X. O espa¸co X ´e dito uniformemente localmente conexo por caminhos se para qualquer U ∈ O, existe V ∈ O tal que toda vez que x, y ∈ V para algum V ∈ V ent˜ao x, y s˜ao ligados por algum caminho U - limitado de X.
Teorema 2.9.1. Se X ´e um espa¸co admiss´ıvel compacto localmente conexo, ent˜ao X ´e uniformemente localmente conexo.
Demonstra¸c˜ao: Tome U ∈ O. Para cada x ∈ X note que St[x, U ] ´e um aberto contendo x. Desde que X ´e localmente conexo considere Vx uma vizinhan¸ca conexa
de x tal que Vx ⊂ St[x, U]. Assim por defini¸c˜ao cada Vx ´e U -limitado. Por outro
lado veja que X = [
x∈X
Vx. Tomando V a cobertura de Lebesgue para a cobertura
aberta {Vx : x ∈ X} do compacto X temos que se x, y ∈ V para algum V ∈ V ent˜ao
y ∈ St[x, V] ⊂ Vz para algum Vz ∈ {Vx : x ∈ X}. Portanto para qualquer U ∈ O
existe V ∈ O tal que x, y ∈ V ent˜ao x, y pertencem ao mesmo subconjunto conexo U-limitado Vz, assim X ´e uniformemente localmente conexo.
A prova do Teorema [2.9.1] anterior pode ser facilmente modificada para mostrar que, se X ´e um espa¸co compacto localmente conexo por caminhos ent˜ao X ´e unifor- memente localmente conexo por caminhos. Este resultado estende uma propriedade de espa¸cos de Peano para espa¸cos admiss´ıveis localmente conexos por caminhos. Indicamos [22], Se¸c˜ao 31, para Espa¸cos de Peano.
2.10
Dimens˜ao topol´ogica
O principal objetivo dessa se¸c˜ao ´e dar uma descri¸c˜ao do conceito de dimens˜ao to- pol´ogica de Lebesgue de um espa¸co topol´ogico X em termos da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Trabalharemos com a teoria de dimens˜ao cl´assica explorada por Hurewicz e Wallman em [4].
Inicialmente, abordamos os pr´e-requisitos da teoria de dimens˜ao necess´arios para o desenvolvimento do texto, expondo algumas defini¸c˜oes e resultados b´asicos da teoria. Recomendamos a leitura de [11],[4] para teoria de dimens˜ao.
2.10 Dimens˜ao topol´ogica 60
Defini¸c˜ao 2.10.1. A dimens˜ao topol´ogica de um espa¸co X ´e o valor m´ınimo n ∈ N para o qual toda cobertura aberta de X admite refinamento de ordem menor ou igual a n + 1. Se n˜ao existe valor m´ınimo de n, dizemos que X tem dimens˜ao topol´ogica infinita.
Nota¸c˜ao: dim X = n
Entendemos por ordem de uma cobertura de um espa¸co o n´umero m´aximo de elementos da cobertura ao qual pertence qualquer ponto do espa¸co. Sendo assim, temos uma defini¸c˜ao alternativa do conceito de dimens˜ao topol´ogica dada por: Defini¸c˜ao 2.10.2. Uma cobertura U de um espa¸co X tem ordem m + 1 se algum ponto de X est´a em m + 1 elementos de U , e n˜ao existe nenhum ponto de X o qual esteja em mais do que m + 1 elementos de U .
Segue imediatamente da defini¸c˜ao, que um espa¸co X tem dimens˜ao zero se, e somente se, para cada vizinhan¸ca aberta U de x, existe um subconjunto aberto V ⊂ X tal que x ∈ V ⊂ U e ∂V = ∅.
Exemplo 2.10.1. A ordem da cobertura U = (n − 1 2, n +
1
2) ´e 1, desde que n˜ao
existem dois elementos que se interceptam.
O exemplo abaixo pode ser encontrado em [11], p´agina 305.
Exemplo 2.10.2. Qualquer subespa¸co compacto X de R possui dimens˜ao topol´ogica no m´aximo igual a 1.
Denote U1 a cole¸c˜ao de todos intervalos da forma (n, n + 1) em R com n ∈ Z.
Seja U2 a cole¸c˜ao de todos intervalos da forma (n − 12, n + 12) para n ∈ Z. Ent˜ao
U = U1∪ U2 ´e uma cobertura aberta de R por conjuntos de diˆametro 1. Desde que
n˜ao existe dois elementos de U1 nem de U2 que se interceptam ent˜ao temos que a
ordem de U ´e 2.
