Observe que g(a) > 0 para todo a ∈ F pois se g(a) = 0 para algum a ∈ F d(a, F ) = 0 ent˜ao a ∈ F = F ent˜ao a ∈ F absurdo! desde que F ∩ K = ∅. Como g ´e cont´ınua definida num compacto assume valor m´ınimo digamos
ǫ = min{g(a); a ∈ K}.
Sendo assim , temos que ǫ > 0 e B(K, ǫ) ⊂ U . De fato B(K, ǫ) ∩ F = ∅, portanto B(K, ǫ) est´a contido no complementar de F logo B(K, ǫ) ⊂ U . Fazendo uso do lema anterior temos que St[K, Uǫ
2] ⊂ B(K, ǫ) ⊂ U ent˜ao St[K, U ǫ
2] ⊂ U . Sejam
Uǫ1 e Uǫ2 coberturas de X por ǫ1, ǫ2-bolas. Assim tome ǫ = min{ǫ1, ǫ2}, ent˜ao
Uǫ ≺ Uǫ1 e Uǫ ≺ Uǫ2. De fato, seja B(x, ǫ) ⊂ Uǫ. Assim B(x, ǫ) ⊂ B(x, ǫ1) ∈ Uǫ1 e
B(x, ǫ) ⊂ B(x, ǫ2) ∈ Uǫ1.
2.3
Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis
Nesta se¸c˜ao investigaremos as principais propriedades topol´ogicas dos espa¸cos ad- miss´ıveis.
Teorema 2.3.1. Seja X um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel e O(X) uma fam´ılia ad- miss´ıvel de coberturas abertas para X. Tome Y ⊂ X um subespa¸co topol´ogico de X com a topologia induzida, para cada U ∈ O(X) defina:
UY = {U ∩ Y |U ∈ U}
Ent˜ao
O(Y ) = {UY|U ∈ O(X)}
´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para Y .
Demonstra¸c˜ao: Primeiramente observe que, as coberturas UY ∈ O(Y ) s˜ao
abertas em Y . Veja que os elementos U ∩ Y ∈ UY s˜ao abertos em Y , para qualquer
U ∈ O(X) j´a que U ∈ U com U cobertura aberta de X.
1. Tome UY ∈ O(Y ) uma cobertura qualquer de O(Y ). Como X ´e admiss´ıvel
existe V ∈ O(X) tal que V ≺ 1
2U. Afirmamos que VY ≺ 1
2UY. De fato, sejam
(V1∩ Y ), (V2∩ Y ) ∈ UY tais que (V1∩ Y ) ∩ (V2∩ Y ) 6= ∅ logo V1∩ V2 6= ∅ por´em
V1, V2 ∈ V com V ≺ 12U temos que V1 ∪ V2 ⊂ U para algum U ∈ U. Por fim
2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis 36
2. Seja A ∩ Y um aberto qualquer de Y e K ⊂ A ∩ Y um compacto qualquer contido nesse aberto. Por defini¸c˜ao de topologia induzida temos que A ´e aberto em X. Desde que K ⊂ A ∩ Y assim K ⊂ A, como X ´e admiss´ıvel existe U ∈ O(X) tal que St[K, U ] ⊂ A. Considere UY ∈ O(Y ). Afirmamos
que St[K, UY] ⊂ A ∩ Y . De fato seja a ∈ St[K, UY] ent˜ao a ∈ U ∩ Y para
algum U ∩ Y ∈ UY com U ∈ U, tal que x ∈ U ∩ Y para algum x ∈ K. Dessa
forma, temos que a, x ∈ U ∈ U e a, x ∈ Y . Portanto a ∈ St[K, U ] ⊂ A da´ı a ∈ A, e desde que a ∈ Y , teremos que a ∈ U ∩ Y .
3. Sejam UY, VY ∈ O(Y ) assim U, V ∈ O(Y ). Desde que O(Y ) ´e uma fam´ılia
admiss´ıvel de coberturas abertas para X temos que existe W ∈ O(X) tal que W ≺ U e W ≺ V. Afirmamos que WY ≺ UY e WY ≺ VY. De fato seja
W ∩ Y ∈ WY, com W ∈ W por´em W ≺ U ent˜ao W ⊂ U para algum U ∈ U .
