.6.2. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico, considere Od uma fam´ılia ad-
miss´ıvel de coberturas abertas Uǫ = {B(x, ǫ) : x ∈ X} por ǫ-bolas. Se Y ⊂ X ´e
limitado existe ǫ > 0 tal que Y ⊂ B(x, ǫ) ⊂ St[x, Uǫ]. Portanto Y ´e Uǫ-limitado. Por
outro lado, se Y ⊂ X ´e Od-limitado, existe ǫ > 0 tal que Y ⊂ St[x, Uǫ] ⊂ B(x, 2ǫ).
Assim, Y ´e limitado. Portanto em espa¸cos m´etricos, os conceitos de conjunto limi- tado e conjunto U -limitado coincidem.
Exemplo 2.6.3. Seja X um espa¸co Hausdorff compacto e considere a fam´ılia ad- miss´ıvel Of de todas coberturas abertas finitas de X. Tome U = X ∈ Of. Observe
que X = St[x, U ] para qualquer x ∈ X, ent˜ao todo subconjunto de X ´e Of-limitado.
Exemplo 2.6.4. Seja X um espa¸co paracompacto Hausdorff e considere a fam´ılia admiss´ıvel O de todas coberturas abertas de X. Desde que U = {X} ∈ O, ent˜ao todo subconjunto de X ´e O-limitado.
Vejamos agora uma proposi¸c˜ao que ´e considerada uma vers˜ao do lema da cober- tura de Lebesgue.
Proposi¸c˜ao 2.6.1. Assuma que X ´e um espa¸co compacto. Se {U1, ..., Un} ´e uma
cobertura aberta de X existe um elemento U ∈ O tal que se A ⊂ X ´e qualquer subconjunto U -limitado de X ent˜ao A ⊂ Ui para algum i.
2.6 Conjuntos limitados 51
Demonstra¸c˜ao: Temos que X ´e um espa¸co compacto e X =
n
[
x=1
Ui. Considere
U a cobertura de Lebesgue. Ent˜ao existe Ui ∈ {U1, ..., Un} tal que St[x, U] ⊂ Ui
para qualquer x ∈ X. Por outro lado, se A ⊂ X ´e U -limitado existe x ∈ X tal que A ⊂ St[x, U ]. Sendo assim, A ⊂ St[x, U ] ⊂ Ui.
Agora segue uma outra importante aplica¸c˜ao do lema da cobertura de Lebesgue. Teorema 2.6.1. Seja f : X −→ Y uma fun¸c˜ao cont´ınua definida no espa¸co to- pol´ogico compacto admiss´ıvel X num espa¸co topol´ogico admiss´ıvel Y . Considere O(X), O(Y ) fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas para X e Y respectivamente. Assim, para qualquer V ∈ O(Y ) existe uma cobertura U ∈ O(X) tal que para todo S ⊂ X subconjunto U -limitado de X tem-se que f (S) ⊂ V para algum V ∈ V.
Demonstra¸c˜ao: Tome V ∈ O(Y ) uma cobertura qualquer. Para cada x ∈ X temos que f (x) ∈ Vx para algum Vx ∈ V. Desde que cada Vx ∈ V ´e um aberto
em Y ent˜ao o conjunto {f−1(V
x) : Vx ∈ V} ´e uma cobertura aberta de X. Desde
que X ´e compacto pelo lema da cobertura de Lebesgue existe U ∈ O(X) tal que para todo x ∈ X temos que St[x, U ] ⊂ f−1(V
z) para algum Vz ∈ V, portanto
f (St[x, U ]) ⊂ Vz. Se S ⊂ X ´e um subconjunto U -limitado de X temos que existe
y ∈ X com S ⊂ St[y, U ]. Por fim, desde f (St[y, U ]) ⊂ Vz para algum Vz ∈ V e
S ⊂ St[y, U ] logo f (S) ⊂ Vz para algum Vz ∈ V.
Agora vejamos o conceito de encadeamento em espa¸cos topol´ogicos n˜ao necessa- riamente metriz´aveis por´em admiss´ıveis.