Seja X um subespa¸co compacto de R. Tome C uma cobertura aberta qualquer de X por abertos de X. Considere δ o n´umero de Lebesgue para esta cobertura. Ent˜ao qualquer cole¸c˜ao de subconjuntos de X com diˆametro menor que δ ´e um refinamento para C. Seja f : R −→ R homeomorfismo definido como f (x) = (12δ)x. As imagens dos elementos da cobertura U pela aplica¸c˜ao f formam uma cobertura aberta de R
2.10 Dimens˜ao topol´ogica 61
de ordem 2 cujos elementos possuem diˆametro (12δ). A intersec¸c˜ao com X forma um refinamento de C de ordem menor ou igual a 2. Assim temos o resultado.
Seguem alguns resultados b´asicos a respeito de teoria de dimens˜ao.
Proposi¸c˜ao 2.10.1. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico separ´avel. Se X ´e enumer´avel ent˜ao dim X = 0.
Demonstra¸c˜ao: Sejam x ∈ X e U uma vizinhan¸ca aberta qualquer de x em X. Tomemos ǫ > 0 para o qual B(x, ǫ) ⊂ U . Desde que X ´e enumer´avel, existe 0 < δ < ǫ tal que: d(x, y) 6= ∅ para todo y ∈ B(x, ǫ). Sendo assim x ∈ B(x, δ) e ∂B(x, δ) = ∅, portanto dim X = 0.
Exemplo 2.10.3. Segue imediatamente da proposi¸c˜ao 2.10.1 que dim Qn= 0,
para qualquer que seja n ∈ N. Proposi¸c˜ao 2.10.2. dim R \ Q = 0
Demonstra¸c˜ao: Sejam x ∈ R \ Q e U uma vizinhan¸ca aberta qualquer de x em R\ Q. Tomemos y, z ∈ R \ Q tal que V = (y, z) ∩ R \ Q ⊂ U . Desde que ∂V = ∅, temos o resultado.
Proposi¸c˜ao 2.10.3. Todo subconjunto dos n´umeros reais que n˜ao cont´em intervalos ´e 0-dimensional.
Demonstra¸c˜ao: An´alogo a Proposi¸c˜ao 2.10.2.
Teorema 2.10.1. Sejam X um espa¸co com dimens˜ao finita e Y ⊂ X um subcon- junto fechado, ent˜ao Y tem dimens˜ao finita e dim Y ≤ dim X.
Demonstra¸c˜ao: Ver[11], Teorema 50.1, p´agina 306.
Teorema 2.10.2. Sejam X e Y espa¸cos tais que pelo menos um ´e n˜ao vazio. Ent˜ao: dim X × Y ≤ dim X + dim Y.
2.10 Dimens˜ao topol´ogica 62
Demonstra¸c˜ao: Ver[4], Teorema 3.4, p´agina 33.
Teorema 2.10.3. Seja X = Y ∪ Z, com Y e Z subespa¸cos fechados de X possuindo dimens˜ao topol´ogica finita. Ent˜ao:
dim X = max{dim Y, dim Z}. Demonstra¸c˜ao: Ver[11], Teorema 50.2, p´agina 307.
Corol´ario 2.10.1. Seja X = Y1∪ Y2∪ ... ∪ Yk, onde cada Yi ´e um subespa¸co fechado
de X de dimens˜ao finita.Ent˜ao
dim X = max{dim Y1, dim Y2, . . . , dim Yk}.
O teorema abaixo descreve a dimens˜ao topol´ogica de Lebesgue por meio da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas.
Teorema 2.10.4. Assuma que X ´e um espa¸co topol´ogico compacto e O uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas de X. Assim, dim X ≤ m, se e somente se, para todo U ∈ O existe uma cobertura aberta finita B de X por subconjuntos U -limitados tais que B possui ordem no m´aximo m + 1.
Demonstra¸c˜ao: Suponha que dim X ≤ m e tome U ∈ O. Considere uma cobertura aberta BU = {St[x, U ]; x ∈ X} por U -estrelas. Escolha uma cobertura V
de X que refina BU e possui no m´aximo ordem m+1. Considere B uma subcobertura
finita de V. Desse modo, B possui ordem no m´aximo m + 1 e seus membros s˜ao U-limitados. Reciprocamente, tome U uma cobertura aberta arbitr´aria de X. Pelo lema da cobertura de Lebesgue temos que existe V ∈ O tal que para cada x ∈ X, St[x, V] ⊂ U para algum U ∈ U. Agora veja que por hip´otese existe uma cobertura B de X por subconjunto U-limitados tal que B possui ordem no m´aximo m + 1. Desde que B refina U , segue que dim X ≤ m.
CAP´ITULO 3
FIBRADOS PRINCIPAIS E ASSOCIADOS
O principal objetivo deste cap´ıtulo ´e a demonstra¸c˜ao da continuidade uniforme da aplica¸c˜ao πE : E −→ X (fibrado associado a um fibrado principal). Para este
prop´osito, construiremos uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas sobre um fibrado associado com base localmente compacta e paracompacta. Tal constru¸c˜ao foi realizada por Patr˜ao-San Martin [12].