Portanto W ∩ Y ⊂ U ∩ Y com U ∩ Y ∈ UY, assim WY ≺ UY. Do mesmo
modo, tomemos W ∩ Y ∈ WY, com W ∈ W. Por´em W ≺ V ent˜ao W ⊂ V
para algum V ∈ V, e portanto, W ∩ Y ⊂ V ∩ Y com U ∩ Y ∈ VY. Assim
WY ≺ VY.
Veja que pelo teorema anterior temos que subespa¸cos de espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis tamb´em s˜ao admiss´ıveis, ou seja, uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas sobre o espa¸co X, induz de maneira natural uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas sobre o subespa¸co Y .
Lema 2.3.1. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis e O(X) e O(Y ) suas respectivas fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas. Para quaisquer U ⊂ X, V ⊂ Y , U ∈ O(X) e V ∈ O(Y ) temos que:
St[U × V, U × V] = St[U, U ] × St[V, V]
Demonstra¸c˜ao: Tome (x, y) ∈ St[U × V, U × V] ent˜ao (x, y) ∈ Ux× Vy ∈ U × V
para algum Ux × Vy ∈ U × V tal que (Ux × Vy) ∩ (U × V ) 6= ∅. Logo existe
(z, w) ∈ (Ux×Vy)∩(U ×V ). Da´ı z ∈ Ux∩U e w ∈ Vy∩V portanto x ∈ Ux ∈ U tal que
2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis 37
portanto (x, y) ∈ St[U, U ] × St[V, V] assim St[U × V, U × V] ⊂ St[U, U ] × St[V, V]. Reciprocamente tome (x, y) ∈ St[U, U ] × St[V, V], ent˜ao x ∈ St[U, U ] e y ∈ St[V, V] assim x ∈ Ux ∈ U para algum Ux ∈ U tal que Ux∩ U 6= ∅ logo existe z ∈ Ux∩ U . De
mesmo modo, y ∈ Vy ∈ V tal que Vy∩V 6= ∅ logo existe w ∈ Vy∩V . Dessa maneira o
par (z, w) ∈ (Ux×Vy)∩(U ×V ) = Ux∩Vy×U ∩V . Portanto (x, y) ∈ Ux×Vy ∈ U ×V
com Ux× Vy∩ U × V 6= ∅ ent˜ao (x, y) ∈ St[U × V, U × V].
Observa¸c˜ao: Assim como espa¸cos uniformes, existem tamb´em espa¸cos ad- miss´ıveis homeomorfos que n˜ao s˜ao uniformemente homeomorfos.
Teorema 2.3.2. Sejam X um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel e O(X) uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas de X. Considere Y um espa¸co homeomorfo a X. Ent˜ao Y ´e admiss´ıvel.
Demonstra¸c˜ao: Seja f : X −→ Y um homeomorfismo entre os espa¸cos to- pol´ogicos X e Y . Suponha X admiss´ıvel, e O(X) uma fam´ılia admiss´ıvel de co- berturas abertas para X. Para cada U ∈ O(X) defina f (U ) = {f (U )|U ∈ U }. Induzindo a fam´ılia admiss´ıvel, os espa¸cos s˜ao uniformemente homeomorfos. As- sim a cole¸c˜ao O(Y ) = {f (U )|U ∈ O(X)} ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para Y . Primeiramente note que f ´e sobrejetora ent˜ao f (X) = Y , desde
X = [
U ∈U
U ent˜ao Y = f (X) = [
U ∈U
f (U ) para cada U ∈ O(X). Dessa forma, para cada U ∈ O(X) temos que f (U ) ´e uma cobertura para Y . Por outro lado, temos que os elementos f (U ) ∈ f (U ) s˜ao abertos, pois cada U ∈ U ´e aberto, j´a que U ´e uma cobertura aberta da fam´ılia O(X). Agora, como f ´e homeomorfismo, portanto uma aplica¸c˜ao aberta temos que f (U ) ´e aberto logo f (U ) ´e uma cobertura aberta de Y para cada U ∈ O(X). Mostremos que O(Y ) ´e admiss´ıvel.