Defini¸c˜ao 2.6.2. Seja X um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel e O sua fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas em X. Dado U ∈ O, uma U -cadeia em X ´e uma sequˆencia finita x1, ..., xn de pontos de X tais que xi+1 ∈ St[xi, U ], i = 1, ..., n − 1. Os pontos
x1 e xn desta U − cadeia s˜ao ditos U -encadeados.
Proposi¸c˜ao 2.6.2. Dados x ∈ X e U ∈ O o conjunto Cx,U dos pontos de X que
s˜ao U -encadeados com x ´e aberto e fechado em X. Logo se X ´e conexo, dois pontos quaisquer de X s˜ao U − encadeados, para todo U ∈ O.
2.6 Conjuntos limitados 52
Demonstra¸c˜ao: Primeiro mostremos que Cx,U ´e aberto. Seja y ∈ Cx,U ent˜ao y ´e
U-encadeado a x logo existe sequˆencia finita de pontos x1 = y, ..., xn= x de pontos de
X tais que xi+1 ∈ St[xi, U ], i ∈ {1, ..., n−1}. Assim existem abertos U1, ..., Un−1 ∈ U
tais que x1, x2 ∈ U1,...,xn−1, xn ∈ Un−1. Veja que U1´e um aberto contendo y tal que
U1 ⊂ Cx,U. De fato tome z ∈ U1 e considere U0 = U1, U1, U2, ..., Un−1 abertos tais
que z = x0, y = x1 ∈ U0, x2, x3 ∈ U2,...,xn−1, xn ∈ Un−1 ent˜ao temos a sequˆencia
finita de pontos z = x0, y = x1,...,xn= x tal que xi+1 ∈ St[xi, U ], i ∈ {1, ..., n − 1}.
Ent˜ao y ´e U -encadeado a x, assim U1 ∈ Cx,U ent˜ao Cx,U ´e aberto. Mostremos agora
que Cx,U ´e fechado ou equivalentemente que seu complementar X \ Cx,U ´e aberto.
De fato tome y ∈ X \ Cx,U ent˜ao y ∈ X e y /∈ Cx,U. Se existir U ∈ O tal que
St[y, U ] ⊂ X \ Cx,U temos o resultado. Caso contr´ario, suponha que para todo
U ∈ O St[y, U] ⊂/ X \ Cx,U. Assim existe z ∈ St[y, U ] tal que z ∈ Cx,U. Desse modo,
z ´e U -encadeado a x, logo existe sequˆencia finita de pontos x1 = z, ..., xn = x de
pontos de X tais que xi+1 ∈ St[xi, U ], i ∈ {1, ..., n−1}. Como z ∈ St[y, U ], z, y ∈ U0
para algum U0 ∈ U, ent˜ao z, y ∈ U0, z, x2 ∈ U1 ,...,xn−1, xn ∈ Un−1. Sendo assim,
considere a seguinte sequˆencia y = x0, z = x1, x2, ..., xn = x, logo xi, xi+1 ∈ Ui para
qualquer i ∈ {1, ..., n − 1}. Ent˜ao xi+1 ∈ St[xi, U ], i ∈ {1, ..., n − 1}, portanto, y ´e
U-encadeado a x e temos um absurdo! logo para cada y ∈ X \ Cx,U existe algum
U ∈ U tal que St[y, U] ⊂ X \ Cx,U portanto X \ Cx,U ´e aberto logo Cx,U ´e fechado.
Portanto, se X ´e conexo, dois pontos quaisquer de X s˜ao U -encadeados, para todo U ∈ O, pois dados x ∈ X e U ∈ O, Cx,U coincide com X.
Proposi¸c˜ao 2.6.3. Assuma que X ´e um espa¸co compacto admiss´ıvel e O sua fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Ent˜ao a componente conexa de um ponto x ∈ X coincide com os pontos de X que s˜ao U -encadeados ´a x. Assim denotando Cx a
componente conexa de x ∈ X ent˜ao Cx = Cx,U.