No entanto, inicialmente, apresentaremos a teoria de fibrados principais e as- sociados em seu aspecto geral, dando ˆenfase nas propriedades topol´ogicas de tais objetos. Tomamos o cuidado de apresentar somente os principais teoremas da teo- ria, fornecendo demonstra¸c˜oes detalhadas de car´ater puramente topol´ogico.
3.1 Fibrados principais 64
3.1
Fibrados principais
A teoria de fibra¸c˜oes diz respeito a espa¸cos topol´ogicos que localmente se parecem com espa¸cos produtos.
Vejamos algumas defini¸c˜oes iniciais.
Defini¸c˜ao 3.1.1. Uma fibra¸c˜ao ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua e sobrejetora π : Q −→ X,
de um espa¸co topol´ogico Q denominado espa¸co total num espa¸co topol´ogico X denominado espa¸co base.
Vejamos um exemplo.
Exemplo 3.1.1. Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos ent˜ao a proje¸c˜ao em primeira coordenada π1 : X × Y −→ X ´e uma fibra¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 3.1.2. Para cada ponto x do espa¸co base X definimos a fibra de Q sobre x como seguinte conjunto:
π−1(x) = {p ∈ Q : π(p) = x}.
Defini¸c˜ao 3.1.3. Para cada ponto q do espa¸co total Q definimos a fibra de Q atrav´es de q como seguinte conjunto:
Qq = {p ∈ Q : π(p) = π(q)}.
Defini¸c˜ao 3.1.4. (Isomorfismo de fibra¸c˜oes) Duas fibra¸c˜oes π : Q −→ X e ˆ
π : ˆQ −→ ˆX s˜ao ditas isomorfas se existem homeomorfismos Ψ : Q −→ ˆQ e φ : X −→ ˆX entre os espa¸cos totais e os espa¸cos base respectivamente, tais que o diagrama abaixo ´e comutativo.
Q Ψ // π ˆ Q ˆ π X φ //Xˆ
3.1 Fibrados principais 65
Defini¸c˜ao 3.1.5. (Fibrados principais) Uma fibra¸c˜ao π : Q −→ X ´e chamada um fibrado principal se existir um grupo topol´ogico G agindo livre e continua- mente `a direita de Q de modo que, as fibras de Q sobre os elementos x ∈ X sejam ´orbitas da a¸c˜ao de G sobre Q.
O grupo G ´e chamado grupo estrutural do fibrado principal.
Usualmente nos referiremos ao fibrado principal como sendo a aplica¸c˜ao: π : Q −→ X
ficando subentendido, ´e claro, a existˆencia do grupo estrutural G agindo livre e continuamente `a direita do espa¸co total Q.
Observe que cada ´orbita p.G = {pg : g ∈ G} define uma classe de equivalˆencia da seguinte rela¸c˜ao:
p1 ∼ p2 ⇔ p2 = p1g
para algum g ∈ G. Sendo assim dois elementos p, q ∈ Q pertencem `a mesma fibra se, e somente se, pertencem a mesma ´orbita se, e somente se, pertencem a mesma classe de equivalˆencia ou seja,
π(p) = π(q) ⇔ q = pg, para algum g ∈ G.
Dessa forma temos que a a¸c˜ao do grupo topol´ogico G sobre a fibra ´e invariante, no seguinte sentido:
p ∈ π−1
(x) ⇒ pg ∈ π−1
(x)
j´a que p, pg s˜ao associados para todo g ∈ G, logo π(pg) = π(p) = x portanto, pg ∈ π−1(x).
Tome p ∈ π−1
(x) ent˜ao para cada q ∈ π−1
(x) veja que q = pg para algum g ∈ G, ou seja, a a¸c˜ao de G ´e transitiva quando restrita a uma fibra qualquer. Assim:
π−1(x) = {qg : g ∈ G} = q.G
Em outras palavras, cada fibra ´e uma ´orbita de cada um de seus pontos.
Desde que Q = [
x∈X
π−1(x) ent˜ao escrevemos o espa¸co total Q como uni˜ao disjunta de fibras, onde cada fibra possui estrutura de grupo topol´ogico, j´a que
3.1 Fibrados principais 66
π−1(x) ∼= G. Assim dizemos que Q ´e um feixe bem organizado de grupos. De modo
intuitivo podemos ainda pensar no espa¸co Q como uni˜ao de fibras parametrizadas por X e coladas pela topologia do espa¸co.
Defini¸c˜ao 3.1.6. Dois fibrados principais π : Q −→ X e ˆπ : ˆQ −→ ˆX com grupos estruturais G e ˆG s˜ao ditos isomorfos se suas fibra¸c˜oes s˜ao isomorfas e existe um isomorfismo de grupos topol´ogicos;
ϕ : G −→ ˆG, tais que Ψ(pg) = Ψ(p).ϕ(g) para todo p ∈ Q e g ∈ G.
O terno (Ψ, φ, ϕ) ´e denominado um isomorfismo de fibrados principais. Agora vejamos um exemplo de fibrado principal.