1. Seja f (U ) ∈ O(Y ). Desde que O(X) ´e fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X, considere V ∈ O(X) tal que V ≺ 1
2U. Afirmamos que: f (V) ≺ 1 2f (U ).
De fato, sejam f (V1), f (V2) ∈ f (V) tais que f (V1) ∩ f (V2) 6= ∅. Logo exite y =
f (x1) = f (x2) com x1 ∈ V1 e x2 ∈ V2 desde que f ´e bije¸c˜ao temos que x1 = x2
assim V1 ∩ V2 6= ∅. Como V ≺ 12U ent˜ao V1 ∪ V2 ⊂ U da´ı f (V1∪ V2) ⊂ f (U )
para algum U ∈ U , portanto f (V1) ∪ f (V2) ⊂ f (V1 ∪ V2) ⊂ f (U ) para algum
2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis 38
2. Tome A ⊂ Y um aberto qualquer em Y e K ⊂ A um compacto contido no aberto A. Desde que f : X −→ Y ´e homeomorfismo ent˜ao f−1 : Y −→ X
´e cont´ınua, da´ı como K ⊂ Y ´e compacto temos que f−1(K) ´e compacto em
X. Por outro lado, K ⊂ A ent˜ao f−1(K) ⊂ f−1(A) como f ´e cont´ınua e A
´e aberto em Y assim teremos f−1
(A) aberto em X. Desse modo temos um compacto f−1(K) contido num aberto f−1(A) de X, portanto, desde que X ´e
admiss´ıvel, aplicando a condi¸c˜ao 2 de fam´ılia admiss´ıvel ao compacto f−1
(K) contido no aberto f−1(A) existe U ∈ O(X) tal que St[f−1(K), U ] ⊂ f−1(A).
Afirmamos mais uma vez que St[K, f (U )] ⊂ A. Seja y ∈ St[K, f (U )], ent˜ao existe x ∈ K tal que y, x ∈ f (U ) ∈ f (U ) para algum U ∈ U ; ent˜ao y = f (x1)
e x = f (x2) com x1, x2 ∈ U . Logo x1 ∈ St[f−1(K), U ] desde que x1, x2 ∈ U e
x2 ∈ f−1(K), j´a que f (x2) = x ∈ K. Agora como St[f−1(K), U ] ⊂ f−1(A) da´ı
x1 ∈ f−1(A), portanto y = f (x1) ∈ A e est´a demonstrado.
3. Sejam f (U ) e f (V) ∈ O(Y ), assim U , V ∈ O(X). Desde que O(X) ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X existe W ≺ U e W ≺ V. Afirmamos que f (W) ≺ f (U ) e f (W) ≺ f (V). Considere f (W ) ∈ f (W) ent˜ao W ∈ W, por´em W ≺ U assim W ⊂ U para algum U ∈ U . Assim temos que f (W ) ⊂ f (U ) ∈ f (U ), portanto, f (W) ≺ f (U ). De mesmo modo, tome f (W ) ∈ f (W) ent˜ao W ∈ W, por´em W ≺ V assim W ⊂ V para algum V ∈ V assim f (W ) ⊂ f (V ) ∈ f (V) portanto f (W) ≺ f (V). Assim conclu´ımos que O(Y ) ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para Y , sendo assim Y ´e admiss´ıvel.
Agora provaremos que o produto cartesiano finito de espa¸cos admiss´ıveis ´e ad- miss´ıvel.