Demonstra¸c˜ao: Primeiramente mostremos que Cx,U ´e conexo. Suponha U, V
abertos e disjuntos em X tais que Cx,U = U ∪ V . Sendo assim veja que U ´e aberto
e fechado em Cx,U, o qual ´e aberto e fechado em X. Ent˜ao U ´e aberto e fechado
em X. Desde que todo fechado num compacto ´e compacto ,U ´e compacto em X. Ent˜ao temos que U ⊂ U com U compacto contido no aberto U . Pela condi¸c˜ao 2) de
2.6 Conjuntos limitados 53
fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas existe U ∈ O tal que St[U, U ] ⊂ U , desde que U ⊂ St[U, U ] temos que St[U, U ] = U . Seja a ∈ Cx,U, sem perda de generalidade,
a ∈ U . Mostremos que para todo b ∈ Cx,U temos que b ∈ U . De fato a, b ∈ Cx,U
ent˜ao a, x s˜ao U -encadeados e b, x s˜ao U -encadeados logo a, b s˜ao U -encadeados, ou seja, existe sequˆencia finita de pontos x1 = a, ..., xn = b de pontos de X tais que
xi+1 ∈ St[xi, U ], i ∈ {1, ..., n − 1}, logo existem U1, U2, ..., U n − 1 abertos em U tais
que a = x1, x2 ∈ U1, x2, x3 ∈ U2,...,xn−1, xn= b ∈ Un−1. Veja que dessa forma:
• a = x1, x2 ∈ U1 ent˜ao x2 ∈ St[a, U] ⊂ St[U, U] = U portanto x2 ∈ U , logo
St[x2, U ] ⊂ St[U, U ] = U ,
• x2, x3 ∈ U2 ent˜ao pelo passo anterior, x3 ∈ St[x2, U ] ⊂ St[U, U ] = U portanto
x3 ∈ U ,
• Por racioc´ınio indutivo temos que ap´os um n´umero finito de passos, temos que: xn−1, xn ∈ Un−1. Ent˜ao pelo passo anterior, xn ∈ St[xn−1, U ] ⊂ St[U, U ] = U
portanto xn = b ∈ U . Ent˜ao a, b ∈ U , da´ı V = ∅, assim Cx,U ´e conexo. Por
fim observe que Cx,U ´e um subconjunto conexo aberto e fechado em X. Ent˜ao
Cx,U ∩ Cx ´e aberto e fechado em Cx pela topologia do subespa¸co. Desde que
Cx ´e conexo seus ´unicos subconjuntos simultaneamente aberto e fechado s˜ao
∅ e o pr´oprio Cx. Agora note que Cx,U ∩ Cx ⊂ Cx ent˜ao Cx,U ∩ Cx = Cx ou
Cx,U ∩ Cx = ∅, por´em Cx,U∩ Cx 6= ∅, logo Cx,U ∩ Cx = Cx, assim Cx ⊂ Cx,U. Por
outro lado, Cx ´e a componente conexa de x, ou seja ´e o maior subconjunto de
conexo de X contendo x, dai pela maximalidade de Cx, temos que Cx,U ⊂ Cx.
Portanto Cx,U = Cx.
Exemplo 2.6.5. Seja X um espa¸co Hausdorff compacto. Considere Of a fam´ılia
admiss´ıvel de todas coberturas abertas finitas de X. Se dois pontos quaisquer de X podem ser U -encadeados para qualquer U ∈ Of ent˜ao X ´e conexo. De fato
suponha X desconexo. Ent˜ao existem U, V abertos em X disjuntos n˜ao vazios tais que X = U ∪ V . Assim U = {U, V } ´e cobertura aberta finita de X, logo U ∈ Of.
Por´em se tomarmos x ∈ U e y ∈ V ( note que isto ´e poss´ıvel pois U, V s˜ao n˜ao vazios) ent˜ao x, y obviamente n˜ao s˜ao U -encadeados pois U ∩ V = ∅, absurdo! Assim X ´e conexo.