Exemplo 3.1.2. (fibrado principal trivial) Considere a fibra¸c˜ao dada pela proje¸c˜ao em primeira coordenada:
π1 : X × G −→ X
π1(x, g) = x.
Tal aplica¸c˜ao obviamente ´e uma fibra¸c˜ao do espa¸co total X × G no espa¸co base X, pois trata-se de uma aplica¸c˜ao cont´ınua e sobrejetora. Considere agora, o grupo topol´ogico G agindo `a direita de X × G do seguinte modo:
((x, g1), g2) ∈ (X × G) × G −→ (x, g1g2) ∈ (X × G).
Tal a¸c˜ao ´e obviamente cont´ınua e livre, pois se ((x, g1g2) = (x, g1), ent˜ao g1g2 = g1
da´ı g2 = e. Por fim veja que,
π−1
1 (x) = (x, e).G
Ou seja, a a¸c˜ao de G faz com que as fibras π1−1(x) sejam as ´orbitas (x, e).G , logo
a aplica¸c˜ao π1 : X × G −→ X ´e um fibrado principal.
Defini¸c˜ao 3.1.7. (Fibrados principais localmente triviais) Um fibrado prin- cipal π : Q −→ X ´e chamado de localmente trivial se para todo ponto x do espa¸co base existir um aberto Ui contendo x e Ψi : π−1(Ui) −→ Ui× G homeomorfismo na
seguinte forma:
3.1 Fibrados principais 67
com φi : π−1(Ui) −→ G uma aplica¸c˜ao cont´ınua equivariante, i.e, φi(pg) = φi(p).g
para todo p ∈ π−1(U
i), g ∈ G.
De modo mais geral dizemos que um fibrado principal ´e localmente trivial se existir uma cobertura aberta {Ui : i ∈ I} do espa¸co base X e uma fam´ılia de
homeomorfismos: {Ψi : π −1(U i) −→ Ui× G)}i∈I da forma: Ψ(p) = (π(p), φi(p)) onde φi : π −1
(Ui) −→ G ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua equivariante, i.e, φi(pg) =
φi(p).g para todo p ∈ π−1(Ui), g ∈ G.
Cada aberto Ui com i ∈ I ´e chamado de aberto trivializante e cada Ψi de
trivializa¸c˜ao local do fibrado ou homeomorfismo local. Por fim dizemos que a cole¸c˜ao de cartas Ψ = (Ψi, Ui)i∈I ´e um atlas do espa¸co total Q.
`
As vezes chamaremos de trivializa¸c˜ao local o par (Ψi, Ui).
Exemplo 3.1.3. Considere o fibrado principal trivial constru´ıdo no exemplo ante- rior. Note que π−1
1 (X) = {(x, g) : π1(x, g) = x ∈ X} = X × G. Desta forma, para
cada x ∈ X escolha o aberto X contendo x e o seguinte homeomorfismo: Ψ = id : π−1
1 (X) = X × G −→ X × G
definido como:
Ψ(x, g) = (x, g) = (π1(x, g), π2(x, g)).
Em outras palavras, uma trivializa¸c˜ao global ´e dada pela identidade. Por fim veja que a segunda coordenada do homeomorfismo Ψ ´e dada pela proje¸c˜ao em segunda coordenada, que ´e cont´ınua e equivariante. De fato, ∀(x, g1) ∈ X × G, g ∈ G temos
que:
π2((x, g1)g2) = π2(x, g1g2) = g1g2 = π2((x, g1)g2.
Portanto o fibrado principal trivial ´e localmente trivial.
Vejamos agora o seguinte teorema que nos diz que a condi¸c˜ao de trivialidade local implica que a fibra¸c˜ao π ´e aberta.
3.2 Sec¸c˜ao e trivialidade local 68
Proposi¸c˜ao 3.1.1. Seja π : Q −→ X um fibrado principal localmente trivial. Ent˜ao a aplica¸c˜ao π ´e aberta.
Demonstra¸c˜ao: Veja que para todo p ∈ Q temos que π(p) = x ∈ Ui para algum
i ∈ I. Al´em disso, temos que Pr1 ◦ Ψi = π|π−1(Ui) onde Pr1 denota a proje¸c˜ao em
primeira coordenada Pr1 : Ui × G −→ Ui. Assim π|π−1(Ui) : π
−1
(Ui) −→ Ui ´e uma
aplica¸c˜ao aberta por composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes abertas.
Mostremos que a aplica¸c˜ao π : Q −→ X ´e aberta. Tome A ⊂ Q um aberto qualquer. Se x ∈ π(A) ent˜ao x = π(p), com p ∈ A. Note que π(p) = x ∈ Ui, para
algum i ∈ I, assim p ∈ π−1
(Ui) e desde que π−1(Ui) ∩ A ´e aberto em π−1(Ui) e
π|π−1(Ui)´e aberta, ent˜ao π(π−1(Ui) ∩ A) ´e aberto em Ui, o qual ´e aberto em X, ent˜ao
π(π−1
(Ui) ∩ A) ´e aberto em X. Veja que:
x ∈ π(π−1(Ui) ∩ A) ⊂ π(A).