Teorema 2.3.3. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis munidos respectiva- mente com as fam´ılias admiss´ıveis O(X) e O(Y ). Dados U ∈ O(X) e V ∈ O(Y ), defina
U × V = {U × V : U ∈ U, V ∈ V} Ent˜ao a fam´ılia
2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis 39
´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X × Y . Demonstra¸c˜ao:
1) Seja U ×V, um elemento qualquer de O(X ×Y ). Assim U ∈ O(X) e V ∈ O(Y ). Temos por hip´otese que O(X) e O(Y ) s˜ao fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas de X, Y respectivamente, logo existem U′
∈ O(X) e V′
∈ O(Y ) tais que U′
≺ 1 2U e V′ ≺ 1 2V. Afirmamos que U ′ × V′ ≺ 1 2U × V. De fato tomemos U ′ 1× V ′ 1, U ′ 2× V ′ 2 ∈ U′ × V′ tais que (U′ 1× V ′ 1) ∩ (U ′ 2× V ′
2) 6= ∅ da´ı teremos que U ′ 1∩ U ′ 2 6= ∅ e V ′ 1∩ V ′ 2 6= ∅,
Por´em temos que U′
≺ 1
2U logo U ′ 1 ∪ U
′
2 ⊂ U ∈ U para algum U ∈ U. De modo
inteiramente an´alogo V′ ≺ 1 2V logo V ′ 1 ∪ V ′
2 ⊂ V ∈ V para algum V ∈ V. Por fim
veja que: (U′ 1 × V ′ 1) ∪ (U ′ 2× V ′ 2) ⊂ (U ′ 1 ∪ U ′ 2) × (V ′ 1 ∪ V ′ 2) ⊂ U × V ∈ U × V. Dessa
forma mostramos ser v´alida a condi¸c˜ao 1 de fam´ılia admiss´ıvel. 3) Sejam U × V , U′
× V′
∈ O(X × Y ). Ent˜ao por defini¸c˜ao da fam´ılia de coberturas O(X × Y ) temos que U , U′
∈ O(X) e V, V′
∈ O(Y ). Como O(X) e O(Y ) s˜ao fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas para X, Y respectivamente temos que existe U0 ∈ O(X) e V0 ∈ O(Y ) tais que U0 ≺ U, U′ e V0 ≺ V, V′. Afirmamos que
U0× V0 ≺ U × V, U′ × V′. De fato, se U0× V0 ∈ U0× V0 ent˜ao U0 ∈ U0 e V0 ∈ V0.
Como U0 ≺ U temos que U0 ∈ U ∈ U, para algum U ∈ U. Analogamente, V0 ≺ V,
da´ı V0 ⊂ V ∈ V, para algum V ∈ V. Portanto U0× V0 ⊂ U × V ∈ U × V, assim
U0× V0 ≺ U × V. De modo inteiramente an´alogo mostra-se que U0× V0 ≺ U′× V′.
2) Seja K ⊂ N ⊂ X × Y um compacto contido em um aberto qualquer N do espa¸co produto X × Y . Tome (x, y) ∈ K ⊂ N . Desde que N ´e aberto em X × Y existe um aberto b´asico na topologia produto digamos Ux,y× Vx,y com Ux,y aberto
em X e Vx,y aberto em Y , tal que (x, y) ∈ Ux,y× Vx,y ⊂ N . Assim x ∈ Ux,y ⊂ X
e desde que X ´e admiss´ıvel existe uma cobertura aberta Ux,y ∈ O(X) a qual ´e
{x}-subordinada ao aberto Ux,y, ou seja, St[x, Ux,y] ⊂ Ux,y. De mesm´ıssimo modo
temos y ∈ Vx,y ⊂ Y , e desde que Y ´e admiss´ıvel existe uma cobertura aberta
Vx,y ∈ O(Y ) a qual ´e {y}-subordinada ao aberto Vx,y, ou seja, St[y, Vx,y] ⊂ Vx,y.
Portanto, temos que St[x, Ux,y] × St[y, Vx,y] ⊂ Ux,y × Vx,y. Usando o Lema 2.3.1,
temos que St[(x, y), Ux,y × Vx,y] = St[x, Ux,y] × St[y, Vx,y] e desde que St[x, Ux,y] ×
St[y, Vx,y] ⊂ Ux,y × Vx,y ⊂ N ent˜ao St[(x, y), Ux,y × Vx,y] ⊂ N . Pela condi¸c˜ao 1
j´a mostrada, tomemos U∗ x,y× V
∗
x,y ∈ O(X × Y ) tal que U ∗ x,y × V
∗
x,y ≺ 12Ux,y × Vx,y.
Veja que K ⊂ [
(x,y)∈K
St[(x, y), U∗ x,y× V
∗
2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis 40
subcobertura finita, digamos K ⊂
n [ i=1 St[(xi, yi), U∗ xi,yi× V ∗
xi,yi]. Considere agora,
U × V ≺ U∗
xi,yi× V ∗
xi,yi para todo i = {1, ..., n}. Afirmamos que St[K, U × V] ⊂ N .