De fato x ∈ π(π−1(U
i) ∩ A) pois x = π(p), p ∈ π−1(Ui) e p ∈ A. Portanto, para cada
x ∈ π(A) existe aberto π(π−1
(Ui) ∩ A) contendo x e contido em π(A) para qualquer
A ⊂ Q aberto em Q, e assim todo ponto de π(A) ´e interior. Dessa forma, π(A) ´e aberto, logo π ´e uma aplica¸c˜ao aberta.
3.2
Sec¸c˜ao e trivialidade local
Vejamos algumas defini¸c˜oes iniciais.
Defini¸c˜ao 3.2.1. Seja π : Q −→ X um fibrado principal. Uma aplica¸c˜ao χ : X −→ Q, se diz uma sec¸c˜ao ou sec¸c˜ao global do fibrado se π(χ(x)) = x, para todo x ∈ X.
Defini¸c˜ao 3.2.2. Seja π : Q −→ X um fibrado principal. Uma aplica¸c˜ao χ : U −→ Q de um aberto U do espa¸co base X. se diz uma sec¸c˜ao local do fibrado se ´e uma inversa local `a direita de π, ou seja, π(χ(x)) = x, para todo x ∈ U . Note que pela defini¸c˜ao anterior, uma sec¸c˜ao de um fibrado π : Q −→ X ´e uma aplica¸c˜ao χ : X −→ Q tal que χ(x) ∈ π−1
(x), para todo x ∈ X. Em outras palavras, a aplica¸c˜ao χ leva cada elemento x ∈ X em sua fibra π−1(x).
3.2 Sec¸c˜ao e trivialidade local 69
Lema 3.2.1. Seja π : Q −→ X um fibrado principal localmente trivial. Considere Ψi : π−1(U i) −→ Ui× G homeomorfismo trivializante qualquer pertencente ao atlas
Ψ = (Ui, Ψi). Assim, para qualquer x ∈ X e g ∈ G temos a seguinte igualdade:
Ψ−1
i (x, g) = Ψ −1 i (x, e)g
Observa¸c˜ao: Adotamos a nota¸c˜ao (Ψi)−1 = Ψ −1
i no intuito de simplificar o
texto.
Demonstra¸c˜ao: De fato tome p = Ψ−1
i (x, g) ent˜ao π(p) = x e φi(p) = g.
Observe que π(Ψ−1
i (x, e)) = π(p) = x assim Ψ −1
i (x, e) e p s˜ao associados. Dessa
forma existe a ∈ G tal que p = Ψ−1
i (x, e)a. Afirmamos que a = g, pois:
φi(p) = g, e como p = Ψ−1 i (x, e)a ent˜ao φi(Ψ −1 i (x, e))a) = g
Agora pela equivariˆancia da aplica¸c˜ao φi vale:
φi(Ψ −1
i (x, e))a = g
assim, e.a = g , logo, g = a. Portanto p = Ψ−1
i (x, e)g.
Agora construiremos uma bije¸c˜ao entre trivializa¸c˜oes locais e sec¸c˜oes locais de um fibrado principal.
Teorema 3.2.1. (Correspondˆencia entre trivialidade local e sec¸c˜oes lo- cais) Seja π : Q −→ X um fibrado principal com grupo estrutural G. Para todo x ∈ X existe uma vizinhan¸ca U aberta de x e uma aplica¸c˜ao χ : U −→ Q tal que π(χ(x)) = x, para todo x ∈ U se, e somente se, π : Q −→ X ´e um fibrado principal localmente trivial.
Em outras palavras, um fibrado principal ´e localmente trivial, se e somente se, admite sec¸c˜ao local em cada um dos pontos de seu espa¸co base.
Demonstra¸c˜ao: Suponha π : Q −→ X um fibrado principal localmente trivial com grupo estrutural G. Considere Ψ = (Ui, Ψi) um atlas do fibrado principal. Para
cada Ui ∈ {Ui : i ∈ I}, defina a seguinte aplica¸c˜ao:
3.2 Sec¸c˜ao e trivialidade local 70
χi(x) := Ψ −1 i (x, e).
Dessa forma temos que aplica¸c˜ao χi ´e cont´ınua e,
π ◦ χi(x) = x
para todo x ∈ Ui. Assim χi ´e um sec¸c˜ao local do fibrado e portanto para cada x ∈ X
existe uma vizinhan¸ca Ui aberta de x e uma aplica¸c˜ao cont´ınua χi : Ui −→ Q tal
que π(χi(x)) = x para todo x ∈ Ui .
Por outro lado, considere um fibrado principal tal que para cada x ∈ X, existe vizinhan¸ca aberta Ui de x e uma aplica¸c˜ao χi : Ui −→ Q de modo que, π ◦ χi(x) = x
para todo x ∈ Ui. Considere a cobertura aberta Ui ∈ {Ui : i ∈ I} de X e a seguinte
fam´ılia de aplica¸c˜oes definidas por: Ψi : π
−1(U
i) −→ Ui× G
Ψi(χi(x)g) = (π(χi(x)g), φi(χi(x)g)) = (x, g).
com φi : π−1(Ui) −→ G definida como φi(χi(x)g) = g.
Mostremos que para cada i ∈ I, Ψi : π−1(Ui) −→ Ui× G ´e homeomorfismo.
• Observe inicialmente que a aplica¸c˜ao Ψi est´a bem definida pois, se tomarmos
χi(x)g = χi(y)g′ ent˜ao
x = π(χi(x)g) = π(χi(y)g ′
) = y.
Como x = y ent˜ao χi(x) = χi(y). Assim, desde que a a¸c˜ao do grupo G `a direita
de Q ´e livre e χi(x)g = χ(y)g′, temos que g = g′. Portanto (x, g) = (y, g′).
Al´em disso, se p ∈ π−1
(Ui) ent˜ao π(p) = x ∈ Ui, para algum x ∈ Ui. Por outro
lado temos que π(χi(x)) = x ent˜ao χi(x), p pertencem `a mesma fibra, logo s˜ao
associados, assim existe g ∈ G tal que p = χi(x)g. Assim todo elemento de
π−1(U
i) ´e realmente da forma χi(x)g para algum g ∈ G.
Veja que a aplica¸c˜ao φi ´e equivariante, pois para todo x ∈ Ui e g ∈ G temos
que; φi(χi(x)gg ′ ) = gg′ = φi(χi(x)g)g ′ .
• Note que a aplica¸c˜ao inversa de Ψi : π−1(Ui) −→ Ui× G ´e dada por:
ϕi : Ui× G −→ π −1
3.2 Sec¸c˜ao e trivialidade local 71
ϕi(x, g) = χi(x)g.
Mostremos ser ϕi, aberta e cont´ınua.
Tome A ⊂ Ui × G, um aberto qualquer em Ui× G. Mostremos que ϕi(A) ´e
aberto em Ui. Afirmamos que:
ϕi(A) = π −1(P
r1(A)),
onde Pr1 : Ui× G −→ Ui ´e a proje¸c˜ao em primeira coordenada.
De fato, tome χi(x)g = ϕi(x, g) ∈ ϕi(A). Ent˜ao π(χi(x)g) = x = Pr1(x, g)
com (x, g) ∈ A, portanto χi(x)g ∈ π−1(Pr1(A)). Por outro lado, tome:
χi(x)g ∈ π −1(P
r1(A)),
assim π(χi(x)g) = x = Pr1(x′, g), com (x′, g) ∈ A. Dessa forma x = x′, e ent˜ao
χi(x)g = ϕi(x, g) = ϕi(x ′
, g) ∈ ϕi(A).
Sendo assim temos a igualdade desejada.
Agora desde que, Pr1 : Ui × G −→ Ui ´e uma aplica¸c˜ao aberta e A ´e aberto
em Ui× G ent˜ao Pr1(A) ´e aberto em Ui. Como Ui ´e aberto em X, temos que
Pr1(A) ´e aberto em X. Por fim, como π : Q −→ X ´e cont´ınua, π−1(Pr1(A))
´e aberto em Q, da´ı ϕi(A) ´e aberto em Q, logo aberto em Ui. Ent˜ao ϕi ´e uma
aplica¸c˜ao aberta.
Agora mostremos a continuidade de ϕi : Ui × G −→ π−1(Ui). Seja (xλ, gλ)
uma rede em Ui× G, tal que:
(xλ, gλ) −→ (x, g).
Assim xλ −→ x e gλ −→ g.
Desde que a aplica¸c˜ao χi ´e continua, χi(xλ) −→ χi(x). Por fim usando
o fato de que a a¸c˜ao do grupo topol´ogico G `a direita de Q ´e cont´ınua e (χi(xλ), gλ) −→ (χi(x), g) ent˜ao,
χi(xλ)gλ −→ χi(x)g
ou seja ϕi(xλ, gλ) −→ ϕi(x, g), toda vez que (xλ, gλ) −→ (x, g), assim ϕi ´e
3.3 Fun¸c˜oes de transi¸c˜ao 72
Portanto temos que o fibrado principal ´e localmente trivial com atlas dado por Ψ = (Ui, Ψi)i∈I.
Se Ψ = (Ui, Ψi)i∈I ´e um atlas de Q, pelo teorema anterior, cada carta local
Ψi : π−1(Ui) −→ Ui × G define uma sec¸c˜ao local χi(x) := Ψ −1
i (x, e) de modo que
pelo Lema [3.2.1], temos que Ψ−i 1(x, g) = χi(x)g, g ∈ G.