De fato, tomemos (z, w) ∈ St[K, U × V]. Assim existe U × V ∈ U × V tal que (z, w), (x, y) ∈ U × V com (x, y) ∈ K. Repare que U × V ≺ U∗
xi,yi × V ∗
xi,yi para
todo i, portanto U × V ⊂ Ui × Vi para algum Ui × Vi ∈ U ∗ xi,yi × V ∗ xi,yi. Assim (z, w), (x, y) ∈ Ui × Vi ∈ Uxi,yi∗ × V ∗
xi,yi. Por outro lado, note que (x, y) ∈ K ⊂ n [ i=1 St[(xi, yi), U∗ xi,yi× V ∗
xi,yi] ent˜ao temos que (x, y), (xi, yi) ∈ U ′ i× V ′ i ∈ U ∗ xi,yi× V ∗ xi,yi
para algum i. Sendo assim, temos que (x, y) ∈ Ui × Vi e (x, y) ∈ Ui′ × V ′ i ent˜ao Ui × Vi ∩ Ui′ × V ′ i 6= ∅. Como U ∗ xi,yi× V ∗
xi,yi ≺ 12Uxi,yi× Vxi,yi logo Ui × Vi ∪ Ui′ ×
V′
i ∈ Z × W para algum Z × W ∈ Uxi,yi× Vxi,yi ent˜ao desde que (z, w), (xi, yi) ∈
Ui × Vi ∪ Ui′× V ′
i temos que (z, w), (xi, yi) ∈ Z × W ∈ Uxi,yi× Vxi,yi. Desse modo,
(z, w) ∈ St[(xi, yi), Uxi,yi× Vxi,yi] ⊂ Uxi,yi× Vxi,yi ⊂ N . Logo U × V ∈ O(X × Y )
´e K-subordinada ao aberto N . Por 1,2 e 3 o produto cartesiano de dois espa¸cos admiss´ıveis ´e admiss´ıvel.
Do teorema anterior temos o seguinte corol´ario:
Corol´ario 2.3.1. O produto cartesiano finito de espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis ´e admiss´ıvel
Demonstra¸c˜ao: Como X1 × ... × Xn = (X1 × ... × Xn−1) × Xn, o corol´ario
resulta de sucessivas aplica¸c˜oes do teorema anterior.
Segue uma importante caracteriza¸c˜ao de espa¸cos admiss´ıveis a qual julgamos ser o resultado mais importante deste trabalho.
Teorema 2.3.4. Um espa¸co X ´e uniformiz´avel se, e somente se, ´e admiss´ıvel. Demonstra¸c˜ao: Tomemos O uma base para uma fam´ılia de coberturas unifor- mes em X. Afirmamos que O ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X. De fato, por defini¸c˜ao de cobertura uniforme temos que:
1. Para quaisquer U1,U2 ∈ O existe algum U3 ∈ O tal que U3∗ ≺ U1 e U3∗ ≺ U2
da´ı temos que U3 ≺ 12U1 e U3 ≺ 12U2 pois refinamentos do tipo estrela implicam
2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis 41
2. Seja Y ⊂ X um aberto de X e K ⊂ Y um compacto qualquer de X contido em Y . Sabemos que os conjuntos da forma St[x, U ] para algum U ∈ O formam uma vizinhan¸ca b´asica em x na topologia uniforme de X. Sendo assim, para cada x ∈ K, existe Ux ∈ O tal que St[x, Ux] ⊂ Y . Considere Ux∗ ≺ 12Ux
com U∗
x ∈ O. Agora veja K ⊂
[
x∈K
St[x, Ux∗] ´e uma cobertura aberta de
K. Desde que K ´e compacto, considere uma subcobertura finita digamos K ⊂ n [ i=1 St[xi, U∗ xi] . Agora tome V ≺ U ∗
xi para todo i ∈ {1, ..., n}. Afirmamos
que St[K, V] ⊂ Y . De fato, se z ∈ St[K, V], ent˜ao existe x ∈ K tal que z, x ∈ V para algum V ∈ V. Desde que V ≺ U∗
xi temos que para todo i ∈ {1, ..., n},
V ∈ Ui para algum Ui ∈ Uxi∗. Por outro lado, x ∈ K ⊂ n [ i=1 St[xi, Uxi∗] da´ı x, xi ∈ U′ i ∈ U ∗
xi para algum i. Assim x ∈ Ui e x ∈ Ui′ portanto Ui ∩ Ui′ 6= ∅.