3.3
Fun¸c˜oes de transi¸c˜ao
A propriedade de trivialidade local na defini¸c˜ao de fibrado principal est´a relacionada com uma certa classe de fun¸c˜oes de transi¸c˜ao satisfazendo determinadas proprieda- des.
Nesta se¸c˜ao faremos uma breve discuss˜ao sobre tal classe de fun¸c˜oes.
Sabemos que para cada trivializa¸c˜ao Ψi, temos uma sec¸c˜ao local canˆonica as-
sociada χi : Ui −→ Q definida por χi(x) = Ψ −1
i (x, e). Desde que χi(x), χi(x)g
s˜ao associados ent˜ao π(χi(x)g) = π(χi(x)) = x. Por outro lado a equivariˆancia da
aplica¸c˜ao φi garante que φi(χi(x)g) = φi(χi(x))g = eg = g.
Dessa forma:
Ψi(χi(x)g) = (π(χi(x)g), φi(χi(x)g) = (π(χi(x)), φi(χi(x))g) = (x, g).
Denotando Uij = Ui ∩ Uj, tome x ∈ Uij e trivializa¸c˜oes Ψi : π−1(Ui) −→ Ui × G e
Ψj : π−1(Uj) −→ Uj × G. Usando o Lema [3.2.1], o qual garante que Ψ −1
i (x, e)g =
Ψ−i 1(x, g), temos a fun¸c˜ao mudan¸ca de coordenadas:
Ψj◦ Ψ −1 i : Uij × G −→ Uij × G definida como: Ψj ◦ Ψ −1 i (x, g) = Ψj(Ψ −1 i (x, g)) = = Ψj(Ψ −1 i (x, e)g) = Ψj(χi(x)g) = = (π(χi(x)g), φj(χi(x)g) = (x, aji(x)g)
com aji : Uij −→ G uma fun¸c˜ao cont´ınua definida como
3.3 Fun¸c˜oes de transi¸c˜ao 73
A aplica¸c˜ao aji : Uij −→ G ´e conhecida como fun¸c˜ao de transi¸c˜ao entre os
homeomorfismos trivializantes Ψi, Ψj nesta ordem.
Pelo que foi visto acima, a fun¸c˜ao de transi¸c˜ao entre os homeomorfismo triviali- zantes Ψi, Ψj ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua aji : Uij −→ G para a qual a fun¸c˜ao mudan¸ca
de coordenadas ´e dada por: Ψj◦ Ψ
−1
i (x, g) = (x, aji(x)g).
Em outras palavras, a fun¸c˜ao de transi¸c˜ao fornece a mudan¸ca de coordenadas entre duas trivializa¸c˜oes.
Agora vejamos uma proposi¸c˜ao que relaciona sec¸c˜oes locais e fun¸c˜oes de transi¸c˜ao. Proposi¸c˜ao 3.3.1. Considere duas trivializa¸c˜oes Ψi : π−1(Ui) −→ Ui × G e
Ψj : π−1(Uj) −→ Uj × G e suas respectivas sec¸c˜oes locais associadas, χi : Ui −→ Q
e χj : Uj −→ Q definidas por χi(x) = Ψ −1
i (x, e) e χj(x) = Ψ −1 j (x, e).
Para todo x ∈ Uij temos que
χi(x) = χj(x)aji(x).
Demonstra¸c˜ao: Observe que: Ψj(χi(x)) = (π(χi(x), φj(χi(x)) = (x, aji(x)) (*).
Por outro lado, desde que χi(x) e χi(x)aji(x) pertencem `a mesma fibra, logo s˜ao as-
sociados, basta observar que aji(x) ∈ G, assim temos que π(χj(x)) = π(χj(x)aji(x)).
Deste modo vale:
Ψj(χj(x)aji(x)) = (π(χj(x)aji(x)), φj(χj(x)aji(x))) =
= (π(χj(x)), φj(χj(x))aji(x)) = (x, aji(x))
assim por (*)
Ψj(χi(x)) = Ψj(χj(x)aji(x)).
Como Ψj ´e homeomorfismo, logo inje¸c˜ao, temos que:
χi(x) = χj(x)aji(x).
Proposi¸c˜ao 3.3.2. A fun¸c˜ao de transi¸c˜ao aji : Uij −→ G definida por
aji(x) = φj◦ χi(x)
3.3 Fun¸c˜oes de transi¸c˜ao 74
1. aii(x) = e, para todo i ∈ I e x ∈ Ui.
2. aji(x) = ajk(x)aki(x), para todo x ∈ Ui∩ Uj ∩ Uk.