Agora como U∗
xi ≺ 12Uxi ent˜ao temos que Ui ∪ U ′
i ∈ Uxi para algum Uxi ∈ Uxi
portanto z, xi ∈ Uxi ∈ Uxi logo z ∈ St[xi, Uxi], como St[xi, Uxi] ⊂ Y segue o
resultado.
Por outro lado, seja uma fam´ılia admiss´ıvel O de coberturas abertas de X. Para cada U ∈ O defina a seguinte cobertura aberta de X:
BU = {St[x, U ] : x ∈ X}
Seja BO = {BU : U ∈ O} a fam´ılia de todas as coberturas abertas do espa¸co
topol´ogico X por U -vizinhan¸cas. Mostremos que BO ´e uma base para um estrutura
uniforme em X. Sejam BU1, BU2 ∈ BO. Assim U1, U2 ∈ O. Desde que O ´e admiss´ıvel,
considere U3 ∈ O tal que U3 ≺ 12U1 e U3 ≺ 12U2. Seja W ∈ O tal que W ≺ 12U3.
Afirmo que BW∗ ≺ BU1. De fato, tome St[x, W] ∈ BW um elemento qualquer da
cobertura BW e z ∈ St[St[x, W], BW]. Ent˜ao z ∈ St[y, W] para algum St[y, W] ∈
BW tal que St[y, W] ∩ St[x, W] 6= ∅. Logo existe a ∈ X tal que a ∈ St[y, W] e
a ∈ St[x, W]. Da´ı a, y ∈ W1 ∈ W e a, x ∈ W2 ∈ W. Desse modo W1∩ W2 6= ∅ e
desde que W ≺ 1
2U3 temos que W1 ∪ W2 ⊂ U3 para algum U3 ∈ U3. Dessa forma
y, x ∈ U3 ∈ U3. Por outro lado temos que z ∈ St[y, W] e portanto z, y ∈ W para
algum W ∈ W. Desde que W ≺ 1
2U3 temos que W ⊂ U ′ 3 para algum U ′ 3 ∈ U3. Dessa forma z, y ∈ U′
3 ∈ U3. Sendo assim, veja que U3∩U3′ 6= ∅. Como U3 ≺ 12U1 temos que
U3 ∪ U3′ ⊂ U para algum U ∈ U1. Logo z, x ∈ U ∈ U1 e assim z ∈ St[x, U1] ∈ BU1
2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis 42
BU2. Conclu´ımos assim que X ´e um espa¸co topol´ogico uniformiz´avel.
Desde que o produto cartesiano arbitr´ario de espa¸cos uniformiz´aveis ´e unifor- miz´avel (Ver [22], Teorema 37.5, p´agina 252) temos pelo Teorema 2.3.4 que o produto cartesiano arbitr´ario de espa¸cos admiss´ıveis tamb´em ´e admiss´ıvel.
A proposi¸c˜ao abaixo generaliza o resultado de que todo espa¸co pseudom´etrico T0
´e um espa¸co m´etrico.
Proposi¸c˜ao 2.3.1. Se X ´e um espa¸co admiss´ıvel T0 ent˜ao X ´e Hausdorff.
Demonstra¸c˜ao: Considere O uma fam´ılia de coberturas abertas admiss´ıvel de X e x, y ∈ X. Por hip´otese X ´e um espa¸co T0, sendo assim tome V ⊂ X com x ∈ V
e y /∈ V . Escolha U,V ∈ O de modo que U ´e {x}-subordinada ´a V e V ≺ 1
2U. Agora
tome V1, V2 ∈ V com x ∈ V1e y ∈ V2. Afirmamos que V1∩V2 = ∅. De fato temos que
V ≺ 1
2U logo se V1∩ V2 6= ∅, existiria U ∈ U tal que V1∪ V2 ⊂ U , da´ı x, y ∈ U , ent˜ao
y ∈ St[x, U ].Por´em U ´e {x}- ´e subordinada ´a V , ou seja, St[x, U ] ⊂ V . Portanto y ∈ V , o que ´e uma contradi¸c˜ao. Sendo assim V1 ∩ V2 = ∅.