3. aji(x) = aij(x)−1, para todo x ∈ Ui∩ Uj
Demonstra¸c˜ao:
1. Obviamente para todo x ∈ Ui, temos que (x, aii(x)g) = Ψi◦Ψ −1
i (x, g) = (x, g)),
logo aii(x) = e
2. Sabemos pela proposi¸c˜ao anterior que χi(x) = χk(x)aki(x) e χk(x) = χj(x)ajk(x).
Sendo assim veja que:
aji(x) = φj(χi(x)) = φj(χk(x)aki(x)) =
= φj(χj(x)ajk(x)aki(x)) = φj(χj(x))ajk(x)aki(x) =
= ajk(x)aki(x)
, para todo x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk.
3. Segue imediatamente do item anterior, pois e = aii(x) = aij(x)aji(x).
Defini¸c˜ao 3.3.1. Um morfismo entre dois fibrados principais π : Q −→ X e ˆ
π : ˆQ −→ ˆX com grupos estruturais G e ˆG consiste num par de aplica¸c˜oes (f, f′
) tais que f : Q −→ ˆQ ´e homeomorfismo e f′
: G −→ ˆG ´e homeomorfismo de grupos topol´ogicos tal que:
f (pg) = f (p)f′(g) para todo p ∈ Q e g ∈ G.
Note que, um morfismo de fibrados preserva fibras, portanto induz uma aplica¸c˜ao F : X −→ ˆX, para a qual o diagrama abaixo comuta,
Q f // π ˆ Q ˆ π X F //Xˆ
3.3 Fun¸c˜oes de transi¸c˜ao 75
ou equivalentemente, F ´e uma aplica¸c˜ao para a qual a igualdade F ◦ π = ˆπ ◦ f ´e satisfeita.
Vejamos:
1. De fato, para cada x ∈ X temos que x ∈ Ui, para algum aberto trivializante
da fam´ılia {Ui : i ∈ I}. Defina a seguinte fun¸c˜ao:
F : Ui −→ ˆX
F (x) = ˆπ(f (χi(x))).
Sendo assim, veja que F est´a bem definida, j´a que se x ∈ Uij temos pela
proposi¸c˜ao [3.3.1] que χi(x) = χj(x)aji(x) ent˜ao:
F (x) = ˆπ(f (χi(x))) = ˆπ(f ((χj(x)aji(x))) = ˆπ(f ((χj(x))f ′
(aji(x))) = ˆπ(f ((χj(x)).
2. Tome p ∈ π−1(x), desde que o diagrama comuta temos que
ˆ
π(f (p)) = F (π(p)) = F (x).
Desse modo, temos que a imagem da fibra π−1(x) pela aplica¸c˜ao f est´a contida
na fibra ˆπ−1
(F (x)). Sendo assim, desde que π−1
(x) = p.G e ˆπ−1
(x) = f (p). ˆG, temos que a restri¸c˜ao da aplica¸c˜ao f : Q −→ ˆQ a fibra π−1(x) definida por:
f : π−1(x) −→ ˆπ−1(F (x)) f (p.g) = f (p).f′(g) ´e bije¸c˜ao.
Por fim, veja que a aplica¸c˜ao induzida F ´e cont´ınua, pois tomando x ∈ Ui para
alguma vizinhan¸ca aberta de x e χi uma sec¸c˜ao local. Por defini¸c˜ao de sec¸c˜ao
local temos que π ◦ χi = idUi, portanto F = F ◦ π ◦ χi = ˆπ ◦ f ◦ χi e da´ı em
Ui, F ´e escrita como composi¸c˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas.
Defini¸c˜ao 3.3.2. Um morfismo (f, f′
) ´e dito um mergulho se f : Q −→ ˆQ ´e um mergulho e f′
: G −→ ˆG ´e um monomorfismo. Defini¸c˜ao 3.3.3. Se (f, f′
) ´e um mergulho entre dois fibrados com mesma base X e a aplica¸c˜ao induzida F ´e a identidade de X, dizemos que (f, f′
) ´e uma redu¸c˜ao do grupo de estrutura do fibrado π : Q −→ X para G′
ou equivalentemente que ˆ
3.4 Fibrados associados 76
O teorema a seguir fornece um boa caracteriza¸c˜ao de quando um grupo de es- trutura admite redu¸c˜ao. Este teorema ser´a usado pr´oxima se¸c˜ao.
Teorema 3.3.1. O grupo de estrutura G ´e redut´ıvel para um subgrupo H se, e somente se, existe uma cobertura de X por trivializa¸c˜oes locais tal que as fun¸c˜oes de transi¸c˜ao tomam valores em H.
Demonstra¸c˜ao: Ver [8], Proposi¸c˜ao 5.3, p´agina 53.
3.4
Fibrados associados
Nesta se¸c˜ao apresentaremos uma constru¸c˜ao em detalhes do fibrado associado. Um espa¸co topol´ogico F ´e dito um espa¸co homogˆeneo de G se G age continu- amente, transitivamente e abertamente em F , i.e, pra cada u ∈ F a aplica¸c˜ao