Observe que nem todo espa¸co Hausdorff ´e admiss´ıvel. De fato considere (R, τ ) a reta munida da K-topologia gerada pela base {(a, b), (a, b) − K |a, b ∈ R} com K = {n1|n ∈ N}. Obviamente (R, τ ) ´e Hausdorff, desde que τ ´e mais fina do que a topologia usual em R. Por´em (R, τ ) n˜ao ´e regular desde que 0 e K n˜ao podem ser separados por abertos disjuntos n˜ao vazios. Assim (R, τ ) n˜ao ´e completamente regu- lar e portanto n˜ao-uniformiz´avel. Pelo Teorema 2.3.4 temos que (R, τ ) ´e Hausdorff n˜ao-admiss´ıvel.
Vejamos o exemplo abaixo.
Exemplo 2.3.1. Note que um espa¸co admiss´ıvel n˜ao necessariamente ´e um espa¸co T0. Considere X munido com a topologia trivial. Logo X obviamente n˜ao ´e um
espa¸co T0 j´a que seus pontos n˜ao s˜ao distingu´ıveis. Por´em, O = {X} evidentemente
´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X.
Seja X um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel e O uma fam´ılia admiss´ıvel de cober- turas abertas de X. O pr´oximo lema tem v´arias aplica¸c˜oes quando trabalhamos
2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis 43
com espa¸cos que admitem fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas. No intuito de tornar o texto mais conciso, reproduziremos sua demonstra¸c˜ao, que pode ser encontrada em ([14], Cap´ıtulo 2, p´agina 42, Lema 2.4).
Lema 2.3.2. Sejam U e V duas coberturas de X pertencentes `a fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas O. Se V ≺ 12U e x ∈ X, ent˜ao St[x, V] ⊂ St[x, U].
Demonstra¸c˜ao: Tome y ∈ St[x, V], e considere V ∈ V um aberto tal que y ∈ V . Logo existe a ∈ St[x, V] com a ∈ V . Como a ∈ St[x, V] temos que a, x ∈ V1 ∈ V
para algum V1 ∈ V, logo a ∈ V ∩ V1 da´ı V ∩ V1 6= ∅. Por´em V ≺ 12U, portanto
V ∪ V1 ∈ U ∈ U, logo y, x ∈ V ∪ V1 ∈ U para algum U ∈ U. Ent˜ao y ∈ St[x, U].
Seguiremos a defini¸c˜ao de espa¸co topol´ogico regular segundo [22], p´agina 92, Defini¸c˜ao 14.1.
Defini¸c˜ao 2.3.1. Um espa¸co X se diz regular se, e somente se, A for um fechado qualquer em X tal que x /∈ A, ent˜ao existem abertos disjuntos U e V com x ∈ U e A ⊂ V .
Agora vejamos o seguinte teorema.
Teorema 2.3.5. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes para um espa¸co topol´ogico X.
1. X ´e regular.
2. se U ´e aberto em X e x /∈ U , ent˜ao existe um aberto V contendo x tal que V ⊂ U .
3. cada x ∈ X possui uma fam´ılia de vizinhan¸cas b´asicas consistindo de conjuntos fechados.
Segue uma importante aplica¸c˜ao do Lema 2.3.2.
Teorema 2.3.6. Todo espa¸co topol´ogico X admiss´ıvel ´e regular.
Demonstra¸c˜ao: Suponha X um espa¸co admiss´ıvel munido de uma fam´ılia ad- miss´ıvel de coberturas O. Se U ´e aberto em X e x ∈ U , ent˜ao existe U ∈ O tal que St[x, U ] ⊂ U . Tome V ∈ O tal que V ≺ 12U. Pelo lema anterior temos que St[x, V] ⊂ St[x, U ]. Ent˜ao St[x, V] ´e um conjunto aberto contendo x tal que St[x, V] ⊂ U ,e portanto X ´e regular.